2017年春季新版北师大版九年级数学下学期3.4、圆周角和圆心角的关系教案12
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
九年级数学下册 3.4 圆周角和圆心角的关系教案1 (新版)北师大版
最新北师大版初中数学精品资料设计 1圆周角和圆心角的关系 【教学内容】圆周角和圆心角的关系【教学目标】知识与技能 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质。
过程与方法 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
情感、态度与价值观 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法【教学重难点】重点：圆周角和圆心角的关系。
难点：圆周角定理的理解和运用。
【导学过程】【知识回顾】我们学习了在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。
那么如果在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角会相等吗？【情景导入】首先我们从圆周角开始研究，画一个圆周角，说出它圆心角的区别。
【新知探究】探究一、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。
探究二、活动1：如图2问题1：同弧（弧AB ）所对的圆心角AOB ∠与圆周角ACB ∠的大小关系是怎样的？问题2：同弧（弧AB ）所对的圆周角ACB ∠与圆周角ADB ∠的大小关系是怎样的？（2）规律：同弧所对的圆周角的度数 ，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 ．活动2：（1）同学们在下面图3的⊙O 中任取AB ⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如图4）（图2）OAB （图3） （1） （2） （3）最新北师大版初中数学精品资料设计 2（3）教师引导学生证明，并归纳圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．探究三、让学生说明如何根据圆周角定理，证明同弧或等弧所对的圆周角相等，【知识梳理】本节课我们学习圆周角的定义，圆周角定理的证明及推论。
【随堂练习】1. 如图1，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠C=60°，则∠D=____，∠AOB=_ ___．2. 如图2，等边△ABC 的顶点都在⊙O 上，点D 是⊙O 上一点，则∠BDC=____．3．已知：如图8，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 长．4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠ AOB=2∠ BOC ，∠ ACB 与∠ BAC 的大小有什么关系？为什么？第4题图 第5题图5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD （BCD 所对的圆心角）和∠BAD 的大小。
北师大版九年级数学34圆周角和圆心角的关系教案
【教学目标】1.理解圆周角和圆心角的概念；2.掌握计算圆周角和圆心角的方法；3.运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
【教学重点】1.理解圆周角和圆心角的概念；2.掌握计算圆周角和圆心角的方法；3.运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题。
【教学难点】1.运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
【教学准备】1.教师：教学课件、圆规、直尺；2.学生：教材、笔记本。
【教学过程】【导入】1.教师出示一张有关圆的图片，请学生观察并描述图片中有关圆角的特点。
引导学生注意到圆周角和圆心角的概念。
2.教师引导学生总结并复习圆的相关概念：直径、半径、弦、弧。
3.教师提问：“圆周上的弧是什么？圆心角是什么？”引导学生回答，引入圆周角和圆心角的概念。
【讲解】1.教师分别介绍圆周角和圆心角的概念，并在黑板上画出对应的示意图。
2.教师通过示意图简单讲解圆周角和圆心角的计算方法。
【练习】1.教师出示一道练习题，请学生用所学知识计算圆周角和圆心角，并请学生说出自己的解题思路。
2.随机抽几名学生回答问题，并让学生互相评价答案的正确与否。
【拓展】1.教师出示一些有关圆的实际问题，请学生在小组内讨论，并用圆周角和圆心角的知识解决问题。
2.随机抽几个小组汇报解题过程和答案，其他组学生进行评价和讨论。
【总结】1.教师引导学生总结圆周角和圆心角的计算方法。
2.教师提问：“在什么情况下圆周角等于圆心角？”，并解释为什么圆周角和圆心角有这样的关系。
3.教师总结本节课的重点和难点，强调学生应该培养逻辑思维和问题解决能力。
【课堂小结】本节课我们学习了圆周角和圆心角的概念，并掌握了计算圆周角和圆心角的方法。
希望同学们能够用所学知识解决实际问题，并培养良好的逻辑思维和问题解决能力。
【作业布置】1.完成课堂练习册上的相关练习题；2.收集一些有关圆的实际问题和解决方法，并写到作业本上；3.预习下节课的内容，准备好提问。
北师大初中数学九年级下册《3.4圆周角和圆心角的关系》word教案 (1)
圆周角和圆心角的关系一、教学目标1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理. 2．会熟练运用定理解决问题. 二、教学重点和难点重点：圆周角定理及其应用难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透. 三、教学过程 （一）复习回顾：1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB 弧AB 的度数 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （二）探究新知： 【探究一】问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角的顶点位置发生变化时, 我们得到几种情况?类比圆心角定义，得出圆周角定义： 顶点在 ,并且两边分别与圆还有 的角叫做圆周角.练习如图，指出图中的圆心角和圆周角解：圆心角有 ， 圆周角有识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．【探究二】观察与思考1.如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC分别是BC 所对的圆心角、圆周角， 求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 的度数．A 点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.O BC A.O B C A O B C 顶点在圆心.A O B C . 圆心角 圆周角（4）图（１）中∠BAC的度数是_____ 图（２）中∠BAC的度数是_____图（３）中∠BAC的度数是_____．通过计算发现：∠BAC＝_____∠BOC．由图（4）试证明这个结论：证明：【探究三】如图，BC所对的圆心角有多少个？_______ BC所对的圆周角有多少个？_______请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2.思考与讨论（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？共____种，分别是：_______________________________________________设BC所对的圆周角为∠BAC，活动二中圆心O在∠BAC的一边上，对于这种位置关系，结论∠BAC＝21∠BOC成立，对于下面两种圆心O与∠BAC的位置关系，结论∠BAC＝21∠BOC还成立吗？试证明．图①图②证明：①②通过上述讨论得到：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________ 符号语言：________________________________________ 圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角________ 3.尝试练习（1）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=350(1) ∠BOC =_______°,理由是_________________________________________． (2) ∠BDC =_______°,理由是_________________________________________．（2）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，① 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°② 若∠AOB=90°,求∠ACB=______°. （三）巩固训练：1.如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______2.如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是_______3.如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB ，则∠ABD ＝___________。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4 圆周角和圆心角的关系(第1课时)教学设计
第三章圆第四节《圆周角和圆心角的关系（第1课时）》教学设计说明一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在本章的第二节课中||，通过探索||，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系||，并对定理进行了严密的证明||，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉||，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.学生活动经验基础：在之前的学习过程中||，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法||，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验||，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程||，具有了一定的合作学习的能力||，具备了一定的合作和交流的能力.二、教学任务分析本节共分2个课时||，这是第1课时||，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理||，并利用定理解决一些简单问题.具体地说||，本节课的教学目标为：知识与技能1．理解圆周角定义||，掌握圆周角定理.2．会熟练运用定理解决问题.过程与方法1．培养学生观察、分析及理解问题的能力.2．在学生自主探索定理的过程中||，经历猜想、推理、验证等环节||，获得正确学习方式.情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点：圆周角定理及其应用.教学难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论、化规”思想的渗透. 三、教学设计分析本节课设计了八个教学环节：知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结——习题巩固——作业布置||。
第一环节 知识回顾活动内容：我区的“校长杯”足球比赛||，正在如火如荼地展开||，在射门训练中||，球员射中球门||，与他所处的位置对球门AC 的张角大小有什么关系?这个角是什么角来引入对圆周角的认识及复习回顾圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角||。
活动目的：复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角||。
活动的注意事项：题目利用问题法复习概念和定理为主||，特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”||，需要再特别向学生强调一遍||。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4节的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入，激发学生的兴趣，接着引导学生进行观察、思考、探究，从而发现圆周角和圆心角之间的关系。
教材内容丰富，既有理论探究，又有实际应用，有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级的圆的相关知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和形象的图示，帮助学生建立直观的认识，引导学生进行观察、思考和探究。
三. 教学目标1.理解圆周角定理，掌握圆周角和圆心角之间的关系。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和数学语言表达能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的证明。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生直观地认识圆周角和圆心角的关系。
2.探究教学法：引导学生观察、思考、探究，发现圆周角定理。
3.实践教学法：通过解决实际问题，巩固圆周角定理的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关实例和图示。
2.教学素材：准备一些与圆周角和圆心角相关的实际问题。
3.板书设计：设计板书，突出圆周角定理的关键信息。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如自行车轮子的旋转，引导学生观察和思考圆周角和圆心角的关系。
让学生意识到圆周角和圆心角之间存在某种联系。
2.呈现（10分钟）教师展示一些几何图形，如圆、圆周角和圆心角，引导学生观察并思考它们之间的关系。
通过观察和思考，学生可以发现圆周角和圆心角之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，如在自行车轮子旋转过程中，圆周角和圆心角的变化关系。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系(教案)
在本次教学过程中，我发现学生们对圆周角和圆心角的概念及其关系的理解程度有所不同。有的学生能够迅速掌握，而有的学生则感到困惑。这让我意识到，在教学中需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在导入新课环节，通过提出与生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣。然而，在讲授理论知识时，我发现部分学生对圆周角和圆心角的空间观念不够清晰。为此，我及时调整了教学方法，利用多媒体演示和实物模型，帮助学生建立起空间观念。
学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，但发现部分学生发言不够积极。为了提高学生的积极性，我将在今后的教学中多给予鼓励和肯定，同时注意引导他们进行深入思考。
在总结回顾环节，我对本节课的教学效果进行了反思。我认为，在今后的教学中，我需要以下几点：
1.加强对学生的关注，了解他们的学习需求，因材施教；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角和圆心角的概念，以及圆周角定理这个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量不同圆上的圆周角和圆心角，验证圆周角定理的正确性。
突破方法：利用多媒体教学手段，如动态图、三维模型等，让学生直观地感受圆周角和圆心角的空间关系。
（2）圆周角定理的推理过程：学生在理解圆周角定理的证明过程中，可能会遇到逻辑推理的困难。
突破方法：引导学生分步骤地分析证明过程，强调每一步的逻辑关系，让学生逐步理解并掌握证明方法。
（3）解决实际问题时，如何将问题转化为圆周角和圆心角问题：学生在解决具体问题时，可能不知道如何将问题与所学知识联系起来。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4《圆周角和圆心角的关系(1)》说课稿
圆周角和圆心角的关系（1）(说课稿)3.3 圆周角和圆心角的关系一、教材分析（一）教学内容今天我说课的内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第三章《圆》第3节《圆周角和圆心角的关系》第一课时||。
（二）地位和作用本节课是学生在掌握圆心角的概念以及圆心角、弧、弦的关系的基础上进行学习的||，既是前面圆有关性质的延续||，又是下一节课证明圆周角定理推论的理论依据||。
本节课所渗透的学习内容和学习方法||，在学生今后的学习中应用广泛||，是本章重点内容之一||。
（三）教学目标根据新课程标准的要求以及九年级学生的认知结构与心理特征||，我从以下三方面确定教学目标：知识与技能——理解圆周角的概念和圆周角定理以及证明||。
过程与方法——经历探索圆周角与圆心角的关系的过程||，体会分类、归纳、转化的数学思想方法||。
情感态度与价值观——在推理证明的过程中获得正确的学习方法；在合作交流中培养团结协作的精神；在自主探究中体会成功的喜悦||。
（四）教学重点和难点根据新课程的理念||，经历过程带给学习的能力||，比具体的结果更重要||，结合本课内容||，我认为本节课的教学重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程||，理解掌握圆周角定理||，难点是：利用化归思想推导证明圆周角定理||。
二、教法学法分析（一）教学方法根据新课程理念的要求||，教师应该是数学学习的组织者、引导者与合作者||，结合本节课的内容及学生的实际情况||，在教法上我主要采用“探究合作||，启发引导”的方法||，同时以多媒体演示为辅助||，使学习的主要内容不是教师直接传授给学生||，而是以问题的形式不断呈现出来||，由学生自己去发现||，然后内化为自己知识结构的一部分||，这样既能唤起学生学习的欲望||，又调动学生学习的积极性和主动性||。
（二）学生学法在学法上||，学生主要采用动手实践、自主探索与合作交流相结合的学习方法||，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考||，从自己的实践中获取知识||。
北师大版数学九年级下册《圆周角和圆心角的关系》教学设计1
北师大版数学九年级下册《圆周角和圆心角的关系》教学设计1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第20章“圆”的一部分。
本节课主要内容是探究圆周角和圆心角之间的关系，理解并掌握圆周角定理。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解圆的性质，为后续学习圆的其他性质和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法，以及一些简单的圆的性质。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，学生可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来逐步建立概念。
三. 教学目标1.了解圆周角定理，理解圆周角和圆心角之间的关系。
2.能够运用圆周角定理解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的推导和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考和推理。
2.运用多媒体辅助教学，展示实例和动画，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角的关系。
3.学生进行小组讨论和交流，促进学生之间的合作和思考。
4.通过练习和问题解决，巩固学生对圆周角定理的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆规、量角器等数学工具。
3.相关的图片和实例。
4.练习题和问题解决题。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片，如圆形的桌面、车轮等，引导学生观察和思考圆的性质。
然后提出问题：“你们认为圆周角和圆心角之间有什么关系呢？”让学生发表自己的观点和想法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角定理的推导过程。
首先，画出一个圆和一条弧，然后通过旋转这条弧，形成一个圆周角。
接着，画出圆心角，并通过几何推理说明圆周角和圆心角之间的关系。
最后，给出圆周角定理的表述：“圆周角等于它所对的圆心角的一半。
”操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过观察和推理来验证圆周角定理。
每个小组都可以通过画图和测量来寻找圆周角和圆心角之间的关系。
【核心素养】北师大版九年级数学下册3.4 第1课时 圆周角和圆心角的关系 教案(表格式)
3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角和圆心角的关系教学内容第1课时圆周角和圆心角的关系课时1核心素养目标1.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念、了解并证明圆周升定理及其推论.3.体会分类、归纳等数学思想方法，知识目标1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．教学重点理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.教学难点圆周角和圆心角关系定理的证明.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC.在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门AC 的张角（∠ABC）有关.问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？师生活动：学生各抒己见，谈自己的看法.预设：顶点在∠O上，角的两边分别与∠O 相交.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.例如：∠ACB.（两个条件必须同时具备，缺一不可）做一做1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质.设计意图：加强学生对圆周角的理解. 注意顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，两个条件必须同时具备，缺一不可.设计意图：通过这种具有探索性与挑战性的活动，培养学生独立思考、合作交流的能力，渗透归纳思想，初步认识圆周角和圆心角这三种位置关系.设计意图：如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难。
通过圆周角和圆心角关系的探索、讨论、交流，初步认识同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，为下面圆周角定理证明打好桥铺好路。
【北师版九年级数学下册教案】3.4第1课时圆周角和圆心角的关系1
3.4圆周角和圆心角的关系第 1 课时圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的看法，掌握圆周角的两个特色、定理的内容及简单应用；(要点 )2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算． (难点 )一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的地址对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ ADC ，∠ AEC.这三个角的大小有什么关系？二、合作研究研究点：圆周角定理及其推论【种类一】利用圆周角定理求角的度数如图，已知 CD 是⊙ O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠ D 的度数是 50°，则∠ C 的度数是 ()A．25°B．30°C．40° D ．50°分析：∵OA ∥DE ，∠ D ＝ 50°，∴∠AOD ＝ 50°.∵∠ C＝1∠ AOD ，∴∠ C＝1×2250°＝ 25°.应选 A.方法总结：解决问题的要点是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2 题【种类二】利用圆周角定理的推论求角的度数︵︵如图，在⊙ O 中， AB＝AC ，∠ A ＝ 30°，则∠ B＝ ()A ． 150°B． 75°C． 60°D． 15°︵︵分析：由于AB＝AC，依据“同弧或等弧所对的圆周角相等”获取∠ B＝∠ C，由于∠ A＋∠ B＋∠ C＝ 180°，所以∠A＋ 2∠B ＝180°，又由于∠A＝30°，所以30°＋2∠ B＝ 180°，解得∠B＝ 75° .应选 B.方法总结：解题的要点是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【种类三】圆周角定理与垂径定理的综合以以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥ AB，垂足为点 C，交⊙ O 于点 D ，E在⊙O上．(1)∠ AOD＝ 52°，求∠ DEB 的度数；(2)若 AC＝ 7，CD＝ 1，求⊙ O 的半径．分析： (1)由 OD⊥AB，依据垂径定理的︵︵推论可求得 AD ＝BD ，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数； (2) 第一设⊙ O 的半径为 x，而后由勾股定理获取方程解答．解：(1) ∵ AB 是⊙ O 的一条弦，OD ⊥ AB，∴AD ＝ BD ，∴∠ DEB ＝1∠ AOD ＝1× 52°︵︵22＝26°；(2)设⊙ O 的半径为x，则 OC＝ OD －CD ＝x－ 1.∵OC2＋ AC2＝ OA2，∴ (x － 1)2＋( 7)2＝ x2，解得 x＝4，∴⊙ O 的半径为 4.方法总结：此题综合观察了圆周角定理∴∠ BCE ＝∠ BAC.∵∠ BEC ＝ 180°－∠ B －∠ BCE，∠ ACB＝180°－∠ BAC －∠ B，∴∠ BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠ B＝∠ACB，∴∠ B＝∠ BEC.方法总结：此题观察了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时必定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第 7 题【种类五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图， A、P、B、C 是⊙ O 上四点，且∠ APC＝∠ CPB＝60° .连接 AB、BC、AC.及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 3 题【种类四】圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ ABC 内接于⊙ O， AB＝AC ，点 D 在弧 AB 上，连接 CD 交 AB 于点︵E，点 B 是CD的中点，求证：∠B＝∠ BEC .︵分析：由点 B 是 CD 的中点，得∠BCE＝∠ BAC，即可得∠ BEC＝∠ ACB，而后由等腰三角形的性质，证得结论．︵︵︵证明：∵ B 是CD 的中点，∴ BC＝ BD ，(1)试判断△ ABC 的形状，并恩赐证明；(2)求证： CP＝ BP＋ AP.分析： (1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ ABC ＝∠ APC，而∠ APC＝∠ CPB ＝60°，所以∠BAC＝∠ ABC＝ 60°，从而可判断△ ABC 的形状； (2) 在 PC 上截取 PD＝AP，则△ APD 是等边三角形，而后证明△APB≌△ ADC ，证明 BP＝ CD，即可证得．(1)解：△ ABC 是等边三角形．证明如︵下：在⊙ O 中，∵∠ BAC 与∠ CPB 是 BC所︵对的圆周角，∠ABC 与∠ APC 是AC所对的圆周角，∴∠ BAC＝∠ CPB，∠ ABC＝∠ APC . 又∵∠ APC ＝∠ CPB ＝ 60°，∴∠ ABC ＝∠BAC＝ 60°，∴△ ABC 为等边三角形；(2)证明：在 PC 上截取 PD ＝AP，连接AD .又∵∠ APC ＝ 60°，∴△ APD 是等边三角形，∴ AD ＝ AP＝ PD ，∠ ADP ＝ 60°，即∠ADC ＝120° .又∵∠ APB＝∠APC＋∠BPC ＝ 120°，∴∠ ADC ＝∠ APB.在△ APB∠APB＝∠ ADC ，和△ ADC 中，∠ ABP＝∠ ACD，∴△ APBAP＝ AD，≌△ ADC (AAS) ，∴ BP＝ CD.又∵ PD＝ AP，∴CP＝ BP＋ AP.方法总结：此题观察了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判断与性质，正确作出辅助线是解决问题的要点．【种类六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合︵如图，点E 是BC的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于 D.求证：BE2＝AE·DE .本节课的要点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵巧解题．在本节课的教课中，学生对圆周角的看法和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较简单掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，所以在教课过程中要侧重指引学生对这一知识的研究与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽视同弧的问题，在教课过程中要对此予以足够的重申，借助多媒体加以突出.︵分析：点 E 是BC的中点，依据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ ABE，而后由相似三角形的对应边成比率得结论．︵︵︵证明：∵点 E 是 BC的中点，即 BE＝ CE，∴∠ BAE＝∠ CBE.∵∠ E＝∠ E( 公共角 )，∴△BDE ∽△ ABE，∴ BE∶ AE＝ DE ∶ BE，∴ BE 2＝ AE·DE .方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的看法2．圆周角定理3．圆周角定理的推论。
九年级数学下册3.4.1圆周角和圆心角关系课时教案新版北师大版201707312128
圆周角和圆心角的关系一、教课目的认识圆周角的看法.理解圆周角定理的证明.经历研究圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特别状况为根基，经过转变来解决一般性问题的方法，浸透分类的数学思想.二、课时安排课时三、教课要点理解圆周角定理的证明.四、教课难点研究圆周角和圆心角的关系的过程五、教课过程〔一〕导入新课——检查反响知识下手引入课题圆心角的定义?圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?以下命题是真命题的是()①垂直弦的直径均分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形A.①②B. ①③C.②③D. ①②③〔二〕解说新课活动内容1：研究1：圆心角极点发生变化时,我们获取几种状况 ?思虑：三个图中的∠ BAC 的极点A 各在圆的什么地点？ 角的两边和圆是什么关系？你能模仿圆心角的定义给圆周角下定义吗 ? 圆周角定义: 极点在圆上,而且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角 .特色：①角的极点在圆上.②角的两边都与圆订交.研究2:圆周角和圆心角的关系如图,察看弧AC 所对的圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系 ?1.第一考虑一种特别状况：当圆心 与圆心角∠AOC 的大小关系.(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC解:∵∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.OA=OB ，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=1∠AOC.2明确：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.研究3：假如圆心不在圆周角的一边上 ,结果会如何?∠2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?解:过点B作直径BD.由1可得:ABD=1∠AOD, 2∠CBD=1∠COD, 21∴∠ABC=∠AOC.∠明确:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.研究4：问题3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外面时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会如何?过点B 作直径BD.由1可得: ABD=1∠AOD,∠CBD=1∠COD,22∴∠ABC=1∠AOC.2明确：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .活动2：研究概括圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.即∠ABC=1∠AOC.2〔三〕重难点精讲例.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=1∠AOB，∠BAC=1∠BOC，∠AOB=2∠BOC22∴∠ACB=2∠BAC【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要正确找出同弧所对的圆周角和圆心角,而后再灵巧运用圆周角定理.〔四〕概括小结1、这节课主要学习了两个知识点：1〕圆周角定义.2〕圆周角定理及其定理应用.2、方法上主要学习了圆周角定理的证明，浸透了“特别到一般〞的思想方法和分类讨论的思想方法.3、圆周角及圆周角定理的应用极其宽泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵巧运用.〔五〕随堂检测1．〔重庆·中考〕如图，△ABC是⊙O的内接三角形，假定∠ABC=70°那么∠AOC的度数等于〔〕°°°°AOB C〔潼南·中考〕如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,那么∠BOC的度数为〔〕A．15° B.30°°D．60°3.〔德化·中考〕如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，那么圆周角∠BAC等于〔〕° B .60° C.60° D .60°AOBC4.〔红河·中考〕如图，那么∠DBC的度数为〔〕°°BD是⊙O的直径，⊙O的弦°°AC⊥BD于点E，假定∠AOD=60°，【答案】随堂检测答案:A答案:B答案:D答案:A六．板书设计圆周角和圆心角的关系1〕圆周角定义.2〕圆周角定理及其定理应用.例题：学生展现过程：七、作业部署课本P80练习1、2练习册有关练习八、教课反省学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。
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3.4.2圆周角和圆心角的关系
一、教学目标
1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.
3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.
二、课时安排 1课时 三、教学重点
圆周角定理的几个推论的应用. 四、教学难点
理解几个推论的“题设”和“结论” 五、教学过程 （一）导入新课
1.圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
（二）讲授新课 活动内容1：
探究1; 当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
●
O
A
B
C
A B
C ●
O ●
O
A B
C
●
O
A B
C
如图1,圆中一段 AC
对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图2,圆中 AB
EF, 那么∠C 和∠G 的大小有什么关系?为什么? 由此你能得出什么结论?
如图,圆中∠C=∠G, 那么 AB
EF 和的大小有什么关系?为什么?
由此你又能得出什么结论?
圆周角定理的推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探究2：议一议
1.如图(1)，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗?
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？ 由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
活动2：探究归纳
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 【规律】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，
而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.
（三）重难点精讲
例1.如图,AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦,延长BD 到C,使AC=AB,BD 与CD 的大小有什么关系?为什么?
解析：BD=CD ； 理由：如图，连接AD.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， 即AD ⊥BC.
又∵AC=AB ，∴
BD=CD.
例2.如图，⊙O 中,D ，E 分别是 AB
AC 和 的中点, DE 分别交AB 和AC 于点M ，N ；求证:△AMN 是等腰三角形.
证明：如图，连接AD ，AE.
●
O
D A B
C
∠DAB=∠AED ， ∠EAC= ∠ADE ，
∵ D,E 分别是 AB
AC 和 的中点, AD=DB
,AE=EC.∴ ∠DAB=∠AED ， ∠EAC= ∠ADE ， ∴ ∠AMN=∠ANM ，∴AM=AN. ∴△AMN 为等腰三角形
.
定理：圆的内接四边形的对角互补
定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。
对角：∠D ＋∠B ＝180°，∠A ＋∠C ＝180° 内对角：∠EAB ＝∠BCD ，∠FCB ＝∠
BAD
拓展：如图，⊙O 1和⊙O 2都经过A 、B 两点，经过A 点的直线CD 与⊙O 1交于点C ，与⊙O 2交于点D ，经过B 点的直线EF 与⊙O 1交于点E ，与⊙O 2交于点F 。
求证：CE ∥DF
有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。
此图形是一个考试热门图形。
思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？
（四）归纳小结
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法： （1）构造直径上的圆周角. （2）构造同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一. （五）随堂检测
1.（衡阳·中考）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o
，∠C=50o
， 那么sin ∠AEB 的值为（ ）
A.
12
B. 3
C. 2
D. 2
2.（荆门·中考）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
第10题图
A. 3．（荆州·中考）△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，作△
ABC 的外接圆．如图，若弧AB 的长为12cm ，那么弧AC 的长是（ ）
A ．10cm
B ．9cm
C．8cm D．6cm
4.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
(2)OC与BD的位置关系是___________;
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高. 求证：AB·AC=AE·AD.
【答案】
1. 答案：D
2. 答案：B
3. 答案：C
4. OC垂直平分AD ;平分；4
5. 证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD,
故△ACE∽△ADB,
所以AC AD
. AE AB
即AB·AC=AE·AD.
六、板书设计：
3.4.2圆周角和圆心角的关系
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例题1：例题2：例题 3:
七、作业布置
课本P83练习1、2、3
练习册相关练习
八、教学反思。