2012chen讲过的基于根轨迹法的串联分析法校正例题超详细步骤,仅供参考!一般掌握 .pdf
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
根轨迹法校正
1 j1.73
按例１，先确定超前网络
c 60 超前角
取 zc 1 ，
得 pc 4
s 1 Gc2 s s4
s1处， 23.8 k* 在
k* k 4 4 1.49
取希望的
k' 5
k' 5 1 3.3 k 1.49
留余量 4 则 0.25
2. 由给定性能指标，确定希望主导 极点（动态性能满足时，希望主导极点 在轨迹上或附近）
* 3. 计算主导极点处增益 k 或需增 大 k 的倍数
4. 计算网络的
值，且留余量
5. 计算zc
s zc G ，构成网络， c s s p c
6. 检验，不满足时，改变余量，重新
设计。
k* 例2：设开环传递函数 Gc s ss 1s 4
s 4.95
s1 处增益 k1* =30.4 在
6. 检验，画根轨迹
1.2 kk 1.84 4 4.95
* 1
k * s 1.2 Gc s Gs ss 1s 4s 4.95
可见：在轨迹 s1, 2 附近。
注意：未校正系统具有距虚轴较近、 开环复数极点时，或系统开环极点 虽均为实数，但过分接近原点，以 及系统具右半平面开环极点时，均 不宜采用串联超前校正。 利用超前校正，其最大超前角 一般取 20 ~ 60
0.5 要求：经校正 t s 10
k 5 1
s
解：1. 画出根轨迹
2. 0.5 ,t s 10 有 n 0.66 s1,2 0.33 0.57 j
可见： s1 在轨迹上或附近，满足动态性能 3. 但在 s1 处的 k * 0.66 0.9 2.66 1.58
控制系统的根轨迹分析与校正
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
13.1 控制系统的根轨迹法分析
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
根轨迹法优秀课件
系统性能改善不显著， 系统增益超过临界值 时，系统仍会不稳定。
闭环复数极点距离虚轴较远， 实数极点距离虚轴较近，系 统有较低的响应速度。
开 环 零 点 在 不 同 取 值 情 况 下 的 根 轨 迹
17
从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标 也比较令人满意。
点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此
相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称
这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。
在系统中附加下述网络
1
s 1 T
s 1
1 0
T
若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。
32
例4-15 系统的开环传递函数为
WK
(s)
s(s
1.06 1)( s
由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按 第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。
4
1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为
WK
(s)
KK s(1 Ts)
Kg s(s
1
)
T
5
(1)闭环系统有两个负实极点 暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。 一般当时 R2 5R1，可忽略极点 R2的影响。
2
用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点 要深刻得多。
比如，当Kg在（0，∞）间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚 轴的左边，就意味着不管Kg取任何值闭环系统都是稳定的。
反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管
Kg取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环
零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就 必须人为增加开环零、极点，这就是通常讲的要改变系统的 结构，而不仅仅是改变系统的参数。
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
根轨迹法的串联迟后校正.ppt
由于 pc 和 zc十分接近，
即 A zc 与 A pc 十分接近，
所以有：点 A 的幅角条件仍然近似成立
m
n
A z j A pi
j 1
i 1
A zc A pc 2l 1
6
所以，点 A 仍然满足根轨迹的幅角条件，
或者只有微小的变动。 结论 在原系统中加入串联迟后校正的一对开环偶极子
12
3 根据系统的设计要求，求出满足稳态误差
指标的开环放大倍数 K，即校正以后的开环放大
倍数 K A 。
4 为了使 A 点的开环放大倍数由 KA增大到 KA ，
串联迟后校正的参数应满足
T KA
KA
13
此外，在选择 T 和 时，要做到
1
zc
和
pc
1 T
充分接近，并靠近原点。
居左
居右 T , 1 1 0
超前校正环节的传递函数并入到 G0 (s) 中， 然后再
进行串联迟后校正。
11
串联迟后校正的具体设计步骤 已作串联超前校正！
1 用原系统的开环传递函数 G0 (s) 作出原系统的
根轨迹， 确认调整开环放大倍数可以使原系统的 动态性能指标满足设计要求。
2 在原系统的根轨迹上确定闭环主导极点的位置
A ，并求出点 A 对应的开环放大倍数 KA 。
600 p1
-10
-5
0
Re
G0 (s) 的根轨迹
29
串联迟后校正后的根轨迹
Root Locus 0.5
0.4
0.3
0.2
Imaginary Axis
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计
自动控制系统的设计--基于根轨迹的串联校正设计与频域法相似，利用根轨迹法进行系统的设计也有两种方法：1）常规方法；2）Matlab方法。
Matlab的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。
目前常用的Ma tlab设计方法有：1）直接编程法；2）Matlab控制工具箱提供的强大的Rltool工具；3）第三方提供的应用程序，如CTRLLAB等。
本节在给出根轨迹的设计思路的基础上，将重点介绍第一、二种方法。
6.4.1 超前校正关于超前校正装置的用途，在频率校正法中已进行了较详细的叙述，在此不再重复。
利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。
因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。
通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。
是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。
（一）根轨迹超前校正原理设一个单位反馈系统，G0(s)为系统的不变部分，Gc(s)为待设计的超前校正装置，Kc为附加放大器的增益。
绘制G0(s)的根轨迹于图6—19上，设点S d为系统希望的闭环极点，则若为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足根轨迹的相角条件，即∠Gc(S d)G0(S d)=∠Gc(S d)+G0(S d)=-π图6-18于是得超前校正装置提供的超前角为：(6-21)显然在S d已知的情况下，这样的Gc(s)是存在的，但它的零点和极点的组合并不唯一，这相当于张开一定角度的剪刀，以S d为中心在摆动。
自动控制理论-根轨迹分析法
s2与开环零、极点之间的矢量：
s2j)=θ- 1θ- 2
p2 θ2 -2 θ2
jω
θ1
p1
0σ
θ1
=θ- 1 -(180o-θ1 )=-180º
s3
中线上的点都是根轨迹上的点。 设任意点s3
s3的相角方程为：
2
-∑ j =1
(s3–pj) =θ- 1θ- 2 >-180º
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
返回
根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
j =1
构根闭 分 相数闭所成的开环解根角等满环一有了轨环相特为轨方于足特般满闭 迹传角幅程征迹征开-足表环 。1递方值。方方相特方环达的函程角征方程程程传式s数方方程式又即式递为程的程和为可为的函的式s
R(s)幅-值m 方G(s程) C(s) 根轨开迹环K增jr传n=i1益=(H递1s(-(sp函)-mj)zi数) =零1 点 G(或s开)H环(sj传)n==i1m=(递1sK(-j nsr=p函i1-(j=)zs1数i(-)sp=-j极z)iK)1点r
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。G(s)H(s)=(sK+r1()s(+s3+)2) 解4）：分1）离开点环和零会、合极点点
pA1=(s-)1B解'(s方p)=2=程A-'2得(s)Bz(1s=)-3 2A）根(s实)轨=s轴迹2+上的3s的分+2根离轨点B迹(s)段=s+3 3A）根('sθ(根2轨=s+p)3=1轨迹s~ss2+2s1+pn=迹s的2(整=22++2--m4)k36的1会理=1.+s.4=(6+渐1合2得17π)sz=近+1点B~=03'线)-+((s1s)+8=301)o
根轨迹法二重极点
根轨迹法二重极点1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对整篇文章的主题进行简要介绍。
可以参考以下模板：在控制系统中，根轨迹法被广泛应用于分析和设计系统的稳定性和性能。
本文将着重讨论根轨迹法在处理系统存在二重极点时的应用。
二重极点是指系统传递函数的特征方程中存在重复的极点。
相较于一般的极点，二重极点会给系统的稳定性和性能带来更多的挑战，因此需要特殊的分析和设计方法来解决。
本文以根轨迹法为基础，探讨了如何利用这一方法来分析和设计具有二重极点的控制系统。
在本文的正文部分，我们将详细介绍根轨迹法的原理和基本概念，并探讨二重极点对系统根轨迹的影响。
通过实例讲解，我们将展示如何利用根轨迹法来确定二重极点的位置和影响，并通过调节控制参数来实现系统的优化。
最后，我们将从实际应用的角度总结根轨迹法在处理二重极点时的优势和局限性，并展望未来的研究方向。
通过本文的阅读，读者将更加深入地了解根轨迹法在处理系统二重极点时的应用，为控制系统的分析和设计提供有益的参考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分应该对整篇文章的结构进行简要介绍，概括性地说明每个章节的内容和顺序。
主要目的是为读者提供一个大致的导航，使他们更好地理解文章的整体框架和思路。
在本篇文章中，文章结构可按照如下方式进行叙述：2. 正文部分主要包括两个章节。
2.1 根轨迹法：本章节将详细介绍根轨迹法的基本原理和应用。
首先，将介绍根轨迹法的概念和作用，解释为什么根轨迹法是一种有效的控制系统分析工具。
然后，将详细介绍根轨迹法的步骤和计算方法，包括如何确定开环传递函数和如何绘制根轨迹图。
此外，还将介绍如何利用根轨迹图对系统的稳定性、性能和稳态误差进行评估和分析，并探讨根轨迹法在控制系统设计中的应用。
2.2 二重极点：本章节将重点讨论二重极点对系统的影响及其在根轨迹法中的特殊处理方法。
首先，将解释二重极点的定义和性质，说明二重极点对系统的稳定性和动态响应的影响。
基于根轨迹法的串联校正
基于根轨迹法的串联校正注意：1）一般了解根轨迹校正方法。
若指标为时域指标采用；方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。
2）重点掌握频率法的串联校正。
若指标为频域指标采用。
例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)K G s s s =+试设计串联校正环节，使得校正后系统()c G s 1) 静态速度误差系数；150v K s -≥2) 超调量； %25%σ≤3) 调节时间。
2s t s ≤解：1) 求取主导极点位置由，得，这里取。
%e 100%20%σ=≤0.4ζ≥0.5ζ=取，由，得，这里取。
0.02∆=42s nt ζω=≤4n ω≥4n ω=则闭环主导极点1,22n s j j ζωω=-±=-±2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)K K G s s s s s ==++011(0)(2)(20)(22)30(21),0,1,2s s j j l l π-∠--∠+=-∠-+--∠-++=-≠+=±± 不满足则进行动态校正。
3） 动态校正——相当于频率法中超前校正-----------------------------------------------------以下是讨论----------------------------------------设校正装置，则此时。
111()()c cc c c s z G s k s p -=-'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。
因此，会出现两种情况：A: 校正后系统的阶数不变。
——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。
这里令（为什么不，那就白加校正装置了）12c s z s -=+11c c s z s p -=-则，此时，阶数不变。
根轨迹法校正的设计
西安石油大学课程设计电子工程学院自动化专业班题目根轨迹法校正的设计学生指导老师二○一四年十二月目录1. 课程设计任务书 (2)2.设计内容及思想 (2)2.1设计内容 (3)2.2设计思想 (3)3.运用MATLAB编制程序 (3)3.1绘制原系统根轨迹曲线 (3)3.2添加设计条件后未校正的系统根轨迹 (4)3.3未校正系统单位阶跃响应图像及动态性能指标 (4)3.4利用SISOTOOL设计校正 (5)3.5校正后系统的单位阶跃响应曲线 (7)4.设计运行结论 (7)5.设计总结 (7)参考文献 (8)《自动控制理论》课程设计任务书2. 设计内容及思想2.1 设计内容已知随动系统固有部分传递函数为())1)(1(++=s s s s T T K W l m objobj ，式中：K obj =500；T m =0.9s ；T l =0.007s 。
要求设计一调节器，使系统满足下述性能指标。
⑴加速度品质因数K a ≥2501/s 2。
⑵系统阶跃响应的超调量σ%≤30%；调节时间：t s ≤0.2s 。
2.2 设计思想绘出未校正系统阶跃响应曲线，利用matlab 软件对系统进行串联校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数，跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。
3. 运用MATLAB 编制程序k=500 ；n1=1； %分子系数d1=conv(conv([1 0],[0.9 1]),[0.007 1]);W=tf(k*n1,d1); %W 的传递函数sisotool(W); %利用SISOTOOL 得到控制器参数3.1 绘制原系统根轨迹曲线根据上面编制的程序绘制原系统的根轨迹，如图3-1所示图3-1 原系统根轨迹曲线图3.2 添加设计条件后未校正的系统根轨迹t s≤0.2s，如图3-2所添加设计条件后未校正的系统根轨迹，即满足σ%≤30%；调节时间示，图3-2 添加设计条件后未校正的系统根轨迹图3.3 未校正系统单位阶跃响应图像及动态性能指标通过SISOTOOL工具绘制系统未校正系统单位阶跃响应图像，如图3-3所示，图3-3 未校正系统单位阶跃响应图由上图可知，得到校正后系统单位阶跃响应的动态性能指标均不满足题中所给条件，故需要对系统进行下一步的有效校正。
控制系统的根轨迹分析与校正
程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);
rlocus(num,den) %绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
figure(2)
r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数
plot(r,'-')
%绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
gtext('x')
在线交流，有问必答
Amplitude Amplitude
Step Response 1.8
1.6 System: G0
Peak amplitude: 1.64
1.4
Overshoot (%): 64.4
At time (sec): 1.44
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec)
在线交流，有问必答
开环传递函数可表示为，
m
K * (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为 (s)
G(s)
1G(s)H(s)
系统的闭环特征方程为 1G (s)H(s)0
m
K * ( s z i )
即
G(s)H(s) i1 n
1 式（4-8）
北京航空航天大学出版社，2009.8.
在线交流，有问必答
第25页，此课件共85页哦
Imaginary Axis
Root Locus 15
10
5
0
-5
根轨迹法校正课程设计
根轨迹法校正 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解根轨迹法的概念，掌握根轨迹的基本绘制方法。
2. 学生能够运用根轨迹法分析控制系统的稳定性，并识别系统的性能指标。
3. 学生能够掌握通过根轨迹法进行控制系统校正的基本原理和步骤。
技能目标：1. 学生能够独立绘制根轨迹图，并分析控制系统的稳定性。
2. 学生能够运用根轨迹法设计简单的控制系统校正方案，提高系统性能。
3. 学生能够通过实际案例，运用所学知识解决控制系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制系统的兴趣，激发他们的探究欲望。
2. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的重要性。
3. 培养学生的团队协作意识，使他们能够在小组合作中发挥自己的专长，共同解决问题。
课程性质：本课程为自动控制系统相关内容的深化学习，旨在帮助学生掌握根轨迹法校正的基本原理和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的自动控制理论知识，具有一定的数学基础和动手能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生能够将所学知识应用于控制系统设计和分析中。
同时，注重培养学生的团队合作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学方法和节奏，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 根轨迹基本概念：根轨迹的定义、意义及其在控制系统中的应用。
- 教材章节：第三章第二节- 内容：根轨迹图的绘制方法、关键点和关键轨迹的特点。
2. 控制系统稳定性分析：利用根轨迹分析系统稳定性，判断系统性能。
- 教材章节：第三章第三节- 内容：稳定性的判定条件、稳定性分析步骤。
3. 根轨迹校正原理：介绍根轨迹法校正控制系统的基础知识。
- 教材章节：第三章第四节- 内容：校正的基本原理、常用校正方法及效果分析。
4. 校正方案设计：结合实际案例，设计控制系统校正方案。
- 教材章节：第三章第五节- 内容：校正方案的设计步骤、参数计算方法、系统性能优化。
根轨迹法校正
6 检验，不满足时，重新确定一组 zc , pc
k* 例1 ：设开环传递函数 Gs ss 1s 4
要求校正，使 0.5
n 2
解 ：1. 绘制轨迹如图示：
2. 由 0.5
n 2
s1, 2 n j n 1 2 1 1.73 j
具体步骤： 1. 确定超前部分参数 2 , 2. 由
1
求出
3. 确定滞后部分参数
4. 写出 Gc s
5. 检验
例3：
单位反馈系统传递函数
k1 Gs ss 1s 4
0.5
,
n 2 , k 5
解：希望主导极点：
s1, 2 n n 1 2
s 4.95
s1 处增益 k1* =30.4 在
6. 检验，画根轨迹
1.2 kk 1.84 4 4.95
* 1
k * s 1.2 Gc s Gs ss 1s 4s 4.95
可见：在轨迹 s1, 2 附近。
注意：未校正系统具有距虚轴较近、 开环复数极点时，或系统开环极点 虽均为实数，但过分接近原点，以 及系统具右半平面开环极点时，均 不宜采用串联超前校正。 利用超前校正，其最大超前角 一般取 20 ~ 60
s zc * 为保证 Gc s 的串入稳态性能 s pc
不受影响， 则
s z c 1 Ts 1 Gc s s pc Ts 1
1 zc 1 P C T
可同时串入放大器 1
t s 稍大，或 余量更 6. 检验不满足时，可取
大，重新设计
注意：滞后校正系统可能具有的最小调节 时间 tmin d max
控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1) 作原系统根轨迹图；(2) 根据动态性能指标，确定主导极点s在S平面上的正确位置；如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3) 在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差©;计算公式为：180 - arg[G o(s)]|s s i ⑴此相角差©表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4) 根据相角差©，确定微分校正装置的零极点位置；微分校正装置的传递函数为：Gc Kc STZ 1(2)sTp 1例题：已知系统开环传递函数: G o2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)试设计超前校正环节,使其校正后系统的静态速度误差系数Kv w 4.6，闭环主导极点满足阻尼比Z =0.2 ,自然振荡角频率3 n=12.0rad/s，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解：由Kv lim s* G0(s) * Gc(s) 4.6 得kc=2s 0计算串联超前校正环节的matlab程序如下:主函数：close;num=2.3;den=con v([1,0],co nv([0.2,1],[0.15,1]));G=tf( nu m,de n) %zata=0.2;w n=12.0; % [nu m,de n]=ord2(w n, zata); % s=roots(de n);s1=s(1);kc=2; %Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %Gy_close=feedback(G,1) %Gx_close=feedback(GGc,1) % figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); % hold onstep(Gy_close,'r',3.5); % grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);校正前系统开环传函要求参数追加系统动态特性增益kc校正后系统开环传函校正前系统闭环传函校正后系统闭环传函校正后单位阶跃响应校正前单位阶跃响应为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点, 其闭环特征方程跟必须满足impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应grid;gtext （'校正前的'）;gtext （'校正后的'）;figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图grid;gtext （'校正前的'）;gtext （'校正后的'）;s Tz 1-幅值和相角条件，即GcS ）G 0[s ） Kc 1M o e j 0 1e js 1Tp 1前系统在S 1处的幅值，B o 是对应的相角。
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基于根轨迹法的串联校正注意：1）一般了解根轨迹校正方法。
若指标为时域指标采用；根轨迹校正方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。
2）若指标为频域指标，或者可以转化为频域指标，一般尽可能采用基于频率法的串联校正。
重点掌握基于频率法的串联校正。
例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)KG s s s =+试设计串联校正环节()c G s ，使得校正后系统 ① 静态速度误差系数150v K s -≥； ②超调量%25%σ≤； ③调节时间2s t s ≤。
解：1) 求取闭环主导极点位置由%e 100%20%σ=≤，得0.4ζ≥，这里取0.5ζ=。
取0.02∆=，由42s nt ζω=≤，得4n ω≥，这里取4n ω=。
则闭环主导极点1,22n s j j ζωω=-±=-±2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)K KG s s s s s ==++0011(0)(2)(20)(22)12090(21),0,1,2s s j j l l π-∠--∠+=-∠-+-∠-+=--≠+=±±不满足则进行动态校正。
---以下只是讨论，实际做题时直接省掉即可------ 3） 动态校正—相当于频率法中超前校正 设校正装置111()()c cc c c s z G s k s p -=-，则此时'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-。
注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。
因此，会出现两种情况：A: 校正后系统的阶数不变。
——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。
这里令12c s z s -=+（为什么不11c c s z s p -=-，那就白加校正装置了） 则12c z =-，此时，'112()()c c Kk G s s s p =-阶数不变。
'21112()()2()()416c c D s s s p Kk s s s s s s =-+=--=++（校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等）则114216c c p Kk =-⎧⎨=⎩，则8(2)()4cc s K G s s +=+结论：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）B 校正后系统的阶数升高。
——如果升高，系统除1,22s j =-±外会多出来一个极点3s 。
此时，'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-。
对于单位负反馈来说，'111123()(2)()2()()()()c c c D s s s s p Kk s z s s s s s s =+-+-=---因为1,22s j =-±2种可能：a):31||5Re ||s s >，例如，此时，取314s =-，则'2111()(2)()2()(416)(14)c c c D s s s s p Kk s z s s s =+-+-=+++，可以求出1c z ，1c p 111240 165.6c c c Kk p z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则此时，20( 5.6)()16cc s K G s s +=+ b):3s 与'1112()()(2)()c c c Kk s z G s s s s p -=+-的某零点成为偶极子，例如，此时，设310.99c s z =（3s 与1c z 离的很近，可以作用抵消或者设130.99c z s =）则'21111233()(2)()2()()()()(416)()c c c D s s s s p Kk s z s s s s s s s s s s =+-+-=---=++- 合并同类项，得11111111240.99 2216 3.96215.84c c c c c c c c p z Kk p z Kk z z -=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，则111215.84 3.92 1.94c c c Kk p z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩。
则此时，7.92( 1.94)() 3.92cc s K G s s +=+ 可见，校正后系统的阶数升高，按特征多项式相等求解很烦琐，容易因计算精度而出现计算错误。
结论：动态校正一般按照校正后系统的阶数不变计算。
此时，选择一个原系统中离虚轴较近的极点与校正装置的零点抵消。
-------到底如何选择111()()c cc c c s z G s k s p -=-， 以上是方法讨论，实际做题时直接省掉即可------ 3） 动态校正——相当于频率法中超前校正------实际步骤注意：实际校正中的动态校正只是采用校正后系统的阶数不变的情况，即 令12c s z s -=+，则12c z =-，即设校正装置11(2)()cc c c s G s k s p +=-，此时，'112()()c c Kk G s s s p =-阶数不变。
'21112()()2()()416c c D s s s p Kk s s s s s s =-+=--=++（校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等）则114216c c p Kk =-⎧⎨=⎩，则84(2)(0.51)()40.251cc s s K KG s s s ++==++ 则校正后系统为'164()(4)(0.251)G s s s s s ==++，则校正后系统的04v K =。
注意：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）问题：1c k 怎么求？用18/c k K =，只要知道原来系统 K ，就知道了1c k 。
特别注意：原系统的K 可以随便取值（这一点不同于基于频率分析法的校正，因为该法开始按照稳态性能要求设计了原系统的K ，这一K 即是校正后系统的K ），这是因为后面有开环增益校正。
4)开环增益校正。
——相当于频率法中的滞后校正。
设22()c cz c s z G s s p -=-原来系统的04v K =，因此，05012.54v v K K α===。
取 220.210c z -==-，220.20.01612.5c c z p α-===-，则0.251()12.50.01662.51cz s s G s s s ++==++，可见是个滞后校正。
5) 检验设计结果；检验是否满足闭环主导极点条件，是否满足开环增益要求。
'016(0.2)50(51)()()()()()()(4)(0.016)(0.251)(62.51)cz cz cc s s G s G s G s G s G s G s s s s s s s ++====++++可见，开环增益显然满足要求。
这里关键要验证求出的闭环主导极点是否是真正的闭环主导极点，如果是，则所有的动态性能指标满足，因为闭环主导极点是从动态性能指标求出来的。
则 123()(4)(0.016)16(0.2)()()()D s s s s s s s s s s s =++++=---可以求得：1,22s j =-±，30.21s =-。
30.21s =-与()cz G s 中的(0.2)s +成为偶极子，作用抵消，因此，1,22s j =-±是闭环主导极点。
满足要求。
结论，采用84(2)(0.51)()40.251cc s s K K G s s s ++==++，0.251()12.50.01662.51cz s s G s s s ++==++可以满足性能指标要求。
例 6（不讲） ：设待校正的单位负反馈系统开环传递函数为0()(0.91)(0.0071)KG s s s s =++要求系统统性能指标为： ① %30%σ≤； ②0.25s t s ≤；③11000v K s -≥。
设计串联校正装置。
解：1）求取闭环主导极点位置由%e 100%30%σ=≤，得0.358ζ≥，这里取0.4ζ=。
取0.02∆=，由40.25s nt ζω=≤，得40n ω≥，这里取40n ω=。
则闭环主导极点1,21636.66n s j j ζωω=-±=-±。
2） 验证主导极点是否在原根轨迹上 把0()(0.91)(0.0071)KG s s s s =++写成零极点的形式：0158.73()(0.91)(0.0071)0.90.007( 1.11)(142.86)( 1.11)(142.86)K K KG s s s s s s s s s s ===++⨯++++01110000()( 1.11)(142.86)(0)(14.8936.66)(126.8636.66)(1636.66)67.8916.166.42117(21)G s s s s j j j l π∠=-∠+-∠+-∠-=-∠-+-∠+-∠-+=-+=≠+因此主导极点是否在原根轨迹上。
3） 动态校正设111()()c c c cc s G s s k z p -=-，则按照阶次不变来选择，则1( 1.11)()()c cc c k s G s s p +=-，则校正后的系统为：'101158.73()()()(142.86)()c cc c k KG s G s G s s s s p ==+-则1'3121158()(142.86)()((3)()).7c c p k D s s s s s s s s K s s =+-+=--- 令10158.73c k k K =合并同类项，则131303142.8632 142.861600321600c c p s p s k s -=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，则310157.3 46.4251680c s p k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩。
则1( 1.11)()(46.4)c cc k s G s s +=+。
则动态校正后系统为：'025168038()()()(142.86)(46.4)(0.0071)(0.02161)cc G s G s G s s s s s s s ===++++ 所以，038v K =。
问题：1c k 怎么求？用01158.73251680c k k K ==，只要知道原来系统 K ，就知道了1c k 。
4） 开环增益校正要求11000v K s -≥，则必须进行开环增益校正，0100026.338v v K K α=== 取2161.610c z -==-，22 1.60.0626.3c c z p α-===-，则 1.6(0.06251)()26.30.0616.671cz s s G s s s ++==++，可见是个滞后校正则'0()()()()()()cz cz cc G s G s G s G s G s G s ==251680( 1.6)1000(0.06251)(142.86)(46.4)(0.06)(0.0071)(0.02161)(16.671)s s s s s s s s s s ++==++++++ 5） 验证：验证校正后系统的是否满足性能指标，主要验证闭环主导极点.注意验算就是解出具体的极点，看看我们说的闭环主导极点到底是不是主导极点。