平面问题有限元解法(公式推导讲解)

τ yxτ xy Nhomakorabeaσx
fy
σy
fx
px
cos(n, x) = l , cos(n, y ) = m
设斜面AB 的长度为ds，则PB面及A面的长度 分别为 lds及mds，而PAB的面积为 ldsmds/2， 棱柱的厚度设为1。 px ds − σ x lds − τ xy mds + 由x轴平衡条件，得：
2011-10-27
南京农业大学工学院机械工程系
平面问题的基本理论
任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如 果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的 是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为 近似的平面问题。 两种典型的平面问题
平面应力问题 平面应变问题
2011-10-27
南京农业大学工学院机械工程系
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平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化， 在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束。同时，体力也平行于横截面不 沿长度变化。 假想该柱体为无限长，以任一横截面为xy面， 以任一纵线为z轴，则所有一切应力分量、形 变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是xy 的函数，所有各点的位移矢量都平行于xy面， 这种问题称为平面位移问题。 由对称条件可知： τ zx＝τ xz
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。 为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含 P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f，即:
∆F lim ∆S ＝f ∆S → 0
εx =
∂x dx
v
u
u+
∂u dx ∂x v+ ∂v dx ∂x
∂v v+ dy ∂y
β
α
=
∂u ∂x
u+
∂u dy ∂y
注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸缩，是高一阶微量，略去不计。 ∂v εy = 线段PB的线应变是： ∂v ∂y v + dx − v ∂v ∂x 线段PA的转角α是： = α = tan α = dx ∂x ∂u β= 线段PB的转角β是： ∂y
τ yx
σy
C
fy
fx
σx +
τ xy
τ yx +
∂ τ yx ∂y
∂σ x dx ∂x ∂ τ xy + dx ∂x
dy
∂τ yx ∂σ x dy )dx × 1 −τ yx dx ×1 + f x dxdy × 1 = 0 (σ x + dx)dy ×1 −σ x dy ×1 +(τ yx + ∂y ∂x
平面应力问题
设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受 有平行于板面并不沿厚度变化的面力或 约束。同时，体力也平行于板面不沿厚 度变化。 设薄板的厚度为δ。以薄板的中面为xy 面，以垂直于中面的任何一直线为z轴。 所以有：
(σ z )
z= ±
δ
＝0, (τ zx )
2
z= ±
δ
＝0, (τ zy )
2
z= ±
平面问题的有限单元解法
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。 有限单元法的分析步骤如下：
∂u εy = , ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
(1-2)
根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：
εx =
1 1 2(1 + µ ) (σ x − µσ y ), ε y = (σ y − µσ x ), γ xy = τ xy E E E
(1-3)
1− µ 2 µ 1− µ2 µ 2(1 + µ ) εx = (σ x − σ y ), ε y = (σ y − σ x ), γ xy = τ xy (1-3‘) E 1− µ E 1− µ E
K δ ＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。 通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
2011-10-27
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性 力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方 向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点， 而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于 一定的极限f，即:
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。 正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。 切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
2011-10-27 南京农业大学工学院机械工程系
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元） 用结构力学方法进行求解
2011-10-27
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有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
= 0,τ zy = τ yz = 0
由胡克定律，相应的切应变：
γ zx＝γ zy = 0
ε x , ε y , γ xy
ε 由于z方向的位移处处为0，所以： z = 0 ，由于z方向的伸缩被阻止，一般 σ z ≠ 0
只剩下平行于xy面的三个形变分量，即： 这种问题成为平面应变问题。
2011-10-27 南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。 完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。 均匀性——假定整个物体有同一材料组成的，物体的所有 各部分具有相同的弹性。 各向同性——假定物体的弹性在所有各个方向都相同。 小变形——假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整 个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而 应变和转角都远小于1。
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体 在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为 负。
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弹性力学中应力的方向规定
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
2011-10-27
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有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体 单元 节 点
节点
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
单元
节点力
单元上节点处的结构内力 节点力
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
2011-10-27
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物体变形及受力情况的描述
基本变量 基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
u
（位移）
ε
σ
σ =E ε
E 弹性模量
（应变） （应力）
即：
三大方面
三大方程
∑F
x
=0
σy +
∂σ y ∂y
dy
∂σ x ∂τ yx 约简以后，两边除以dxdy，得： + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂τ xy 同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得： + + fy = 0 ∂y ∂x
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2011-10-27
平面问题中一点的应力状态
τn
py
σn
ldsmds =0 fx 2
其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：
px = lσ x + mτ xy
由y轴平衡条件，得：
2011-10-27
p y = mσ x \ y + lτ xy
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几何方程
经过弹性体内的任意一点P，沿x 轴和y轴的正方向取两个微小长度 的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹 性体受力后，P,A,B三点分别移动 到P’,A’,B’. 线段PA的线应变是： ∂u u+ dx − u
假定已知任一点P处坐标面上的应力分量σx，σ y ，τx y = τ y x 。求经过该点的，平行于z轴而 倾斜于x轴和 y轴的任何倾斜面上应力。 从在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜 面，并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当 AB无限小而趋于P点时，平面AB上的应力就成 为斜面上的应力。 用n表示斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：