11.3角平分线的性质
角平分线的性质(2)最新版
角平分线性质2
求证：
证明：
完成知识技能2：
1、认真阅读21页例题的解题过程并能独立完成。
2、思考点P在∠A的平分线上吗？你会证明吗？
3、由此说明三角形的三条角平分线有什么关系？
二、记录预习中存在的问题：
三、课堂学习：
（一）完善并整理自学内容
（二）以小组为单位合作交流自学中存在的问题
（三）汇报展示自学效果
（四）质疑与教师精讲
八年级数学导学案课题：11.3角的平分线的性质（2）
主备人：备课时间：月日学科领导签字：上课时间：月日
1分工预设
人员
分配
任务
2学情预设
3知识点：
学习目标：
1、掌握角平分线上点的判定。
2、能初步应用判定解决实际问题。
3、提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4、初步了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用。
4关键点：
5易错点
6.拓展变式
7.注意问题
8.反思提高
重点：角平分线上点的判定的证明及运用
难点：角平分线上点的判定的探究
学习过程：
一自主学习完成知识技能1：
1、阅读教材第21页思考你想怎么做？
2、操作（保留作图痕迹）：
3、从上述操作中你能发现什么结论？试加以证明：
4、结论（文字描述）：
几何语言：
已知：
（五）课堂练习课堂练习（12分钟）
1、教材22页1题：2、22页练习：
（六）课堂小结：八）课堂检测（10分钟）
1．如图ll．3—9， 且DE=CE，下列结论错误的是( )．
， ，
2．如图11．3—10，已知0为 的平分线的交点，0E_kAC于E，若0E=2
求0到AB与0到CD的距离之和．
11.3_角平分线的性质
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1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
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个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
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如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
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E
F D
B
C
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利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
11.3.2角平分线的性质和判定人教版
练习：已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
链接中考
1. 如图，OP平分∠AOB，PC 垂足为D, Ａ．> Ｂ．<
OA，垂足为C，PD OB，
A C
则PC与PD的大小关系是（ C ）
例如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：①DF=EF. ②点P在∠DFE的平分线上 证明：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
角平分线 ∴PD＝ ） PE （角的平分线上的点到角 的性质 的两边的距离相等. ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90° A ∴∠3＝∠4. D ∵在△FPD和△FPE中 3 C PD =PE F 4 P ∠3＝∠4. 1 2 PF =PF 公共边) —— ——( O B E SAS ） ∴△FPD≌△FPE（ 角平分线 全等三角形的对应边相等 即得DF=EF（ ） 的判定 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB,PD= PE ∴点P在∠DFE的平分线上(角的内部到角的两边的距离相等 ) 的点在角的平分线上。
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 图形
D O 1 2 E D O E A P C B A P B
已知条件
结论
①OP平分∠AOB ② PD⊥OA于D PE⊥OB于E
③PD=PE
C
③PD=PE ② PD⊥OA于D PE⊥OB于E
①OP平分 ∠AOB
角平分线的性质2: 角的内部到角的两边的距离相等 角平分线的判定定 的点在角的平分线上。 理
A
不是角平分线上的点 到角两边的距离 D
M C F E B N
例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F， 且BE＝CF 求证： AD是∠BAC的角平分线 分析: AD是∠BAC的平分线 ∵D是BC的中点 BE=CF ∴BD=CD ∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F， DE＝DF Rt△BDE≌Rt△CDF A ∴∠BED=∠CFD=90° ∵在Rt△BDE和Rt△CDF △BDE≌△CDF BD=CDDE=DF E BE＝CF F ？ ？ ∴△BDE≌△CDF（HL) B C D ∴DE＝DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF ∴AD是∠BAC的角平分线（角平分线的判定定理）
10 11.3 角的平分线的性质(1)
已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ,P 上一点 垂足分别是D,E D,E， PD=PE。 垂足分别是D,E，且PD=PE。 求证:OC :OC是 AOB的平分线 的平分线. 求证:OC是∠AOB的平分线. A
D O 1 2 E B P C
分析:要证明PD=PE, PD=PE,只要证 分析:要证明PD=PE,只要证 明它们所在的△OPD≌△OPB， 明它们所在的△OPD≌△OPB，而 OPD≌△OPB的条件由已知易知 △OPD≌△OPB的条件由已知易知 它满足AAS. 故结论得证。 它满足AAS. 故结论得证。
D O 1 2 E B P C
A
已知:如图,OC是 已知:如图,OC是∠AOB ,OC 的平分线,P OC上任意一点 ,P是 的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE.
D O 1 2 E B P C
已知:如图,OC是 AOB的平分线,P是OC上 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 ,OC 的平分线,P 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE. A
O
B
巩固练习
作一个平角∠AOB， 作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC，反向延长OC得到直线CD。 OC，反向延长OC得到直线CD。你能说出直线 OC得到直线CD CD与直线AB的关系吗？ CD与直线AB的关系吗？ 与直线AB的关系吗
A
· O
角的平分线的性质
EH⊥BD
∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，
∴∠BCE=∠DCE=100，
∵∠CBD=200
∴∠BDA=400
∵∠ABC=1000，∠CBD=200
∴∠ABG=800，∠ABD=800
∴∠ABG=∠ABD
∴EH=EG
可证△BEH≌△BEG（AAS）
∵CE平分∠ACB，
教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
课题
11.3角的平分线的性质
授课日期及时段
教学目标
1.角的平分线的性质
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
重点、难点
1.角平分线的性质及其应用；
2.灵活应用两个性质解决问题．
A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④
10．到三角形三边的距离相等的点是三角形（）
A．三条边上的高的交点B．三个内角平分线的交点
C．三边上的中线的交点D．以上结论都不对
C等级
11.在 中， ， 的平分线交 于 ，过 作 ， 为垂足，求证： ．
12.如图，在 中， ， 的平分线 交 与 ．求证： ．
∴ ，
∴
在 和 中
∴ (SAS)，∴ ．
例9：长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
解析：由AB=4，AE平分∠BAD可知BE=AB=CD=4．由基本图可知△BEF≌△CDE，故EF=DE
又BC=7，BE=4，故CE=3．由勾股定理可知，DE=5．从而可知EF=5．
角的平分线的 性质
D
P B
结论： 结论：到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 .
应用提高
问题 要在S区建立一个集贸市场 使它到公路、 区建立一个集贸市场， 要在 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁 路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米. 路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处 米 这个集贸市场应建于何处（比例尺为1:20000）？ 这个集贸市场应建于何处（比例尺为 ）？
11.3 角的平分线的性质
太和八中 丁文婷活动1 活动1如图， 的两边对折， 如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三 的两边对折 角形（以第一条折痕为斜边），然后展开， ），然后展开 角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？ 两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？ 你能利用所学过的说明你的结论的正确性吗？ 你能利用所学过的说明你的结论的正确性吗？
问题 对上一问题的变式思考： 对上一问题的变式思考： 如图，已知△ 的外角∠ 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 的外角 和 的平 分线相交于点F，求证： 的平分线上. 分线相交于点 ，求证：点F在∠DAE的平分线上 在 的平分线上
G
M H
交送作业：习题 交送作业：习题11.3
铁铁 公铁
S
问题 如图， 的角平分线BE、 相交于一 如图，△ABC的角平分线 、CF相交于一 的角平分线 到三边AB、 、 的距离相 点O，求证：点O到三边 、BC、CA的距离相 ，求证： 到三边 等.
提示：考虑过点 作 ⊥ 、 ⊥ 、 提示：考虑过点O作OG⊥BC、OI⊥AB、OH⊥AC， ⊥ ， 由于O在 的平分线上， 由于 在∠ABC的平分线上，可以得到 的平分线上 可以得到OI=OG，同理得到 ， OG=OH，进而得到 ，进而得到OG=OH=OI .
平分线的性质
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M H
2、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝ CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F D
B
C
拓展
1、如图，为了促进当地 旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
自学检测：
1、角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
O 1 2 E B A D P C
想一想
• 把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相 等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
说一说 角的内部到角的两边距离相 等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
11.3角平分线的性质 （2）
ห้องสมุดไป่ตู้
学习目标
1.掌握角平分线性质定理及其逆定理
2.能运用逻辑推理的方法证明关于角平 分线的重要结论
角平分线段的性质(讲义)
11.3 角平分线段的性质
考点：角平分线的性质及定理
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线．
作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．
（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2
1的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．
（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．
角的平分线的性质：
（1）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
【典型题解】
例：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．
求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
分析：点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段PD 、PE 、PF 的长就是P 点
到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF ．而BM 、CN 分别是
∠B 、∠C 的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以
解决这个问题．
证明：过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足为D 、E 、F ．
因为BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．
所以PD=PE ．
同理PE=PF ．
所以PD=PE=PF ．
即点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
【举一反三】
将上一题的问题改成：证明点P 在∠A 的角平分线上。
11.3角的平分线的性质1(预习+展示)
四、学习过程：
1、明确目标，导学新知：角平分线定义是什么？角的平分线还有什么性质呢？（板书课题）
2、自主学习，感受新知：
自学教材第19页，
（1）想一想：在平分角的仪器中，为什么AE一定平分∠DAB？写出证明步骤。
（2）作一作：如图1，已知∠ABC，求作：∠ABC的平分线
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO（）
∠AOC＝∠BOC（）
OP＝OP（）
∴△PDO≌△PEO（）
∴PD＝PE（）
（3）归纳：如图3，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE＝PF（角平分线上的点到）
6、反思小结，提炼升华：角 Nhomakorabea平分线有什么性质？
（3）想一想：在平分角的作法中有什么数学道理？
（4）练一练：如图2，作平角∠AOB的平分线CD，CD与AB有什么关系？
（4）体会：证明一个几何命题的步骤：
1、。
2、。
3、。
4、应用新知，展现提升：
（1）完成教材第22页“练习”。
（2）完成教材第22页“复习巩固”第2题。
（3）如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6㎝，求△DEB的周长。
教学流程：
一、明确目标导学新知
二、自主学习感受新知
三、分组活动探究新知
四、应用新知展现提升
五、穿插巩固达标测评
六、反思小结提炼升华
学生提出的疑惑。
教后反思：
一、学习目标：
1、掌握画已知角的平分线的方法。
2、掌握角平分线的性质。
二、学习重点难点：
重点：角的平分线的性质的证明及应用。
角的平分线
11.3 角的平分线的性质（第1课时）浠水县清泉镇中心中学邓小群一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课的教学内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用．教材通过充分利用现实生活中的实物原型，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力．作角的平分线是几何作图中的基本作图．角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，也是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．（二）教学目标分析1、知识技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法.（2）理解角的平分线的性质并能初步运用.2、数学思考：通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用.（2）培养学生的数学建模能力.4、情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重点、难点分析本节课的教学重点为：理解角的平分线的性质并能初步运用.由于学生刚学完全等三角形的性质与判定，容易形成思维定势，所以角的平分线的性质应用是本节课的难点.二、教法、学法分析本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流, 努力做到教法、学法的最优组合．三、教学过程分析四、几点补充说明（一）板书设计：（二）时间安排：创设情景约5分钟，探究体验约13分钟，合作交流约18分钟，评价反思约5分钟，机动时间约4分钟.（三）教学设计说明：本节课设计了四个环节，环环相扣，层层深入，并注意调动学生自主探究与合作交流，注意教师适时的点拔引导，学生的主体地位和教师的主导作用的得以充分体现，切实能够达到发展思维、提升能力的根本目的，能够较好地实现教学目标，也使课标理念能够很好地得到落实.。
角平分线的性质
11.3 角的平分线的性质（第1课时）教学设计一、教学分析1．教学内容分析本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第11.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．3．教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，另外借助一定的教学软件，如“几何画板”，“Powerpoint”等将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．二、教学目标1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法．（2）理解角的平分线的性质并能初步运用．2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力．3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用．（2）培养学生的数学建模能力．4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．三、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用．难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习． 四、教学过程教学流程图（二）教学环节设计 1．创设情景 ［教学内容1］生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连． 问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看． ［整合点1］利用多媒体渲染气氛，激发情感． ［教学方法手段］教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生更身临其境般感受生活。
角平分线的性质
设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电
度；上半年共用电度，下半年共用电
度。
根据全年用电15万度，列得方程：
解此方程：
【合作交流】
总结:解带括号的一元一次方程的一般步骤:
1.；2、；3、；
4、
3、用几何语言表示角平分线的性质
例：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证(1)ED=FD (2)EB＝FC。
【展示提升】（8分钟）
自主学习及合作交流命题的证明、学以致用
【当堂检测】(独立完成,时间10分钟)姓名
1、在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，
【合作复习】
1、方程中有带有括号的式子时，去括号是常用的化简步骤，请你回顾一下去括号的规律并完成下列两式的去括号：
（1）a-（b-c）=；（2）a+（b-c）=
2、下列去括号是否正确，如不正确请你改正过来。
（1）-3(2x-5)=-6x-5 ; (2)-2(3x-7)=-6x-14
【自主学习】(时间10分钟)
AC=22 cm，ED=10cm,则 AD=
DC=
2．如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC
选做：BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC= 36cm2,BC=18cm,AB=12cm,则DE多少cm?
【学到了什么】
11.3角平分线的性质
科目
数学
课型
新授
年级
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老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
二、教学重点、难点：
1.教学重点：掌握角的平分线的性质 定理及其逆定理. 2.教学难点：角平分线定理和逆定理 的应用
探索
如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将 点A放在角的顶点,AB,CD沿着角的两边入放下, 沿AC画一条放射线AE,AE就是角平分线.你能说 明它的道理吗?
证明 ：在△ADC和△ABC
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方 法要确实掌握.
想一想： 为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ 即：OC平分∠AOB
一、教学目标：
1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分 线的性质定理及其逆定理．
2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理
3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理 及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力. 4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几 何问题.
5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形 成，养成永无止境的科学探索精神.
中
B C
E
AB=AD AC=AC DC=BC ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC AE平分∠BAD
A D
经过上面的探索，你能得到作已知角的 平分线的方法吗？
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例 2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P到边AB、BC、 B C CA的距离相等 E
A
Ｍ
Ｎ
Ｏ O
探索２
• 将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条 折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三 条折痕,你能得到什么结论?
A
D
A
O
B
O
E
B
操作测量题:
OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA， PE ⊥OB,点 D、 E为垂足， 测量PD、 PE的 长.将三次数据填入下表：
A D p O E B C
PD
第一次 第二次 与PE的大小关系， PD=PE 写出结论：____________
结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， A PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
D
C
P
E B
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
结论：
到角的两边的距离相等的点在角 平分线上。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
求证：PD=PE.
D P O E B
例1 ：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E A
求证: PD=PE 证明： ∵ PD⊥， PE⊥OB, ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90° 在△POD和Rt△PEO中 O ∠ PDO＝∠PEO ∠ AOC＝∠BOC OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS） ∴ PD＝PE
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
老师期望:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
独立作业
1
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？