1、5、平方差公式(一)
1.5 平方差公式 (1)
1.5平方差公式一．选择题（共14小题）1．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列运算中，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）C．（x+y）（x﹣y）D．（x+y）（2x﹣2y）2．（2020秋•阳江期末）计算(12 −3)(12 +3)得到（）A．14 2− +9B．14 2+ +9C．14 2−9D．12 2−9 3．（2020秋•滨海新区期末）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（2x+y）（2y﹣x）B．（12x+1）（−12x﹣1）C．（3x﹣y）（3x+y）D．（x﹣y）（﹣x+y）4．（2020秋•洪山区期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（2020秋•蓬溪县期中）计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（）A．1﹣a4B．1+a4C．1﹣2a2+a4D．1+2a2+a4 6．（2020秋•新都区月考）若M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2，那么代数式M应为（）A．﹣5x﹣y2B．﹣y2+5x C．5x+y2D．5x2﹣y2 7．（2020春•竞秀区期末）下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x）B．（x﹣y）（﹣x+y）C．（a+b﹣c）（a﹣b+c）D．（2x2﹣y2）（2x2+y2）8．（2020春•北碚区校级期末）若2m﹣n＝2，4m2﹣n2＝12，则− 6− 3的值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣9 9．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）10．（2019秋•南召县期末）若代数式M•（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（）A．﹣3x﹣y2B．﹣3x+y2C．3x+y2D．3x﹣y2 11．（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054B．255064C．250554D．255024 12．（2019秋•渝北区校级月考）已知：x2﹣y2＝2019，且x＝y+3，则x+y＝（）A．2019B．2016C．673D．671 13．（2019春•新田县期中）若A=−23（1+131）（1+132）（1+134）（1+138）（1+1316）（1+1332）（1+1364）…（1+132 ）+1，则A的值是（）A．0B．1C．1322 D．132 +1 14．（2020秋•宛城区校级期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（）A．205B．250C．502D．520二．填空题（共11小题）15．（2020秋•沙坪坝区校级期末）计算：108×112﹣1102的结果为．16．（2020秋•青白江区期末）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是．17．（2020秋•浦东新区期末）在括号内填入适当的整式：（2a+b）（）＝b2﹣4a2．18．（2020秋•河北区期末）若a2﹣b2=−116，a+b=−14，则a﹣b的值为．19．（2020秋•河北区期末）计算：20192﹣2017×2021＝．20．（2020秋•普陀区期中）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是．21．（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为．22．（2020•西湖区一模）已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝．23．（2020•安徽三模）已知x2﹣9y2＝3，x+3y=12，则x﹣3y＝．24．（2019秋•大同期末）已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为．25．（2019•平谷区一模）如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是（用含a，b的等式表示）．三．解答题（共9小题）26．（2020秋•花都区期末）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）．27．（2020秋•普陀区期中）（x﹣2y）（x2+4y2）（x+2y）．28．（2020春•沈河区期末）计算：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣3x（x+2y）．29．（2019秋•路南区期中）利用乘法公式有时能进行简便计算例：101×99＝（100+1）（100﹣1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999请参考给出的例题，通过简便方法计算：（1）2002×1998；（2）86×3.14+34×3.14﹣20×3.14．30．（2019春•漳州期末）（1）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）（2）运用（1）中所得到的公式，计算下列各题：①20182﹣2019×2017②2（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）31．（2019春•玉田县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1−122）（1−132）（1−142）…（1−120182）（1−120192）．32．（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：（1−122）（1−132）（1−142）（1−152）…（1−120172）（1−120182）．33．（2019春•盐湖区期中）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣1234．（2019春•抚州期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）计算：（1−122）（1−132）（1−142）…（1−120182）（1−120192）．。
平方差公式1
作业：作业本。
再 见！
； 学习英语的机构 ；
移而去,疆域实在是太大了,若是靠慢慢飞行赶路,那不知要飞多少年.在瞬移过程中,也遇到不少其他瞬移の善王级强者.虽然可能见不到对方真身,但能感应到气息和历量波动.靠近法辰王国国都の事候,鞠言和纪沄国尪停止了瞬移.由于到呐里,就不能继续施展瞬移了.两人前 方,是一面连通天地の光芒屏障,瞬移无法进入其中.呐光芒屏障,显然是法辰王国方面弄出来の,目の就是阻止像鞠言、纪沄国尪呐样の外来者继续向前瞬移.屏障の一个地点,有一支法辰王国の军队.人数并不很多,大概也就一千人左右,但里面赫然有拾分之一左右の人员,是善 王级强者.鞠言和纪沄国尪之所以认为那是法辰王国の军队,是由于呐些人身上穿着同样款式の铠甲,并且铠甲上有法辰王国の标志.两人向呐支法辰王国の军队走过去.事实上,有不少人都是向那个地点走去,而呐些人,几乎都是善王级の强者.“鞠言战申,呐些人应该是与俺们 一样,都是来自其他国度要参加战申排位赛の.”纪沄国尪对鞠言说道.“嗯,人真是不少.”鞠言点点头道.呐还只是两人一路所遇到の,战申排位赛尚未开始,在战申榜排位赛正式开始之前,会持续の有众多国家の人员前来参加.“两位来自哪里?”当鞠言和纪沄国尪接近后,一 名身穿法辰王国铠甲の善王来到两人面前问道.“俺是龙岩国国尪纪沄,呐位是龙岩国战申鞠言.俺们,是来参加战申榜排位赛の.”纪沄国尪出面,与对方交涉.纪沄国尪报出了自身和鞠言の身份,同事还告诉对方龙岩国在混元空间の坐标位置.那名铠甲善王拿出一个晶球,呐晶 球内有混元空间各个国家の详细信息.他在晶球内找到了龙岩国,鞠言看到,在此人操作之下,晶球内投放出一道影子,正是纪沄国尪の模样.“嗯,身份确认！法辰王国,欢迎二位の到来！”铠甲善王收起晶球,对纪沄国尪和鞠言战申躬了躬身,请两人进入光芒屏障.“法辰王国真 是厉害,他们似乎有混元空间所有国家の资料信息.”进入光幕之后,鞠言开口说道.“是啊,其他陆大王国同样有呐些信息の.他们の强大,不是俺们能够想象の.”纪沄国尪说道.“或许有一天,俺们龙岩国也能如此强大.”鞠言眯起眼睛说道.“那怎么可能……”纪沄国尪先是 否认,而后失笑说道：“有个期盼の目标也好.”“现在要做の,就是在战申榜上争取一个较高の排名.”鞠言又说道.“鞠言战申,有你参加战申榜排位赛,俺们龙岩国排名肯定不低.”纪沄国尪转目看向鞠言,继续说道：“俺们龙岩国,已经很多次没有参加战申榜排位赛 了.”“那些王国还有最强大の那一批尪国,他们の战申,应该都是混元无上级别の存在吧?”鞠言问纪沄国尪,面对混元无上之下,鞠言自是不会惧怕对方,可要是面对混元无上级别の强者,那鞠言怕也无能为历.如果自身在黑道则上,达到善王级,或许还能与混元无上层次の强者 斗一斗.只是,鞠言也不确定,自身在黑道则上の境界,哪个事候能够突破到善王级.可能很快就突破,也可能会再过个几千年几万年.“是の！在战申榜排位赛中,可能会遇到混元无上级别の强者.”纪沄国尪点了点头.福利色色漫画,各种言情!你懂の!(记得自备纸巾)长按复制 xlmanhua搜索>第二九伍思章专用场地理论上来说,任何参加战申榜排位赛の战申,都有可能遇到混元无上级别の存在,即便是第一场对战也是有概率遇到の.当然了,混元无上级别の存在毕竟是极少数,现在就考虑自身在排位赛中遇到混元无上就显得太早了.“不过,在前期の排 位赛中遇到混元无上可能性很低.任何一个举办战申榜排位赛の王国,作为比赛の主办方,他们都会想办法让混元无上级别の强者不出场得太早.呐其中也关系到巨大の利益.”纪沄国尪随即又说道.两人说话之中,来到了第二个身份验证点.之前两人在光芒屏障之外遇到の身份 验证点,只是第一道而已.进入第一道封锁,还有第二道.第二道身份验证点の验证过程与第一道基本上一样,那法辰王国の善王战士确认过纪沄国尪の信息后,便客气の请纪沄国尪和鞠言战申进入.不过呐一次,鞠言得到了一枚令牌,此令牌是参加战申榜排位赛の凭证.通过第二 道验证点后不久,鞠言和纪沄国尪就看到了一座横亘在眼前の城市.“呐就是法辰王国の国都?”鞠言凝视前方の城市,有些疑惑,由于他所看到の呐座城市,并不如想象中の大,规模上能够说太小了点.法辰王国呐样の混元最顶级国度,它の国都不是应该非常巨大吗?“鞠言战申, 俺们现在看到の并不是法辰王国国都,而是进行排位赛の场地.”纪沄国尪笑着解释.“排位赛场地?”鞠言睁了睁眼睛道：“战申榜排位赛场地,如此庞大?”前方明显就是一座城市,若说它是法辰王国の国都自然让人觉得小了一些,可若说呐城市只是用于战申榜排位赛の场地, 那无疑就太过巨大了一些.“嗯,在混元七大王国,都有呐样の场地,专门用于举办战申榜排位赛.”纪沄国尪点头,继续说道：“呐里,平事是没有多少人员居住の,只有在举行排位赛の事候,才会变得异常热闹.”“呐里,可不仅仅是参加排位赛の战申能够进入,法辰王国の民众, 也是能够进入の.所以每当有排位赛举办の事候,类似の场地就会非常の繁华热闹.”纪沄国尪对鞠言解释.“为何不将场地放在国都之中呢?”鞠言问道.“应该是怕引发混乱吧！战申榜排位赛
北师大版七下数学1.5平方差公式教学课件(1)
n （-m）2-n2
c （a+b）2-c2
（a + b ） （ a – b ） = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
注意
计算：（x+2y）（x-2y）
1、先把要计算的 式子与公式对照，
解：原式＝Nxo2 - （2y）2 Image
2、哪个是 a 哪个是 b
＝x2 - 4y2
例2 运用平方差公式计算： （1） （3x＋2 ）（ 3x－2 ） ； （2） （b+2a）（2a－b）; （3） （-x+2y）（-x-2y）.
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )（x4+y4 ）
（ x4 y）4 （x4+y4） x8 y8
灵活运用新知，解决第三层次问题
运用平方差公式计算：
（1）51×49 （2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）
a2 - b2 =（a+b）（a-b） 逆向思维训练：
（1） （ n - m ）（ n+m ）=n2-m2 （ -2x +_3_y ） （-2x-3y）=4x2-9y2 （ -5 + a ）（-5 - a ） =25-a²
多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加.
活动 计算下列各题，你能发现什么规律？
（1） （x＋1）（x－1） = x2 － x ＋ x － 1 = x2 － 1 （2） （m ＋ 2）（m － 2） = m2 － 2m ＋ 2m － 4 =m2 － 4 （3） （2x ＋ 1）（2x － 1）=（2x）2 － 2x ＋ 2x － 1=4x2 － 1
小结
1. 试用语言表述平方差公式 （a+b）（a−b） =a2−b两2.数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案
北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》教案一. 教材分析北师大版七年级数学下册《1.5 平方差公式》这一节主要让学生掌握平方差公式的推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以帮助学生解决一些实际问题，而且也是学习更高阶数学的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法，对因式分解也有一定的了解。
但他们在解决实际问题时，往往不能灵活运用平方差公式。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将已知的知识与平方差公式联系起来，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式，并能灵活运用解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生归纳总结的能力，提高学生解决问题的策略。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题与平方差公式联系起来，提高解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和实例分析法，引导学生主动探究，发现规律，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，以便进行课堂练习。
2.准备多媒体教学设备，以便进行课件展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如停车场的设计、购物优惠等，让学生感受数学在生活中的应用。
引导学生思考如何用数学公式来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生观察、思考并总结出公式。
在这个过程中，引导学生发现平方差公式的规律，理解其含义。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选一个实际问题，运用平方差公式进行解决。
教师在这个过程中提供必要的指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师挑选一些典型例题，让学生独立解答。
解答过程中，教师注意引导学生运用平方差公式，检查他们的理解程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些与平方差公式相关的拓展问题，如：如何求解一个关于平方差的一元二次方程？如何判断一个多项式是否可以分解为平方差的形式？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，使学生明确平方差公式的推导过程和应用。
1平方差公式
例2 利用平方差公式计算：
( x + y+z)( x + y – z).
平方差公式中的a，b
可以是单项式也可以为多 项式。
解： 原式=[(x + y)+z][( x + y)–z]
= (x + y)2–z2
例3 先化简，再求值 ：
北师大版七年级下册第一章『整式的乘除』
1.5 平方差公式
第1课时
-.
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简
单的运算.（难点）
阅读小故事，并回答问题：
小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方 形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是 正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧， 反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？
练一练：口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=__b_2_－__a_2__.
(2)(a－b)(b+a)= __a__2_－__b_2__. (3)(－a－b)(－a+b)= __a_2_－__b_2_. (4)(a－b)(－a－b)= __b__2_－__a_2_.
例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝=m2－n2.
a
(a+5)
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
北师大版七年级初一上册 第一单元 1.5《平方差公式》课件
知2－练
1 计算： (1) (a+2) (a－2)； (2) (3a+2b) (3a－2b)； (3) (－x －1) (1－x) ；(4) (－4k+3) (－4k－3).
解：(1)(a＋2)(a－2)＝a2－22＝a2－4. (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2. (3)(－x－1)(1－x)＝(－x－1)(－x＋1) ＝(－x)2－12＝x2－1. (4)(－4k＋3)(－4k－3)＝(－4k)2－32＝16k2－9.
9
.
(3)99×101×10 001.
知3－练
解：(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001 ＝(1002－1)×10 001 ＝9 999×10 001 ＝(10 000－1)×(10 000＋1) ＝10 0002－1 ＝99 999 999.
1 知识小结
知2－练
9 【中考·枣庄】如图，在边长为2a的正方形中央剪 去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分 沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四 边形的面积为( C ) A．a2＋4 B．2a2＋4a C．3a2－4a－4 D．4a2－a－2
知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
(2)118×122
=(100+3) (100－3)
=(120－2) (100+2)
=1002－32
=1202－22
=9 991 ；
=14 396 .
知3－讲
例5 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
2
(3) 40
《平方差公式》教学设计
第一章整式的乘除5 平方差公式（第1课时）一、教学内容分析学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.二、学生情况分析学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.三、教学目标（1）知识与技能经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（2）过程与方法1、在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。
2、培养学生观察、归纳、概括的能力。
（3）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；培养学生敢于挑战、勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质.四、教学重点、难点重点：平方差公式的推导和应用。
平方差公式12种变形
平方差公式12种变形平方差公式是数学中一个基本概念，也是解决实际问题时常用的一种方法，可以用来计算一组数据之间的差别，这种差别可以为了这些数据之间所具有的特征或者不同性服务。
本文将介绍平方差公式的12种变形，它们在不同场合下的运用，从而加深读者对它的理解。
首先，是最常见的一种(形式1)：平方差公式：σ^2 = (1/n)∑(x_i -)^2其中，σ是样本求出的标准差，n是样本中的数据量，x_i表示样本中的第i个数据项，μ表示样本的均值。
其次，是根据需要可以改变单位的形式(形式2)：σ^2 = (1/n)∑(x_i/d -/d)^2其中，d为单位换算因子，当单位换算因子d=1时，形式2转化为形式1。
第三个变形(形式3)：σ^2 = (1/n)∑(x_i^2 - 2x_iμ +^2)在这种形式下，在计算σ^2的过程中，就不需要再计算μ了，只需要计算x_i的值即可，这就简化了计算过程。
第四个变形(形式4)：σ^2 = (1/n) (x_i^2 - 2x_i*μ +^2) -2σ^2在这种形式下，μ也可以改变，而σ^2也可以改变，从而较好地描述出数据组中不同数据之间的变化。
第五个变形(形式5)：σ^2 = (1/n) (x_i^2 - 2x_iμ +^2) - 2σ^2^2其中，σ^2^2表示σ的平方，即σ可以不断变化，用来描述不同的数据间的变化。
第六个变形(形式6)：σ^2 = (1/n) (x_i^2 - 2μx_i +^2) - 2φ^2σ^2其中，φ表示变量与均值之间的相关系数，这种形式主要用来描述样本中相关变量之间的变化。
第七个变形(形式7)：σ^2 = (1/n) (x_i^2 - 2μx_i +^2) / (1-γ^2)其中，γ表示变量之间的相关度，用这种形式可以更好地把数据所特征或者不同性描述出来。
第八个变形(形式8)：σ^2 = (1/n) (x_i^2 - 2μx_i +^2) / (1-γ^2) + s^2其中，s表示样本偏差，当求出的平方差公式增加这一变量的时候，可以更加准确地描述出数据的信息。
平方差公式的推导与应用(1)
解答技巧
同样识别出这是一个平方 差的形式，其中$a = 4y$ ，$b = z$。然后应用平 方差公式进行因式分解， 得到$(4y + z)(4y - z)$。
注意事项及易错点提示
注意观察多项式的形式
在应用平方差公式之前，需要仔细观察多项式的形式，确保它符合平 方差的形式。
注意因式分解的彻底性
在得到因式分解结果后，需要检查是否分解彻底，即是否还可以进一 步分解。
平方差公式的推导与应用
汇报人：XX 20XX-01-31
目 录
• 平方差公式基本概念 • 平方差公式推导过程 • 平方差公式在因式分解中应用 • 平方差公式在二次根式化简中应用 • 平方差公式在解一元二次方程中应用 • 平方差公式在数列求和等数学问题中应用
01
平方差公式基本概念
平方差公式定义及表示方法
平方差公式与完全平方公式的区别
平方差公式表示两个数的平方差，可以拆分为两个因式；而完全平方公式是一个二项式的平方，表示为一个三项 式。
平方差公式重要性及应用领域
平方差公式的重要性
平方差公式是数学中的基础公式之一，对于简化计算、因式分解、解方程等方 面都有重要作用。
平方差公式的应用领域
平方差公式在代数、几何、三角等领域都有广泛应用，如计算面积、体积、求 解一元二次方程等。同时，在物理、化学、工程等学科中也会涉及到平方差公 式的应用。
两种方法比较与联系
代数法与几何法的比较
代数法注重公式的推导和计算，几何法注重图形的变换和理解。两种方法各有优劣，互 为补充。
代数法与几何法的联系
代数法和几何法都是数学中常用的方法，它们在某些情况下可以相互转化。例如，在平 方差公式的推导中，代数法和几何法都得到了相同的结果，体现了数学的内在联系和一
平方差公式(一)
a 2 ab ac
χ(3χ－6y+1)
（3）问题拓展，运用新知(约5分钟)：
教学过程
（2013年兰州市中考题）如图所示，圆柱
通过实际情境 体的底面圆的周长10a厘米,长方体的底面矩 使学生体验感 形的长3a厘米，宽2a厘米，它们的高度相等。 受和理解数与 你知道哪一个的体积大吗？（提示：可设它 代数的意义。 们的高均为h厘米，π取3.14） 体会提公因式 _ 方法一： 法解决相关问 列式： V 题的简便性. 圆柱体－V长方体
2、能力目标：
培养学生观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符 号感，利用数学解决实际问题的能力。 。
3、情感目标：
感受：探索的乐趣与成功的喜悦。 体会：数学知识间的整体联系。
（三）教学重点与难点
教学重点 理解平方差公式的依据，会用平方差公 式计算． 教学难点
理解平方差公式的结构特征，灵活应用 平方差公式．
通过现实情境 引入，激发学 生的学习兴趣。
(2) 引导感悟，掌握新知(约30分钟)：
教学过程
问 题 1 ：计算下面各题： （1）
尝试 尝试 探索 索 探
让学生利用多项式 乘法计算，然后观 察每个算式的特点 和结果的特点，挖 掘题目之间的共性， 发现规律，猜想公 式，从而经历从－ 般到特殊、从具体 到抽象的过程，体 会归纳这－数学思 想方法．
欢迎指导
(一)
平 方 差 公 式
教材分析
教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
整 式 乘 法
平方差公式
分 式 化 简
教学分析
（二）教学目标：
1、知识目标：
了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意 义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差
总第09课时——5 平方差公式(第1课时)
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总第09课时——5 平方差公式(第1课时) 平方差公式
4．运用乘法公式计算：
(1)23a－b23a＋b＝ 49a2－b2
；
(2)[2018·丽水]x－1x＋1＝ x2－1 .
5．计算：(1)(2x2＋3y)(2x2－3y)；
(2)(2x－y)(－2x－y)；
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总第09课时——5 平方差公式(第1课时) 平方差公式
解：(1)原式＝(－2x)2－12y2 ＝4x2－14y2； (2)原式＝(－4a)2－b2 ＝16a2－b2； (3)原式＝(y2－4)(y2＋4) ＝(y2)2－42 ＝y4－16.
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解：(1)(x－2y)(2y＋x)＝x2－4y2； (2)(3m－2n)(－3m－2n)＝4n2－9m2； (3)(5ab－3xy)(－3xy－5ab)＝9x2y2－25a2b2； (4)(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y) ＝4x2－9y2－16y2＋9x2 ＝13x2－25y2.
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A．(x－y)(－x＋y)
北师大数学七年级下册第一单元1.5平方差公式
乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据22+-=-进行乘法计算．a b a b a b()()【典例】例1下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）【方法总结】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．例2若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算【方法总结】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．例3计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．【方法总结】本题考查平方差公式、单项式乘多项式，掌握运算法则和公式是解题的关键．例4课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．【方法总结】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．【随堂练习】1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）2．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．3．化简：（1﹣2m）（2m+1）﹣（3+4m）（6﹣m）．知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．【典例】例1用乘法公式计算：100×99．【方法总结】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．例2计算：20092﹣2010×2008；【方法总结】本题考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟记多项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．【随堂练习】1．利用公式计算：101×99﹣9722．用乘法公式简算：（1）199×201；（2）20132﹣2014×2012．知识点3 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．【典例】例1为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）【方法总结】此题考查了利用平方差公式几何背景解决实际问题的能力，关键是能根据图形准确列式并运用平方差公式进行解决．例2将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．【方法总结】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题．【随堂练习】1．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．2．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？3．（1）如图1所示，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是；（2）由（1）可以得到一个公式：；（3）利用你得到的公式计算：20212﹣2022×2020．综合运用1．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x﹣y）C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（x+y）（y﹣x）2．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．3．用乘法公式计算：99×101．4．利用公式计算：20152﹣2014×2016．5．利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．6．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝18，3x﹣2y＝3．求3x+2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）。
完全平方差公式总结
完全平方差公式总结
摘要：
1.完全平方差公式的概念
2.完全平方差公式的公式表达
3.完全平方差公式的性质
4.完全平方差公式的应用
5.总结
正文：
1.完全平方差公式的概念
完全平方差公式，又称平方差公式，是一种在代数学中经常使用的公式。
它用于计算两个数的平方差，即一个数的平方减去另一个数的平方。
完全平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2。
2.完全平方差公式的公式表达
完全平方差公式的公式表达如上所述：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2。
在这个公式中，a 和b 是两个数，(a+b) 表示a 和b 的和，(a-b) 表示a 和b 的差，a^2 表示a 的平方，b^2 表示b 的平方。
3.完全平方差公式的性质
完全平方差公式具有一些有趣的性质。
首先，它是一个恒等式，也就是说，无论a 和b 取何值，等式都成立。
其次，完全平方差公式可以扩展到三个数和四个数的情况。
例如，(a+b+c)(a-b-c) = a^2 - b^2 - 2bcc，
(a+b+c+d)(a-b-c-d) = a^2 - b^2 - 2bcc - 2d^2。
4.完全平方差公式的应用
完全平方差公式在代数学、几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在解方程时，完全平方差公式可以用来化简表达式，使方程更容易解决。
在几何学中，完全平方差公式可以用来求解两个数的平方差等于一个数的平方的情况，例如求解一个直角三角形的斜边长度。
5.总结
完全平方差公式是一种重要的数学公式，它具有广泛的应用。
北师大版数学七年级下册1.5平方差公式(第1课时)同步课件
巩固练习
8. 计算： (1)(x＋6)(x－6)＝_x_2_－__3_6__； (2)(2＋a)(2－a)＝__4_－__a_2__ ； (3)(x＋2y)(x－2y)＝__x_2－__4_y_2_ ; (4)(2m－5n)(2m＋5n)＝_4_m_2_－__2_5_n.2
巩固练习
9． 化简：（x+y）（x-y）-（2x-y）（x+3y）．
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
例题讲授
例1.利用平方差公式计算： （1）（5 + 6x）（5 – 6x）； （2）（x – 2y）（x + 2y）； （3）（–m + n）（–m–n）；
例题讲授
解（1）（5 + 6x）（5 – 6x） = 52 –（6x）2 = 25–36x2
的是 （ A ）
A． x4-1 B． x4+1
C．（x-1）4 D．（x+1）4
巩固练习
4.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b2)(a2－b)
巩固练习
5.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为( )
新知探究
平方差公式： (1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 = a2-b2 . (2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的 平方差 . (3)符号语言：(a+b)(a-b)= a2-b2 .
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同底数幂相乘，底数 不变，指数 相加。
am·an =am+n 幂的乘方法则：
(当m、n都是正整数)
幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 .
(am)n=amn (m,n都是正整数).
积的乘方法则
积的乘方等于 积中每个因式分别乘方的积 .
(ab)n =
an· bn（m,n都是正整数）
做一做
比 一 比 看 谁 能 行
B
B A
D
做一做
比 一 比 看 谁 能 行
7．对于任意整数n，能整除代数式 (n 3)(n 3) (n 2)(n 2) 的 整数是（C ）． A．4 B．3 C．-5 D．2
8．在 ( x y a b)(x y a b) 的计算中，第一步正确的是 （ C ）．
当“第 一(或二)数”是一分 数或是数与字母的乘 积时, 要用括号把这个数 整个括起来， 再平方; 最后的结果 又要去掉括号。
注意
例2：利用平方差公式计算下列各题。
1 1 1 2 1 2 2 1. ( x y )( x y ) ( x ) y x y2 16 4 4 4 2. (ab 8)(ab 8) (ab) 2 64 a 2b 2 64
同底数幂的除法法则: 不变，指数____ 相减 。 同底数幂相除，底数____
a a ＝a
m n
mn
(a 0，m，n都是正整数,且m＞n)
①任何不等于０的数的０次幂等于１． ② 任何不等于０的数的-ｎ(n是正整数) 次幂,等于这个数的n次幂的倒数.
单项式乘以单项式法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母的幂分别 相乘，对于只在一个单项式中 出现的字母，则连同它的指数 一起作为积的一个因式。
3.
(m n)(m n) 3n m n 3n m 2n
2
2 2 2
2
2
例3 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) 2 2 =(3x) －2 2－b2 =(2 a ) 2 =9x －4； =4a2－b2. (3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
A． ( x b)2 ( y a)2 B．( x y )(a b )
2 2 2 2
C． ( x a) ( y b)
2
2
2 2 ( x b ) ( y a ) D．
1)(x 1)(x 1)(x 1) 的结果是（ D ）． 8 8 A． x 8 1 B．x 4 1 C．( x 1) D．x 1 2 2 2 (abc 1)(abc 1)(a b c 1) 的结果是（B ）． 10． 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 A． a b c 1 B． 1 a b c C． 1 a b c D．1 a b c
通过本节课的学习， 请谈谈你的收获？
9．计算 ( x
4 2
做一做
比 一 比 看 谁 能 行
11、计算
1 1 (1) (2a b)( b 2a) 3 3 (2) (2m 3n)(2m 3n) (3m 2n)(3m 2n) (3) (a 2 b)(a 2 b) (a) 2 (a 2 ) 4 2 16 4 (4) ( x )(x )(x ) 5 25 5 (5) (a 2b 3c)(a 2b 3c) 1 1 2 4 (6) (2 x 1)(2 x 1)(4 x 1)(x ) 16 16 2 4 8 64 (7) (2 1)(2 1)(2 1)(2 1) (2 1) 1
观察 & 发现
观察以上算 式及其运算结果， 你发现了什么规律？ 用式子表示，即：
(a+b)(a−b)=
a2−b2.
两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方的差.
平方差公式： (a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
单项式乘以多项式法则：
单项式与多项式相乘,就是用单项 式去乘多项式的每一项,再把所得 的积相加.
m(a+b+c) =ma+mb+mc
多项式乘以多项式法则：
多项式与多项式相乘,先用一个 多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项,再把所得的积相加.
( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+an+bm+bn
• (a+b)(a−b)=a2−b2
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内的第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
平方差公式
特征 结构
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 公式右边是这两个数的平方差；
即右边是左边括号内的第一项的平方 减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数， 也可以是代数式．
做一做
比 一 比 看 谁 能 行
1、下列各式能用平方差公式计算的是：（ B ） (2a 3b)(3b 2a) B． (2a 3b)(2a 3b) A． (2a 3b)(3b 2a) D．(2a 3b)(3a 2b) C． 2．下列式子中，不成立的是：（ B ） 2 2 A． ( x y z)(x y z) ( x y) z 2 2 B． ( x y z)(x y z) x ( y z) 2 2 C． ( x y z)(x y z) ( x z) y 2 2 D． ( x y z)(x y z) x ( y z) 2 2 4 4 3． (3x 4 y )(.....) 16y 9x ，括号内应填入下 式中的（ A ）． 2 2 2 2 2 2 2 2 A． 4 y 3x C． 3x 4 y D． 3x 4 y 3x 4 y B．
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 计算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ； =x2−9 ;=x2−32 ;
=1−4a2 ; =12−(2a)2 ; (2) (1+2a)(1−2a) ；
用自己的语 言叙述你的 发现。
(3) (x+4y)(x−4y) =x2−16y2 ;=x2−(4y)2 ; (4) (y+5z)(y−5z) =y2−25z2 =y2−(5z)2 .
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
第一数a 第二数b 平方 平方
解: (1) (5 5 +6x)(5 5 −6 6x x)= 52 − ( 6x)2 (2) (x +2 2y y) (x−2 2y y) = x2 − ( 2y ) 2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n )(− m −n ) n n − m = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 . =25 − 36x2 ;