江西省九校2021年高三联考试卷理数试卷
江西省高三联考理数试卷
0,
1 3
B．
1 3
,
5 3
C．
3 2
,
5 3
D．
0,
1 3
3 2
,
5 3
10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具。
据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类
利用自然和改造自然的象征。如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 A(3，－3 3 )出发，沿圆周
11
，再向右移动
个单位长度
2
24
C．向左移动 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
24
D．向左移动
个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1
24
2
9.
已知函数
f
x
sin
x
2
2
sin
cos
x
（
0
，
R
）在
,
3 2
上单调递增，
则 的取值范围是( )
A．
江西省高三上学期联考数学（理）试卷
（宜春中学 樟树中学 万载中学 ）
宜江 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 M {x | y 3 x 2} ， N {x | 3 x 1} ，且全集是实数集 R ，则 CRM N 等于
的值为(
)
江西省联考数学（理科）试卷 第 1 页 共 6 页
A． 7 10
7
B．
10
江西省九校联考数学试卷及答案
第2题 省九校2021—2021第一次联考数 学 试 卷说明：本卷共六个大题，25小题，全卷总分值120分，考试时间120分钟。
一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．以下方程是关于x 的一元二次方程的是 【 】A ．20x =B ．x (x －1) =2xC ．21x x =D ．22(1)1x -= 2．图中圆与圆之间不同的位置关系有 【 】A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种3．下面四扑克牌中，图案属于中心对称图形的是 【 】4．以下事件中，发生的概率为0的是 【 】A ．今天考试王欢能得总分值B ．购置一彩票,中奖C ．明天会下大雨D ．鸡蛋里挑骨头5．以下二次根式中，化简后被开方数与2的被开方数一样的是 【 】A ．21 B ．22 C ．20 D ．2.0 6．某商场2021年的销售利润为a ，预计以后每年比上一年增长b %，那么2021年该商场的销售利润y 等于 【 】A ．2(1)a b +B ．2(1%)a b +C ．2(%)a a b +÷D ．2a ab +7．如果事件A 发生的概率是1100，那么在一样条件下重复试验，以下述中，正确的选项是【 】 A ．说明做100次这种试验，事件A 必发生1次B ．说明事件A 发生的频率是1100C ．说明做100次这种试验中，前99次事件A 没发生，后1次事件A 才发生D ．说明做100次这种试验，事件A 可能发生1次8．以下函数中，其图象与x 轴有两个交点的是 【 】A ．y ＝8(x +2021)2+2021B ．y ＝8(x -2021)2+2021C ．y ＝-8(x -2021)2-2021D ．y ＝-8(x +2021)2+2021二、填空题 (本大共8小题，每题3分，共24分)Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．A 第16题 O CB 9．化简：188-=．10．将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是．11．在下面(Ⅰ)、(Ⅱ)两题中任选一题，假设两题都做按第(Ⅰ)题计分：(Ⅰ) ．计算：10.033⨯=． (Ⅱ) ．用计算器计算：10.33⨯≈(保存三位有效数字) ． 12．写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：．13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地等完全一样．小刚通过屡次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和40%，那么布袋中白色球的个数很可能是个．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1关于点E 成中心对称，那么E 点坐标是〔 ， 〕．15．如图，某房间一角〔AC ⊥BC 〕放有一直径为m 的圆桌〔桌面紧贴AC 、BC 两边〕,那么图中阴影局部的面积是．16．如图，Rt △ABC 中∠C =90°、∠A =30°，在AC 边上取点O 画圆使⊙O 经过A 、B 两点，以下结论正确的序号是(多填或错填得0分,少填酌情给分) ．①AO =2CO ；②AO =BC ； ③以O 为圆心，以OC 为半径的圆与AB 相切； ④延长BC 交⊙O 与D ，那么A 、B 、D 是⊙O 的三等分点．三、(本大题共3小题,第17题6分，第18、19均为7分，共20分〕17．用配方法解方程：2610x x -+=18．化简：25.0－〔23＋32〕〔23－32〕＋2)22(－ 19．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，连接BD 、DF 、FB ，〔1〕设△BDF 的面积为S 1，正六边形ABCDEF 的面积为S 2 ，那么S 1与S 2的数量关系是 ；〔2〕△ABF 通过旋转可与△CBD 重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．四、〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕20．某商店设置了如下促销活动：如果购置该店的商品100元以上，就有一次摸奖时机，摸奖箱里有三个标号分别为A 、B 、C 的质地、大小都一样的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再第14题 第19题 D E F A O C A B第15题摸出一个小球，又记下小球的标号．商店规定：假设两次摸出的小球的标号都是B 那么为一等奖，而两次摸出的小球的标号只要不一样就为二等奖．请你用画树形图或列表的方法，分别求出摸一次奖获一、二等奖的概率．21．每逢佳节，同学之间都喜欢发信息相互祝贺，2021年元旦，某学习小组共有假设干名同学，每位同学给组其他所有同学都发过(或回复)一条信息，经统计后可知，共发信息380条，问该小组共有多少名同学. 五、〔本大题共2小题，第22题8分，第23题9分，共17分〕22．如图，等腰直角△ABC 和等边△AEF 都是半径为R 的圆的接三角形．〔1〕求AF 的长；〔2〕通过对△ABC 和△AEF 的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想． 23．某校甲、乙两同学对关于x 的方程：－23(1)0x m -+=进展探究，其结果：甲同学发现，当m =0时，方程的两根都为1，当m ＞0时，方程有两个不相等的实数根；乙同学发现，无论m 取什么正实数时都不能使方程的两根之和为零．〔1〕请找一个m 的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数，并求这两个根；〔2〕乙同学发现的结论是否正确.试证明之．六、〔本大题共2小题，第24题9分，第25题10分，共19分〕24．抛物线m ：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在左)，与y 轴交于点C ，顶〔1〕根据表中的各对对应值，请写出三条．．与上述抛物线m 有关〔不能直接出现表中各对对应值〕的不同类型的正确结论；〔2〕假设将抛物线m ，绕原点O 顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n 的解析式,并在坐标系中画出抛物线m 、n 的草图；〔3〕假设抛物线n 的顶点为N ，与x 轴的交点为E 、F 〔点E 、 F 分别与点A 、B 对应〕，试问四边形NFMB 是何种特殊四边形.25．如图，∠xoy =90°，线段AB =10，假设点A 在oy 上滑动，〔A 、B 与O 不重合〕，Rt △AOB 的切⊙K P ．〔1〕在上述变化过程中：Rt △AOB 的周长，⊙K 中不会发生变化的是什么.并简要说明理由；〔2〕当AE =4时，求⊙K 的半径r ；〔3〕当Rt △AOB 的面积为S ，AE 为x ，试求：S 与间的函数关系，并求出S 最大时直角边OA 一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕 1．A ，2．B ，3．B ，4．D ， 5.A ，6.B ，7．D ， 8．D xEA B C二、填空题 (本大共8小题,每题3分,共24分)9．2，10．y ＝2x 2-111．( 在下面(Ⅰ)、(Ⅱ)两题中任选一题，假设两题都做按第(Ⅰ)题计分)(Ⅰ) 0.1 ，(Ⅱ) 0.183，12．如：2x +2x+1=0 13．20 ，14．〔－3 ，－1〕 15．1-16．(多填或错填得0分,少填酌情给分)①③④三、(本大题共3小题,第17题6分，第18、19均为7分，共20分〕.17．解：26980x x -+-=2(3)8x -= …………………3分 1322x =+，2322x =-…………………………6分18．〔1〕S 1=21S 2 …………………3分 〔2〕旋转中心为O ，绕0点逆时针最少旋转120°〔或绕0点顺时针最少旋转240°〕……………7分19．解:原式=2+6+2-2………………………………………4分=8………………………………………………7分四、〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕20．解：由题意列表得第一次第二次 AB C A 〔A ，A 〕〔A ，B 〕 〔A ，C 〕 B 〔B ，A 〕〔B ，B 〕 〔B ，C 〕 C〔C ，A 〕 〔C ，B 〕 〔C ，C 〕 P 〔一等奖〕=19；……………………………………………5分 P 〔二等奖〕=6293=…………………………………………8分 21．解:设小组共有x 名同学,得: x (x －1)=380………………………………………………5分1x =20，或2x =－19(不合,舍去).答:小组共有20名同学………………………………………8分五、〔本大题共2小题，第22题8分，第23题9分，共17分〕22．解〔1〕连结OF ，过O 作OG ⊥AF 于G ，OF =R ，又∵△AEF 为等边三角形，∠AOF =120°，∠GOF =60°，GF =32R ， 那么AF=3R..........3分(2)ABC AEF S S <,4πAB =2R ，AC R ，2ABC S R =…………………………5分132AEF SOG AF =⨯,12OG R =, 2233344AEF S R R R ==>∴ABC AEF S S <……………………………………………………8分23．解：〔1〕23(1)x m --=- 即2(1)3m x -=， 如取m =27，3m =9，代入解得1x =4，22x =-.…………………………4分 〔答案不唯一，m 为任意完全平方数的3倍〕〔2〕乙同学的结论正确.∵当m ＞0，2(1)3m x -=，1x =±分∵112+-=，〔用根与系数的关系做也可〕 即：当m 为任何正数时都两根和为2，∴乙同学结论正确.…………………………………………………………9分六、〔本大题共2小题，第24题9分，第25题10分，共19分〕24．解：〔1〕答案不唯一，只要合理均可．例如：①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为x =1；③与x 轴的交点A 坐标为(－1，0)；④当x = 4时，对应的函数值y 为5；⑤a =1，b=－2，c=－3或抛物线的解析式为：223y x x =--⑥抛物线的顶点M 〔1，-4〕等.…………………………………3分〔2〕抛物线m ，n 如图1所示，………………………………………4分并易得A 〔-1，0〕，B 〔3，0〕，C 〔0，-3〕，那么可求得抛物线m 的解析式为：223y x x =--，M 〔1，-4〕抛物线n 的顶点是N 〔－1，4〕，E 〔1，0〕，F 〔－3，0〕， (5)分解析式为：2(1)4y x =-++ 即：223y x x =--+ …………………7分 〔3〕如图2，四边形NFMB 是平行四边形， ……………………………………8分理由: ∵N 与M 关于原点中心对称,∴原点O 是NM 的中点,同理,原点O 也是FB 的中点.故四边形NFMB 是平行四边形.…………………………………9分25．解：〔1〕不会发生变化的是△AOB 的外接圆半径，∵ ∠O =90°， ∴AB 是△AOB 的外接圆的直径AB 的长不变，即△AOB 的外接圆半径不变……………………3分〔2〕设⊙K 的半径为r ，⊙K 与Rt△AOB 相切于E 、F 、P ，连EK 、KF ∴∠KEO =∠OFK =∠C =90°， ∴四边形EOFK 是矩形，又OE =OF ∴四边形EOFK 是正方形，………………………………………5分∴OE =OF =r ，AE =AP =4，∴PB =BF =6， ∴22(4)(6)100r r +++= r =-12〔不合〕 r =2…………………………………………7分 〔3〕设AO =b ，OB =a ，⊙K 与Rt △AOB 三边相切于E 、F 、P ，∴102()101022a b OE r b x a b x a b +-==⇒-+=+⇒-=- 12S ab = ， ∴2ab S =， 22210a b += ∴21004041004x x S -+=-∴210S x x =-+……………………………………………………9分另一解法：22()(10)100x r x r ++-+=，∴221010r r x x +=-+ S =12·r 〔OA +OB +AB 〕=12r (r +x +10-x +r +10)= 12r (20+2r )= 210r r + ∴S=210r r +=210x x -+)又∵210S x x =-+=2(5)x --+25∵当x =5时，S 最大，即AE =BF =5，∴OA=分。
2021届江西省高三5月联考数学(理)试题(解析版)
2021届江西省高三5月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}13B x x =<≤，则AB =（ ）A ．(]1,2B ．[]0,3C ．[]0,2D ．()0,3【答案】B【分析】根据一元二次不等式解法，先求出集合A ，再根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为{}02A x x =≤≤，{}13B x x =<≤，所以{}03A B x x ⋃=≤≤． 故选：B.2．设复数z 满足()22z i i +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得结论.【详解】因为()()()2223434222555i ii z i i i i ---====-++-， 所以z 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D.3．在ABC 中，BC =3AC =，1cos 3A =，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．92【答案】A【分析】先根据余弦定理求出边AB ，进而求得ABC 的面积.【详解】因为BC 3AC =，1cos 3A =， 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 所以2280AB AB --=，所以4AB =.又因为1cos 3A =，(0,)A π∈，所以sin A =，所以11sin 4322ABCSAB AC A =⋅⋅=⨯⨯=4．生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某人侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =，80T =.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ln 20.69≈，ln 3 1.10≈）（ ） A ．6.9天 B ．11.0天C ．13.8天D ．22.0天【答案】C 【分析】根据1TQ λ=+，9Q =，80T =，求得λ，进而得到()ln K n n λ=求解. 【详解】因为1TQ λ=+，9Q =，80T =，所以8091λ=+，解得10λ=.设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K ， 则()21442213.80K K ln n lnn ln ln λλλ-=-==≈天. 故选：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为（ ）A ．82B 22C 2D 32【分析】由三视图知：该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，再确定最长棱与最短棱所在直线夹角求解.【详解】该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5.计算可得最长棱52PB=，最短棱3AB=.所以最长棱与最短棱所在直线夹角为ABP∠，因为AB PA⊥，所以32 cos10ABABPPB∠==，即最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为32 10.故选：D6．家庭开支是指一般生活开支的人均细分，如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B．小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C．小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D．小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%【分析】结合扇形统计图对每个选项分析即可.【详解】因为小王家房贷每年的还款数额相同，设为a ，则2017年总收入为53a ，2020年总收入为52a . 因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了56a ，即增加了50%，所以A 错误； 因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为110a 和310a ，所以B 错误；因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为512a 和58a ，明显增加，所以C 正确；因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D 错误. 故选：C.7．已知非零向量,a b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A ．45B ．135C ．60D ．120【答案】B【分析】由垂直关系可知()()320a b a b -⋅+=，由数量积的运算律可求得2cos ,2a b <>=-，由此可确定所求夹角. 【详解】()()32a b a b -⊥+，()()320a b a b ∴-⋅+=，即2222323cos ,20a a b b a a b a b b -⋅-=-⋅<>-=，又2b a =且0a ≠，2222232cos ,42cos ,0a a a b a a a a b ∴-<>-=--<>=，2cos ,2a b ∴<>=-，又[],0,a b π<>∈，43,a b π∴<>=，即,135a b <>=.故选：B.8．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）A ．3727cm 4π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．3936cm 4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的条件减去正方体遮住圆柱的部分求解.【详解】由图可知，组合体的体积为：2223341333322V ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3727cm 4π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 故选：A9．把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则（ ） A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】D【分析】根据三角函数的平移变换可得()22sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数2sin 2y x =图象向左平移3π个单位长度得到22sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再向上平移1个单位长度可得到()22sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A 错误. 22T ππ==，故B 错误； 令22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,122k x k ππ=-+∈Z ， 当0k =时，12x π=-；当1k =时，512x π=，故C 错误. 令23222,232k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ， 5,1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确. 故选：D. 10．已知()()()()20212202101220212111x a a x a x a x -=+++++++，则0122021a a a a ++++=（ ）A ．40422B ．1C ．20212D ．0【答案】A【分析】令1t x =+，可得1x t =-，可得出()20212202101220213t a a t a t a t -=++++，利用展开式通项可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后令1t =-可得出0122021a a a a ++++的值.【详解】令1t x =+，可得1x t =-，则()()20212021220210122021213t t a a t a t a t --=-=++++⎡⎤⎣⎦，二项式()20213t -的展开式通项为()2021120213rr rr T C t -+=⋅⋅-，则()2021202131rrr r a C -=⋅⋅-.当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >， 因此，()2021404201220210122021312a a a a a a a a ++++=-+--=+=.故选：A.【点睛】结论点睛：一般地，若()2012n n f x a a x a x a x =++++.（1）()00a f =；（2）展开式各项系数和为()0121n f a a a a =++++；（3）奇数项系数之和为()()024112f f a a a +-+++=；（4）偶数项系数之和为()()135112f f a a a --+++=.11．若函数()ln xf x xe x x a =---存在零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．[)1,+∞C ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】函数()ln xf x xe x x a =---存在零点，即ln x xe x x a =++有根，构造同构的形式，利用换元法转化为t a e t =-，利用导数研究函数()ty e t t R =∈-的值域即可.【详解】函数()ln xf x xe x x a =---存在零点，即ln x xe x x a =++有根.因为ln x x x xe e +=，所以ln ln x x e x x a +=++有根. 设ln t x x =+，则t e t a =+，即()ta e t t R =∈-令()ty e t t R =∈-，则1t y e '=-，当0x >时，0y '>，所以t y e t =-在()0+∞，上单增； 当0x <时，0y '<，所以t y e t =-在()0-∞，上单减； 所以当=0x 时，y 有最小值1. 要使t a e t =-有解，只需1a ≥. 故选：B.【点睛】利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，12．已知斜率为k 的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于,A B 两点，抛物线C 的准线上一点()1,1M --满足0MA MB ⋅=，则AB =（ ）A．B．C ．5 D ．6【答案】C【分析】先求出抛物线的方程，得到焦点坐标.设直线l ：()1y k x =-，用点差法表示出AB 的中点为()00,Q x y ，利用半径相等得到：2ABQM =,解出k ，即可求出AB . 【详解】由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为()1,0F . 因为直线l 过抛物线的焦点()1,0F ， 所以直线l 的方程为()1y k x =-. 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上.设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=. 因为点()00,Q x y 在直线l 上， 所以0221x k =+，所以点2221,Q k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222AB x x x r k+++====+， 因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，所以弦长2222222254AB r k ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】处理直线与二次曲线相交的问题：（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决大部分直线与二次曲线相交的问题；（2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理.二、填空题 13．若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________. 【答案】45【分析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【详解】因为12tan α=， 所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++. 故答案为：4514．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，()()23f x f x +=恒成立，且当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则()7f =______.【答案】54【分析】由已知条件可得()()3731f f =，求出()1f 即可得到答案；【详解】因为()()23f x f x +=，所以()()()()23735333154f f f f ====.故答案为：54.15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为_______.【答案】564【分析】先利用几何概型得到投到各分值的概率，再由分值之和为2的概率为()()()()()()20221311p p p p p p p =⋅+-⋅+⋅求解.【详解】由图可知，()114p -=，()128p -=，()138p -=， ()104p =，()118p =，()1216p =，()1316p =，所以两次投中分值之和为2的概率为：()()()()()()20221311p p p p p p p =⋅+-⋅+⋅，1111115221641648864=⨯⨯+⨯⨯+⨯=. 故答案为：564三、双空题16．已知双曲线()2212:104x y C b b-=>的右焦点为F ，其一条渐近线的方程为520x y -=，点P 为双曲线1C 与圆()()2222:30C x y r r ++=>的一个交点，若4PF =，则双曲线1C 的离心率为______；r =_________.【答案】328 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得b 的值，求出c 的值，可得出双曲线的离心率的值，利用双曲线的定义可求得r 的值.【详解】设2F 为双曲线2212:14x y C b-=的左焦点，因为2a =20y -=，所以b =3c ==， 故离心率为32c e a ==； 圆2C 的圆心为双曲线1C 的左焦点，设双曲线1C 的左焦点为2F ，因为4PF a c =<+，所以P 在双曲线的右支上，由224PF PF a -==，得28r PF ==.故答案为：32；8. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足()*11n n a S n N +=+∈.（1）求n S ；（2）记11n nn n n S S b S S ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n -；（2）11121n +--.【分析】（1）由()*11n n a S n N +=+∈，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）由（1）得到1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求解. 【详解】（1）当2n ≥时，11n n a S -=+，所以11n n n n n a a S S a ---=-=，即()122n n a a n -=≥， 在11n n a S +=+中，令1n =，可得211a a =+. 因为11a =， 所以212a a =，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 其通项公式为12n n a -=， 所以1121nn n S a +=-=-. （2）因为111111112121n n n n n n n n n S S b S S S S ++++-==-=---，所以11111113372121n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11121n +=--【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法（1）公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． （4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．18．2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量y （单位：万只）与相应年份代码x 的数据如下表：（1）由表可知y 与x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2:3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入一山羊的养殖成本） 参考公式及数据：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()1122211n nii iii i nni iii x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）ˆ29y x =+；（2）8800万元.【分析】（1）先求得x ，y ，再利用公式求得ˆb，ˆa ，然后写出回归方程;. （2）由回归方程得到2022年羊的数量，再由频率估计概率，分别求得甲品和乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望，然后再分别求得每只甲品种和乙品种山羊利润的期望，即可得到山羊所获利润的期望. 【详解】（1）因为123456 3.56x +++++==，111316152021166y +++++==，所以()()()()()()()()2222222.55 1.530.500.51 1.54 2.5535ˆ217.52.5 1.50.50.5 1.5 2.5b -⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++，可得ˆ162 3.59a=-⨯=.所以y 与x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+. （2）由()1可知，当8x =时，可得ˆ25y =， 其中甲品种山羊有225105⨯=万只，乙品种山羊有325155⨯=万只. 由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1， 所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.270.3580.3590.17.35⨯+⨯+⨯+⨯=（月）.由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2， 所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.170.380.490.27.7⨯+⨯+⨯+⨯=（月）.养殖每只甲品种山羊利润的期望为25007.3530025002205295-⨯=-=（元）， 养殖每只乙品种山羊利润的期望为27007.730027002310390-⨯=-=（元）， 故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10295153908800⨯+⨯=（万元）. 【点睛】方法点睛：(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X 的均值为E (X )，则对应随机变量aX ＋b 的均值是aE (X )＋b ，方差为a 2D (X )．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC .（2）若113CP CC =，求二面角1P A B A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）513.【分析】(1) 在1A AC 和1A BC 中，利用勾股定理可得1AC AC ⊥，1AC BC ⊥，再根据面面垂直的判定定理证明即可；(2) 以C 为坐标原点建系，分别求出平面1PA B 的法向量n 和平面1A AB 的法向量m ，再计算法向量夹角余弦值，即可求出二面角1P A B A --的余弦值.【详解】(1)证明：如图，连接1AC ，在1A AC 中，12A A =，1AC =，160AAC ∠=︒， 由余弦定理，得222111112cos 4122132AC AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =，所以22211AC AC A A +=， 所以1AC AC ⊥，同理1AC BC ⊥，又BC AC C ⋂=，,AC BC ⊂平面ABC , 所以1AC ⊥平面ABC ,又1AC ⊂平面11A ACC ， 所以平面ABC ⊥平面11A ACC .(2)解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则(1,0,0)A ，13(2B -，(0,0,0)C ，13)A ，13(3P -， 所以1(13)AA =-，33(2AB =-，113(,3)22A B =--，1123(,0,33A P =--.设平面1A AB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111130,33·0,22m AA x z m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令11z =，得(3,3,1)m =.设平面1PA B 的法向量为222(,,)n x y z =，则12221221·0,221·0,33n AB x y n A P x z ⎧=-+-=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩令21z =，得(n =-， 所以65cos ,13||||13m n m n m n ⋅-<>===-⋅.由图可知，二面角1P A B A --为锐角， 所以二面角1P A B A --的余弦值为513. 【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程.（2）直线l （斜率不为0）经过F 点，与椭圆E 交于,A B 两点，问x 轴上是否存在一定点P ，使得||||||||PA AF PB BF =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，()5,0P 或()4,0P . 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）假设存在点P 符合题意，先验证P 与F 重合时，显然符合题意；当P 与F 不重合时，设(),0P t ，设直线l 的方程为1x my =+，用“设而不求法”求出4t =即可.【详解】（1）因为12c e a ==，所以2a c =， 因为椭圆上的点离右焦点F 的最短距离为1a c -=， 所以2a =，1c =，b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P 符合题意.当P 与F 重合时，显然符合题意，此时()5,0P ；当P 与F 不重合时，设(),0P t ，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程组221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩得()2234690m y my ++-=， 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 因为||||||||PA AF PB BF =， 所以PF 为APB ∠的角平分线，所以12120PA PB y yk k x t x t+=+=--， 即()()12210y x t y x t -+-=， 整理得()()1212210my y t y y +-+=， 即()22962103434m m t m m ⎛⎫⎛⎫⋅-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 解得4t =，故存在()4,0P 满足题意.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.21．已知函数()()212ln 2f x a x x x =-+. （1）若12a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个极值点为12 ,x x ，且221x e x >，不等式()()()221212f x f x b x x ->-恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）32y x =-；（2）242112e e ⎪-+∞-⎡⎫⎢⎣⎭，.【分析】（1）直接求切线斜率及切线方程即可；（2）先由极值点12 ,x x 得到1212 =2,=2x x a x x a +，把不等式()()()221212f x f x b x x ->-可化为1212ln ln 12x x b x x -<+-，令()221x t e x t =>，定义()()22ln =1t t t t e t ϕ>-利用导数讨论()t ϕ单调性，求出最大值即可. 【详解】（1）当1a =-时，()21ln 2f x x x x =-+，()11f x x x '=-+. 因为()1111=1f '=-+，()11101=22f =-+-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为112y x +=-，即32y x =-. （2）()()2122210x ax a f x a x x x x -+⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭，因为()f x 有两个极值点为12 ,x x ，所以关于x 的方程222=0x ax a -+有两正根12 ,x x ， 且21212=20,=20,480x x a x x a a a +>>∆=->，解得：2a >. 由21122=0x ax a -+可得：211=22x ax a -，同理：222=22x ax a -，所以不等式()()()221212f x f x b x x ->-可化为：()()22221121212212ln 2x a x x x x b x x x -⎪⎛⎫-++>- ⎝⎭，把12 =2x x a +代入，则有：()()()222211212121221ln 2x x x x x x x b x x x ⎛⎫+-++> --⎪⎝⎭ 因为120,0x x >>，且221x e x >，所以21x x >，所以上式可化为： 11212211ln 2x x x b x x x ⎛⎫-++< ⎪-⎝⎭，即1212ln ln 12x x b x x -<+- 只需1212maxln ln 12x x b x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭ 因为1212=2,=2x x a x x a +，所以2122121121211221211212lnln ln ln ln ln ln ===x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------+-令()221x t e x t =>，则21212211212lnln ln ln ==1x x x x t tx x x x t x x ----， 记()()22ln =1t t t t e t ϕ>-，则()()()222212=ln 111t t t t t ϕ-+⎛⎫'-+ ⎪+⎝⎭-， 设()()222ln 11mt t e t t ->+=+，则()()()()22222114011t t t t t t m t '--=>++=，所以()22ln 11t t m t -+=+单增，当2t e >时，有()()242101mt e m e +>=>+，则()()()()2221=01t t m t tϕ-+'<-，所以()()22ln =1t t t t e t ϕ>-单减，()()2242<=1e t e e ϕϕ-，即241221e b e +≥- 所以242112e b e ≥--，所以b 的范围是242112e e ⎪-+∞-⎡⎫⎢⎣⎭，. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为112x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212sin 3ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）已知点()1,1P -，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +. 【答案】（1）22143x y +=，210x y +-=；（2【分析】（1）由112x t y t =-⎧⎨=-+⎩，消去t 即可得到直线l 的普通方程；由22123sin ρθ=+，化为222312sin ρθρ+=，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入求解；（2）将直线l 的参数方程化为标准的参数方程，与223412x y +=联立，再利用参数的几何意义求解. 【详解】（1）由112x ty t=-⎧⎨=-+⎩，得210x y +-=，即直线l 的普通方程为210x y +-=.由22123sin ρθ=+，得222312sin ρθρ+=. 因为sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以223412x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.（2）直线l 的参数方程为1,12x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），化为标准形式1,15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入223412x y +=，得219250t --=. 设,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1219t t +=，1225019t t =-<. 可知12,t t 异号，所以1212212||||11||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t -+++===. 因为12 ||19t t -==，所以11||||25PA PB +=.【点睛】关键点点睛：利用直线参数的几何意义求解问题，将直线的方程化为标准的参数方程.是关键.23．已知函数()()|2|||0f x x t x t t =--+>.（1）当1t =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()2t f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，81t M t t +=+-，求M 的最小值. 【答案】（1）(],0-∞；（2）8.【分析】（1）由1t =得到()|2||1|f x x x =--+，然后分 1x <-，12x -≤≤，2x >利用绝对值的几何意义求解；（2）由()2 t f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，转化为()2max t f x ≥，求得t 的范围，然后利用基本不等式求解；【详解】（1）当1t =时，()|2||1|f x x x =--+.当1x <-时，2131x x -+++=≥恒成立，所以1x <-； 当12x -≤≤时，由211x x -+--≥，得0x ≤，所以10x -≤≤；当2x >时，211x x ---≥不成立.所以不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.（2）因为()2t f x ≥对任意的x ∈R 恒成立， 所以()2max t f x ≥. 因为()|2||||2|3||f x x t x t x t x t t =--+≤---=，所以23||t t ≥.因为0t >， 所以3t ≥.89122811t M t t t t +=+=-++≥=--， 当且仅当911t t -=-，即4t =时取等号. 所以M 的最小值为8.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方。
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题Word版含答案
2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
高三试卷数学(理)-江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学(理)试卷及参考答案
2021届高三第二次江西名校联考理科数学一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z ＝i （1-i ）（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为A ．-1B ．1C ．-i D ．i2．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x-6≤0}，B ＝{x|y ＝ln （x ＋1）}，则A∩B 中的元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52°，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：3cos525︒≈）A ．13B ．23C ．34D ．254．双曲线22212x y b-=的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为A ．2B ．C ．4D ．5．函数f （x ）＝e 2x -sinx 的图象在点（0，f （0））处的切线方程为A ．y ＝x-1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x-1D ．y ＝x ＋16．若（1＋x ）（1-2x ）2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则a 1＋a 2＋…＋a 2021＝A ．0B ．2C ．-1D ．17．以下四组不等式中正确的是A ．log2.8e ＞ln2.8B ．0.40.2＜0.30.2C ．e π＞πe D >8．如图是函数f （x ）＝Acos （2x ＋φ）（A ＞0，0≤φ≤π）图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b]，若f （x 1）＝f （x 2），有()12f x x +=A ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数B ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭@上是减函数C ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数9．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则△AOB （O为坐标原点）的面积为A ．32B．2C ．3D．10．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，设()112nn n a b n -=+，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＜t 对任意n ∈N *恒成立，则实数t 的最小值为A ．1B ．2C ．32D ．5211．在三棱锥P-ABC中，AB AC ==BAC ＝120°，PB PC ==，PA =锥的外接球的表面积为A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π12．已知函数f （x ）＝lnx ，若对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞），x 1≠x 2，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是A ．-1B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题。
江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学(理)试卷
2021届高三第二次江西名校联考理科数学一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z ＝i （1-i ）（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为 A ．-1B ．1C ．-iD ．i2．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x-6≤0}，B ＝{x|y ＝ln （x ＋1）}，则A∩B 中的元素个数为 A ．2B ．3C ．4D ．53．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52°，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：3cos525︒≈）A ．13B ．23C ．34D ．254．双曲线22212x y b-=的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为A ．2B ．．4D ．5．函数f （x ）＝e 2x-sinx 的图象在点（0，f （0））处的切线方程为 A ．y ＝x-1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x-1D ．y ＝x ＋16．若（1＋x ）（1-2x ）2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则a 1＋a 2＋…＋a 2021＝ A ．0B ．2C ．-1D ．17．以下四组不等式中正确的是A ．log 2.8e ＞ln2.8B ．0.40.2＜0.30.2C ．e π＞πeD π>8．如图是函数f （x ）＝Acos （2x ＋φ）（A ＞0，0≤φ≤π）图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b]，若f （x 1）＝f （x 2），有()12f x x +=A ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数B ．f （x ）在区间π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭@上是减函数C ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数D ．f （x ）在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数9．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则△AOB （O 为坐标原点）的面积为 A ．32B．3D．10．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，设()112nn n a b n -=+，S n 为数列{b n }的前n项和．若S n ＜t 对任意n ∈N *恒成立，则实数t 的最小值为 A ．1B ．2C ．32D ．5211．在三棱锥P-ABC中，AB AC ==BAC＝120°，PB PC ==PA =该三棱锥的外接球的表面积为A ．40πB．20πC．80πD．60π12．已知函数f （x ）＝lnx ，若对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞），x 1≠x 2，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是A ．-1B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题。
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x|x －a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1] 2.已知复数z 满足121ii z+=-(i 为虚数单位)，则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lga>lgb ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心。
某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学。
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为( ) A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图像如图所示，为了得到y ＝sinωx 的图像，只需把y ＝f(x)的图像上所有点( )A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位6.若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝x ＋4y 的最小值为( )A.26B.4C.265D.－267.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系。
2021届江西省名校高三上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)
2021届江西省名校高三上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．若复数(1)z i i =-(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A【分析】先求z ，再根据共轭复数的定义，求z 和虚部. 【详解】由(1)1z i i i =-=+，得1z i =-， 所以复数z 的虚部是-1. 故选：A .2．已知集合{}260A x x x =∈+-≤Z∣，{ln(1)}B x y x ==+∣，则A B 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】先利用一元二次不等式的解法和对数函数定义域化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】因为集合{}260{3,2,1,0,1,2}A x x x =∈+-≤=---Z ∣， {ln(1)}{1}B x y x x x ==+=>-∣∣，所以{}0,1,2AB =，故选：B.3．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为52，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（ ）(注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：3cos525︒≈)A ．13B ．23C ．34D ．25【答案】B【分析】作出图形，设O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 的中点，先证明PEO ∠是侧面与底面所成的角，再设CD a =，PE h '=，PO h =，由22232cos5252a h a h h ︒'⎧⎪==⎪⎨⎪⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩'求解. 【详解】如图所示：O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 的中点， 则,,CD PE CD PO PE PO P ⊥⊥⋂=， 所以CD ⊥平面PEO ， 所以CD EO ⊥，所以PEO ∠是侧面与底面所成的角， 则52PEO ∠=，设CD a =，PE h '=，PO h =，由题意得：22232cos5252a h a h h ︒'⎧⎪==⎪⎨⎪⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩'， 解得23h a =. 故选：B.4．双曲线22212x y b -=的两条渐近线相互垂直，则其焦距长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．2【答案】C【分析】根据双曲线方程求出双曲线的渐近线，然后根据互相垂直的两直线斜率之间的关系求出2b 的值，最后利用双曲线中,,a b c 的关系进行求解即可.【详解】双曲线22212x y b-=()0,0a b >>的渐近线方程为y x =， ∵两条渐近线互相垂直，1⎛=- ⎝，得22b =，又∵2224c a b =+=，∴2c =. ∴双曲线的焦距长为4. 故选：C. 5．函数()2sin xf x e x =-的图象在点(0, f(0))处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-D ．1y x =+【答案】D【分析】求得()22cos xf x e x '=-，得到() 01f '=，()01f =，结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意()2sin xf x ex =-，可得()22cos x f x e x '=-，可得() 0211f '=-=，()1010f =-=， 所以切线方程为()110y x -=⨯-，即1y x =+. 故选：D.6．若2020220210122021(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则122021a a a +++=（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．1【答案】D【分析】分别令0x =和1x =，即可求得122021a a a ++的值. 【详解】由2020220210122021(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01220212a a a a +++=所以1220211a a a ++=.故选：D.7．以下四组不等式中正确的是（ ） A ． 2.8log e ln 2.8> B ．0.20.20.40.3< C ．ee ππ>D ．ln 33ln ππ>【答案】C【分析】A.由 2.8log e 1<，ln2.81>判断；B.根据函数0.2y x =在()0,∞+上的单调性判断；C.由函数ln x y x =在()e,+∞上是减函数判断；，D.由函数ln xy x=在()0,e 上的单调性判断.【详解】A.因为 2.8log e 1<，而ln2.81>，故错误；B.因为函数0.2y x =在()0,∞+上是增函数，0.40.3>，∴0.20.20.40.3>，故错误；C.设函数ln x y x =，则21ln x y x -'=，当x e >时，0y '<，所以y 在()e,+∞上是减函数，所以ln e ln e ππ>，即πlne eln π>，所以e e ππ>，故正确； D.函数ln x y x =则21ln xy x-'=，当0x e <<时，0y '>，在()0,e 上是增函数，因为03e π<<<，所以ln 3ln 3ππ<，即ln 33ln ππ<，所以ln 33ln ππ<，故错误，故选：C.8．如图是函数()cos(2)f x A x =+ϕ(0,0)A ϕπ>≤≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数【答案】B【分析】（1）根据题意可得2A =，且1222x x a b ++=，从而可得a b ϕ+=-，再由()12f x x +=解得6π=ϕ，即()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即可求解.【详解】解析：由函数()cos(2)f x A x =+ϕ()0,0A ϕπ>≤≤图象的一部分， 可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， ∴12a b x x +=+.由五点法作图可得22a πϕ+=-，22b πϕ+=，∴a b ϕ+=-.再根据()12()2cos(2)2cos()f x x f a b ϕϕϕ+=+=-+=-=cos ϕ=， ∴6π=ϕ，()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2(0,)6x ππ+∈， 故()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数， 故选：B.9．已知过抛物线2y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且2AF FB =，则AOB (O 为坐标原点)的面积为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．【答案】D【分析】根据题意，设直线AB 为x my =+2AF FB =，得到122y y =-，联立方程组，得出128y y =-，进而求得12,y y 的值，结合面积公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线2y =的焦点坐标为F ， 设直线AB为x my =+()11,A x y ，()22,B x y ， 因为2AF FB =，可得122y y =-，由2y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩280y --=，所以128y y =-， 又由121282y y y y =-⎧⎨=-⎩，可得224y =，解得22y =-或22y =，当22y =-时，14y =，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-== 当22y =时，14y =-，可得1211||622AOB S OF y y ∆=⨯⨯-==故选：D.10．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若t n S <对任意n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．52【答案】C【分析】先求出{}n a 的通项，再利用裂项相消法可求n S ，结合不等式的性质可求实数t 的最小值.【详解】1n =时，12a =， 因为123232n n a a a na ++++=，所以2n ≥时，1123123(1)2n n a a a n a --++++-=，两式相减得到12n n na -=，故12,n n a n-=1n =时不适合此式，所以11,11,2(1)2(1)nn n n a b n n n n -=⎧⎪==⎨≥+⎪+⎩，当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-<⎪++⎝⎭，所以32t ≥；所以t 的最小值32； 故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.11．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【答案】A【分析】在BAC 中由余弦定理求得26BC =，即知PBC 为等边三角形，又由已知，若ABC 的外接圆的圆心为1O 有1ABO C 为菱形，则PH ⊥平面ABC ，进而确定外接球球心O ，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】在BAC 中，2222cos 24BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠=，即26BC =，又26PB PC ==，∴PBC 为等边三角形 根据题意，有如下示意图：如图，设ABC 的外接圆的圆心为1O ，连接1O C ，1O A ，1BC O A H ⋂=，连接PH. 由题意可得AH BC ⊥，且1122AH O A ==162BH BC ==. ∴由上知：PH BC ⊥且22(26)632PH =-=222PH AH PA +=，∴PH AH ⊥，由AHBC H =，PH ⊥平面ABC.设O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，连接1OO ，OP ，OC 过O 作OD PH ⊥，垂足为D ，则外接球的半径R 满足()22222111()R OO CO PH OO OD =+=-+，1A C B O ==1OD O H AH ==，代入解得1OO =210R =，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2440R ππ=. 故选：A.【点睛】关键点点睛：利用三角形的性质确定三棱锥一面的外接圆圆心，由三棱锥外接球球心与面的外接圆圆心的关系以及已知线段的长度求球体半径，即可求球体的体积. 12．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1kt t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <. 当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=.所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B .【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212lnx kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.二、填空题13．已知向量()1,a m =-，()2,3b =-，若()2a b b +⊥，则m =_____. 【答案】8【分析】先求出2a b +的坐标，再利用()20a b b +⋅=即可求解. 【详解】因为()1,a m =-，()2,3b =-， 所以2(3,6)a b m +=-；因为()2a b b +⊥ 所以()263(6)0a b b m +⋅=--=；解得：8m =. 故答案为：814．已知实数x ，y 满足约束条件102300x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____.【答案】14【分析】画出不等式组表示的可行域， 2z x y =+的几何意义为纵截距的2倍，令20x y +=，平移直线，当纵截距最大时即为z 的最大值.【详解】解析：由约束条件得到可行域如图：目标函数化为：1122y x z =-+，直线经过图中点A 时，在y 轴上的截距最大， 此时z 取得最大值， 由10230x y x y -+=⎧⎨--=⎩得到()4,5A ，所以2z x y =+的最大值为42514+⨯=. 故答案为：14.15．甲､乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a ，b 满足：x ，2a b+，y 成等差数列，则1111a b +++的最小值为_____.【答案】23【分析】由中位数和平均数的定义求x 和y ，根据等差数列的定义，得到4a b +=，再利用“1”的变形，利用基本不等式求最值. 【详解】由茎叶图可知：0x =，4y =. ∵正实数a ，b 满足：x ，a ，b ，y 成等差数列； ∴4a b x y +=+=；∴11111[(1)(1)]11611a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅+ ⎪++++⎝⎭111122261163b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭⎝. 当且仅当2a =，2b =时等号成立. 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是“1”的妙用，将1111a b +++变形为11111[(1)(1)]11611a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅+ ⎪++++⎝⎭，最后利用基本不等式求最值. 16．平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆C ：22(1)(1)2x y -+-=的一条弦，且AC BC ⊥，M 是AB 的中点.当弦AB 在圆C 上运动时，直线l ：3490x y --=上总存在P ，Q 两点，使得2PMQ π∠≥恒成立，则线段PQ 长度的取值范围是_____.【答案】[6,)+∞【分析】由点M 所在圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，要使得2PMQ π∠≥恒成立，则点M 所在的圆在以PQ 为直径的圆的内部，结合点到直线的距离公式，进而得到圆的半径的最小值.【详解】由圆C ：22(1)(1)2x y -+-=可知圆心C ()1,1因为M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥，又因为AC BC ⊥，所以三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1CM =， 即点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上， 点M 所在圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=， 要使得2PMQ π∠≥恒成立，则点M 所在的圆在以PQ 为直径的圆的内部，而P ，Q 在直线l ：3490x y --=上， 点C 到直线l ：3490x y --=的距离2d ==，所以以PQ 为直径的圆的半径的最小值为213r =+=， 所以PQ 的最小值为26r =. 故答案为：[6,)+∞.三、解答题17．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c .已知2cos26cos 202A CB +-+=. （1）求角B 的大小；（2）若b =，ABC 的面积为4，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5+【分析】（1）首先利用三角恒等变形转化为关于cos B 的一元二次方程，求角B ，（2）根据三角形面积公式和余弦定理，再结合()2222a c a c ac +=+-，求三角形的周长. 【详解】解：（1）由二倍角公式2cos26cos 202A CB +-+=. 得22cos 3cos 20B B +-=，解得1cos 2B =； 或cos 2B =-(舍去)，(0,)B π∈得3B π=.（2）由1sin 2ABCSac B ==，得5ac =. 由余弦定理22222cos ()310b a c ac B a c ac =+-=+-=，得()225a c +=.则5a c +=，所以ABC 的周长为5+【点睛】关键点点睛：解三角形时，当给出一组对边和对角时，求面积或周长时，往往使用余弦定理，并结合形如()2222a c a c ac +=+-的公式，求解.18．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率；（2）求小华同学获得总分X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率．19．已知函数2()e (2)2x x f x m m e x =++-，0m >. （1）当1m =时，求()f x 的极值；（2）当1m 时，求函数()()4xg x f x e x =-+-极大值()h m 的最小值.【答案】（1）极小值是72ln24+，无极大值（2）最小值为0. 【分析】（1）当1m =时，得到函数2()32xx f x ee x =+-，求得函数的导数，根据导数的符号，得到函数的单调区间，进而求得极值；（2）当1m 时，求得()()()121xxg x me e '=-++，得出函数()g x 单调性与极值，求得函数1()ln 1h m m m=-+-，再结合()h m '的符号，得出函数()h m 的单调性，进而求得最小值.【详解】（1）当1m =时，函数2()32xx f x e e x =+-，则()()2()232212xx x x f x ee e e '=+-=-+，+令()0f x '=，即()()2120x xe e -+=，解得1n2x =-，所以函数()f x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增. 所以()f x 的极小值是()7ln22ln24f -=+，无极大值. （2）当1m 时，由()()4xg x f x e x =-+-2e (2)x xm m e x =---+，可得()()2()2(2)1121xx x x g x mem e me e '=---+=-++，令()0g x '=，解得ln x m =-，∴()g x 在(,ln )m -∞-上单调递增，在,)ln (m -+∞上单调递减.∴()g x 的极大值1()(ln )ln 1h m g m m m=-=-+-. ∵211()0h m m m '=--<，∴1()ln 1h m m m=-+-在(0,1]上单调递减.故min ()(1)0h m h ==.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 20．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC m ===.若BSC θ∠=，CSA β∠=，ASB γ∠=，且222sin sin sin 222θβγ+=（1）证明：平面SAB ⊥平面ABC ； （2）若3πθ=，2πβ=，23πγ=，试问在线段SC 上是否存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60.若存在，请求出D 点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合锐角三角函数的定义，勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）以E 为坐标原点.平行AC 的直线为x 轴，平行BC 的直线为y 轴，ES 为z 轴建立空间直角坐标系，根据空间线面角的公式进行求解判断即可. 【详解】（1）取AB 的中点E ，连接SE ，CE ，如图，∵SA SB =，∴SE AB ⊥， 又∵2AB AE =，ASB γ∠=， ∴2sin2sin22AB SA m γγ=⋅=.同理2sin 2AC m β=，2sin2BC m θ=.∵222sinsin sin 222θβγ+=，∴222BC AC AB +=，即90ACB ︒∠=，由12CE AB =sin 2m γ=，cos cos 22SE SA m γγ==， 得2222CE SE m SC +==，∴SE CE ⊥.又∵SE AB ⊥，AB CE E ⋂=，∴SE ⊥平面ABC. 又∵SE ⊂平面SAB.∴平面SAB ⊥平面ABC.（2）以E 为坐标原点.平行AC 的直线为x 轴，平行BC 的直线为y 轴， ES 为z 轴建立空间直角坐标系，如图.不妨设2m =，则(2,1,0)A -，2,1,0)B -，(2,1,0)C ，(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，设CD CS λ=()01λ≤≤，则22,1,)D λλλ-，()2,2,BD λλλ=--设平面SAB 的一个法向量为(),,n x y z =，易求得()1,2,0n =||sin60||||n BD n BD ︒⋅=，则22222223232(2)λλλλ=+-+，得2710λλ++=，解得：735λ-±=∵0λ≥，∴不存在点D ，使直线与平面SAB 所成的夹角为60.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是垂直关系的证明及空间向量的应用.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>214⎛ ⎝⎭，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程； （2）圆2283x y +=的一条切线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求： ①AOB ∠的值； ②AB 的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）①2AOB π∠=；②. 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①设()11,A x y 、()22,B x y ，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率存在时，设切线的方程为y kx m =+，由切线与圆相切得到223880m k --=，然后将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，计算OA OB ⋅的值，在切线斜率不存在时，直接求出点A 、B 的坐标，计算OA OB ⋅的值，综合可求得结果；②对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率存在时，可得出AB 关于k 的表达式，利用基本不等式以及不等式的基本性质可得出AB 的取值范围，在直线l 的斜率不存在时，求出AB ，综合可得出AB 的取值范围.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点⎛ ⎝⎭，则2222221712c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）①设()11,A x y 、()22,B x y ，当切线斜率存在时，可设该圆的切线方程为y kx m =+，=，即223880m k --=， 联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2228x kx m ++=，即()222124280k x kmx m +++-=，则()()()22222216412288840k m kmk m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，由韦达定理可得12221224122812km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++()22222222222848121212k m k m m k m k k k --=-+=+++， 则2222212122222883880121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+==+++，所以2AOB π∠=；而当切线的斜率不存在时，切线方程为x =±切线与椭圆22184x y +=的两个交点为A ⎝⎭、B ⎝⎭或33A ⎛- ⎝⎭、33B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，满足0OA OB ⋅=，此时2AOB π∠=. 综上，2AOB π∠=；②由①知()()()()222222121212222288442844121212k m km m x x x x x x k k k-+-⎛⎫-=+-=--⨯= ⎪++⎝⎭+，||AB =====①当0k ≠时，AB =因为2214448k k ++≥=，所以221101844k k <≤++， 所以223232111213344k k ⎛⎫⎪<+≤ ⎪ ⎪++⎝⎭，AB <≤2k =±时，等号成立； 当0k =时，3AB =. 当直线l的斜率不存在时，可得A ⎝⎭、B ⎝⎭或A ⎛ ⎝⎭、B ⎛ ⎝⎭，所以此时AB =. 综上，AB的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线1l 过点()1,2P 且与直线l :2sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭平行，直线1l 与曲线1C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）4πθ=(R ρ∈)；（2【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，两个方程相减即可得两曲线交点所在直线的方程，化为极坐标方程即可； （2）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程求出斜率，即可得直线1l 的参数方程的标准形式，代入曲线1C 的普通方程得关于t 的一元二次方程，设A ，B 两点的参数为1t ，2t ，1212121111t t PA PB t t t t ++=+=即可求解. 【详解】（1）由2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，消去参数ϕ，得曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=. 所以两方程相减可得交线为y x =， 所以直线的极坐标方程为4πθ=()R ρ∈.（2）由l :2sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 1θρθ+=， ∴直线l的直角坐标方程：1x =，直线l的斜率为-1l的斜率为56π，所以直线1l的参数方程为1122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)将直线2l 的参数方程代入曲线1C ，22(2)4x y +-=中，得230t -=.设A ，B 两点的参数为1t ，2t ，∴12t t +=123t t =-，则1t ，2t 异号. ∴1212121211113t t t t PA PB t t t t +-+=+==3==.【点睛】方法点睛：将参数方程化为普通方程消参的3种方法（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；（2）利用三角恒等式消去参数； （3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数. 23．已知函数()231f x x m x =-++.（1）当1m =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）[3,0]x ∀∈-，不等式()10f x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{0x x ≤∣或2}x ≥；（2）(,5)-∞-.【分析】（1）由1m =时，得到不等式|23||1|4x x -++≥，分类讨论，即可求解； （2）把不等式(1)0f x m ++<转化为|21||2|1x m x --<++，构造函数|21|()|2|1x g x x --=++，分类讨论，结合函数单调性，求得函数的最值，即可求解.【详解】（1）当1m =时，由()4f x ≥，即|23||1|4x x -++≥，可得12314x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或3122314x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+++≥⎩或322314x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩， 解得1x ≤-或10-<≤x 或2x ≥，所以{0xx ≤∣或2}x ≥ 即不等式()4f x ≥的解集为{0xx ≤∣或2}x ≥. （2）由不等式(1)0f x m ++<，可得|21||2|1x m x --<++， 设|21|()|2|1x g x x --=++，[3,0]x ∈-. 当[3,2]x ∈--时，213()211x g x x x -==-+--+为减函数，可得min ()(2)5g x g =-=-，当(2,0]x ∈-时，217()233x g x x x -==-++为增函数，可得min ()(2)5g x g >-=-， 因为[3,0]x ∀∈-，不等式()10f x m ++<恒成立， 所以实数m 的取值范围为(,5)m ∈-∞-.。
2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷(理科)有答案
2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.9. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.610. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.311. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−112. （3分）已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)13. 已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．14. 已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．15. 过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．17. 已知等差数列{a n}为递减数列且首项a1＝5，等比数列{b n}前三项依次为a1−1，a2+2，3a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，AC＝2，BC＝CD＝，E为空间内一点，BC⊥CD，且△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若BE＝2，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19. 已知椭圆C：，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线1的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25, 30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求七月份这种饮品一天的需求量x（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n（单位：瓶）应满足什么条件？21. 已知函数．（1）讨论函数f(x)的单调区间．（2）若当a＝1时，，求证：F(x)>0．22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1，C2的普通方程；（2）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. 已知a，b，c为正数．（1）证明≥3；（2）求的最小值．参考答案与试题解析2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4.B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．9.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102故e=√10.2故选A.11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、多选题（本题共计 1 小题，共计3分）12.【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．14.【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）17.【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d即可求得a n，进而求得等比数列{b n}的首项b1与公比q，即可求得b n；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和法求得其前n项和S n即可．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．18.【答案】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）先证明△AOC为直角三角形，再证明OA⊥平面BCD，最后证明平面ABD⊥平面BCD即可；（2）建立坐标系，先求平面ABD与平面ECD面的法向量，再用夹角公式，得到夹角余弦值．【解答】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．19.【答案】由题意可知2a＝4，可得a＝7，设点A(x1, y1)，B(x7, y2)，A，B在椭圆上，所以+＝1，①+；②k AB⋅k OM＝-，所以•＝-②-①可得：-＝-，所以b2＝•a2＝×4＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；设直线l:y＝k(x−1)，，整理可得：(5+4k2)x8−8k2x+8k2−12＝0，所以x7+x2＝，x1x2＝，所以y1+y2＝k(x1+x2−2)＝，所以AB的中点M（，），假设存在点D，则MD的直线方程为：y+(x−），可得y＝，所以D(0，），|AB|＝•＝•＝；|DM|＝•|，若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，×＝，整理可得23k3+27＝0，显然无实数解，所以不存在这样的点D．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，可得X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，考虑200≤n≤500，根据300<n≤500和200≤n<300分类讨论，即可求得n的取值范围．【解答】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．21.【答案】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令m(x)＝2ln x+9(x>0)，求出函数的导数，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，根据导函数的单调性求出m(x)的单调性，求出m(x)的最小值，证明结论成立即可．【解答】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．22.【答案】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．23.【答案】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．【考点】不等式的证明【解析】（1）由基本不等式分别推得+≥2，+≥2，+≥2，再由累加法，即可得证；（2）两次运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值．【解答】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．。
江西省九校重点中学协作体2021届高三数学第一次联考试题(含解析) (5)
江西省临川一中（含实验学校）2022届高三生物最后一次模拟考试试题（含解析）1.下列最新光合细菌和四膜虫（一种单细胞动物）的说法正确的是（）A. 前者能通过叶绿体产生ATP，而后者不能B. 两者酶合成的场所是完全相同的C. 前者没有神经调节方式，而后者有D. 前者无以核膜为界限的细胞核，而后者有【答案】D【解析】【分析】原核细胞和真核细胞的比较：【详解】光合细菌是原核生物没有叶绿体，A错误；两者蛋白质酶合成的场所是完全相同的，都是在核糖体上，但是RNA酶合成场所不一样，前者主要在拟核，后者主要在细胞核，B错误；两者都没有神经调节方式，C错误；前者是原核生物无以核膜为界限的细胞核，而后者四膜虫是真核生物，有核膜包裹的细胞核，D正确；故选D。
2.通道蛋白是一类跨越细胞膜磷脂双分子层的蛋白质，没有ATP酶活性，包括水通道蛋白和离子通道蛋白两大类：肾小管、集合管对水的重吸收与水通道蛋白有关；一种离子通道只允许一种离子通过，且只有在特定刺激时才瞬间开放。
根据以上信息，结合所学知识判断，有关说法正确的是（）A. 抗利尿激素发挥作用，可能会使靶细胞膜上的水通道蛋白开启B. 物质通过通道蛋白的过程，会导致细胞内ADP含量升高C. 神经元动作电位产生的原因是K+通道开放，K+顺浓度梯度流出细胞D. 通道蛋白由游离在细胞质的核糖体合成，直接运输到细胞膜上【答案】A【解析】【分析】物质跨膜运输方式的比较：【详解】抗利尿激素促进肾小管和肾小球的对水的重吸收，其可能会使靶细胞膜上的水通道蛋白开启，A正确；通过题干信息可知，物质通过通道蛋白的过程，不需要消耗能量ATP，故不会导致细胞内ADP含量升高，B错误；神经元动作电位产生的原因是Na+通道开放，Na+顺浓度梯度流进细胞，C错误；通道蛋白由内质网上的核糖体合成，通过内质网和高尔基体的加工，再运输到细胞膜上，D错误；故选A。
3.下列有关实验研究过程或方法思路的叙述，正确的是（）A. 观察DNA、RNA在细胞中的分布，需先用质量分数8%的盐酸处理，再用健那绿染液染色B. 用于观察质壁分离与复原的紫色洋葱鳞片叶表皮细胞同样可用来观察植物细胞的有丝分裂C. 肺炎双球菌体内转化实验与噬菌体侵染细菌实验的研究思路都是设法将DNA和蛋白质分开，研究各自的效应D. 马世骏院士通过调查法等方法，研究我国蝗灾形成的过程和原因，并提出有效的防治策略【答案】D【解析】【分析】1、健那绿是专一性染线粒体的活细胞染料，能将线粒体染成蓝绿色。
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开始
i = 0，S = 1，P = 0
S = S + P ，P = t i < 4 i = i + 1，t = S
是输出S
结束
否
3图题
数学试卷（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷
的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目
要求的. 1．已知集合
21A x
x
，(2)(1)0B
x x x ，则
A B I 等于（
）
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ．(2,2)
D ．(
,2)(0,)
U 2．设(12)i x
x yi ，其中y x,是实数，
则
y i x
（）
A ．1
B ．
2
C ．3
D ．
5
3．下面框图的
S 的输出值为
（
）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．13
4．已知随机变量
X 服从正态分布2
(2,
)N 且(4)0.88P x
，
则(04)
P x
（
）
A ．0.88
B ．
0.76
C ．
0.24
D ．0.12
5．在各项不为零的等差数列
n
a 中，220172018
2019
220a a
a ，数列{}n
b 是等比数列，且2018
2018b a ，则220172019log ()b b 的值为（）A ．1
B ．2
C. 4
D ．8
6．下列命题正确的个数是（）
（1）函数2
2
cos sin y ax
ax 的最小正周期为
”的充分不必要条件是
“1a ”．
（2）设1
{1,1,,3}2
a
，则使函数a
y x 的定义域为R 且为奇函数的所有
a 的值为
1,1,3.
（3）已知函数()2ln f x x a x 在定义域上为增函数，则0a .A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
7．已知向量2
(,2),(3,1),(1,3)a
x x
b
c
r r r ，若//a b r r ，则a r 与c r
夹角为（）
A ．6
B ．
3
C ．
23
D ．
56
8．如图，网格纸上小正方形的边长为
1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中最
长的棱长为（）
A.52
B.2
4C.6D.3
49．若关于x 的不等式a x
a a
sin )6(2
无解，则a
（）A.
3
B.
2
C.2
D.3
10．若11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线2
4y
x 上不同的点，且AB
BC ，则2y 的取值范围是（
）
A ．（-,-6）[10,+)
B ．（-,-6](8,+)
C ．（-
,-5]
[8,+
)
D ．（-
,-5]
[10,+
)
11．已知动点),(y x P 满足：
24
2
32
3
x
y
y
x
x
y x ，则2
2
+4x y y 的最小值为（
）
A ．
2
B ．
24
C ．
1
D ．
2
12．已知函数()f x ＝
2
0540.
x
e
e x x x x
，，+，（e 为自然对数的底数），则函数(())
()y
f f x f x 的零点
的个数为()
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．3
)12)(1(x
x
x
x
的展开式中的常数项为
.
14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于
A 、
B 两点，BF 1交y 轴于点
C ，
若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为.
分宜中学玉山一中临川一中2018年江西省
南城一中南康中学高安中学高三联合考试
彭泽一中
泰和中学
樟树中学
15．已知矩形
ABCD 的两边长分别为3AB ，4BC
，O 是对角线BD 的中点，
E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE 折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A 的外接球的表面积是.
16．在ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b A
b a C B
，
则有如下结论：（1）1c
;（2）ABC
S
的最大值为
14
;
（3）当ABC
S
取最大值时，53
b
.
则上述说法正确的结论的序号为.
三、解答题：共
70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（本小题满分
12分）若数列
n a 是正项数列，且
n n
a a a a n
2
321，
（1）求{n a }的通项公式；（2）设214
n n
n b a a ，求数列
n b 的前n 项和n
S .
18.（本小题满分
12分）如图，在四棱锥P
ABCD 中，PB
底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC P ，
AD
AB ，且3,1PB AB AD BC .
（1）求二面角B PD A 的大小；
（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ?
若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患
.
为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，
其频率分布直方图如图所示
.
)1(求被抽测的200辆汽车的平均时速.
(2)该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段
过往车辆限速h km 60.对于超速行驶，交警部门对超速车辆
有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款
.罚款情
况如下：超速情况10%以内
10%～20% 20%～50% 50%以上罚款情况0元
100元
150元
可以并处吊销驾照
①求被抽测的
200辆汽车中超速在10%～20%的车辆数.
②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.
20．（本小题满分
12分）已知椭圆22
2
2
:
1x y C a
b
过点2,0,0,1A B 两点．
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设
P 为第三象限内一点且在椭圆
C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，
求证：四边形
ABNM 的面积为定值．
21．（本小题满分
12分）已知函数
22ln )(2
x
x x x f . (1)若函数)(x g y 的图像与)(x f 的图像关于直线
e x
对称，试求)(x g y 在零点处的切线方程
..
(2)函数
x x x f x h 2
8
17)
()(在定义域内的两极值点为
21,x x ，且21
x x ，
试比较2
21x x 与3
e 大小，并说明理由.
（二）选考题：共
10分。
请考生在
22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分
10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线
C 的极坐标方程为
2
2
sin
314，直线
l 的参数方程为
33t
y
t
x （t 为参数），
32(P ,1),直线l 与曲线C 相交与A ，B 两点.
(1)求曲线C 和直线l 的平面直角坐标方程；(2)求
PB PA
的值.
23.（本小题满分
10分）【选修4-5：不等式选讲】
设
()1
1f x x x .
（1）求
()
2f x x 的解集; （2）若不等式
1
21
()
a a f x a ，对任意实数
0a 恒成立，求实数x 的取值范围.
15图题。