高一数学《第三章三角恒等变换复习(三)》
高一年级数学三角函数三角恒等变换知识点总结
高中数学苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点；始边在x 轴的正半轴上；角的终边在第几象限；就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上；就说这个角不属于任何象限；它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限；通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数；负角的弧度数为负数；零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α；其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长；r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点；始边为x 轴正半轴建立直角坐标系；在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ；点P 到原点的距离记为r ；则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -；则=+ααsin 2cos 。
高中数学：第3章 三角恒等变换 3.1.1 _1
3.1.1两角差的余弦公式考试标准课标要点学考要求高考要求两角差的余弦公式b b 两角差的正弦公式及两角和的正弦、余弦公式c c两角和与差的正切公式c c 知识导图学法指导本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强，要多练多总结，如角度之间的联系、公式的逆用及变形应用等都需要总结.两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β为任意角状元随笔对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要sin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.★答案★：1＋6210类型一 运用公式化简求值 例1 化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 【解析】 (1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角．(2)利用公式求值．方法归纳两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．跟踪训练1 求值： (1)cos 15°＝________； (2)cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________. 解析：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.★答案★：(1)6＋24 (2)12 (1)15 °＝45 °－30 °.＝22.又因为sin α>sin β，所以0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故α－β＝π4.★答案★：π4由sinα，sinβ求cosα，cosβ，再利用公式先求cos(α－β)的值，再求α－β的范围，最后求α－β的值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B ．sin 100°C.32D.12 解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.故选C.★答案★：C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12C.22D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C α－β求值．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝cos π4＝22.★答案★：C。
高中数学第三章三角恒等变换单元复习课件新人教B版必修4
C.
答案:C
专题一
专题二
专题三
应用2计算:4cos235°-cos 170°-tan 160°sin 170°. 提示:将cos235°降幂,将tan 160°切化弦,然后通分,通过角的转 化及两角和与差的余弦公式即可求得该式的值.
解: 原式=2(1+cos 70° )+cos 10° +tan 20° sin 10°
解: 由条件得(3sin α+2cos α)(2sin α-cos α)=0, 即 3sin α+2cos α=0 或 2sin α-cos α=0. 又由已知条件知 cos α≠0,sin α≠0,所以 于是 tan α<0,所以 tan
2 α=-3. π α≠2,且
α≠π,即 α∈
π ,π 2
.
cos(20° -10° ) cos20° 2cos70° cos20° +cos10° =2+ cos20° cos50° +cos10° =2+ cos20° cos(30° +20° ) +cos(30° -20° ) =2+ cos20° 2cos30° cos20° =2+ cos20° =2+2cos 30° =2+
sin
π 2������ + 3
=
2 -3 2 2 1+ -3
+
3 × 2
2 2 1- -3 6 5 =- + 26 2 2 13 1+ -3
3.
专题一
专题二
专题三
=2+2cos 70° +
3.
专题一
专题二
高一数学必修课件第三章三角恒等变形
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.2半角的正弦、余弦和正切bb高一数学
利用半角公式求值
已知 sin θ＝45，且52π＜θ＜3π，求 cosθ2和 tanθ2的值． 【解】 因为 sin θ＝45， 52π＜θ＜3π， 所以 cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35. 由 cos θ＝2cos2θ2－1， 得 cos2θ2＝1＋c2os θ＝15.
＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2＝cos2αcsoisnαα2cosα2
＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α
＝14sin 2α＝右边．
所以原式成立．
12/13/2021
(1)三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式 两种． ①无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果 索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等． ②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证式中左、右两 边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证． (2)进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变 换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或 化切)的方法，明确变形的目的．
第三章 三角恒等变换
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
12/13/2021
第三章 三角恒等变换
1.了解半角公式推导的过程． 2.理解半角的正弦、余 弦和正切公式． 3．能正确运用半角公式进行简单三角函数式的化简、求值和 恒等式的证明．
12/13/2021
半角公式
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
12/13/2021
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
必修4第三章三角恒等变形复习课
[解析] (1)f(x)＝61＋cos2x－ 3sin2x 2
＝3cos2x－ 3sin2x＋3
＝2 3( 3cos2x－1sin2x)＋3
2
2
＝2 3cos(2x＋π)＋3， 6
故 f(x)的最大值为 2 3＋3； 最小正周期 T＝2π＝π.
2
(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3， 故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6， 故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：
（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）.
（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明.
（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面思考.
2．三角函数式化简的基本技巧．
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)1±sinα化为 1±cos(π±α)，再升幂或化为(sinα±cosα)2.
2
22
(4)asinα ＋ bcosα→ 辅 助 角 公 式 asinα ＋ bcosα ＝
a2＋b2sin(α＋φ)，其中 tanφ＝b
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是 三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果 两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
人教版高中数学高一培优讲义第三章3三角恒等变换复习
，由
3
2k
(k Z ) ，可得答案．
3
，
，
，
令
，则
2k
3
即 -2k 2 (k Z ) ，当 3
时，正数
13.【答案】 1
(k Z) ， 3
，故答案为 ．
【分析】本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式，
二倍角公式，在化简
求值中的应用 利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解，
得到函数 g (x) 2 sin[ 2( x ) ] 2sin(2x ) 的图像，
66
6
，
，
g( x) 2 sin(2x ) [ 2,1] ． 6
故 在区间
上的最小值为
，最大值为 1．
【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数
的图象性质和最值，考查了
学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
人教版高中数学培优讲义
第三章 三角恒等变换复习
【知识结构】
sin
sin cos cos sin 令
sin2 2sin cos
cos
令 cos cos sin sin
cos2 cos2 sin2
t a n t an tan
1 t an · t an 2t an t a n2 1 t a n2
2
2
2c o s 1 1 2s i n
【解答】解：
，
，
，故选 A．
2.【答案】 C 【分析】本题考查两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 由已知利用两角差的正切函数公式，即可化简求值得解．
【解答】解：
，
人教版高中数学第三章三角恒等变换的复习教育课件
C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
2、辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a2 b2
(
a
b
six n
cox)s
a2b2
a2b2
a2 b2 (co sis xn sin co x)s
a2 b2 sinx().
其 由 中 sin b ， co s a 确 . 定
A . 64 25
B . 48 25
C.1
D . 16 25
4 .已 ta 知 n 1 2 ,ta n )( 5 2 ,则 ta n 2 ( )等 （于 C ）
A. 1 4
B.1 8
C. 1 12
D. 1 12
sin 70co1s5 0si8 n0 5.co7s0si1 n5 0si8 n0
课后延伸
高考链接
1.(200四 7 川1理7)
已知cos 1,cos()13,且0.
7
14
2
（1）求tan2的值；
（2）求.
2 .， 为c 锐 o s ) 角 1 (,c 22 o ， s) (3 ,求 co 的 s . 值
13
5
3.已知函f(x数 )2cos(x)(其中 0,xR)的最小正周 10期 . 为
题型二、给值求值问题
例 1.已c知 os4,sin5,180 0270,0
5
13
90 0180,求 0co (s).
33
65 变式练习
已c知 os3,(,)求 , cos().
52
4
北师大版数学高一必修4 第三章《三角恒等变换》章末复习
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
章末复习课
小结 给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联
本 系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、
课 时 栏
半的关系，如 α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α
时 栏 目
(1)证明 ∵sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，
开 关
sin ∴
sin
Acos Acos
B＋cos B－cos
Asin Asin
B＝35 B＝15
章末复习课
sin ⇒
cos
Acos Asin
B＝25 B＝15
⇒ttaann AB＝2.
∴tan A＝2tan B.
本
课 时 栏 目 开 关
时 栏 目
解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z.
开
关 当 t＝ 2，即 sin x＋cos x＝ 2时，f(x)max＝ 2＋12.
此时，由 2sinx＋π4＝ 2，sinx＋π4＝1. 解得 x＝2kπ＋π4，k∈Z.
章末复习课
本 综上，当 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，f(x)取得最小值，
开
关
＝t＋1－t2
＝－t－122＋54. 当 t＝12时，ymax＝54；
章末复习课
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
本 课
∴函数的值域为－
2－1，54.
时 栏
小结 在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一
目 开
高中数学第三章三角恒等变换3
解。如:已知tan
=2,求
tan( ) 不能用
2
T( )
3/7
已知 tanx＝14，tany＝－3，则 tan(x＋y)＝________，tan(x －y)＝________.
[答案] －171 13
4/7
1.两角和与差余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和 余弦
C（ +）
cos( ) cos cos sin sin
两角和与差正弦公式
1、两角和正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：S( )
2、两角差正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：S( )
1/7
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin
7/7
, R
6/7
3.两角和与差正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角 和 正切
两角 差 正切
T（ +） T（）
tan( ) tan tan
1 tan tan
tan( ) tan tan
1 tan tan
,, 均不等于 k+ （k Z） 2
,, 均不等于 k+ （k Z） 2
, R
两角差 余弦
C（）
cos( ) cos cos sin sin
, R
5/7
2.两角和与差正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和 正弦
S（ +）
sin( ) sin cos cos sin
苏教版数学高一-第三章《三角恒等变换》复习与小结(学案)
第三章《三角恒等变换》复习与小结（学案）学习目标：1.掌握三角恒等变换公式,运用它们进行有关计算、化简、证明. 培养学生的逻辑推理能力.2.通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 学习重点：熟练、灵活的应用三角公式.学习难点：变换中的技巧.学习过程：一、问题情景：复习知识点二、学生活动：1．已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于 2．已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于 3．2cos 12cos 1--+等于4．化简1cos 2tan cot 22ααα+-，其结果为5．已知βαβα,,3tan ,2tan ==为锐角，则βα+值是6．已知1sin cos 3αα+=，则cos4α= . 三、数学应用 例1 .54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-．例2.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简︒+︒例3 把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）变式 已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．四、要点归纳与方法小结1．要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．2．建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题．3．常见的三角变形技巧有：①切割化弦；②“1”的变用；O③统一角度，统一函数，统一形式等等．。
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第三章 三角恒等变换复习（三）
教学目标：
1. 综合运用知识解决相关问题.
2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.
教学重点：运用知识解决实际问题
教学难点：建立函数关系解决实际问题.
教学过程
一、作业讲评
《习案》P.192的第3题
.cos ,02,53
4sin )3sin(.1=<<--=++ααπ
απ
α则且
《习案》P.194的第6题
已知函数.2.1cos )6sin()6sin()(的最大值为a x x x x f ++-++=π
π
.0)()2(;
)1(的取值集合成立的求使的值求常数x x f a ≥
《习案》P.196的第5题
.)(,6,4,2)(},,2|{,cos sin )(.3想的取值范围作出一个猜取一般值时进而对时的取值情况在利用三角变换估计
设αααααf x x f N k k n n x f x x =∈=∈+=+
二、例题分析
1. 已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2 . B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，求△ABC 面积的最小值.
2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点.当△
时，求∠PCQ 的大小.
.
tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43)2(;sin sin )2cos(2sin )
2sin()1(.34
A A A A A =+++-=+-+αβ
βααβα证明：
三、课后作业
《学案》第三章单元检测卷.。