2017届高三数学文理通用一轮复习课件：7.4 绝对值不等式
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高考数学第一轮复习考纲《绝对值不等式》课件29 理
【互动探究】 4．已知函数 f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)如图 5－7－2 中，作出函数 y＝f(x)的图像； (2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2.
图 5－7－2
4 x≤4 解：(1)f(x)＝－2x＋12 4<x≤8 －4 x>8 图像如图 5－7－3：
【互动探究】 {x|－1<x<2} 2．(1)(2010 年陕西)不等式|2x－1|<3 的解集为___________ ． {x|－3≤x≤2} ． (2)不等式|x－1|＋|x＋2|≤5 的实数解为______________
1 x≤－ －x－5 2 1 解析： (1－2<x<4 x＋5 x≥4
利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b| 的几何意义解不等式 例 3：设函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式 f(x)>2； (2)求函数 y＝f(x)的最小值．
考点 3
.
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图像，如图 5－7－1，它与直 线 y＝2
5 的交点为(－7,2)和 3，2. 5 (－∞，－7)∪3，＋∞.
考点 1 利用绝对值的定义解不等式
例 1：(2010
x－2 x－2 > 年江西)不等式 x 的解集是( x
)
A．(0,2) C．(2，＋∞)
B．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：绝对值大于本身，值为负数.
x－2 <0，解得 A. x
或者选择 x＝1 和 x＝－1，两个检验进行排除． 故选 A
1 1 <x<2 x≤ 2 ②或 2 ③，不等式组 2x－1＋x－2<0 －2x－1＋x－2<0 1 1 ①无解，由②得2<x<1，由③得－1<x≤2， 综上得－1<x<1，所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
2017届高三一轮：选4.5.1《绝对值不等式》ppt课件
通关特训2 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0。 (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
解析：(1)当a＝1时， f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2。 由此可得x≥3或x≤－1。 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}。
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值。
)
3x－2＜2x－1 解析：|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔ ⇔ 3 2x－1＜2－3x x＜
3 。 5 答案：C
x＜ 1 ⇔x＜ 5
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为 __________。
－4＋b 4＋ b 解析：由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即 ＜ x＜ ， 3 3
方法二：(零点分段)
原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
x≤－2， －2＜x＜1， 或 －x－1－x＋2≥5 －x－1＋x＋2≥5 x≥1， 或 解得x≥2或x≤－3， x－1＋x＋2≥5，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。 方法三：(构造函数) 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0。 作出函数的图象，如图 －2x－6，x≤－2， 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝ －2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1。 所示。 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。
1．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( ) A．|a＋b|＞|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||
解析：方法一：特殊值法。 取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0， 这样有|a＋b|＝|1－2|＝1， |a－b|＝|1－(－2)|＝3， |a|＋|b|＝1＋2＝3， ||a|－|b||＝|1－2|＝1， ∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立。 方法二：由ab＜0得a，b异号， 易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||， ∴选项C成立，A、B、D均不成立。 答案：C
高考一轮复习理科数学课件绝对值不等式的解法及其应用
知识点梳理和归纳总结
01
绝对值不等式的定义 和性质
明确绝对值不等式的概念，掌握其基 本性质，如正数的绝对值是其本身， 负数的绝对值是它的相反数，0的绝 对值是0。
02
绝对值不等式的解法
熟练掌握绝对值不等式的解法，包括 分段讨论法、平方法、几何意义法等 ，能够根据不同的题型选择合适的解 法。
03
绝对值不等式的应用
了解绝对值不等式在解决实际问题中 的应用，如求解最值问题、证明不等 式等。
针对性地进行专项训练和模拟考试
专项训练
针对绝对值不等式的各类题型进行专 项训练，如含参绝对值不等式、绝对 值三角不等式等，提高解题速度和准 确率。
模拟考试
定期进行模拟考试，模拟真实考试环 境，检验自己的备考效果，查漏补缺 。
其他相关定理和性质介绍
绝对值的非负性
对于任意实数x，都有|x|≥0，且 |x|=0当且仅当x=0。
绝对值的单调性
对于任意实数x、y，若x≤y，则 |x|≤|y|。但反之不成立，即若|x|≤|y|
，不能推出x≤y。
绝对值的几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫 做该数的绝对值。因此，绝对值与 距离、长度等几何概念密切相关。
绝对值不等式分类
03
根据不等号方向分类
可分为严格不等式（如$|x|<a$）和非严 格不等式（如$|x|leq a$）。
根据涉及绝对值个数分类
可分为单一绝对值不等式（如$|x-1|<2$ ）和多个绝对值不等式（如$|x1|+|x+2|geq 3$）。
根据解法不同分类
可分为可直接去绝对值符号求解的不等式 和需要讨论绝对值内部表达式正负情况求 解的不等式。
高考数学(理)总复习课件：绝对值不等式
2a－3，a≥2， 当 a≤1 时，3－2a＜11，解得 a＞－4，∴－4＜a≤1； 当 1＜a＜2 时，1＜11 恒成立； 当 a≥2 时，2a－3＜11，解得 a＜7，∴2≤a＜7. 综上，a 的取值范围是(－4,7).
返回
(2)∵∀a∈R ，f(x)≥x2－x－3 恒成立， 又 f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|， ∴|x|≥x2－x－3， ∴xx≥≥0x2－x－3， 或－x＜x≥0，x2－x－3， 解得 0≤x≤3 或－ 3≤x＜0， ∴x 的取值范围是[－ 3，3].
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤32， －x＋4，x＞32.
故 y＝f(x)的图象如图所示.
返回
(2)由 f(x)的表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，
故 f(x)＞1 的解集为{x|1＜x＜3}；
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数 的最大(小)值时，应特别注意. (2)定理 1 还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件 是 ab≤0.
2.绝对值不等式的解法
返回
(1)含绝对值不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解法：
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
x|－a＜x＜a
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x|＞c 的解集为 R ，则 c≤0.
返回
(×)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.
(√)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立. ( × )
返回
(2)∵∀a∈R ，f(x)≥x2－x－3 恒成立， 又 f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|， ∴|x|≥x2－x－3， ∴xx≥≥0x2－x－3， 或－x＜x≥0，x2－x－3， 解得 0≤x≤3 或－ 3≤x＜0， ∴x 的取值范围是[－ 3，3].
x－4，x≤－1， 3x－2，－1＜x≤32， －x＋4，x＞32.
故 y＝f(x)的图象如图所示.
返回
(2)由 f(x)的表达式及图象可知，
当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，
故 f(x)＞1 的解集为{x|1＜x＜3}；
(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数 的最大(小)值时，应特别注意. (2)定理 1 还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件 是 ab≤0.
2.绝对值不等式的解法
返回
(1)含绝对值不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解法：
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
x|－a＜x＜a
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x|＞c 的解集为 R ，则 c≤0.
返回
(×)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.
(√)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立. ( × )
高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式课件
综上所述 12/13/2021 x≤－1.5 或 x≥1.5.
第三十页，共四十八页。
(2)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R. ①若不等式 f(x)≤2－|x－1|有解，求实数 a 的取值范围； ②当 a<2 时，函数 f(x)的最小值为 3，求实数 a 的值．
12/13/2021
12/13/2021
第十八页，共四十八页。
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝 对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对 应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
12/13/2021
第十九页，共四十八页。
【变式训练 1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝－x2 ＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
⇒－x≥24<或x<x7≤，1， 得解集为(－2,1]∪[4,7)．
12/13/2021
第八页，共四十八页。
3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a 对任意实数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴a2－ 3a≥4 恒成立，∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
12/13/2021
第九页，共四十八页。
4．[课本改编]不等式|x－1|<4－|x＋2|的解集是 ___－__52_，__32____．
解析 由|x－1|<4－|x＋2|，得xx≥＋12，＋x－1<4 或
12/13/2021
第一节 绝对值不等式 高考数学(文科)总复习精品专题PPT课件
1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件 当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|；当 (a－b)(b－c)≥0 时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. (2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便． 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论 是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2. 又|x|＋|y|＋|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1|＋|y－1|≤2. ∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2， 此时 x∈[0，1]，y∈[0，1]， ∴x＋y 的取值范围是[0，2]．
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－3 时，不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1. 若 2<x<3 时，由(*)式知，解集为∅. 若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}．
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－ 3 1，0，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)．
因此△ABC 的面积 S＝12|AB|·(a＋1)＝23(a＋1)2 由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨 论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思 维方法．
2017届一轮复习全国通用 不等式选讲 课件
3 2
������-1-2������ (������ < -1), (2)由题设可得 f (x)= 3������ + 1-2������ (-1 ≤ ������ ≤ ������), -������ + 1 + 2������ (������ > ������), 所以函数 f (x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ������������������的面积为 (2������ + 1)2 3 2������- 1 3 2������-1 3
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-11-
【参考答案】(1)当 a=1 时,f (x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3 2
当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f (x)>1 的解集为 ������| < ������ < 2 .
,
当 0<a ≤3 时,f (3)=6-a+ , 由������(3) < 5 得
������
1
1+ 5 2
<a ≤3.
综上,a 的取值范围是
1+ 5 5+ 21 2
,
2
.
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-13-
考点 2 与绝对值不等式相关的参数的取值范围
典例 3 (2015· 南昌一模) 已知函数 f (x)=x|x-a|(a∈R). (1)若 a=2,解关于 x 的不等式 f(x)<x; (2)若对任意的 x∈(0,4],都有 f (x)<4,求 a 的取值范围. 【解题思路】(1)利用零点分区间讨论法去掉绝对值;(2)去绝对值后利用分离参数法将问题转化为函数最值, 再利用导数、数形结合法等求解最值.
������-1-2������ (������ < -1), (2)由题设可得 f (x)= 3������ + 1-2������ (-1 ≤ ������ ≤ ������), -������ + 1 + 2������ (������ > ������), 所以函数 f (x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ������������������的面积为 (2������ + 1)2 3 2������- 1 3 2������-1 3
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-11-
【参考答案】(1)当 a=1 时,f (x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3 2
当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f (x)>1 的解集为 ������| < ������ < 2 .
,
当 0<a ≤3 时,f (3)=6-a+ , 由������(3) < 5 得
������
1
1+ 5 2
<a ≤3.
综上,a 的取值范围是
1+ 5 5+ 21 2
,
2
.
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-13-
考点 2 与绝对值不等式相关的参数的取值范围
典例 3 (2015· 南昌一模) 已知函数 f (x)=x|x-a|(a∈R). (1)若 a=2,解关于 x 的不等式 f(x)<x; (2)若对任意的 x∈(0,4],都有 f (x)<4,求 a 的取值范围. 【解题思路】(1)利用零点分区间讨论法去掉绝对值;(2)去绝对值后利用分离参数法将问题转化为函数最值, 再利用导数、数形结合法等求解最值.
高考数学一轮复习 绝对值不等式课件 文
数为所求解集．
• 答案：(－4，－2)∪(0,2)
• 4．(2014年高考广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解 集为________．
解析：原不等式等价于
x≥1， x－1＋x＋2≥5
或－ －2x<－x<11，＋x＋2≥5，
x≤－2， 或－x－1－x＋2≥5， 解得 x≥2 或 x≤－3. 故原不等式的解集为{x|x≤－3 或 x≥2}．
a>0 时，不等式的解集为－1a，5a，
从而有a－5＝1a13＝，－53，
此方程组无解．
当 a<0 时，不等式的解集为5a，－1a，
从而有a－5＝1a－ ＝5313， ，
解得 a＝－3.
(2)原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，故 0≤|x－2|≤2，解得 0≤x≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．
答案：{x|x≤－3或x≥2}
• 5．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k ＝________.
• 解析：∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. • ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. • 答案：2
含绝对值不等式的解法(自主探究)
例 1 (1)(2014 年高考湖南卷)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为
•选修4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
• 最新考纲展示
• 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式 的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几 何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋ b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.
• 答案：(－4，－2)∪(0,2)
• 4．(2014年高考广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解 集为________．
解析：原不等式等价于
x≥1， x－1＋x＋2≥5
或－ －2x<－x<11，＋x＋2≥5，
x≤－2， 或－x－1－x＋2≥5， 解得 x≥2 或 x≤－3. 故原不等式的解集为{x|x≤－3 或 x≥2}．
a>0 时，不等式的解集为－1a，5a，
从而有a－5＝1a13＝，－53，
此方程组无解．
当 a<0 时，不等式的解集为5a，－1a，
从而有a－5＝1a－ ＝5313， ，
解得 a＝－3.
(2)原不等式可转化为－1≤|x－2|－1≤1，故 0≤|x－2|≤2，解得 0≤x≤4，故所求不等式的解集为[0,4]．
答案：{x|x≤－3或x≥2}
• 5．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k ＝________.
• 解析：∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. • ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. • 答案：2
含绝对值不等式的解法(自主探究)
例 1 (1)(2014 年高考湖南卷)若关于 x 的不等式|ax－2|<3 的解集为
•选修4－5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
• 最新考纲展示
• 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式 的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几 何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋ b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c.
北师大版2017高考数学(理)总复习选修4-5 第1节绝对值不等式课件PPT
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a， b 的距离之和． ( (2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是 ab≤0. (3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是 ab≤0. (4)当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立． ( ( ( ) ) ) )
高三一轮总复习
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成 立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
高三一轮总复习
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法： 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|－a＜x＜a} a＝0 ∅ a<0 ∅ R
8分
所以|f(x)|＞1
1 的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5
10 分
高三一轮总复习
[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性 求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用． 2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零 点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．
[解] (1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，
7 ①当 x≥2 时，不等式可化为 x－2＋x－1≥4，解得 x≥ ； 2 1 7 ②当 ＜x＜ 时，不等式可化为 2－x＋x－1≥4， 2 2 不等式的解集为∅； 1 1 ③当 x≤ 时，不等式可化为 2－x＋1－x≥4，解得 x≤－ . 2 2
2017届一轮复习北师大版 绝对值不等式 课件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围. 解 由绝对值不等式的性质可得， ||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5， 则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5. 若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5， 解得－1≤a≤9. 所以a的取值范围是[－1,9].
123
解析答案
2.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围. 解 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
123
解析答案
1
3.(2014·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋ a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
2
123
解析答案
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题型一
绝对值不等式的解法
例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； 解 当a＝1时， f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；
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1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法. 2.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值， 要注意其中等号成立的条件. 3.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
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1.在实数范围内，求不等式||x－2|－1|≤1的解集. 解 由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，
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3
3
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综上,原不等式的解集是 ������ ������ ≤ -5 或������ ≥ -
1 3
.
第七章
考点一 考点二 考点三
7.4
绝对值不等式
知识梳理 核心考点 规律总结
考情概览
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2.若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),求实数a的值. 解:原不等式可化为a-1<x<a+1, 又知其解集为(1,3),所以通过对比可得a=2.
2 1 2
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7.4
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(2)当 x∈
不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, 所以 x≥a-2 对 x∈ - ,
������ 1 2 2
������ 1 - , 2 2
时,f(x)=1+a, 都成立,应有- ≥a-2,则 a≤ ,
2 2
解 :(1)当 a=-2 时 ,不等式 f(x)<g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, -5������,������ < , 则 y= -������-2, 1 ≤ ������ ≤ 1, 3������-6,������ > 1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时 ,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
< ������ < 2 .
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A
2������-1 ,0 3
������-1-2������,������ < -1, (2)由题设可得,f(x)= 3������ + 1-2 ������,-1 ≤ ������ ≤ ������, -������ + 1 + 2������,������ > ������. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
7.4
绝对值不等式
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5.若关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,则参数a的取值 范围为 a>1 . 解析:令f(x)=|x-3|+|x-4|,由其几何意义(数轴上距离坐标为3的点A 与坐标为4的点B的两点间的距离之和)可知,当动点P位于A,B之间 时,f(x)min=1,∴要使关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,需 a>1.
4 3 ������ 2 4 3
从而实数 a 的取值范围是 -1,
.
第七章
7.4
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1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法: (1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解 决恒成立中的参数范围问题. (2)更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手 非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主元与参数互 换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合, 揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势, 可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用重要 不等式|a+b|≤|a|+|b|及其推广形式 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.应用绝对值不等式性 质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.
解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 所以 f(x)>1 的解集为 ������ 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
2 3
2 3x-2>0,解得 <x<1; 3
7.4 绝对值不等式
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7.4
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-2-
考纲要求
命题角度分析 绝对值不等式的解 1.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对 法、绝对值三角不等 值不等式的几何意义证明下列不等式: 式的应用是高考考查 (1)|a+b|≤|a|+|b|. 的重点.题目以不等式 (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 的性质为基础,重点考 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类 查绝对值不等式的解 型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x法及应用,题目难度不 c|+|x-b|≥a. 大.
第七章
知识梳理 双击自测
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-3-
1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b ,当且仅当 ab≥0 时, 等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤ |a-b|+|b-c| ,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法
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4.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为
2
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解析:y=|x-4|+|x-6|=|x-4|+|6-x|≥|x-4+6-x|=|2|=2,当且仅当 4≤x≤6时等号成立,所以最小值为2.
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考点三含绝对值不等式的问题★★师生互动探究 例题(2015课标全国高考Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
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2.(2015山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( A ). A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意; 当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立. 故原不等式的解集为(-∞,4).
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方法总结1.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值, 形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值. 2.不等式有解是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条 件的x即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题,此两类问 题都可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立 ⇔a<f(x)min.
不等式 |x|<a |x|>a
a>0 {x|-a<x<a}
{x|x>a或x<-a}
a=0 a<0 ⌀ ⌀ {x|x∈R,且 R x ≠0}
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(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔ ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.
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方法总结1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符 号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解. 2.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于 形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利用实数 绝对值的几何意义求解较简便.
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综上,原不等式的解集是 ������ ������ ≤ -5 或������ ≥ -
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2.若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),求实数a的值. 解:原不等式可化为a-1<x<a+1, 又知其解集为(1,3),所以通过对比可得a=2.
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(2)当 x∈
不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, 所以 x≥a-2 对 x∈ - ,
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时,f(x)=1+a, 都成立,应有- ≥a-2,则 a≤ ,
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解 :(1)当 a=-2 时 ,不等式 f(x)<g(x)化为 |2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, -5������,������ < , 则 y= -������-2, 1 ≤ ������ ≤ 1, 3������-6,������ > 1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时 ,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
< ������ < 2 .
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������-1-2������,������ < -1, (2)由题设可得,f(x)= 3������ + 1-2 ������,-1 ≤ ������ ≤ ������, -������ + 1 + 2������,������ > ������. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
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5.若关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,则参数a的取值 范围为 a>1 . 解析:令f(x)=|x-3|+|x-4|,由其几何意义(数轴上距离坐标为3的点A 与坐标为4的点B的两点间的距离之和)可知,当动点P位于A,B之间 时,f(x)min=1,∴要使关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,需 a>1.
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从而实数 a 的取值范围是 -1,
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1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法: (1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解 决恒成立中的参数范围问题. (2)更换主元法:不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手 非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主元与参数互 换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合, 揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势, 可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用重要 不等式|a+b|≤|a|+|b|及其推广形式 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|进行放缩.应用绝对值不等式性 质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.
解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 所以 f(x)>1 的解集为 ������ 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
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2 3x-2>0,解得 <x<1; 3
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命题角度分析 绝对值不等式的解 1.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对 法、绝对值三角不等 值不等式的几何意义证明下列不等式: 式的应用是高考考查 (1)|a+b|≤|a|+|b|. 的重点.题目以不等式 (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 的性质为基础,重点考 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类 查绝对值不等式的解 型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x法及应用,题目难度不 c|+|x-b|≥a. 大.
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1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b ,当且仅当 ab≥0 时, 等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤ |a-b|+|b-c| ,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法
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4.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为
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解析:y=|x-4|+|x-6|=|x-4|+|6-x|≥|x-4+6-x|=|2|=2,当且仅当 4≤x≤6时等号成立,所以最小值为2.
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考点三含绝对值不等式的问题★★师生互动探究 例题(2015课标全国高考Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
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2.(2015山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( A ). A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意; 当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立. 故原不等式的解集为(-∞,4).
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方法总结1.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利 用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值, 形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值. 2.不等式有解是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条 件的x即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题,此两类问 题都可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立 ⇔a<f(x)min.
不等式 |x|<a |x|>a
a>0 {x|-a<x<a}
{x|x>a或x<-a}
a=0 a<0 ⌀ ⌀ {x|x∈R,且 R x ≠0}
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(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: -c≤ax+b≤c ①|ax+b|≤c⇔ ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.
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方法总结1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符 号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解. 2.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于 形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利用实数 绝对值的几何意义求解较简便.
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