工业过程先进控制及应用--6.解耦控制系统.

第6章解耦控制系统6.1 系统的关联分析6.1.1系统的分析在一个生产装置设置若干个控制回路，来稳定各个被控变量。

几个回路之间，就可能相互关联，相互耦合，相互影响，构成多输入-多输出的相关（耦合）控制系统。

图6-1所示流量、压力控制方案就是相互耦合的系统。

图6-1 关联严重的控制系统图6-2混合器浓度和流量控制系统.在图6-2中，A、B两种物料进入混合器，以一定比例进行混合，工艺要求出料的流量和浓度保持恒定，为此设计了图6-2中的控制系统。

出料流量Q和浓度C分别由物料Q B和Q A的流量进行控制。

不难看出，这两个控制回路是相互关联的，而关联程度与工艺操作数据有关。

系统间的关联程度是不一样的。

那么如何来表征系统的关联程度呢？可以采用“相对增益”的方法来分析 6.1.2相对增益令某一通道y i u j →在其它系统均为开环时的放大系数与该一通道在其它系统均为闭环时的放大系数之比为λij ，称为相对增益，则yu y uu y λij j i j i ∂∂∂∂=(6-1)上式中分子项外的下标u 表示除了u j 以外，其它都保持不变，即都为开环；分母项外的下标y 表示除了y i 以外，其它y 都保持不变，即其它系统都为闭环系统。

现以图6-1所示双输入双输出系统为例。

该系统被控变量与操纵变量关系如图6-4所示。

图6-4 双输入双输出对象静态特性框图由图6-4可得该系统静态方程为u k u k y u k u k y 22212122121111+=+= （6-2）式中k ij 表示第j 个输入变量作用于第i 个输出变量的放大系数。

求λ11，首先求取λ11的分子项u u y 11∂，除u 1外，其它u 不变，则有11211k u u y ==∂∂常数（6-3）再求λ11的分母项y u y 11∂∂，除y 1外，其它y 不变，由式（6-2）可得u k u k 0u k u k y 2221212121111+=+=由上两式可得2211211222112221121111122211211112k k k k k k k k k k u y u k k k u k y y -=-=∂∂∴-==常数（6-4）在求得λ11的分子项与分母项可得λ11yu y u u y j i j i ∂∂∂∂=11λk k k k k k 211222112211-=（6-5） 同样可推导出 k k k k k k 2112221122111122-==λλ （6-6） k k k k k k 2112221121122112--==λλ （6-7）如果排成数阵形式λ22λ21λ12λ11u u y 2y 121 （6-8）上式称为布里斯托尔阵列(Briistol 阵列)，或相对增益阵列。

在双输入双输出情况下，下面几点很有用。

（1） 相对增益阵列中，每行和每列的元素之和为1，这个基本性质在2 ⨯2变量系统中特别有用。

只要知道了阵列中任何一个元素，其它元素可立即求出。

例如： 在λ11=0.5时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=50505050....λ 图6-1所示压力和流量系统就属此情况。

在λ11=1.2时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21202021.....λ （2） 在相对增益阵列中所有元素为正时，称之为正耦合。

当k 11与k 22同号（都为正或都为负），k 12与k 21中一正一负时，λij 都为正值，且λij ≤1，属正耦合系统。

（3） 在相对增益阵中只要有一元素为负，称之为负耦合。

（4） 当一对λij 为1，则另一对λij 为0，此时系统不存在稳态关联。

（5） 当采用两个单一的控制器时，操纵变量u j 与被控变量y i 间的匹配应使两者间的λij 尽量接近1。

（6） 如果匹配的结果是λij 仍小于1，则由于控制间关联，该通道在其它系统闭环后的放大系数将大于在其它系统开环时的数值，系统的稳定性往往有所下降。

（7） 千万不要采用λij 为负值的u j 与y i 的匹配方式，这时侯当其它系统改变其开环或闭环状态时，本系统将丧失稳定性。

把Bristol 阵列作为关联程度的衡量，已为人们所熟悉。

但明显地可以看出，它没有考虑动态项的影响，因此按它作出的结论带有一定的局限性。

对于多个输入多个输出变量系统的Bristol 阵列中，元素可通过矩阵运算求出。

已知多输入多输出系统的静态特性矩阵形式为MU Y = （6-9） 式中 []y y y Y m 21T ,,= []u u u U m 21T ,,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=mm m m m m m m k k k k u u y u u y u u y u u y M 11111111（6-10） 设M 有逆矩阵存在，则U=M -1Y （6-11） 考虑到m m i i i i y yy u y y y u y y y u u ∂∂++∂∂+∂∂=2211 所以M -1的各元素是yy u ji ∂∂，把M -1转置，得出一个辅助矩阵C C=(M -1)T (6-12) 通个转置，C 的各元素是yy u i j ∂∂相对增益λij 是 yy u u u y yu y u u y i jj i j i j i ij ∂∂∂∂=∂∂∂∂=λ （6-13）因此，λij 是M 矩阵与C 矩阵中各自对应（第 i 行，第 j 列）元素的相乘。

这样，只要知道了所有的开环放大系数k ij ，相对增益λij 都可以求出。

现以双输入双输出系统为例加以说明，由式（6-2）有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k k k M 22211211 （6-14）那么[]k k k k k k k k M C 21122211111221221T-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-（6-15） 所以k k k k k k k k k k k k 211222112211211221122211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=λ (6-16) 上式与前面按定义求得的相同。

6.2 减少与解除耦合途径 6.2.1被控变量与操纵变量间正确匹配对有些系统来说，减少与解除耦合的途径可通过被控变量与操纵变量间的正确匹配来解决，这是最简单的有效手段，理论上在前面已分析过，在此举例加以说明。

例如图6-2所示混合器系统，浓度C 要求控制75%，现在来分析这个系统的关联程度，这样匹配是否合理。

对于这个系统有Q Q Q B A 0+= （6-17） Q QQ Q Q C 0A B A A =+=（6-18）根据图6-2所示匹配，首先求取相对增益λ11（浓度C 与Q A配对）的分子项Q C 1Q Q Q Q Q Q Q C 0B A B A A B A -=∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂=∂∂ （6-19） 其次求取λ11的分母项ooAo Ao A Q Q Q Q Q Q Q C1=∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂=∂∂ （6-20） 因此可求得λ1125.011111=-=-=∂∂∂∂=C Q Q C Q Q CQ Q Co o oA BA λ （6-21） 所以系统的相对增益阵列为25.075.075.025.0B A oQ Q Q C由相对增益阵列可知图 6-2所示匹配是不合理的，可以重新配匹，组成按出口浓度C 来控制物料Q B ，而Q o 由Q A 来控制的系统。

如图6-5 所示，这样系统的关联影响就小得多了。

图6-5 混合器浓度和流量控制系统6.2.2控制器的参数整定6.2.3减少控制回路6.2.4串接的解耦控制在控制器输出端与执行器输入端之间，可以串接入解耦装置D(s) ，双输入双输出串接解耦框图如图6-9所示。

图6-9 双输入双输出串接解耦系统由图6-9得Y(s)=G(s)U(S)U(s)=D(s)P(s)Y(s)=G(s)D(s)P(s) （6-22）由式（6-22）可知，只要能使G(s)D(s)相乘后成为对角阵，就解除了系统之间耦合，两个控制回路不再关联。

亦可以这样分析，第一个控制回路的控制作用u 1 通过G 21(s)影响y 2，对第二个控制回路来说是一个扰动因素，现通过解耦装置D 21(s)产生相应的控制作用u 2，以补偿u 1对y 2的效应。

6.2.5模式控制 考虑如下系统Cxy Bu Ax x =+=∙当系统的状态向量、输入向量和输出向量三者维数相同时，可以采用模式控制。

假设矩阵A 具有实数的、相异的特征值()λλλn 21 、 ，则A 可表示成A=E ∧E -1式中： ()e e e E n 21 ,=，e i 为右特征向量； ()d d d E n 21T 1 ,,=-， d i 为左特征向量； ∧=diag ()λλλn 21 、，λi 为特征值 若令控制器 采用比例作用u=-G c y=-G c Cx （6-23） 闭环后的系统方程是()x C G B A x c -=∙（6-24） 如选择控制器矩阵为EK B G 1c -= （6-25）式中K 是对角阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k 0k 0k K n 21并能挑选输出矩阵C=E -1 ，则()x E K A E x 1-∙-= 注意到y=Cx=E -1x 故得()y K A y -=∙（6-26）显然（A-K ）是一个对角阵，调整每一个k i 值，直接影响相应的输出变量y i 的过渡过程，但不影响其它的输出变量，这样就实现了不相关的要求。

y i 的过渡过程是()[]t k a y i i i i -=λexp （6-27）式中的 a i 是由初始条件确定的系数。

这种控制方案的缺点是仅可以进行纯比例控制，需要有选择C=E -1的自由度。

这种方法的框图如图6-10所示。

图 6-10 模式控制系统的框图6.3 串接解耦控制前已说明，串接解耦装置D(s)的作用是使G(s)D(s) 的积成为对角阵，这样关联就消除了。

要求G(s)D(s)之积为对角阵，对其非零元素又有三类方法。

6.3.1对角线矩阵法此法要求()()()[]s G diag s D s G ij = ，如()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=s G 00s G s D s G 2211 （6-28） 即通过解耦，使各个系统的特性完全象原来的单回路控制系统一样。

因此，解耦装置D(s)可以由式（6-28）求得()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-s G 00s G s G s G s G s G s D s D s D s D s D 221122211211122211211 ()()()()()()()()()()()()[]s G s G s G s G s G s G s G s G s G s Gs G s G122122111122112122122211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= （6-29） 这样求出的解耦装置各元素传递函数可能相当复杂。