1.2.1常数与幂函数的导数
18-19版：1.2.1 常数函数与幂函数的导数～1.2.2 导数公式表及数学软件的应用（步步高）
学习目标
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的 导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7 8
2 .
解答
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0， y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题， 一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置 情况，再利用导数的几何意义准确计算.
反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解 析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝x12； 解 y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y＝5 x3；
解
y′＝(5
x3)′＝(
3
x5
)′＝35
x
2 5
＝
3
.
55 x2
解答
(3)y＝log2x； 解 y′＝(log2x)′＝xln1 2.
切线的斜率为 y'|x=x0 ＝ ex0 ，
则 ex0＝yx00－ －00，
①
又y0＝ ex0 ，
②
由①②可得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
12345
解析 答案
5.求过曲线y＝sin x上点P π6，12 且与在这一点处的切线垂直的直线方程.
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数预习案一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念2.导数的几何意义二、一试身手利用导数的定义求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2导学案一、学习目标（1）知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力（3）情感态度价值观提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =的导数是什么？（2） 典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y2 1 (2)y (3)yxx=+==213632')1(xxy=⨯=-解：33122222)(2)'()'1(':)2(xxxxxy-=-=-===----解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数.拓展案一、选择题1．()f x与()g x是定义在R上的两个可导函数，若()()f xg x，满足()()f xg x''=，则()f x与()g x满足（）Ａ．()()f xg x=Ｂ．()()f xg x-为常数Ｃ．()()0f xg x==Ｄ．()()f xg x+为常数二、填空题2．设32()391f x x x x=--+，则不等式()0f x'<的解集是．3．曲线1yx=和2y x=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题4．求过曲线cosy x=上点π132P⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． 当堂检测1.答案：Ｂ2.答案：Ｃ3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：拓展案1.答案：Ｂ2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P． ∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π2032x -+=．。
学案6：1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数学习目标：（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.学习过程：提出问题已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x . 问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α为正数)的形式，其导数有何规律？例题探究：例1：求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．例2：若质点P的运动方程是s＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．例3：设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．课堂检测：1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定2．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．4．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．5．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．6.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．参考答案学习过程：提出问题问题1：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx＝0， ∴y ′＝0lim x ∆→Δy Δx＝0. 问题2：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x. 问题3：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1， (5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x， ∴(x α)′＝αx α－1.例题探究：例1：解：∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上， ∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30，k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1. 又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 20＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32. ①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)， 即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332， 切线为y －12＝6＋332(x －1)， 即(6＋33)x －2y －5－33＝0.③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)， 即(6－33)x －2y －5＋33＝0.综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0. 例2：解：∵s ′＝(3t 2)′＝(23t )′＝2313t -， ∴v ＝23×138-＝23×2－1＝13， ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 例3：解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52 ＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.课堂检测：1．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1， ∴x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．【答案】B【解析】由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.3．【答案】(4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0【解析】y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2， ∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．4．【答案】4x －4y －1＝0【解析】y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)， 则0x x y ='＝2x 0. ∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ， ∴k ＝0x x y ='＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．【答案】4【解析】y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 6.解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 切线的斜率k ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。
【数学】1.2.1《常数函数与幂函数的导数》课件(新人教B版选修2-2)
∆y 所以 y`= lim = lim − =− . ∆x → ∆x ∆x → x x + x ⋅ ∆x
究 出 数 探 画 函 y = 的 象 据 象描 它 图 .根 图 , 述 的 x 变 情 ,并 出 线 点 , )处 切 方 . 化 况 求 曲 在 ( 的 线 程
根 函 的 义 函 y = f ( x)的 数 据 数 定 ,求 数 导 , ∆y , 就 求 当 x趋 于 时 所 于 那 是 出 ∆ 近 趋 的 ∆x 个 值 定 .
面 们 几 常 函的 数 下 我 求 个 用数 导 .
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = ∆x ∆x O x c−c = = , ∆x 图 . − ∆y 所以 y`= lim = lim = . ∆x → ∆x ∆x → y`= 表示函数 y = c图象( . − )上每一点处的 切线的斜率都为 .若y = c表示路程关于时间的 函数, 则 y`= 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为 , 即一直处于静止状态.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = = ∆x ∆x
. 函数 y = f ( x ) = x 的导数
x + ∆x − x ∆x
( =
=
x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x x + ∆x + x
(
)(
)
)
x + ∆x + x
,
∆y 所以 y`= lim = lim ∆x → ∆x ∆x →
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
高中数学导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_2
教材整理 2
基本初等函数的导数公式
阅读教材 P17，完成下列问题． 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ (x＞0，μ≠0 且 μ∈Q) y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex 导函数 y′＝________ y′＝________，n 为正整数 y′＝________，μ 为有理数 y′＝________ y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x
【答案】 0 nx cos x －sin x
n－1
y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝________
μx
μ－1
a ln a e
x
x
1 1 xln a x
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′＝－x3； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x π 2 (2)求函数 f(x)＝cos x 在 ， 处的导数． 4 2 1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x
质点的运动方程是 s＝sin t， π (1)求质点在 t＝3时的速度； (2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求 s′(t)，再求
π s′3.
(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数，故先求 v(t)，再求导．
课件11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
x；(4)y＝ log1 x . 3
解：(1)y′＝(lg x)′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln 12＝－12xln 2.
(3)y′＝(x
x)′＝(
x
3 2
)′＝32
x
1 2
＝32
x.
1
1
(4)y′＝( log1 x )′＝ 1＝－xln 3.
3
xln 3
类型2：求函数在某点处的导数
∴x0＝116，∴y0＝14. 则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1，
x1)，则切线斜率为
y
x x1
＝ 2
1， x1
∴切线方程 y－ x1＝2 1x1(x－x1)，
又切线过点 P(0，1)，∴1－ x1＝2 1x1(－x1)，
即 x1＝2，x1＝4.
C．若 y＝1x，则 y′＝－x12
D．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
【解析】 ∵(cos x)′＝－sin x，∴A 不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B 不正确； ∵( x)′＝21 x，∴D 不正确．
【答案】C
2．给出下列命题： ①y＝ln 2，则 y′＝12； ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2； 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
＝1x、y＝ x的导数公式推导及基本初等函数的导数公式的 应用．
知识1：常用函数及基本初等函数的导数公式
问题导思： 如何用定义求函数 y＝f(x)＝C 的导数？类似地你
能求出函数 y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，y＝f(x)＝1x，y＝f(x) ＝ x的导数吗？
1常见函数的导数公式
1常见函数的导数公式1.常数函数导数公式：常数函数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：幂函数的导数为幂值乘以幂次减1，即f(x) = x^n，则f'(x) =nx^(n-1)。
其中，n是实数。
3.指数函数导数公式：指数函数的导数等于底数乘以原函数，即f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)。
其中，a是底数，ln是自然对数。
4.对数函数导数公式：对数函数的导数等于原函数的导数除以自变量的函数值，即f(x) = log_a(x)，其中a为底数，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
5.三角函数导数公式：- 正弦函数的导数是余弦函数，即f(x) = sin(x)，则f'(x) =cos(x)。
- 余弦函数的导数是负正弦函数，即f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数是其余切的平方，即f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x) = 1 + tan^2(x)。
6.反三角函数导数公式：- 反正弦函数的导数为倒数根减去角度的平方根，即f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / √(1 - x^2)。
- 反余弦函数的导数为倒数根减去角度的平方根，即 f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1 / √(1 - x^2)。
- 反正切函数的导数为倒数加上角度的平方根，即 f(x) =arctan(x)，则 f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
7.双曲函数导数公式：- 双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数，即 f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。
- 双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数，即 f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1. 2.1常数函数与幂函数的导数【一】课标点击 编者：陆代弟 2009.2. 16(一)学习目标：掌握常数函数与幂函数的导数的求法(二)教学重、难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导【二】课前准备（一）知识连接复习：导数的概念及其几何意义（二）问题导引：1．情境：（1）求函数)(x f y =的导数的一般方法是：①求函数改变量)()(x f x x f y -∆+=∆； ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ③求当x ∆无限趋近于0时，y x ∆∆无限趋近的值()f x '；④得结论导函数()f x '． （2）求下列函数的导函数①2()f x x =，②()f x =③3()f x x =， ④1()f x x=． 【学习探究（一）自主探究：自主学习课本14页至15页部分（二）思考与讨论1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0 ∴x y ∆∆=0，y '=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0. 2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以这里只给出了*N n ∈的证明以供教师参考证明：()y f x ==nx∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n n x x x +∆-=n x +1C n 1n x-Δx +2C n 2n x -(Δx )2+…+n n C ()n x ∆－n x =1C n 1n x -Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+nn C ·()n x ∆ xy ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆ ∴y '=()n x '=x y x ∆∆→∆0lim=0lim →∆x （1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆）=1C n 1n x -=n 1n x -∴y '=1)'(-=n n nx x（三）典例示范:例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--（四）变式拓展： 质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度． 解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． （五）归纳总结（六）当堂检测1. 过抛物线y=x 2上的点M （41,21）的切线的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、9002.曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54.巩固提高A 组P16 A 组B 组P16 B 组。
课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；
x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4
1
3x 4
3
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy
课件5： 1.2.1常数函数与幂函数的导数
2(10t t 2 )
平均变化率为： s 2(10t t 2 ) 2(10 t)
t
t
t 0 时，f (5) lim 2(10 t) 20 t 0
＊ 导数是瞬时变化率 ＊ 表示何意义？
∴ f (5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。
y tan x
y cot x
导数
y x 1
y cos x
y sinx
y
1 cos2 x
y
1 sin 2
x
小结
＊ 计算导数的步骤：
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
第一章 导数及其应用
§1.2.1常数函数与幂函数导数
高中数学必选修2-2
复习回顾
＊ 导数的定义：
函数 y f (x)在 x0 处的导数 f (x0 )：
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) lim
x1 x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
＊ 导数的几何意义：
（2）函数值的增量：y f (2 x) f (2) x x
平均变化率： y
x 2 x
x
2 x
1 1
x
x
2 x
∴
f (2) lim( 1 1) 1 1 1
x0 2 x
22
（3）函数值的增量：
y
f (x0 x)
f (x0 )
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软
故f′(x)>1时,有0<x< 1 .
ln 3
答案: ( 0， 1 )
ln 3
1199
类型一 利用导数公式求函数的导数
【典例】1.下列函数求导运算正确的个数为
①(3x)′=3xlog3e;
② (log2x)′=
③ l n 1=x x ;
;1
x ln 2
()
2200
④若y= 1,则在x=3处的导数为- . 2
1133
【自我检测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)(sinx)′=-cos x. ( )
(2)
(1 x
).
1 x2
(
)
(3)(log5x)′=
. 1(
5 ln x
)
(4)(lnx)′= . ( 1 )
x
1144
提示:(1)×.(sin x)′=cos x.
(2)×. ( ′1=) (x-1)′=-x-2=- . 1
x
1 x2
1111
2.关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)幂函数f(x)=xα中的α可以由Q*推广到任意实数. (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号) 正同余反”.
1122
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然 对数. (4)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. (5)注意区分幂函数f(x)=xα与指数函数f(x)=ax的导数.
44
(4)若y=f(x)=x3,则f′(x)=___. 3x2
(5)若y=f(x)= (6)若y=f(x)=
1
,则1x f′(x)=____= ____x(x2 ≠0). -x-2
学案7：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数的四则运算法则学习目标1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数． 基础知识1．基本初等函数的导数公式表(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．做一做1－1 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y＝1x 2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 做一做1－2 下列结论中正确的是( )． A ．(log a x )′＝a x B ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5x ln 5 2．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________． (2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________. 名师点拨(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分． (2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ). (3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x ，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 做一做2 下列求导运算正确的是( )． A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识拓展对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 做一做3 函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________． 重点难点1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数． 2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1. 典型例题题型一 利用公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 例题2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误． 题型三 求复合函数的导数 例题3 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n (x ∈N ＋)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)； (4)y ＝x cos x 2.反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环． 题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键． 例题4 求函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数．错解：y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x )． 随堂练习1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝x B ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x C ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos x x 的导数是( )．A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )． A ．121＋a ＋121－x B ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.参考答案基础知识·梳理1．nx n－1a x ln a1x ln a cos x－sin x做一做1－1 【答案】B由求导公式可知，①③④⑥正确．做一做1－2 【答案】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )做一做2 【答案】B由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x 2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 做一做3 【答案】y′＝22x ＋3【解析】函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数， 于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟例题1 解：(1)y′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2 x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y′＝cos x .例题2 解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x ·sin x cos x ′＝(x ·sin x )′·cos x －x ·sin x (cos x )′cos 2x ＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .(3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11. (4)方法1：y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法2：y ＝1－2x ＋1，y′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.例题3 解：(1)y′＝[(2x ＋1)n ]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5′＝5·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 4·⎝⎛⎭⎫x 1＋x ′＝5x 4(x ＋1)6. (3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′ ＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)． (4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x ＝cos x 2－2x 2sin x2.例题4 错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u 与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x ×(－1)＝－e －x ， 所以y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固 1．【答案】D 2．【答案】B【解析】f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 3．【答案】C【解析】y′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. 4．【答案】D【解析】由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′ ＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x.5．【答案】－3 9【解析】∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－2(4a ＋b )＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.。
学案10：1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标1.了解基本初等函数的导数公式．2.理解函数y ＝C (C 为常数)、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 的导数公式的推导过程．3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．新知提炼基本初等函数的导数公式表自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( )2．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定4．已知f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x2；(4)y ＝1x 2；(5)y ＝log 3x .方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练 1.已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．2．求下列函数的导数： (1)y ＝1x 5；(2)5x 3；(3)y ＝3x ；(4)y ＝log 2x .题型二 求函数在某点处的导数例2 (1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数； (2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数． 方法归纳求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f′(x)；(2)求f′(x0)的值．跟踪训练求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．互动探究在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．跟踪训练已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．素养提升1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．失误防范在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝e x很好记，但对于公式(log a x)′＝1x ln a(a＞0且a≠1)和(ax)′＝a x lna (a ＞0)的记忆就较难．当堂检测1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－2)＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e3．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′（2），则m ＝________．4．抛物线y ＝x 2的一条切线方程为6x －y －b ＝0，则切点坐标为________．参考答案新知提炼0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1x ln acos x －sin x 自我尝试1．(1)× (2)× (3)× 2．C 3．B 4．－32题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 [解] (1)y ′＝3x 2.(2)因为y ＝x 32，所以y ′＝32x 12＝32x .(3)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x . (4)因为y ＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x 3.(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 跟踪训练 1. 1【解析】因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.2．解：(1)y ′＝(1x 5)′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2； (3)y ′＝3x ln 3； (4)y ′＝1x ln 2. 题型二 求函数在某点处的导数例2 [解] (1)因为y ＝a x ，所以y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a .(2)因为y ＝ln x ，所以y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.方法归纳求函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求f ′(x )； (2)求f ′(x 0)的值．跟踪训练 解：f ′(x )＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x 3，所以f ′(1)＝－12×1＝－12，所以函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.题型三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ， 所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.互动探究 解：假设存在与直线PQ 垂直的切线， 因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x ′0，y ′0)，则y ′|x ＝x ′0＝2x ′0， 令2x ′0＝－1，则x ′0＝－12，y ′0＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 跟踪训练 解：设切点为(x 0，ln x 0)， 由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线为x －y ＋c ＝0，其斜率为1.所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c ＝0，所以c ＝－1.当堂检测1．D【解析】因为f ′(x )＝(1x )′＝－x －1－1＝－x －2，所以f ′(－2)＝－x －2|x ＝－2＝－14.2．A【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 3．－4【解析】f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .因为g ′(2)＝1f ′（2），所以m ＝－4.4．(3，9)【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)， 所以k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝6， 所以x 0＝3，y 0＝9， 即切点坐标为(3，9)．。
20-21版：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用（创新设
1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
学习目标
1.理解各个公式的证明过程,进一步理解运用定义求导数的 方法. 2.掌握常见函数的导数公式. 3.灵活运用公式求某些函数的导数.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
8
2.基本初等函数的导数公式 y＝f(x)
y＝c(c为常数) y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x＞0,μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a＞0,a≠1)
y＝logax(a＞0,a≠1,x＞0)
y′＝__f′___(_x_)_
y′＝__0_ y′＝ nxn－1 ,n为正整数
y′＝ μxμ－1 ,μ为有理数
1234
3 A. 6
1 C.2 x
B.0 3
D. 2
解析
∵f′(x)＝(
x)′＝21
x,∴f′(3)＝2
1
3＝
3 6.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
25
1234
3.设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,
则直线 l 的倾斜角的范围是( A.0，π4∪34π，π C.π4，34π
y′| x＝π6
＝cosπ6＝
3 2.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
19
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2 3,
故所求的直线方程为 y－12＝－ 23x－π6,
即 2x＋ 3y－ 23－3π＝0.
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
课件3 ：1.2.1常数函数与幂函数的导数
(5)y′＝
1 5 x2
′＝(x－25)′＝－25x－25－
1＝－25x－75.
【解题心得】 求函数的导数,一般不用定义, 而主要应用导数公式.这就要求必须熟记常见 函数的导数公式.应用公式时,一定要遵循“先 化简,再求导”的基本原则.在实施化简时,首 先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失 误.
题型三 求曲线的切线方程
例 3 已知曲线 y＝ x.求: (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程.
【方法总结】 对于(1),由 y＝ x对 x 求导,可得到曲线 y ＝ x的切线的斜率,进而可得相应切点的坐标,易求得切线 方程;对于(2),设出切点坐标,利用切点在对应切线上,求得 切点坐标和相应切线的斜率,进而求得切线的方程.
例 2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x2
【解】
∵f′(x)＝(x－23)′＝－23x－53＝－23·
1, 3 x5
∴f′(1)＝－23.
【名师点评】 求函数在某一点处的导数需 要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函 数求解.
变式训练
2.已知 f(x)＝1x,g(x)＝mx,且 g(2)＝f′（1 2）,则 m＝__－__2____. 解析:f′(x)＝－x12, ∴f′(2)＝－14,g(2)＝2m. 又∵g(2)＝f′（1 2）, ∴2m＝－4, ∴m＝－2.
2t
名师微博 对 P 不作验证，误认为 P 在 曲线上是易错点.
又∵切线斜率为u－t 1,∴21 t＝u－t 1＝
课时作业9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 2．y ＝13x 2的导数为( )A ．23x －13B ．23x C ．23x-D ．－2353x -3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝04．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D ．5π45．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( )A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝06．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( ) A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝07．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B ．110523C.25523 D ．1105238．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2二、填空题9．曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．10．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．参考答案1．【答案】B【解析】本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(12x -)′＝－1232x -＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝1212x -＝12x，正确．对于D ，正确． 2．【答案】D 【解析】y ′＝(23x -)′＝－23·53x -.∴选D. 3．【答案】A【解析】∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0. 4．【答案】C【解析】∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．【答案】A【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A. 6．【答案】D【解析】∵0x x y ='＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．【答案】B【解析】∵s ′|t ＝4＝1545t -|t ＝4＝110523.故选B.8．【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.9．【答案】(12，2)或(－12，－2)【解析】设P (x 0，y 0)，则k ＝0x x y ='＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12， 当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．【答案】(2,1)【解析】∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3， ∴－8x －3＝－1， ∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)．11．解：(1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x30－3x20＋4＝0，∴x0＝－1或x0＝2，∴切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.。
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一、学习目标：
1、知识与技能：
通过实例分析掌握常数函数与幂函数的导数的求法并总结规律；
2、过程与方法：幂函数求导及规律；
3、情感、态度与价值观：以极度的热情、自动自发的投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
二、复习引入：
1.按定义求导数有哪几个步骤？
2.用导数定义求函数y=C （常数）的导数.
三、教学过程：
问题1：常数函数的导数是什么？几何意义是什么？
问题2：运用导数定义，求下列几个幂函数的导数.
(1)y=x
(2)y=2
x (3)y=x 1
(x ≠0) (4)y=x (x>0)
问题3：通过以上四个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？
问题4：幂函数y=n x (n ∈Q)的导数是什么？
练习:求以下几个幂函数的导数.
(1)y=8x
(2)y=12x
(3)y=3
4x
例1：求下列函数的导数。
1、
35=y 2、53x y = 3、6-=x y
练习：A 组第2题，B 组第1题。
例2.质点运动方程是S=51t
，求质点在t=2时的速度.
练习：A 组第3题
能力拓展：
A 组第4题求三次函数3x y =在点（2，8）的切线方程。
B 组第2题分别求出曲线x y =在点（1，1）与点（2，2）的切线方程。
课堂检测：。