2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.文)含详解
2008年高考上海文理科数学试卷及答案
2 0 0 8 年 上海高考数学试卷(理)、（文）评析一. 填空题（本大题满分44分）1．不等式11<-x 的解集是 )2,0( .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =____2_________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____+1i .________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f 2 .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=___7_______.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 2. .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是43(结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 ),1()0,1(∞+- .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 5.10,5.10==b a .10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是a h h 2c o t c o t 2211≤⋅+⋅θθ解：11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是),6()6,(∞+-∞- .解：方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标，由此可知：方程044=-+ax x 可变为：34x a x +=，先算：方程42x x x=⇒=，2则33226x a a a +=+<⇒<-或33(2)26x a a a +=-+>-⇒> （文）11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是解：作图：由图可知点落在BC 边时，有BC:y=-2x+10， 则22525(210)2102()22w x x x x x =⋅-+=-+=--+ 当52x =时，即点P 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛5,25时，w 值最大。
2008高考上海数学文科试卷含详细解答
2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（文科）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ． 解：由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 解：由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 解：由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log fx x -=，则()f x = ．解：令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．解：2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+= 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 解：直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．解：设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．解： 由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 解： 2()2 4.f x x ⇒=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 解：中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小. 11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ． 解：作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10解： 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件解：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”.14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54解：由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA 解：由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧 DA. 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=..8分∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan 5….12分17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）． 解：【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………4分 在CDO ∆中，2222cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………….9分解得490044511r =≈（米）. ………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H ………………..2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. …………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数()sin 2f x x =， π()cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别 交于,M N 两点．（1）当π4t =时，求MN 的值；（2）求MN 在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值． 解：（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231cos .32π=-=（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =-26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ ｜MN .19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）()()100;0,22x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x xx-=-⋅-=即解得 21x =±…………6分∵ (220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．解：（1）所求渐近线方程为0,0y y =+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0xλ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ， 使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100． 解：（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+ .2分 48464, 4.r r +=∴= 4分（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. .15分 此时，293294297298,,,T T T T 为100. 18分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文)
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式|1|1x -<的解集是 ．2．若集合{|2}A x x =≤、{|}a B x x =≥满足2A B = ，则实数a = ． 3．若复数z 满足(2)z i z =-（i 是虚数单位），则z = ． 4．若函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则()f x = ． 5．若向量a 、b 满足| a |=1，| b |=2，且a 与b 的夹角为3π，则| a | + | b | = ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且||2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0)A 、(2,0)B 、(1,1)C 、(0,2)D 、(2,2)E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数R ,a b ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)．如果(,)P x y 是ABC ∆围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取得最大值时，点P 的坐标是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10第15题图第16题图第17题图13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点(,)P x y 、点(,)P x y '''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB B ． BCC ． CD D ． DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处．小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=+，直线x t =()t R ∈与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4t π=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,2t π∈时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线22:12x C y -=． （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；（3）已知点D 、E 、M 的坐标分别为(2,1)--、(2,1)-、(0,1)，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM ∆截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a ⋅⋅⋅+=+++． （1）若1312264a a a a ⋅⋅⋅++=++，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪第16题图4项为100．参考答案一、填空题（第1题至第11题） 1．(0,2)2． 23．1i + 4． 2x（R x ∈） 56．－1 7． 48．459．224x -+10．10.5a =，10.5b =11． 5(,5)2二、选择题（第12题至第15题） 12．D 13．C 14．B 15．D三、解答题（第16题至第21题）16．解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ． ∵ EF ⊥平面ABCD∴ EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得1112EF CC ==． ∵ 112CF CB ==，∴DF =． ∵ EF DF ⊥，∴tan 5EF EDF DF ∠==． 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan ．17．解法1：设该扇形的半径为r 米．由题意，得500CD =（米），300DA =（米），60CDO ∠=． 在CDO ∆中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=，第17题图即2221500(300)500(3020)2r r r ⨯⨯-⨯-=+-， 解得490044511r =≈（米）． 答：该扇形的半径OA 的长约为445米．解法2：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ．由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=． 在ACD ∆中，2222cos120AC CD AD AD CD =+-⋅⋅⋅222150030500300207002=⨯⨯=+⨯+， ∴700AC =（米），22211214cos AC AD CD CAD AC CD +-∠==⋅⋅．在直角HAO ∆中，350AH =（米），1os 114c HAO ∠=， ∴ 4900445cos 11HAO AH OA =∠=≈（米）．答：该扇形的半径OA 的长约为445米．18．解：（1）)cos(24||sin(246MN πππ⨯-⨯+=．231cos32π=-=． （2）||si 2s 2n co (6t MN t π-+=3sin 22t t =)6t π=-．∵ [0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ∴ ||MN19．解：（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xx f x =-． 由条件可知1222xx -=，即222210x x -⋅-=，解得21x=∵ 20x>，∴ 2log (1x =． （2）当[1,2]t ∈时，22112(2(2202tttt tm -+≥-， 即42(21())21t t m ≥---， ∵ 220t>，∴2(21)t m ≥-+． ∵ [1,2]t ∈，∴2(12)[17,5]t -+∈--， 故m 的取值范围是[)5,-+∞．20．解：（1）所求渐近线方程为02y x -=，02y x +=． （2）设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --．0000(,1)(,)MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅--22001x y =--+20322x =-+。
【高考试题】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-上海卷
【高考试题】2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x -＜的解集是___________________.2．若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}A B =I ，则实数a = . 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = . 4．若函数()f x 的反函数为12()fx x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5．若向量a b r r 、满足1,2,a b ==r r 且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r ＝___________________ 6．函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是___________________. 7．在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。
已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题 1．函数y =）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．14．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．在A B C △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ ） A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +6．2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数7．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64B ．81C ．128D ．2438．若函数()y f x =的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．22e x -B ．2e xC ．21e x +D ．2+2e x9．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位10．若直线1x y ab+=与圆221x y +=有公共点，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤ D ．2211ab+≥111．已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．3C ．3D ．2312．将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在A B C △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．已知菱形A B C D 中，2A B =，120A ∠=，沿对角线B D 将ABD △折起，使二面角A B D C --为120 ，则点A 到BC D △所在平面的距离等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若A B C △的面积10S =，求A B C △的周长l ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C =，CD =A B A C =．（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C A D E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．DE AB21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．B 12．B二、13．9 14．1215．12162三、17．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b AAb Bb====又通过cos 3a B =知：cos 0B >， 则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =． （2）由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos 2a c bB ac+-=，解得：b =最后10l =+．18．解：（1）取B C 中点F ，连接D F 交C E 于点O ， A B A C =，∴AF BC ⊥，又面A B C ⊥面B C D E ， ∴A F ⊥面B C D E ， ∴AF C E ⊥．tan tan 2C ED FD C ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即C E D F ⊥，C E ∴⊥面AD F ， CE A D ∴⊥．（2）在面A C D 内过C 点做A D 的垂线，垂足为G ．C G AD ⊥，CE AD ⊥， A D ∴⊥面C EG ， E G A D ∴⊥，则C G E ∠即为所求二面角．3AC C D C G AD==，3D G =，3EG ==，C E =则222cos 210C G G E C EC G E C G G E+-∠==-，πarccos 10C G E ⎛∴∠=-⎪⎝⎭． 19．解：（1）122n n n a a +=+，11122n n nn a a +-=+，11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=．（2）01211222(1)22n n n S n n --=+++-+ 12121222(1)22n nn S n n -=+++-+两式相减，得1121222221nn n nn S n n -=---=-+ ．20．解：设1A 、2A 分别表示依方案甲需化验1次、2次。
(精编精校)2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 理科数学 【word精析版】
2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ . 【答案】7 【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 . 【答案】2【解析】由max ()3sin cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得：0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 .【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小；10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x +=，原方程的实根是曲线3y x a =+与曲线4y x =的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
化 学试 题
Ｂ
ＣＨ３ ＣＨ２ ＣＨ— ＣＨ ３ ３ 丁 醇 ； 一 一 一
Ｉ
ｏＨ
２０ ０ ８年普通高等学校 招生 全 国统一考试 （ 上海卷 ）
第１ （ ６ 卷 共 ６分 ）
一
ｏＨ
Ｃ
ＣＨ ３
．
甲基苯 酚 ；
Ａ
） ．
Ｃ Ｈ ２ （ Ｓ Ｓ Ｃｕ ０。溶 液 ） 黑 色 喷 泉 ； ／
Ｄ ＨＣＩＡ ｇ （ ＮＯ 溶 液 ） 白 色 喷 泉 ／ １ ． 常 温 下 ， 溶 液 中 由 水 电 离 的 Ｃ Ｈ ） １ １ 。 １ 某 （ 一 × ０
它是 一种 再生 能源 ；
Ｂ
乙醇 易 燃 烧 、 染 小 ； 污
５ ．下 列 关 于 化 学 学 习 和 研 究 的 说 法 错 误 的 是
（ ） ．
Ａ
Ｂ
化 学模 型有 助于 解释 化学 现象 ；
质量 守恒 定律 是 大量实 验事 实 的总 结 ；
Ｃ Ｄ
选项 ） ．
化 学家 提 出的假 设都 能被 实验 证实 ； 化 学 基 本 原 理 的 应 用 是 有 一 定 条 件 的
Ｃ Ｄ
乙 醇 只 能 在 实 验 室 内作 燃 料 ； 粮 食 作 物 是 制 乙 醇 的 重 要 原 料 ） ．
Ｂ Ｓｉ ２ ｏ ； Ｄ Ｃ３ ８ Ｈ
ｍｏ ・Ｌ ， 溶 液 可 能 是 （ ｌ ～ 该 钠水 溶 被
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） ．
① 二 氧 化 硫 水 溶 液 ② 氯 化 铵 水 溶 液 ③ 硝 酸 ④氢 氧化 钠水 溶液
） ．
９ ．设 Ｎ 为 阿 伏 加 德 罗 常 数 的 值 ， 列 说 法 正 确 的 是 下
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.文)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，3．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．54．函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．1-8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．189．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．410．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．211．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．22008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 20．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角 【答案】C【解析】sin 0α<,α在三、四象限；tan 0α>，α在一、三象限，∴选C 2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别 3．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】D【解析】52152=+-=d【高考考点】点到直线的距离公式4．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【答案】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称 【高考考点】函数奇偶性的性质5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【答案】C 【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e，令x t ln =且取21-=t 知b <a <c6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A （－2，2）、B(32,32)及C(－2，－2) 于是8)(min -=A z7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【答案】A【解析】ax y 2'=，于是切线的斜率a y k x 2'1===，∴有122=⇒=a a8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．18【答案】B【解析】高360sin 32＝︒=h ，又因底面正方形的对角线等于32，∴底面积为 6332212=⨯⨯⨯=S ，∴体积63631=⨯⨯=V【备考提示】在底面积的计算时，要注意多思则少算 9．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．4【答案】A【解析】41666141404242404-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉1414C C 项或该项的负号10．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．2【答案】B【解析】)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，所以最大值是2【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题 11．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+【答案】B【解析】由题意BC c =2,所以c c AC 3260sin 220=⨯⨯=，由双曲线的定义，有c a c c BC AC a )13(2322-=⇒-=-=，∴231131+=-==a c e 【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】设两圆的圆心分别为1O 、2O ，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ，则21EO OO 为矩形，于是对角线OE O O =21,而3122222=-=-=AE OA OE ，∴321=O O 【高考考点】球的有关概念，两平面垂直的性质13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 【答案】 2【解析】λ+a b ＝)32,2(++λλ则向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线274322=⇒--=++⇔λλλ14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答） 【答案】 420【解析】4202701501621026110=+=+C C C C15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．【答案】 2 【解析】设过M的直线方程为)2(2-=-x k y ，由0)1(444)2(22222=-+-⇒⎩⎨⎧=-=-k kx x k xy x k y ∴k x x 421=+，2221)1(4kk x x -=，由题意144=⇒=k k ，于是直线方程为x y = 421=+x x ，021=x x ，∴24=AB ，焦点F （1，0）到直线x y =的距离21=d∴ABF △的面积是216．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题17．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··········································································· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ····················· 10分18．解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+． ················································································ 3分 由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．······················································································· 7分 当0d =时，20420200S a ==． ······································································ 9分 当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ············································· 12分 19．解：记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++，··································································· 2分 112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ····························································· 6分（Ⅱ）12B C C =+， ······················································································ 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=，332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ··························· 12分 20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ········································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ·················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角．························································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG ==． AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==113AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······························ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ····················································· 9分1AC <>，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC <>==，n n n 所以二面角1A DE B --的大小为arccos42． ················································· 12分21．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································· 4分 （Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ································································································ 9分 反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+- 3(25)(2)5xx x =+- 0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ··································································· 12分22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==2h ==······················································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 1525(14k =+==≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······································· 12分。
2008年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)
正常小儿的基础体温为36.9℃~37.5℃。
一般当体温超过基础体温1℃以上时，可认为发热。
其中，低热是指体温波动于38℃左右，高热时体温在39℃以上。
连续发热两个星期以上称为长期发热。
上述基础体温是指的直肠温度，即从肛门所测得，一般口腔温度较其低0.3℃~0.5℃，腋下温度又较口腔温度低0.3℃~0.5℃。
我的孩子有一回发烧，也是的，退烧药才吃下去，不一会就退下去了，过了几个小时又烧起来，如此反复。
送去医院看了，验了个血，为病毒性感染引起的发烧，病毒性感染的一个特征就是反复发烧。
医生并没有开退热针，也没吊瓶，只是开了3针抗病毒针，打了3天果然就没再高起来过。
若高烧38.5度以上,请立即让医生确诊是病毒感染的，还是细菌感染的，病毒感染就用抗病毒药（如：利巴韦林），细菌感染的就用抗菌素（如头孢类），不要急于退烧，烧只是表象，要把病因找出来。
另外我想说的是不要迷信输液。
医生说了,可以吃药的不要打针,可以打针的不要输液,关键是要用对药,而不是用重药。
注意环境温度是否过高。
在炎热的夏季，气温很高，婴儿自身调节体温的能力又差，妈妈抱着婴儿时热气不易散发，使体温升高。
但是这种发热一般时间不会太久，再给孩子放在凉爽的地方，稍微扇一扇，给孩子饮一些清凉的水果汁，或给孩子洗个温水澡，几小时后体温就会降到正常。
在冬季，如果室内温度过高，婴儿又包裹得过多，也会使婴儿体温升高。
·注意是否有细菌或病毒感染的情况存在。
主要的症状及原因有以下：发烧的同时流鼻涕——感冒（感冒症候群）咽喉痛——咽喉炎、扁桃腺炎持续发烧39℃左右，白眼珠充血且出眼屎——游泳池热在高温场所发高烧的同时，筋疲力尽——中暑症（日射病）腮腺肿胀——流行性腮腺炎耳朵流水、情绪不稳——中耳炎咳嗽得喘不过气来、呼吸困难——肺炎牙床发红、唾液多——口腔炎呕吐、抽筋、前囟门凸起——脑膜炎呕吐、抽筋、意识不清——肺炎、急性脑病尿的次数多、血尿——尿道感染发烧的同时，抽风——热性抽筋发烧伴下列情况者应送医院治疗：(一)注意孩子的精神状态。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-上海卷
2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x -＜的解集是___________________. 2、若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}AB =，则实数a = .3、若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = .4、若函数()f x 的反函数为12()f x x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5、若向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝___________________ 6、函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是___________________. 7、在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10、某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。
已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。
现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________11、方程210x+-=的解可视为函数y x =1y x=的图像交点的横坐标。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-上海卷
2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x -＜的解集是___________________.2．若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}A B = ，则实数a = . 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = .4．若函数()f x 的反函数为12()f x x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5．若向量a b 、满足1,2,a b == 且a 与b 的夹角为3π，则a b + ＝___________________6．函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是___________________. 7．在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。
已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。
现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________11．方程210x +-=的解可视为函数y x =1y x=的图像交点的横坐标。
2008年高考数学试卷(上海.理)含详解
all`试题12 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是all`试题2得 分 评 卷 人.10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的 横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数rn C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A)1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( )(A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优 于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )all`试题3得 分 评 卷 人(A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.[解]all`试题 4all`试题518.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）all`试题619.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解]（1）（2）all`试题720.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点. （1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）all`试题8all`试题921.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a d a a c a a（1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ； （3）当ma 101<< （m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列m a 12-,m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）all`试题102 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7.43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- . 题 号12 13 14 15代 号DCBD16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得all`试题11CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分 点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分 （2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分all`试题1214)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分all`试题13P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分 （3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上； 当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分all`试题14()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分 （3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，mam a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分 当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+m a m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分all`试题151.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：all`试题1636C；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线all`试题173y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。
2008年高考试题——数学文(全国卷2)含答案和详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-= ，，，， 一、选择题1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角D ． 第四象限角2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，3．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．54．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．189．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．410．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．211．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．22008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 20．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考评分说明：······················1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．······················2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．DAB CD EA 1B 1C 1D 17．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 提示： 1、αα,0sin < 在第三或四象限，0tan >α，α在第一或三象限α∴为第三象限角2、}1,0,1{},21|{-=∈<≤-=⋂Z x x x N M3、555==d4、)(x f 为奇函数5、c a b x x e <<∴<<-∴<<-0ln 1116、当⎩⎨⎧=-=22y x 时，83min -=-=y x Z7、ax y 2'=，当1=x 时，122,2'=∴==a a a y8、如图，,60,32oSAO SA =∠=则6,3,360sin =∴==⋅=AB AO SA SO o636312=⨯=∴V9、444)1()1()1(x x x -=+- ，x ∴的系数为414-=-C 10、)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f )(x f ∴最大值为211、设1||=AB ，则3=AC ，13||||2-=-=CB AC a ，1||2==AB C ，21322+==∴a ce 12、1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点 为C ，则四边形C OO O 21为矩形，所以OC AC AC OA OC O O ⊥===,1||,2|||,|||213||||||22=-=∴AC OA OC二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 13、20)2(7)32(4)32,2(=∴=+-+∴++=+λλλλλλb a ；14、42036310316=--C C C ；15、设),(),(2211y x B y x A ，),(444122122121222x x y y x y x y -=-∴⎪⎩⎪⎨⎧==14121212=+=--y y x x y y AB ∴所在直线方程为22-=-x y 即x y =，又4,04212==⇒⎩⎨⎧==x x xy xy ，CDBAS22||||211||24||2||12==∴==-=∆OF AB S OF x x AB ABF ;注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ······················································································································ 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ··························································· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ········································································· 8分所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ······································ 10分18．解： 设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+． ··························································································································· 3分由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =， 即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得210100d d -=，解得0d =或1d =． ········································································································································ 7分当0d =时，20420200S a ==． ··············································································································· 9分 当1d=时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ········································································· 12分 19．解： 记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++ ， ········································································································· 2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ······························································································· 6分（Ⅱ）12B C C =+， ······································································································································· 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=，332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ············································· 12分20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥．······················································································································ 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ································································································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H，连结1A H．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ···························································································· 8分EFAB CD EA 1B 1C 1D 1 FH GCE CF CG EF ⨯==EG =． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC =11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ···················································································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--= ，，，，，．················································ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ·································································································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ······················································································ 9分1AC <> ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos 42AC AC AC <>==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为． ··················································································· 12分21．解： （Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x=是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a=时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································································· 4分（Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x axx ax x ax x x x =-+-=+-+．当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ····················································································································································· 9分 反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+- 3(25)(2)5xx x =+- 0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ··············································································································· 12分22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ································································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k=或38k =． ······································································································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==． ····················································································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12===≤ 当21k=，即当12k =时，上式取等号．所以S的最大值为 ···················································· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ·························································································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S的最大值为 ········································································ 12分。
2008年高考真题(上海.文)含详解
all`试题12 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(文史类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a = . 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z = . 4．若函数)(x f 的反函数为x x f21log )(=-，则=)(x f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a += .6．若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a . 7．若z 是实系数方程022=++p x x 的一个虚根，且2=z ，则=p .8．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数)2)(()(a bx a x x f ++= )R (∈b a 、常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-， 则该函数的解析式=)(x f .all`试题2得 分 评 卷 人10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果 ),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．12. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点. 若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于[答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) . (D) .all`试题3得 分 评 卷 人三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC. 小区的两个出入口设置在点A及点C处. 小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.[解]all`试题 4all`试题518.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于N M 、两点. （1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值.[解]（1）（2）all`试题619.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解] （1）（2）all`试题720.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线12:22=-y x C .（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为)1,0(. 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记MQ MP ⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点M E D 、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P 为双曲线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数. [解]（1）（2）（3）all`试题8all`试题921.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2 小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11=a ，22=a ，r a =3，23+=+n n a a （n 是正整数），与数列{}n b ：11=b ，02=b ，13-=b ，04=b ，n n b b =+4（n 是正整数）. 记n n n a b a b a b a b T ++++= 332211.（1）若6412321=++++a a a a ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，n T n 412-=；（3）已知0>r ，且存在正整数m ，使得在 ,,212112++m m T T ，1212+m T 中有4项为100. 求r 的值，并指出哪4项为100. [解] (1)[证明]（2）[解]（3）all`试题102 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. )R (2∈x x .5.7. 6. 1-. 7. 4. 8.54. 9. 422+-x . 10.5.10,5.10==b a . 11. ⎪⎭⎫⎝⎛5,25.二、（第12题至第15题）题 号12 13 14 15代 号DCBD 16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥ ， 55tan ==∠∴DF EF EDF . …… 10分all`试题11故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分 17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+, …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC 21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分18. [解] （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6π4π2cos 4π2sin ||MN …… 2分233π2cos1=-=. …… 5分 （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=…… 8分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t . …… 11分all`试题12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ， …… 13分 ∴ ||MN 的最大值为3. …… 15分 19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，xx x f 212)(-=. …… 2分 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ， 解得 212±=x . …… 6分 02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . …… 3分 （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. …… 4分 ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x λ12020+--=y x 22320+-=x . …… 7分20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. …… 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0k . …… 11分 由计算可得，当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. …… 15分 s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是all`试题13⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k k k s …… 16分21. [解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r rr 448+=. …… 2分 64448=+r ，∴4=r . …… 4分 [证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. …… 6分 ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a …… 8分)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立.根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=. …… 10分 [解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4； 当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . …… 13分 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. …… 15分 ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100. …… 18分all`试题141．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2x x R ∈ 【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,y x =()()2.x f x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 7【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,zz a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中all`试题15任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ． 【答案】5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，all`试题16则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．ABB ．BC C ．CD D ．DA【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧DA .all`试题三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵ 11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴ tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan 5….12分17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=all`试题182220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分231cos .32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3sin 2cos 222t t =-……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-．all`试题19（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分 由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得21x =…………6分 ∵(220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y x y x == ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分02x ≥ λ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分all`试题20由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,,22k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭⎩….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++．（1）若1231264a a a a ++++=，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分 ()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分梦想不会辜负一个努力的人all`试题 21 【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)化学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分试时间120分钟第工卷(选择题共66分)相对原子质量：H一1 C一12 N一140—16 Na一23 M9一24 A1一27 S一32K一39 Cu一64 Ca一40 Ba一137一、选择题(本题共10分，每小题2分，只有一个正确选项)1．食品榆验是保证食品安全的重要措施，下列不属于食品安全检测指标的是( ) A．淀粉的含量 B.二氧化硫的含量C哑硝酸盐的含量 D．甲醛的含量2．化学科学需要借助化学专用语言来描述，下列有关化学用语正确的是 ( )3．植物及其废弃物可制成乙醇燃料，下列关于乙醇燃料的说法错误的是 ( ) A．它是一种再生能源 B．乙醇易燃烧，污染小C．乙醇只能在实验室内作燃料 D．粮食作物是制乙醇的重要原料4．下列化学式既能表示物质的组成，又能表示物质的一个分子的是 ( ) A．NaOH B．SiO2 C．Fe D．C3H85．下列关于化学学习和研究的说法错误的是 ( )A．化学模型有助于解释一些化学现象B．质量守恒定律是大量实验事实的总结C．化学家提出的假设都能被实验证实D．化学基本原理的应用是有一定条件的二、选择题(本题共36分。
每小题3分。
只有一个正确选项)6．下列物质中，按只有氧化性、只有还原性、既有氧化性又有还原性的顺序排列的一组是( )A．F2、K、HCl B．CL2、Al、H2C．N02、Na、Br2 D．02、S02、H207．下列各化合物的命名中正确的是 ( )A．CH2一CH—CH—CHz l,3-二丁烯8．在一定条件下，完全分解下列某化合物2g，产生氧气1．6g，此化合物是 ( ) A．1 H216O B．2 H216O． C．1 H216O D．2 H21809．设N A为阿伏加德罗常数，下列说法正确的是 ( )A．23g钠在氧气中完全燃烧失电子数为0．5N AB．1 L2 mol／L的MgCl2溶液中含Mg2+数为2N AC．标准状况下，11.2 L的S03所含分子数为0．5N A.D．室温下，8g甲烷含有共价键数为2N A10．右图的装置中，干燥烧瓶内盛有某种气体，烧杯和滴管内盛放某种溶液。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 理科数学
4
4 55
| x | 2 ，
当 x 12 时， | PA |2 的最小值为 4 ，
5
5
即 | PA |的最小值为 2
5
.
5
19．解（1）当
x
0
时，
f
(x)
0
；当
x
0
时，
f
(x)
2x
1 2x
由条件可知 2x
1 2x
2 ，即 22x
22x
1
0
解得 2x 1 2
……11 分 ……13 分
……15 分
答：该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
18.[解]（1）设 P(x1, y1) 是双曲线上任意一点，
……2 分 ……4 分
……6 分
……9 分 ……13 分
该双曲的两条渐近线方程分别是 x 2 y 0 和 x 2 y 0 .
……2 分
点
P ( x1 ,
y1 )
到两条渐近线的距离分别是
（1）已知 a=1,b=2,p=2.求点 Q 的坐标；
（2）已知点 P a,b （ab≠0）在椭圆 x2 y2 1上, p 1 . 求证：点 Q 落在双曲线
4
2 ab
4x2 4 y2 =1 上；
1
（3）已知动点 P（a,b）满足 ab≠0，p= ，若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线
18.（本题满分 15 分）本题共有 2 个小题，第 1 个题满分 5 分，第 2 小题满分 10 分.
已知函数
f
x
sin
2x
,
g(x)
cos
2x
6
,直线
x=t(t∈R)与函数
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上海市教育考试院 保留版权 数学（文）2008第1页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(文史类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a = . 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z = . 4．若函数)(x f 的反函数为x x f21log )(=-，则=)(x f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a += .6．若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a . 7．若z 是实系数方程022=++p x x 的一个虚根，且2=z ，则=p .8．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数)2)(()(a bx a x x f ++= )R (∈b a 、常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-， 则该函数的解析式=)(x f .数学（文）2008第2页（共10页）10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果 ),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．12. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点. 若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于 [答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) . (D) .三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]数学（文）2008第4页（共10页）17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处. 小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）. [解]18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于N M 、两点. （1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值.[解]（1）（2）数学（文）2008第6页（共10页）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解] （1）（2）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线12:22=-y x C . （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为)1,0(. 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记MQ MP ⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点M E D 、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P 为双曲线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数. [解]（1）（2）（3）数学（文）2008第8页（共10页）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2 小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11=a ，22=a ，r a =3，23+=+n n a a （n 是正整数），与数列{}n b ：11=b ，02=b ，13-=b ，04=b ，n n b b =+4（n 是正整数）. 记n n n a b a b a b a b T ++++= 332211.（1）若6412321=++++a a a a ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，n T n 412-=；（3）已知0>r ，且存在正整数m ，使得在 ,,212112++m m T T ，1212+m T 中有4项为100. 求r 的值，并指出哪4项为100. [解] (1)[证明]（2）[解]（3）数学（文）2008第10页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. )R (2∈x x .5.7. 6. 1-. 7. 4. 8.54. 9. 422+-x . 10.5.10,5.10==b a . 11. ⎪⎭⎫⎝⎛5,25.二、（第12题至第15题）16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥ ， 55tan ==∠∴DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分 在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+, …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC 21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分18. [解] （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6π4π2cos 4π2sin ||MN …… 2分233π2c o s1=-=. …… 5分 （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=…… 8分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t . …… 11分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ， …… 13分数学（文）2008第12页（共10页）∴ ||MN 的最大值为3. …… 15分 19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，xx x f 212)(-=. …… 2分 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ， 解得 212±=x . …… 6分 02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . …… 3分 （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. …… 4分 ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x λ12020+--=y x 22320+-=x . …… 7分20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. …… 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点， 则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,0k . …… 11分 由计算可得，当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. …… 15分 s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k k k s …… 16分21. [解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r rr 448+=. …… 2分 64448=+r ，∴4=r . …… 4分 [证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. …… 6分 ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a …… 8分)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立.根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=. …… 10分 [解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4； 当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . …… 13分 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. …… 15分 ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100. …… 18分数学（文）2008第14页（共10页）1．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 【答案】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ． 【答案】()2x x R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.x f x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++=||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ．【答案】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，数学（文）2008第16页（共10页）则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA 【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点,∴Q 组成的集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是.12分17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=数学（文）2008第18页（共10页）2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分231cos .32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3sin 222t t =-……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得 21x =±…………6分∵ (220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ= ．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,022y x y x -=+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0xλ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分数学（文）2008第20页（共10页）由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++ ()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+ ………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =-那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。