矢量运算
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量及矢量的运算
结论4 若矢量 a, b, c 满足关系 c k1a k2b （ k1 , k2 为实 数），则 a, b, c 三矢量共面（由矢量加法可证）。
结论5 三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全 为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 k1a k2b k3c 0 成立。
定理3
三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是 a, b, c 0.
证明 必要性。若 矢量 a, b, c 共面 ，则 a b 与 c 垂直。 所以
2 充分性。若 a, b, c 0. 即 a b c cos t 0, 则 a b 0 或 c 0 或 cos t 0（ t 为 c 与 a b 的夹角）， 若 a b 0 ，则 a b 0, a 与 b 平行，所以 a, b, c 共面； 若 c 0 ，则 c 0, 零向量与 a, b 共面；若 cos t 0 ，则 t ， a b 与 c 垂直，所以 a, b, c 共面。综上所述，
a b a b cos .
式中， a, b , 为 a 与 b 的夹角。即平移两矢量使始端重合 为角的顶点，以两矢量为边所成的角，规定 0 .
数量积满足以下规律： (1) a b b a （交换律） (2) (a b) c a c b c （分配律）; (3) ka b a kb k a b ; 2 2 a a a a . (4)
向量 AB 在轴 u上的投影记为 Pr ju AB .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j AB | AB | cos
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量运算法则
G
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
C ? A? B
?
C B
A
A
a.满足交换律：
A? B? B? A
b.满足结合律： ( A ? B) ? (C ? D) ? ( A ? C) ? (B ? D)
在直角坐标系下的矢量表示 :
z
三个方向的单位矢量用
a?x表, 示a?。y , a?z
?
kA ? k | A | a?
? ?
k
?
0
? ?
?? k ? 0 方向相反，大小为|k|倍
??
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）： B
A ?B ?| A | ?| B | cos?
?
A
?两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
h ? B?C
A ?C
?
B
在直角坐标系中：
a?x a?y a?z
A ?(B ? C ) ? ( Axa?x ? Aya?y ? Aza?z ) ? Bx By Bz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A ?(B ? C ) ? Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
A ? (B ? C) ? B( A ?C) ? C( A ?B)
cos? ? A?z
| A|
A ? B ? C ? ( Ax ? Bx ? Cx )a?x ? ( Ay ? By ? Cy )a?y ? ( Az ? Bz ? Cz ) a?z
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯∙叫做他们的三重标量积。
三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。
在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b 及()123,,c c c c 则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i cj c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。
2.三重矢量积如a ，b 和c 是三个矢量，组合()a b c⨯⨯叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。
三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ （1-210）3.算子（a ∇）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。
（a ∇）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。
如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a，则()dr φ∇是φ在位移方向d r的变化率的d r倍，即d φ。
()()d dr dr φφφ=∇=∇若将()dr ∇作用于矢量v，则()dr v∇就是v 再位移方向d r变化率的d r倍，既为速度矢量的全微分()dv d r v=∇ 应用三重矢量积公式（1-209）()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式（1-210）又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合（相减）后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例，令a b v==，因()0v v ∇⨯⨯=则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用 令φ是标量，a 是矢量，;a b为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中，令2222222()x y z y x zx y zx y za ia ja ka ij k x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y za a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε，其单位矢量123(,,)e e e ，将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
常用矢量公式
常用矢量公式矢量是物理学中常常用到的工具，它能够表示一个物理量的大小和方向。
在研究物体运动、力学和电磁学等方面，常常需要使用矢量公式。
以下是一些常用的矢量公式。
1.矢量的加法：如果有两个矢量A和B，它们的和矢量C可以通过将两个矢量的对应分量相加得到：C=A+B。
2.矢量的减法：如果有两个矢量A和B，它们的差矢量C可以通过将第二个矢量的对应分量取相反数，再与第一个矢量相加得到：C=A-B。
3.矢量的数量积：两个矢量A和B的数量积可以通过将两个矢量的对应分量乘积相加得到：A·B=AxBx+AyBy+AzBz。
4.矢量的向量积：两个矢量A和B的向量积可以通过以下公式计算：C=A×B,其中C是结果矢量，Ax、Ay和Az是矢量A的分量，Bx、By和Bz是矢量B的分量。
向量积的结果是一个垂直于两个矢量的平面，并且它的大小等于两个矢量张成的平行四边形的面积。
5.矢量的标量三重积：三个矢量A、B和C的标量三重积可以通过以下公式计算：(A×B)·C,其中×表示向量积，·表示数量积。
标量三重积的结果是一个标量，它可以用来计算三个矢量张成的平行六面体的体积。
6.矢量的分解：一个矢量A可以被分解为垂直于另一个矢量B的分量和平行于矢量B的分量。
平行分量可以通过数量积来计算：A\，B=(A·B)B/，B，^2，其中\，表示平行于。
垂直分量可以通过减去平行分量得到：A⊥B=A-A\，B。
7.矢量的模长：一个矢量A的模长可以通过以下公式计算：，A，=√(Ax^2+Ay^2+Az^2)，其中Ax、Ay和Az是矢量A的分量。
8.矢量的单位矢量：一个矢量A的单位矢量可以通过以下公式计算：Ā=A/，A，其中Ā是单位矢量。
9. 矢量的投影：一个矢量A在另一个矢量B上的投影可以通过以下公式计算：Proj_A(B) = (A · Ā)Ā，其中Ā是单位矢量。
10. 矢量的夹角：两个矢量A和B之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B)/(，A，B，)，其中θ是夹角。
矢量(计算机术语)(一)
矢量(计算机术语)（一）引言概述：矢量是计算机领域常用的术语，用于表示具有大小和方向的量。
它在多个领域具有广泛应用，包括图形处理、物理模拟、数据分析等。
本文将从几个方面介绍矢量的定义、表示方法、常见操作以及其在计算机科学中的应用。
正文：1. 矢量的定义及表示方法：- 矢量是具有大小和方向的量，常用箭头表示，箭头的长度表示矢量大小，箭头的方向表示矢量方向。
- 数学上，矢量可以表示为包含坐标或分量的有序数组，如(x, y, z)，每个坐标或分量表示在对应轴上的长度。
2. 矢量的运算：- 矢量加法：两个矢量相加的结果是一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之和，方向由两个矢量的方向决定。
- 矢量的大小：根据矢量的坐标或分量计算出其长度，常用欧氏距离公式计算。
- 矢量的方向：可以用角度或方向向量表示，常用正弦和余弦函数计算。
- 矢量减法：两个矢量相减的结果是一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之差，方向由两个矢量的方向决定。
- 矢量乘法：矢量与标量的乘法结果是一个新的矢量，其大小等于原矢量的大小乘以标量的值，方向与原矢量相同。
3. 矢量的常见操作：- 点乘：两个矢量的点乘结果是一个标量，它等于两个矢量的大小之积乘以它们之间的夹角的余弦值。
- 叉乘：两个矢量的叉乘结果是一个新的矢量，它的大小等于两个矢量大小之积乘以它们之间的夹角的正弦值，方向与两个矢量所在平面的法向量垂直。
4. 矢量的应用：- 图形处理：矢量图形是以矢量为基础的图形表示方法，能够无损地缩放和变换图形，并且文件大小相对较小。
- 物理模拟：在物理模拟中，矢量用于表示力、速度、加速度等物理量，能够更准确地描述物体的运动规律。
- 数据分析：在数据分析领域，矢量用于表示特征向量，从而用于聚类、分类和降维等数据分析任务。
- 机器学习：矢量在机器学习算法中广泛应用，例如支持向量机、神经网络等，用于表示输入和输出的数据集以及模型参数。
5. 矢量的优缺点：- 优点：能够准确表示大小和方向，在计算机科学中应用广泛，具有较高的数学描述能力。
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
数学准备—矢量及其运算
F2min FFF 2 sin
090
F1
②.已知一个分矢量F1的大小和方向与合矢量F的方
向，则另一个分矢量F2与合矢量F相互垂直时 有极小
值 即：F2minF1sin
F
F2 090
F
四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）
矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法 则,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的 合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再 用几何法就显得麻烦了.为解决此问题人们引入了矢量 合成的解析法——正交分解合成法，从而将矢量计算 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。
=
asin1 bsin2 acos1 bcos2
再如：计算 abc?
a ∵ xacos1
ay asin2
bbc x
os2
by bsin2
y ab
b
2
o
a
1
x
cab ∴ xx x a co 1 b sco 2 s
cyasin 1bsin 2
∴ c Cx2 Cy2
tgc y cx
b
计算 abc?
时，合力为零，构成一个封闭的多边形
——F多3 力平F2衡力多边形自行封F闭3 . F2
F1
F4
F4
F1
三.矢量的减法
1.矢量减法的平行四边形法则
∵ c a b
∴ b c a c ( a )
b c
c
b
a 可见求c与a的差即求
a
c与 (a) 的
a
和，可以按平行四边形法则或三角形法
则计算——即矢量的减法实质上仍是矢
数学预备知识
——矢量及其运算
矢量的运算
矢量的运算矢量是物理学中一个重要的概念，它具有大小和方向的特点。
在矢量运算中，我们经常会遇到加法、减法、数量乘法和点乘等运算。
本文将对这些矢量运算进行详细介绍。
1. 矢量加法矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在矢量加法中，两个矢量的大小和方向都要考虑。
如果两个矢量的方向相同，则它们的大小相加；如果方向相反，则它们的大小相减。
矢量加法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，所得的矢量就是它们的和矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相加得到和矢量的坐标分量。
2. 矢量减法矢量减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在矢量减法中，我们要先确定两个矢量的方向，然后将它们的大小相减。
几何方法和代数方法也可以用于计算矢量减法。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将第二个矢量的终点与第一个矢量的起点相连，所得的矢量就是它们的差矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相减得到差矢量的坐标分量。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数得到一个新的矢量。
在数量乘法中，矢量的方向不变，只有大小发生改变。
当实数大于1时，矢量的大小会增加；当实数在0和1之间时，矢量的大小会减小；当实数小于0时，矢量的方向会反向。
数量乘法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将矢量的起点放在原点上，然后将矢量的终点与实数乘积的点相连，所得的矢量就是它们的乘积矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将矢量的坐标分量与实数相乘得到乘积矢量的坐标分量。
4. 点乘点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个标量。
点乘的结果是两个矢量之间的夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
点乘可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，并计算夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
矢量运算
矢量运算矢量运算，矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
中文名：矢量运算应用学科：物理适用领域范围：矢量适用领域范围：标量基本内容矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
相关计算3D engine中用到的矢量运算详细内容：两点距离2D系统：Point1（x1，y1），Point2（x2，y2）距离D=sqr（（x1-x2）*（x1-x2）+ （y1-y2）*（y1-y2））3D系统：Point 1（x1，y1，z1）Point 2 at（x2，y2，z2）。
xd = x2-x1yd = y2-y1zd = z2-z1距离Distance = SquareRoot（xd*xd + yd*yd + zd*zd）做游戏和demo永远不要去做开方:1.用LUT查表技术（Look up Table）2.在做碰撞检测时，误差Distance*Distance<a certain number就可以认为点相撞了规格化，单位化（Normalize）先要说矢量的长度：矢量Vector（x，y，z）矢量长度Length（Vector）= |Vector|=sqr（x*x+y*y+z*z）Normalize后：（x/Length（Vector），y/Length（Vector），z/Length（Vector））方向不变，长度为1个单位点乘点积数量积（Dot Product）是一回事儿。
矢量的运算法则
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
矢量的运算
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
11
例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：
矢量的运算运算矢量向量矢量运算矢量的矢量的运算向量的运算矢量的叉乘数的运算复数的运算
矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
两矢量相互垂直时， 点积为0。
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例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
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矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
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j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
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Y
矢量运算
点乘，也叫向量的内积、数量积。
顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
因此
向量的外积不遵守乘法交换率，因为
向量a×向量b=-向量b×向量a
在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
将向量用坐标表示（三维向量），
若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，
则
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b=
| i j k|
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。
矢量运算法则(详解)
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3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k0方向不变，大小为|k|倍
kAk|A|aˆ k0
k0方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
AB|A||B|cos
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
其结果是一标量。
矢量运算法则(详解)
两矢量的叉积又可表示为：
aˆ x aˆ y aˆ z A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则(详解)
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（3）三重积： 三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C 矢量，标量与矢量相乘。
A(BC) 标量，标量三重积。 A(BC) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
b.满足结合律： ( A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D )
矢量运算法则(详解)
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在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆ x , aˆ y , aˆ z 表示。
z
Az
A
根据矢量加法运算： o
AAx Ay Az
Ax
x
其中：
A x A x a ˆx,A y A y a ˆy, A z A za ˆz
求： r4ar1br2cr3中的标量 a、b、c。
解： 3 a ˆx2 a ˆy5 a ˆz a (2 a ˆxa ˆya ˆz)b (a ˆx3 a ˆy2 a ˆz)c( 2 a ˆxa ˆy 3 a ˆz) ( 2 a b 2 c ) a ˆ x ( a 3 b c ) a ˆ y ( a 2 b 3 c ) a ˆ z
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4. 叉积运算规律
B A ( A B )
( A B) C A C 0
ij k
5. 微分运算
j k i
k i j
（顺序可更换） （顺序不可更换）
d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) dt dt dt dA dA dS dt dS dt
m( nA) ( mn) A
( m n) A mA nA
m( A B ) mA mB
3. 点积运算规律
A B B A
i i j j k k 1
( A B) C A C B C
i j j k k i 0
D A B C
B A
A
B
5. 矢量加减法
A a x i a y j az k B bx i by j bz k A B (a x bx )i (a y by ) j (a z bz )k
三、标量积（点积、数量积） 设： A A, B B, AB
A B ABcos A B =a x bx a y by a z bz
四、矢量积（叉乘积）
A B AB sin
方向：右手螺旋法则
i A B ax bx
五、混合积
j ay by
k az bz
ay by
az
az i bz bz
ax ax j bx bx
ay by
k
C c x i c y j cz k
ax ( A B ) C bx cx
ay by cy
az bz cz
六、矢量的运算规则
1. 加减法运算规则
A 0 A
2. 数量和矢量的乘法运算法则 设 m, n 是数
A B B A
A ( B C ) ( A B) C
d dA ( kA) k dt dt
矢量及其运算
一、矢量
A a x i a y j az k
i , j , k 分别是x, y, z 轴方向上的单位矢量
二、矢量的加减法 1. 加法的平行四边形法则 2. 加法的三角形法则
B
C A B
C A B
B A A
C C A B
3. 三个或三个以上的矢量加法
4. 减法的三角形法则