新王牌高二数学暑假班入学测试卷
准高二数学入学测试卷
准高二暑假辅导入学测试卷时间:120分钟 满分:150分一、选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、直线l 经过原点和点(2,2)--，则该直线的倾斜角是（ ）A 、45︒B 、135︒C 、135︒或225︒D 、0︒2、下列说法错误．．的是（ ）A 、三棱锥的各个面都是三角形B 、九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C 、长方体和正方体都是棱柱D 、三棱柱的侧面为三角形3、下列说法正确的是（ ）A 、平行直线的平行投影重合B 、平行于同一直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行4、直线(1)2010ax a y x ay +-+=--=与垂直,则实数a 的值为（ ）A 、0B 、2C 、02或D 、02-或5、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不．可以是（ ）A 、球B 、三棱锥C 、正方体D 、圆柱6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）A 、若αβ⊥,,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥B 、若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥C 、若m n ⊥,,m n αβ⊂⊂，则αβ⊥D 、若,,m m n n αβ⊥∥∥，则αβ⊥7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程为（ ）A 、210x y +-=B 、210x y +-=C 、230x y +-=D 、230x y +-=8、实数,x y 满足240x y +-=，当12x ≤≤时，1y x +的取值范围为（ ）A 、14,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 、[]1,2C (),-∞+∞D 、1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9 ）10、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A 、23π3π、82π- D 、23π11、如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确的是（ ） A 、AC ⊥SBB 、AB ∥平面SCDC 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角12、在正四面体ABCD 中，E 是棱BC 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A 、12 D 二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、两条平行直线34106810x y x y --=-+=与间的距离为 .14、设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是(1,2)M -，则PQ 等于 .15、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为 .16、如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段,AB B l α⊂∈,AB 与l 所成的角为30︒，则AB 与平面β三.解答题.（本大题共小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）17、已知△ABC 的顶点为1(1,0)(1,0)(2A B C -、、，判断此三角形形状，并求其面积.18、设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈.（Ⅰ）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（Ⅱ）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.19、已知直线l 平行于直线1:10l x y +-=，且经过直线23:230:210l x y l x y +-=-+=与的交点.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求点(3,4)A 关于直线l 的对称点'A 的坐标.20、在一个金属球表面涂上油漆，需要油漆2.4kg ，若把这个金属球融化，制成64个半径相等的小金属球 （设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需要多少油漆？21、如图，在四面体ABCD 中，2,CB CD ==AD BD ⊥.点E F 、分别是AB BD 、的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ACD ∥平面；（Ⅱ）平面EFC BCD ⊥平面.22、如图，已知AP O ⊥圆所在平面,AB O 为圆的直径,C AB 是圆弧的中点,2PA AB ==，过A 作AE PC ⊥于点E .（Ⅰ）证明：AE PBC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角A PB C --的正弦值.准高二数学入学测试卷参考答案一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1—5:ADDCD 6—10:DDDAA 11-12:DB二.填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、310 14、、3 16、4三.解答题.(本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分)172,112ABC AB AC BC ABC S AC BC ===∴∴=⨯⨯=△、解:易求得 △为直角三角形218()1,2122,0,211302020()1:11201a a l x y a a a a a a a a l x y x y a a a a a a l -≠--+-∴=-==+=-∴+=++=-⎧≥⎪≠-⇒<-+⎨⎪-≤⎩=-、解:Ⅰ当时，在轴上的截距为在轴上的截距为 解得或 当时，不满足题意的方程为或 Ⅱ①当时，由题意知 ②当时，经过三四象限，也满足题意综上所述，(],1a -∞-的取值范围为23'''19()1(1,1)1(1),2034()(,),(,)22342022241(1)13(2,1)l l l l y x x y x y A x y AA x y x y y x A -∴-=--+-=++++⎧+-=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨-=-⎩⎪⨯-=-⎪-⎩∴--、解:Ⅰ由题意知，的斜率为，与的交点为 的方程为即 Ⅱ设则的中点为3312212220,.4464,43341=6444R r R r R rS S S RS r ππππ=⨯=∴=⨯∴、解:设大金属球的半径为小金属球的半径为则得 大金属球的表面积与所有小金属球的表面积之比为将所有小金属球表面涂漆，需要油漆的量为21:(),,(),,,BDA E F AB BD EF ADEF ACD AD ACD EF ACDCBD CB CD F BD BD CFAD BD EF AD BD EFCF EF F∴⊄⊂∴=∴∴=、证明Ⅰ△中、分别是、的中点 ∥ 又平面平面 ∥平面 Ⅱ△中是的中点 ⊥ 又⊥∥ ⊥ 又 BD EFCBD BCDEFC BCD∴⊂∴⊥平面 又平面 平面⊥平面 22.(),,(),,,=,PA ABCBC PABC AC PA AC A BC PACBC AEPC AE BC PC C AE PBCPB F AF EFPAB PA AB F PB ∴=∴∴=∴解:Ⅰ证明：⊥平面 ⊥ 又⊥ ⊥平面 ⊥ 又⊥ ⊥平面 Ⅱ取的中点连接 △中是的中点(),=2,=2,,2AF PBAE PBCEF PB AFE ABC AB AC Rt PAC PA AC PC PA ACAE PC Rt PAB PA AB PB ∴∴∴∴∴=⋅∴====∴= ⊥ 又⊥平面 ⊥三垂线定理 ∠即为所求二面角在等腰直角△中 在△中 又在△中,sin 3PA ABAF PB AERt AEF AFE AF ⋅∴==∴== 在△中∠。
高二数学暑假班入学测试题
高二数学暑假班入学测试题1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ ）A.若M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅ 的值是（ ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为x π=，则此函数的递增区间是：（ ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (0,)4πB. (,1)4πC. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ ）A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．62sin(2π-=x y14、已知函数12sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(23y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π参考答案：1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ C ）A.若M N =，则log log a a M N =；B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；C. 若log log a a M N =，则M N =；D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅ 的值是（ B ）A ．12B ． 14C ．D 3、如果tan （α+β）=43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4π）的值是（ B ） A ．1110 B ．112 C ．52D ．24、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ B ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4x π=，则此函数的递增区间是：（ C ）A. (,)42ππB. 3(,)4ππC. 3(2,2),44k k k Z ππππ-+∈D. (2,2),22k k k Z ππππ-+∈6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的解析式为（ D ）A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ A ）A ．0B ．1C ．－1D ．±18、若不等式log sin2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ B ）A. (0,)4π B. (,1)4π C. (,)42ππ D. (0,1)9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是 （ B ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值10、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ B ）A ．6π B ．51212orππ C ．5612orππ D ．12π 11、若()43sin ,sin 525ππθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在（ D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（ C ）A ．[]22ππ-，B ．[2ππ]C ．[]23ππ，D ．[0]2π，13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ C ）A ．)672sin(2π+=x y B ．22sin()76y x π=- C ．)62sin(2π+=x yD ．62sin(2π-=x y14、已知函数12sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(23y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π。
高二数学上学期开学考试试题文含解析(共20页)
武邑中学2021-2021学年(xuénián)上学期高二开学摸底考试数学试题第一卷选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，，那么应选2.△ABC中，那么△ABC的形状是〔〕A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得∴应选B.考点：余弦定理的应用3.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，那么此三角形的最大边长为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析(fēnxī)】由题意得△ABC的最大边为，根据三角形内角和定理求出A＝30°后再根据正弦定理求出即可．【详解】由题意得B> C，B> A，∴△ABC的最大边为．又，由正弦定理得，∴，即三角形的最大边长为．应选A．【点睛】此题考察正弦定理的应用和三角形中边角间的关系，考察计算才能，属于根底题．4.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，那么使得为整数的正整数n的个数是〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式可得，于是将表示为n的关系式，别离常数后再进展讨论，最后可得所求．【详解】由等差数列的前n项和公式可得，，所以(suǒyǐ)当时，为整数，即为整数，因此使得为整数的正整数n一共有5个．应选D．【点睛】此题考察等差数列的和与项的关系和推理论证才能，解题时要结合求和公式进展变形，然后再根据变形后的式子进展分析，此题具有一定的综合性和难度，能较好地考察学生的综合素质．5.以下事件是随机事件的是〔〕①当时，；②当有解③当关于x的方程在实数集内有解；④当时，A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】根据随机事件的概念对四个事件分别进展分析即可得到结论．【详解】对于①，由于时，成立，故事件①为必然事件；对于②，由于无实数根，故事件②为不可能事件；对于③，当关于x的方程在实数集内可能有解、也可能无解，故事件③为随机事件；对于④，当时，可能成立，也可能不成立，故事件④为随机事件．综上，事件(shìjiàn)③④为随机事件．应选C．【点睛】此题考察随机事件的概念和判断，解题时根据随机事件的概念求解即可，考察对根底知识的理解和掌握，属于根底题，．6.二次函数的最大值为0，那么〔〕A. 1B. －1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值．【详解】因为二次函数有最大值，所以．又二次函数的最大值为，由题意得，解得．应选B．【点睛】解题时要先根据二次函数的最值情况判断出的符号，然后再根据最值情况求得的值即可，考察理解判断和计算才能．7.容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如下图，那么以下说法不正确的选项是〔〕A. 样本(yàngběn)数据分布在的频率为B. 样本数据分布在的频数为40C. 样本数据分布在的频数为40D. 估计总体数据大约有10%分布在【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确．对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确．对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确.对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确．应选D．【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，考察识图和用图解题的才能，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．8.甲、乙、丙三名运发动在某次比赛中各射击20次，三人成绩如下表环数 6 7 8 9 10甲 4 4 4 4 4乙 3 16 1 0 0丙8 4 8 0 0用分别表示甲、乙、丙三人这次射击(shèjī)成绩的HY差，那么以下关系正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中数据求出甲、乙、丙三名运发动的比赛成绩的平均数和方差后比拟即可得到结论．【详解】用分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的平均数，由题意得：，，．所以,，，故，所以．应选(yīnɡ xuǎn)B．【点睛】此题考察样本平均数、方差的计算，由于解题时涉及到大量的计算，因此此题中容易出现的问题是计算中的错误，要求平时要做好这方面的训练．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且sinA,sinB，sinC成等比数列，且c=2a，那么cosB的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由sinA,sinB,sinC成等比数列得到，再结合和余弦定理可得的值．【详解】∵sinA,sinB,sinC成等比数列，∴，由正弦定理得．又，故在△ABC中，由余弦定理的推论得．应选B．【点睛】此题考察用余弦定理解三角形，其中解题的关键是根据题意得到三角形中三边的关系，考察计算才能和转化才能，属于根底题．10.数列满足，，，那么等于( )A. 15B. 10C. .9D. 5 【答案(dá àn)】A 【解析】 【分析】先由题意计算得到的值，然后再根据的值求出即可． 【详解】由题意得，即，解得，∴， ∴． 应选A ．【点睛】解答此题的关键是求出，进而得到数列的递推关系，然后再结合题意求解，考察推理和计算才能，属于根底题． 11.以下命题中错误的选项是．．．．．．( )A. 假如平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B. 假如平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C. 假如平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D. 假如平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 【答案】D 【解析】A. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，l ⊂α，l 不垂直于平面β，所以不正确；B. 如A中的图,平面(píngmiàn)α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,假设a∥l,那么a∥β，所以正确；C. 如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ.所以正确。
新高二数学暑假练习题
新高二数学暑假练习题【暑假作业】尊敬的高二同学们：暑假将至，作为新高二学生的你们即将面临数学学科的挑战。
为了帮助大家更好地复习与巩固知识，我们为你们准备了一套新高二数学暑假练习题。
本练习题分为四个部分，分别涵盖代数、几何、概率与统计以及数学推理等内容。
请同学们按照要求完成练习并于暑假结束后提交作业。
【第一部分：代数】1. 解方程：求解以下方程组(a) 2x + 3y = 7x - 2y = 1(b) x^2 - 5x + 6 = 02. 算式转化：将指数函数f(x) = 3^(x+1)写成对数函数的形式。
3. 因式分解：将以下多项式进行因式分解(a) x^2 + 5x + 6(b) 2x^3 - 8x^2 +12x【第二部分：几何】1. 直角三角形：已知直角三角形ABC，角A为直角，BC = 8 cm，AC = 6 cm，求AB的长度。
2. 平面几何证明：已知三角形ABC的三边分别为AB = 5 cm，BC = 6 cm，AC = 7 cm，证明该三角形为等腰三角形。
3. 三视图：根据给定的三视图绘制物体的正视图、侧视图和俯视图，并利用三视图还原物体。
【第三部分：概率与统计】1. 抽样调查：设计一个合理的调查问题，并对你的同学进行抽样调查，根据调查结果绘制统计图表。
2. 概率计算：有一批产品，其中20%存在质量问题。
如果从中随机抽取5个产品，计算至少有1个产品存在质量问题的概率。
3. 随机变量：已知某次抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4。
定义随机变量X为连续抛掷硬币直到出现2次反面朝上的次数。
计算X取值为2的概率。
【第四部分：数学推理】1. 证明题：证明在任意一个三角形中，任意两边之差小于第三边，并推导出三角形的两个内角之和等于第三个角的补角。
2. 数列综合：已知数列an的通项公式为an = 2n^2 - 3n + 1，求前n项的和Sn。
3. 数学归纳法证明：证明对于任意正整数n，2n + 1为奇数。
高二数学(下)入学测试卷(难)
高二数学（下）入学测试卷 （时间：100分钟，满分120分）姓名： 总分： 一、单项选择题：（10个小题，共计30分）1．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π4．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x5．设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-7．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ） A ．)0,(-∞ B ．),0(+∞ C ．)3log ,(a -∞ D ．),3(log +∞a 8. 在ABC ∆中，已知C BA sin 2ta n=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．12．若向量a ，b 满足12a b ==，，且a 与b 的夹角为3π，则a b -= ． 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则．14．已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示．则函数)(x f 的表达式为 ．x1-y 712π12πO15．.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则 ①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）17. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=____________．三、解答题：本大题共5小题，共62分．18．（本小题满分12分）设向量(2,4)a =，(,1)b m =-． （Ⅰ）若a b ⊥，求实数m 的值； （Ⅱ）若5a b +=，求实数m 的值．19．已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+>⎪⎝⎭的最小正周期为π。
升高二暑假预习数学测试卷A含答案
新高二暑假预习数学阶段测A考试时间：60分钟满分：100分一、单选题(共30分A．131 222 a b c-+C．131 222a b c --+4．(本题5分)已知矩形ABCD，AB＝1，BC=所成角的余弦值为13-，则B与D之间距离为（A．1B．2C．3A ．面对角线中与直线A 1D 所成的角为B ．直线A 1D 与BC 1垂直C ．直线A 1D 与BD 1平行D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积为二、多选题(共10分7．(本题5分)已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m nB ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若a n β⋂=，αβ⊥，,αγβγ⊥⊥，则n γ⊥D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ8．(本题5分)在空间直角坐标系O xyz -中，平面α内任意一点(,,)P x y z 满足条件222x y z ++=，且平面α的法向量为n ，直线l 过点(1,1,2)A -，且直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（）A ．平面α与x 轴的交点为(1,0,0)B ．设(,,)n a b c =，则0,0ab bc ><C ．若(2,2,1)m = ，则对任意点P ，都有0m AP ⋅= D ．若(1,0,2)m =- ，则l ⊂α三、填空题(共20分9．(本题5分)若向量()2,1,2=-a ,()4,2,m =-b ，且a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为_______．10．(本题5分)在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11A D 的中点，则BM 与平面11DBB D 所成角的正弦值为______．11．(本题5分)如图，在四面体O ABC -中，OA a OB b OC c === ，，，且2OM MA = ，BN NC = ，则MN =______（用a b c r r r ，，表示）12．(本题5分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =，M 为侧棱1BB 的中点，N 在侧面矩形11ADD A 内（异于点1D ），则三棱锥1N MCD -体积的最大值为______.四、解答题(共40分13．(本题10分)如图，在棱长为a 的正方体1111OABC O A B C -中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF x ==，其中0x a ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .(1)写出点E ，F 的坐标；(2)求证：11A F C E ⊥.(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为-是一个四棱锥，15．(本题18分)如图，P ABCDAB CD，1//===，CDPD AD ABBE平面PAD；(1)证明：直线//(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．参考答案：7．ACD【分析】对于A ，利用线面平行的性质定理判断，对于对于C ，利用线面垂直的判定定理判断即可，对于【详解】由线面平行的性质定理可知，若//,//m m n α，则//n α或n ⊂α，即设,a β的法向量分别为,a b ，若α11．211322a b c -++ 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果【详解】依题得，MN MA AB BN=++ ()1132OA OB OA BC =+-+1(0,1,0),(1,1,1),(0,0,2),(,0,)(0C M D N x z x ≤且0x =和2z =不同时成立，11(1,0,1),(0,1,2),(1,CM CD MD ==-=-- 因为112,5,3CM CD MD === ，所以有22211CM MD CD +=，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又因为PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以⊥AE 平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．方法二：因为PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥底面ABCD又平面PAB ⋂底面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以⊥AE 平面PBC ，又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC解法三：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1A B C D P E ，设([0,2])BF t t =∈，则()2,,0F t ，所以(1,0,1)AE = ，(2,,0)AF t = ，(2,0,2)PB =- ，(0,2,0)BC = ，设()111,,n x y z = 为平面AEF 的法向量，则0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11110,20,x z x ty +=⎧⎨+=⎩取12y =，则1x t =-，1z t =，则(,2,)n t t =- ，设()222,,m x y z = 为平面PBC 的法向量，则0,0,m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以222220,20,x z y -=⎧⎨=⎩取21x =，则20y =，21z =，则(1,0,1)m = 因为00n m t t ⋅=-++= ，所以n m ⊥ ,所以平面AEF ⊥平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）则()()()(0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,0,1A B P E 易知(0,1,0)u =是平面PAB 的法向量设([0,2])BF t t =∈，则()2,,0F t ，所以所以||2|cos ,|1||||AF u AF u AF u ⎛⋅==- ⎝。
开学入学考试高二数学试卷含详解答案
含1980 年与1989 年)出生， 90 后是指在1990 1999 年(包含1990 年与1999 年)出生，
80 前是指在1979 年及以前出生)（ ）
A．互联网行业从业人员中 80 后的人数不超过一半 B．互联网行业中 90 后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的 20%
试卷第 2页，总 6页
x2 2 ，则 t
2
，
f
(t)
t
1
，
t
设 t1 t2
2
，所以
f
(t1 )
f
(t2 )
t1
1 t1
t2
1 t2
t1
t2
t1t2 1 ， t1t2
因为 t1 t2
0 ， t1t2
1
0 ，所以 t1
t2
t1t2 t1t2
1
0，
f
(t1 )
f
(t2 ) ，
所以 f (t) 在 t 2 上是单调递增函数，所以 f (t) f 2 3 2 ， 2
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．B
【分析】
设直角三角形较短的直角边长为 a ，可得出较长直角边长为 a ，由此可计算出小正方形 tan
和大正方形的边长，进而可得出关于 的三角等式，进而可解得 tan 的值.
的 2 2 列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有 99% 的把握认为选择科目与性别有
关，说明理由； （3）在抽取的选择地理的学生中用分层抽样的方法再抽取 6 名学生，然后从这 6 名学 生中抽取 2 名学生了解学生对地理的选课意向情况，求这 2 名学生中至少有 1 名男生的 概率.
新王牌杨浦暑期补习班高二数学练习题
1．已知，向量AB 的方向是东南方向，且5AB =，那么向量2AB - 的方向是；2BA -=．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设CG a = ，CH b = ，试用a 、b表示向量DC 、FH 和BD ．3．下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量； （2）零向量的方向是任意的； （3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）以上都不对4．已知不平行的两个向量a 、b，求作向量()51222a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ．5．下列结论中，正确的是（）（A ）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量（B ）若AB 是单位向量，则BA不是单位向量（C ）若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB是单位向量（D ）计算向量的模与单位长度无关A BCDEF G H OABCDPQRABCDEFM6．若31122202245p q m q p m ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中p 、q 为已知向量，求未知向量m ．7．如图，四边形ABCD 中，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点．设AD a = ，BC b =，试用a 、b表示向量PQ ．8．已知ABC ∆中，点M 在A B 上，点N 在AC 上，13AM AB = ，13AN AC = ．求证：13MN BC =．9．如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-为（）（A ）0（B ）4ME（C ）4MD（D ）4MF10．如图，已知a（提示：利用勾股定理）．。
新王牌高二数学暑假班入学测试卷
新王牌高二数学暑假班入学测试卷1、对于且，在下列命题中，正确的命题是：（ ）A.若，则；B. 若，则；C. 若，则； D. 若，则；2、的值是 （ ）A．B．C．D．3、如果tan（α+β）=，tan（β-）=，那么tan（α+）的值是（ ）A．B．C．D．24、中，角的对边分别为，且，则的形状为（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定5、若函数的一条对称轴方程为，则此函数的递增区间是：（ ）A. B.C. D.6、已知函数的图象的一个对称中心为，若，则的解析式为 （ ）A．B．C．或D．或7、已知，函数为奇函数，则a＝ （ ）A．0 B．1 C．－1 D．±18、若不等式，对于任意都成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D.9、设，对于函数，下列结论正确的是 （ ）A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值10、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为（ ）A．B．C．D．11、若，则角的终边在 （ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12、函数的最小正周期为，则函数的一个单调增区间是 （ ）A．B．C．D．13、已知函数,的图象如下图所示，则该函数的解析式是 （ ）A．B．C．D．14、已知函数，则下列命题正确的是 （ ） A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数15、将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为 （ ）A．B．C．D．16. 设定义域为的函数，则关于方程有7个不同的实数解的充要条件是（ ）A. B. C. D.17．设∈(0, )，则，，的大小顺序是 ( ) A．＞＞； B．＞＞；C．＞＞； D．＞＞．18．在△ABC中，若＜，则△ABC一定为（）（A）等边三角形；（B）直角三角形；（C）锐角三角形；（D）钝角三角形．19．下列命题中的假命题是（）（A）存在这样的和的值，使得＝＋；（B）不存在无穷多个和值，使得＝＋；（C）对于任意的和，都有＝－；（D）不存在这样的和值，使得≠－．20、已知f(x) = –x–x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+ f(x2)+ f(x3)的值一定 ( )(A)恒大于零 (B)恒不小于零 (C)恒小于零 (D)恒不大于零。
新王牌高三数学暑假班入学测试卷
新王牌高三数学暑假班入学测试卷1、设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥（C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 2、4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）203、定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-e ，下面说法错误的是（ ）(A)若a 与b 共线，则0a b =e (B)a b b a =e e(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=e e (D)2222()()||||a b a b a b +•=e 4、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<5、函数1()f x x x =-的图像关于（ ）（A ）y 轴对称（B ）直线x y -=对称 （C ）坐标原点对称 （D ）直线x y =对称6、已知,a b 都是实数，那么“22b a >”是“a b >”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 7、下面给出四个命题：①直线l 与平面a 内两直线都垂直，则l a ⊥。
②经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b③过平面a 外两点，有且只有一个平面与a 垂直。
④直线l 同时垂直于平面α、β，则α∥β。
2021-2022年高二上学期暑期补习效果检测考试数学试题 Word版含答案
2021-2022年高二上学期暑期补习效果检测考试数学试题 Word 版含答案数学试题 时间：120分钟 分数：150分一．选择题：（每小题5分，共10题）1. 等比数列中, 则的前4项和为 （ ）A ．40B ．80C ．20D ．412. 在中，已知，则( )A ．B ．C ．D ．3. 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B ===，则等于（ ） A ． B ．2 C ． D ．4．在中,,则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ） A ． B ． C ． D ．6.已知等比数列的前n 项和为，且，则=++++2019181716a a a a a （ ）A ．54B ．48C ．32D ．167. 已知等差数列的公差d ≠0，且成等比数列，则的值是( )A ．B ．C ．D ．8. 某人朝正东方向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为（ ）A ． B ． C ．或 D ．39. 若，， ，，成等比数列，，，，，成等差数列，则=（ ） A ． B ． C ． D ．10..已知等差数列前项和为.且则此数列中绝对值最小的项为（ ）A. 第5项B. 第6项 C 第7项. D. 第8项二．填空题：（每小题5分，共5题）11．已知数列的前n项和为，且，则12.若b=a，则三角形的形状为13.等差数列,的前项和分别为,，若，则___________.14．在等比数列中，已知前n项和=，则的值为.15.在ΔABC中，若,那么___________.三．解答题：（解答应写出必要的文字说明和演算过程）16.本题满分12分设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；（2）若，，求b．17. 本题满分12分如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．18.本题满分12分等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比；（2）若-=3，求19.本题满分12分已知的周长为，且．（1）求边c的长；（2）若的面积为，求角的度数．20．本题满分13分. 已知数列的前项和满足，又，.（1）求实数k的值；（2）求证：数列是等比数列.21. 本题满分14分设等差数列满足，且是方程的两根。
高二数学上学期暑期检测试题(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）暑期检测数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）4．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数5．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：36．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m7．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC=BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°9．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且=，=，那么为（）A．+B．﹣ C．﹣ D．﹣+10．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜（cosβ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：2= ．12．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7= ．13．已知x，y均是正实数，且2x+y=1，则的最小值是．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．以下四个命题：①函数f（x）=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；②函数f（x）=图象关于y轴对称；③点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0的两侧；④数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2014秋•屯溪区校级期末）已知=（2，3），=（﹣3，1）．（1）若向量k+与﹣3相互垂直，求实数k的值；（2）当k为何值时，k与相互平行？并说明它们是同向还是反向．17．（12分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．（12分）（2014•安庆三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．19．（12分）（2015春•黄山校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=4，b=2，cosC=．（1）求△ABC的周长；（2）求cos（B﹣C）的值．20．（13分）（2006秋•天河区校级期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角．21．（14分）（2014•渝水区校级二模）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）暑期检测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后求解集合的交集．解答：解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的周期性和对称性即可得到结论．解答：解：由周期为π可排除选项B和D，对于选项C，当时，函数取得最大值，显然符合题意，故选：C点评：本题主要考查函数解析的确定，根据三角函数的周期性和对称性是解决本题的关键，本题使用排除法比较简单．4．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．5．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．点评：本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质﹣﹣S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k，成公比为q k等比数列数列，本题查了利用性质进行运算的能力6．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：A根据线面垂直的判定定理得出A正确；B根据面面垂直的性质判断B错误；C根据面面平行的判断定理得出C错误；D根据面面平行的性质判断D错误．解答：解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．7．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC=BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解答：解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选C．点评：本题主要考查线面平行的性质与判定．9．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且=，=，那么为（）A．+B．﹣ C．﹣ D．﹣+考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，，=，=，，即可得出．解答：解：如图所示，，=，=，，∴=+，化为=+．故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期函数，周期T=2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，则π﹣α﹣β＜，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ，∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．∴f（sinα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：2= 3．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数恒等式与对数的运算性质即可得出．解答：解：原式=×=3．故答案为：3．点评：本题考查了对数恒等式与对数的运算性质，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7= 8 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质结合已知求得2a4=10，再由a1，a4，a7成等差数列求得a7．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a5=10，得2a4=10，又a1=2，∴a7=2a4﹣a1=10﹣2=8．故答案为：8．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．13．已知x，y均是正实数，且2x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先将乘以2x+y，然后利用基本不等式即可求出的最小值．解答：解：∵2x+y=1，∴==2++1∵x，y为正实数，∴≥2=2∴2++1≥3+2∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式的应用，同时考查了“1”的活用，属于基础题．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2 ．考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围解答：解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．15．以下四个命题：①函数f（x）=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；②函数f（x）=图象关于y轴对称；③点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0的两侧；④数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；其中正确命题的序号是②③（把所有正确命题的序号都写上）．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用诱导公式化简，借助于余弦函数的单调性判断①；利用定义证明函数为偶函数判断②；把点的坐标代入直线方程，利用乘积的符号判断③；由等差数列的性质得到a3=0判断④．解答：解：①f（x）=sin（x﹣）=﹣cosx，在[0，π]上是增函数，①错误；②函数f（x）=的定义域为R，且f（﹣x）=，∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，②正确；③∵（3×1﹣1）（3×2﹣7）=﹣2＜0，∴点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0的两侧，③正确；④数列{a n}为递减的等差数列，由a1+a5=0，得a3=0，∴当n=2或3时，S n取得最大值，④错误．故答案为：②③．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了二元一次不等式所表示平面区域的判定方法，考查数列最值的求法，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2014秋•屯溪区校级期末）已知=（2，3），=（﹣3，1）．（1）若向量k+与﹣3相互垂直，求实数k的值；（2）当k为何值时，k与相互平行？并说明它们是同向还是反向．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）由垂直关系可得（k+）•（﹣3）=11（2k﹣3）=0，解方程可得；（2）由平行关系可得11（3k+1）=0（2k﹣3），解方程可得k值，由k的正负可得同向还是反向．解答：解：（1）∵=（2，3），=（﹣3，1），∴k+=（2k﹣3，3k+1），﹣3=（11，0），∵向量k+与﹣3相互垂直，∴（k+）•（﹣3）=11（2k﹣3）=0，解得实数k=；（2）∵k与相互平行，∴11（3k+1）=0（2k﹣3），解得k=﹣，此时k=﹣（），故反向．点评：本题考查平面向量的平行和垂直关系，属基础题．17．（12分）（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2014•安庆三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD 的体积．解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．OD⊂平BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，∴．∴．点评：本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键．19．（12分）（2015春•黄山校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=4，b=2，cosC=．（1）求△ABC的周长；（2）求cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据题意和余弦定理求出边c的值，即可求出△ABC的周长；（2）根据内角的范围和平方关系求出sinC的值，利用正弦定理求出sinB，由边角的关系和平方关系求出cosB，利用两角差的余弦公式求出cos（B﹣C）的值．解答：解：（1）由题意知，a=4，b=2，cosC=，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=16+4﹣2×=16，则c=4，∴△ABC的周长为a+b+c=4+2+4=10；（2）∵0＜C＜π，cosC=，∴==，由正弦定理得，，则sinB===，∵b＜c，∴B＜C，由cosC=＞0，则B、C都是锐角，∴==，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×==．点评：本题考查正弦、余弦定理，边角的关系和平方关系，以及两角差的余弦公式，注意内角的范围和三角函数值的符号，属于中档题．20．（13分）（2006秋•天河区校级期末）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角．考点：直线与圆相交的性质；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径R，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，判断出d小于等于1，即d小于圆的半径R，可得直线与圆相交，则对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点，得证；（2）由直线l与圆C交于A，B两点，AB为圆C的弦，根据垂径定理得到弦长的一半，圆的半径及弦心距d构成直角三角形，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m 的值，确定出直线l的方程，进而求出直线l的倾斜角．解答：解：（1）圆C的圆心坐标为（0，1），半径为，∵圆心C到直线l的距离（m∈R），即，∴直线l与圆C相交，则对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）∵R=，d=，|AB|=，∴根据垂径定理及勾股定理得：，即，整理得：m2=3，解得：，∴直线l的方程为=0或，则直线l的倾斜角为：60°或120°．点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及直线的倾斜角与斜率的关系，是一道综合性较强的中档题．21．（14分）（2014•渝水区校级二模）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，由此求出公比，从而能求出数列{a n}通项公式．（Ⅱ），由此利用错位相减法能求出，并求出．解答：解：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，亦即（a4+a3）+a4=0，∴，∴公比，…4分于是数列{a n}通项公式为．…5分（Ⅱ），所以，①，②…8分①﹣②得，==，∴，…11分∴….12分．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．。
2024年新高二上学期开学考数学试卷与答案
2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新王牌高二数学暑假班入学测试卷
1、对于0a >且1a ≠，在下列命题中，正确的命题是：（ ）
A.若M N =，则log log a a M N =；
B. 若,M N R +∈，则log ()log log a a a M N M N +=+；
C. 若log log a a M N =，则M N =；
D. 若22log log a a M N =，则M N =； 2、cos75cos15⋅ 的值是
（ ）
A ．
1
2
B ． 1
4
C ．
D 3、如果tan （α+β）=
43，tan （β-4π ）=21，那么tan （α+4
π
）的值是（ ） A ．1110 B ．112 C ．5
2
D ．2
4、ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且lg lg lgcos a c B -=，则ABC ∆的形状为（ ）
A. 锐角三角形
B.直角三角形
C. 钝角三角形
D.不能确定
5、若函数sin cos y x a x =+的一条对称轴方程为4
x π=，则此函数的递增区间是：（ ）
A. (,)42ππ
B. 3(,)4
ππ
C. 3(2,2),k k k Z ππππ-+∈
D. (2,2),k k k Z ππππ-+∈
6、已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(
,0)3
π
，若1
||2
b <
，则()f x 的解析式为
（ ）
A ．tan(2)3x π+
B ．tan(2)6
x π
- C ．tan(2)6x π
+
或tan(2)3
x π
- D ．tan(2)6
x π
-
或tan(2)3
x π
+
7、已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝
（ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
8、若不等式log sin2(0,1)a x x a a >>≠，对于任意(0,]4
x π∈都成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
A. (0,)4π
B. (,1)4π
C. (,)42
ππ D. (0,1)
9、设0a >，对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<，下列结论正确的是
（ ）
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
10、设锐角θ使关于x 的方程2
4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）
A ．
6
π B ．
512
12
or
π
π C ．
56
12
or
π
π D ．
12
π 11、若()43
sin ,sin 525
ππθθ⎛⎫+=
+= ⎪⎝⎭，则θ角的终边在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12、函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2
f x x π
ω=+
的一个单调增区间是
（ ）
A ．[]22
ππ-，
B ．[2
ππ]
C ．[]2
3ππ，
D ．[0]2
π，
13、已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,2
A π
ωϕ>><的图象如下图所示，则
该函数的解析式是 （ ）
A ．)6
72sin(2π
+=x y
B ．22sin()76
y x π
=-
C ．)6
2sin(2π
+
=x y
D ．6
2sin(2π
-
=x y
14、已知函数12
sin()(--
=π
πx x f ，则下列命题正确的是
A ．)(x f 是周期为1的奇函数
B ．)(x f 是周期为2的偶函数
C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数
D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 15、将函数sin(2)3
y x π
=+
的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-
中心对称，则向量α的坐标可能
为
（ ）
A ．(,0)12
π
-
B ．(,0)6
π
-
C ．(
,0)12
π
D ．(
,0)6
π
16. 设定义域为R 的函数()⎩⎨⎧=≠-=1,
01||,1|lg |x x x x f ，则关于方程()()02
=++c x bf x f 有7个不同的实数解的
充要条件是 （ ）
A. 0,0><c b
B. 0,0<>c b
C. 0,0=<c b
D.0,0=≥c b 17．设α∈(0, π4
)，则αsin 2，α
cos 2，αsin log 2的大小顺序是 ( )
A ．α
sin 2＞α
cos 2
＞αsin log 2；
B ．α
sin 2＞αsin log 2＞α
cos 2；
C ．α
cos 2
＞αsin log 2＞α
sin 2
；
D ．α
cos 2
＞α
sin 2
＞αsin log 2．
18．在△ABC 中，若B A sin sin ＜B A cos cos ，则△ABC 一定为（ ） （A ）等边三角形；（B ）直角三角形；（C ）锐角三角形；（D ）钝角三角形． 19．下列命题中的假命题是 （ ）
（A ）存在这样的α和β的值，使得)cos(βα+＝βαcos cos ＋βαsin sin ； （B ）不存在无穷多个α和β值，使得)cos(βα+＝βαcos cos ＋βαsin sin ； （C ）对于任意的α和β，都有)cos(βα+＝βαcos cos －βαsin sin ；
（D ）不存在这样的α和β值，使得)cos(βα+≠βαcos cos －βαsin sin ．
20、已知f (x ) = –x –x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1+x 2>0，x 2+x 3>0，x 3+x 1>0，则f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)的值一定 ( )
(A)恒大于零 (B)恒不小于零 (C)恒小于零 (D)恒不大于零。