2-6_二次曲面
二次曲面方程
二次曲面方程一、引言二次曲面方程是数学中非常重要的一类曲面方程。
它们具有丰富的几何性质和广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将从二次曲面的定义和性质、几何图形以及实际应用三个方面，生动全面地介绍二次曲面方程。
二、定义和性质二次曲面是由二次方程表示的曲面。
一般地，二次曲面方程可以写成Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0的形式。
其中A、B、C不全为零，D、E、F、G、H、I、J是常数。
这种方程描述了空间中的一个曲面，其形状和性质与方程的系数有关。
对于二次曲面方程，有一系列重要的性质。
首先，二次曲面在三维空间中通常表示一个曲面，形状可以是椭圆、双曲线或抛物面。
其次，二次曲面可能有中心或焦点等特殊点，这些点对于曲面的性质和几何特征具有重要意义。
最后，通过调整方程的系数，可以改变二次曲面的形状和方向，从而产生不同的几何图形。
三、几何图形根据二次曲面方程的不同形式，我们可以了解到不同的几何图形。
首先是椭球面，当A、B、C都为正数时，方程描述了一个椭球体。
椭球体在三维空间中呈现出类似于地球的形状，可以用来表示行星、人工卫星等球状物体。
其次是双曲面，当A、B、C中有一个为负数时，方程描述了一个双曲体。
双曲体的形状类似于双曲线，可以用来表示一些物理现象，如电场分布和透镜等。
最后是抛物面，当A或B为零，且C不为零时，方程描述了一个抛物体。
抛物体可以用来描述抛物运动，也可以用于建模天文、航空等领域的问题。
四、实际应用二次曲面方程在现实生活中有广泛的应用。
首先，它们在物理学中发挥着重要作用。
例如，抛物面方程可以用来描述物体的运动轨迹，从而对物体的运动进行预测和分析。
其次，二次曲面方程在工程学中也有重要应用。
通过使用椭球面方程，工程师可以设计出符合实际需求的复杂三维结构，如建筑物、车辆和飞机等。
此外，二次曲面方程还在计算机科学领域得到了广泛应用。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
最新二次曲面的定义教学课件
25表示怎样的曲线？
x3
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结束语
谢谢大家聆听！！！
20
xo
y
p0, q0
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特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz面上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
平面 xa的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
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x2 a2
by22
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
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二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
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思考题
方程
x2 4y2 z2
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与平面 y y1 (y1b)的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y1 2b2,实轴与 x轴平行, 虚轴与 z轴平行.
(2) y1 2b2,实轴与 z轴平行, 虚轴与 x轴平行.
(3) y1b,截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
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x a
z c
0
,
y b
x a
几种常见的二次曲面
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
二次曲面分类简介
空间直角坐标变换
若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,
则原系到新系旳坐标变换公式为:
x
A1x
B1 y C1z D1 A12 B12 C12
y
A2 x
B2 y C2 z D2 A22 B22 C22
,
z
A3 x
B3 y C3z D3 A32 B32 C32
(一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点:
[3] 虚椭球面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0;
x2 y2 z2 1;
a2 b2 c2
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二次曲面旳类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面:
[5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面 [6] 二次锥面: (四) 抛物面
其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
()
记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c
上页 下页 结束
用不变量判断二次曲面类型
则
a11 a`12 a13 b1 x
上页 下页 结束
空间直角坐标变换
点旳坐标变换公式:
x y
c11x c21x
c12 y c22 y
c13z d1 c23z d2
,
z c31x c32 y c33z d3
x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d2 . z c31 c32 c33 z d3
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程一、引言二次曲面是解析几何中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学等学科中。
本文将探讨二次曲面的标准方程及其基本性质。
二、二次曲面的定义二次曲面是由二次函数所描述的曲面。
在三维空间中，一般可以表示为一个二次方程，即Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0三、二次曲面的分类二次曲面可以分为三类：椭圆面、抛物面和双曲面。
它们的标准方程分别为：1. 椭圆面椭圆面是一个封闭的曲面，其标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别为椭圆长轴、长半轴和短半轴的长度。
2. 抛物面抛物面是一个开口朝上或朝下的曲面，其标准方程为z = Ax^2 + By^2其中，A和B为常数，决定了抛物面的形状和方向。
3. 双曲面双曲面有两个分支，其标准方程可以分为两种形式：（1）椭圆双曲面：(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为常数，决定了椭圆双曲面的形状。
（2）双曲抛物面：z = (x/a)^2 + (y/b)^2其中，a和b为常数，决定了双曲抛物面的形状。
四、二次曲面的性质二次曲面具有多种有趣的性质，以下列举其中几个典型的性质：1. 对称性二次曲面通常具有一定的对称性，可以分为关于x轴、y轴、z轴、原点等不同的对称性。
2. 交点与切线二次曲面与坐标轴的交点，即截距，可以通过将某一坐标设为0求解得到。
而在交点处，二次曲面的切线与坐标轴平行。
3. 焦点与准线对于椭圆面和双曲面，其焦点和准线是重要的概念。
焦点是指到其上任意一点距离差的长度之和为常数，准线则是过焦点的直线。
4. 焦点和直径对于椭圆面，焦点和直径是有着紧密联系的。
直径是通过椭圆中心并且两端都在椭圆上的线段，它的中垂线过焦点。
五、应用示例二次曲面的标准方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面以一个简单的实例来说明：一个椭圆形的太阳能反射镜可以通过椭圆面的标准方程来描述。
2.6二次曲面
二. 几种常见二次曲面. x2 y2 z2 （一） 椭球面 2 2 1 2 a b c 1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y2 2 2 1 b a z 0
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), x2 y2 得椭圆 k2
2 2 1 2 b c a z k
2
2
( p 0)
旋转抛物面
（由 xoz 面上的抛物线 x 2 2 pz 绕它的轴旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆. 当 z1 变动时，这种圆 2 2 x y 2 pz1 的中心都在 z 轴上.
z z1
（五）. 双曲抛物面 （马鞍面）
§6
二次曲面的定义：
二次曲面
一个仿射坐标系中，x,y,z的一个三元二次方程的 图像称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截线（截痕）法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
x
0
（马鞍面） （五）. 双曲抛 物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
x
0
.
（五）双曲抛物面
（马鞍面）
x2 y2 2 z 2 p q
(1 ) ( 2 )
2 y1 b 2 , 实轴与 x
轴平行,虚轴与 z 轴平行.
第六章-二次曲面的一般理论
第六章-二次曲面的一般理论-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a（1） 所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面类型
二次曲面类型
二次曲面是三维欧氏空间中，由三元二次方程所表示的曲面。
其一般方程为\(Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz=D\)。
二次曲面有很多类型，常见的包括：
1.平面：所有平面的方程都可以写成\(Ax+By+Cz=D\)的形式，其中\(A,B,C,D\)是常数。
2.球面：球面的方程可以写成\(x^2+y^2+z^2=R^2\)的形式，其中\(R\)是球的半径。
3.椭球面：椭球面的方程可以写成\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y ^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)的形式，其中\(a,b,c\)是椭球的半轴长度。
4.抛物面：抛物面的方程可以写成\(x^2+y^2=2az\)或\(x^2+z^ 2=2ay\)的形式，其中\(a\)是抛物面的开口大小。
5.双曲面：双曲面的方程可以写成\(x^2+y^2-z^2=1\)或\(\fra c{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的形式，其中\(a,b\)是双曲面的半轴长度。
6. 二 次 曲 面
§6 二 次 曲 面一、 球面的切面.直线MG 称为球面在点M 的法线.设球面方程为x y z px qy rz d 2222220++++++=则球面在点M (x y z 000,,)的切面方程为x x y y z z p x x q y y r z z d 0000000+++++++++=()()() 球面在点M (x y z 000,,)的法线方程为x x x p y y y q z z z r-+=-+=-+000000 [两个球面的交角] 设两个球面S x y z p x q y r z d 12221111222++++++=0 S x y z p x q y r z d 22222222222++++++=0两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作θ,则cos θ=++--++-++-22221212121212121212222222p p q q rr d d p q r d p q r d 因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.两个球面的正交条件为222012121212p p q q r r d d ++--=[球面束·两个球面的根面] 设S S S λλ120+=式中S 1和S 2如(1)式定义,λ为参数,则有)()(2)(2)(2))(1(21212121222=+++++++++++d d z r r y q q x p p z y x λλλλλ对λλ()≠-1的一个确定值,S λ表示一个球面,当λ取一切值()λ≠-1时,S λ所表示的球面的全体称为球面束.λ=-1时为一平面,称为两个球面S S 12,的根面,其方程为()()()222012121212()p p x q q y r r z d d -+-+-+-=根面与S 1和S 2的连心线垂直,束中任一球面λS 的中心在连心线上,且分连心线的比为λ.[球面汇·三个球面的根轴] 设S 1和S 2如(1)式定义,又设S x y z p x q y r z d 322233332220++++++=设 S S S S λμλμ1230++= 式中λμ,为二独立参数,则有()()()()()()12220222123123123123++++++++++++++++=λμλμλμλμλμx y z p p p x q q q y r r r z d d d对λμ,()λμ+≠-1的一对确定值,S λμ表示一个球面,当λμ,取一切值()λμ+≠-1时,S λμ所表示的球面的全体称为球面汇.三个球面中每对球面的根面分别为S S S S 122300-=-=,,和S S 210-=这三个平面交于一条直线,称为S S S 123,,的根轴.二、 椭球面三、双曲面a b c [双叶双曲面]x aybzc222222+-=-a=b时,为旋转双曲面]在Oxz平面上的曲线当a=b时,为旋转抛物面五、锥面与柱面当a=b时, 为圆锥面在Oxz平面上a b当a=b时,为圆柱面渐近锥面] 二次锥面 六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性质上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z 都是二次的.关于x,y,z 的一般二次方程的形式是ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.[直线与二次曲面的交点] 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.[平面与二次曲面的交线] 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.[二次曲面的直径平面与中心] 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l ,m ,n ,则直径平面的方程为()()()()0=+++++++++++rn qm pl z cn fm gl y fn bm hl x gn hm al或改写为()()()ax hy gz p l hx by fz q m gx fy cz r n +++++++++++=0当l ,m ,n 变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点:ax hy gz p hx by fz q gx fy cz r +++=+++=+++=000如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.[二次曲面的主平面与主轴] 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴.[二次曲面的切面与法线] 二次曲面在一点M (x y z 000,,)的切面方程为()()()()()()ax x by y cz z f y z z y g z x x z h x y y x p x x q y y r z z d 0000000000000+++++++++++++++=在点M 与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线,它的方程可写为x x ax hy gz p y y hx by fz q z z gx fy cz r-+++=-+++=-+++000000000000 [二次曲面的圆截面] 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面.如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.2.二次曲面的不变量 由二次曲面的一般方程ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= (1)的系数组成的下列四个函数:222,,h g f ca bc ab J c b a I cf g f b h gh a D dr q p rc f g q f b h pg h a ---++=++===∆ 称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式∆称为二次方程(1)的判别式.。
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6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
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6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
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§6 二次曲面
在高等代数中, 利用二次型理论可以证明非空 在高等代数中 利用二次型理论可以证明非空 二次曲面有且只有 有且只有下面这 类型: 二次曲面有且只有下面这 14 种类型 (一) 椭球面 一 x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1; [1] 椭球面: 椭球面: 2 a b c 2 2 2 x y z + 2 + 2 = 0; [2] 点: 2 a b c (二) 双曲面 二 x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1; [3] 单叶双曲面 单叶双曲面: 2 a b c
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6.1 压缩法
● 向 xz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换
M(x, y, z) → M′(x, ky, z) . ′ 即 对一个图形 图形作 平面、 对一个图形作向 xz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩 对图形上的每一点做这个压缩. 就是对图形上的每一点做这个压缩 ● 向 yz 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换 M(x, y, z) → M′(kx, y, z) . 即 ′ 对一个图形 图形作 平面、 对一个图形作向 yz 平面、系数为 k 的压缩 就是对图形上的每一点做这个压缩 对图形上的每一点做这个压缩. 就是对图形上的每一点做这个压缩 时是真正意义的压缩 压缩, 注: 系数 0< k < 1 时是真正意义的压缩 k > 1时 时 拉伸, 统称为压缩. 实际上是拉伸 以后统称为压缩 实际上是拉伸 以后统称为压缩
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结束6.1 压缩法来自● 向 xy 面 的系数为 k (k > 0) 的压缩变换
定义: 在一个空间直角坐标系中, 定义 在一个空间直角坐标系中 对点 M(x, y, z) 压缩, 做向 xy 面、系数为 k 的压缩 就是把它变为点 M′(x, y, kz). 如果对空间的每一点做这种压缩 就 如果对空间的每一点做这种压缩 对空间的每一点做这种压缩, ′ 得到空间(作为点集 到自己的一个一一对应, 作为点集)到自己的一个一一对应 得到空间 作为点集 到自己的一个一一对应 称 为空间向 压缩变换. 为空间向 xy 面、系数为 k 的压缩变换 M(x, y, z) → M′(x, y, kz) . ′ 即 对一个图形 图形作 平面、 的压缩就 对一个图形作向 xy 平面、系数为 k 的压缩就 对图形上的每一点做这个压缩. 做这个压缩 是对图形上的每一点做这个压缩 类似地, 类似地 可定义
2 1 2 2
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6.1 压缩法
经过向 直线 l1, l2经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后的 一般方程分别为 一般方程分别为 C11 1 π 1 : A11 x + B11 y + z + D11 = 0 ′ k l1 : 1 C2 1 1 1 1 π 2 : A2 x + B2 y + z + D2 = 0 k C12 1 π 1 : A12 x + B12 y + z + D12 = 0 ′ k l2 : C22 1 π 2 : A22 x + B22 y + z + D22 = 0 k
π : l1 : π : 2 π 1 : l2 : 2 π 2 :
1 1 1 2
A x+ B y+C z+ D =0 A x+ B y+C z+ D =0
1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
A x+ B y+C z+ D =0 A x+ B y+C z+ D =0
2 2 2
2
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§6 二次曲面
(五) 二次柱面 五 [8] 椭圆柱面 椭圆柱面: [9] 直线: 直线 [10] 双曲柱面 双曲柱面: [11] 一对相交平面 一对相交平面:
x y + 2 = 1; 2 a b 2 2 x y + 2 = 0; 2 a b 2 2 x y − 2 = 1; 2 a b x2 y2 − 2 = 0; 2 a b
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6.1 压缩法
x2 y2 z 2 ● 椭球面 2 + 2 + 2 = 1 的图形 a b c
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6.1 压缩法
x2 y2 z 2 (2) 单叶双曲面 2 + 2 − 2 = 1 的图像可看成 a b c 2 2 2 x y z 是由旋转单叶双曲面 2 + 2 − 2 = 1 a a c 平面做系数为 的压缩得到的. 向 xz 平面做系数为 b/a 的压缩得到的 x2 y2 z 2 (3) 双叶双曲面 2 + 2 − 2 = −1 的图像可看成 a b c x2 y2 z2 是由旋转双叶双曲面 2 + 2 − 2 = −1 a a c 平面做系数为 的压缩得到的. 向 xz 平面做系数为 b/a 的压缩得到的
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6.1 压缩法
的方向向量分别为 从而直线 l1′, l2′的方向向量分别为 1 1 ′ 1 1 C1 1 1 C2 u1 = ( A1 , B1 , ) × ( A2 , B2 , ) k k 1 B11 C11 1 C11 A11 A11 B11 , , 1 = k B1 C 1 k C 1 A1 A B1 2 2 2 2 2 2 2 2 ′ 2 C1 2 2 2 C2 u2 = ( A1 , B1 , ) × ( A2 , B2 , ) k k 1 B12 C12 1 C12 A12 A12 B12 = k B 2 C 2 , k C 2 A2 , A2 B 2 2 2 2 2 2 2 由此易知 l1′// l2′ ⇔ l1 // l2 .
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§6 二次曲面
[4] 双叶双曲面 双叶双曲面: (三) 抛物面 三 [5] 椭圆抛物面 椭圆抛物面: [6] 双曲抛物面 双曲抛物面: (四) 二次锥面 四 [7] 二次锥面 二次锥面:
x y z + 2 − 2 = 0; 2 a b c
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x y z + 2 − 2 = −1; 2 a b c x2 y2 + 2 = 2 z; 2 a b x2 y2 − 2 = 2 z; 2 a b
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6.1 压缩法
x y z (1) 椭球面 2 + 2 + 2 = 1 的图形是由单位球面 a b c x 2 + y 2 + z2 = 1 经过三次压缩得到的图形: 三次压缩得到的图形 经过三次压缩得到的图形 的压缩; 向 yz 平面做系数为 a 的压缩 的压缩; 向 xz 平面做系数为 b 的压缩 的压缩. 向 xy 平面做系数为 c 的压缩 注: 一个图形如果在空间直角坐标系内有方程 x2 y2 z 2 + 2 + 2 = 1, 则称这种图形为椭球面 则称这种图形为椭球面 椭球面. 2 a b c
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6.1 压缩法
x2 y2 z 2 ● 单叶双曲面 2 + 2 − 2 = 1 图形 a b c
z
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6.1 压缩法
x2 y2 z 2 ● 双叶双曲面 2 + 2 − 2 = −1 的图形 a b c
x
y
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6.1 压缩法
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6.1 压缩法
由此易见, 平面经过压缩得到的仍是平面(方程 经过压缩得到的仍是平面 由此易见 平面经过压缩得到的仍是平面 方程 一次方程), 不会改变两个平面的 仍是一次方程 并且不会改变两个平面的相交性 仍是一次方程 并且不会改变两个平面的相交性 平行性. 和平行性 作为两个平面的交线) 压缩仍是 直线 (作为两个平面的交线 经过压缩仍是直 作为两个平面的交线 经过压缩仍是直 并且不会改变两条直线的共面性 平行性. 不会改变两条直线的共面性和 线, 并且不会改变两条直线的共面性和平行性 设直线 l1, l2的一般方程分别为 的一般方程分别为