2.2.2 反证法)
第2章 2.2 2.2.2 反证法
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。
2.2.2反证法
1.用反证法证明（填空）： 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
Ｂ 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
Ａ Ｃ
证明：
假设所求证的结论不成立，即 ＜ 60°， ∠Ｂ＿＿ ＜ 60° ＜ 60°， ∠Ｃ＿＿ ∠Ａ＿＿ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ 1800
例题1:求证在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3l2 不相交.
那么 l3∥l2 因为已知 l1∥l2 所以l1 ∥ l3 这与“l3与l1相交于点P 矛盾.
复习回顾
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、
公理等，经过一系列的推理论证，最后推导
出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 数学推理 Q1 Q2 Q2 Q3
结论
… Qn Q
由因导果
复习回顾
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 （已知条件、定理、定义、公理等）。 这种证明的方法叫做分析法.
件，否则推不出矛盾，或者不能断
定推出的结果是错误的。
学案例1，练习1
例题2:
求证:若一个整数的平方是偶数,则这个 数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为2k+1, k Z . 则有
(2k 1) 4k 4k 1
而
2
2
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
2.2.2反证法
因为a ，而a ，
所以与是两个不同的平面。
因为b , 且b ，
所以 b。
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点。
假设直线a与平面有公共点P，则P b，
即点P是直线a与b的公共点，这与a // b矛盾。
王戎说：“树在道边而多子，此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样 的推理方法？
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会 被过路人摘去解渴呢？
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设 是错的。
5．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原 理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是 指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果 否定了假设”。反证法属于“间接证明方法”，书写格 式易错之处是“假设”错写成“设”。
常见的“结论词”与“反设词”如下：
原结论词
反设词
原结论词
例2：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
例3：已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个数是偶数。
各抒己见
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为, 这与另一个哲学家笑个不停矛盾, 所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确, 于是自己的前额也被涂黑了。
——"脏脸"博弈
2.2.2 反证法
2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。
2.2.2反证法
2.2.2 反证法【学习目标】1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思想过程，会用反证法证明数学问题.重点：体会反证法的思考过程、特点、培养逆向思维能力.难点：会用反证法证明数学问题.情境切入著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友们在路上玩耍，一天，他们发现路边的一颗树上结满了李子，小朋友们一哄而上去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”实质上王戎的论述就是反证法的思想. 【自主学习】1.反证法是 的一种基本方法.2.一般地，假设原命题 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法.3.反正法的关键是在正确的推了下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.问题探究1:用反证法证明命题“若p ，则q ”时，q ⌝是假，q 即为真吗？【合作探究】探究一、用反证法证明否定（肯定）命题 求证不论y x ,取何非零实数，等式yx y x +=+111总不成立求证：两条相交直线有且只有一个交点.探究三、用反证法证明“至多”或“至少”类的问题已知是不相等的实数，求证：由c bx ax y ++=22，a cx bx y ++=22和b ax cx y ++=22确定三的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点.【检测反馈】1用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设 （ ） A.三角形三个内角都不大于60 B.三角形的三个内角都大于 60 C.三角形三个内角至多有一个大于60 D.三角形三个内角至多有两个大于 602.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些不能作为条件使用 （ ） A.结论的否，即假设 B.原命题中的条件 C.公理、定理、定义等 D.原命题的结论3.若否定“自然数a,b 中至少有一个数是偶数”时，正确的反设是 （ ） A.a,b 中恰有一个数是偶数 B.a,b 中有两个数是偶数C.a,b 中恰有一个数是偶数或全是偶数D.a,b 都是奇数4.如果两个数的和为负数，那么这两个数 （） A.一个正数，一个负数 B.两个都是负数 C.至少有一个是负数 D.至少有一个数是正数 5.已知0,0,,22===+∈y x y x R y x 求证：且※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差。
2.2.2反证法
课后练习：Ｐ91 1,2
审题指导
第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式， 1 应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋ n(n－1)d两式求解． 2 第(2)问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用 反证法证明．
a1 1 2 (1)设公差为d，由已知得 3a1 3d 9 3 2 故 an 2n 1 2, Sn n(n 2).
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
2 2
∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
2
课堂互动
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
对于含有“至多”、“至少”的 命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体 会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的 含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明 遗漏的错误． 说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 否定 正面 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
变式3
已知f(x)＝ax＋
x2 x 1
(a>1)，证明方程
f(x)＝0没有负数根．
证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，
x0 a 则x0<0且x0≠－1且
x0 a 由0< <1⇒0<－
1 解得 <x0<2，这与x0<0矛盾，所以假设不成立， 2 故方程f(x)＝0没有负数根．
2.2.2 反证法
1、一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 、 、 、 矛盾等。
题型一 用反证法证明否定性命题【例1】设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，（1）求证：数列{}n S 不是等比数列； （2）数列{}n S 是等差数列吧？为什么？【练习1】已知a,b,c 是一组勾股数，求证：a,b,c 不可能都是奇数。
题型二 用反证法证“至多”“至少”等类型问题 【例2】设]1,1[,)(2-∈++=x c bx xx f ，证明：b<-2时，在其定义域范围内至少存在一个x,使21)(≥x f 成立。
【练习2】若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，那么方程f(x)=0,在区间[a,b]上至多有一个实数根。
题型三 用反证法证唯一性问题【例3】求证：两条相交直线有且只有一个交点。
【练习3】已知a ≠0,证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。
题型四 用反证法证正面证较难的问题【例4】已知30≤<a ,函数f(x)=3x -ax 在区间[1,+ ∞）上是增函数，设当10≥x ，1)(0≥x f 时，有00))((x x f f =，求证：00)(x x f =。
【练习4】设有长度分别为54321,,,a a a a a 和的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形。
一、选择题1、应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用①结论相反判断，即假设②原命题的结论③公理，定理，定义等④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 A.假设a,b,c 都是偶数 B.假设a,b,c 都不是偶数 C.假设a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设a,b,c 至多有两个是偶数3. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角 4、如果两个实数之和为正数，则这两个数 A.一个是正数，一个是负数B.两个都是正数 C.至少有一个是正数 D.两个都是负数 5、命题“△ABC 中，若∠A>∠B,则a>b ”的结论的否定应该是A.a<bB. a ≤bC.a=bD.a ≥b 二、填空题6、和两条异面直线AB,CD 都相交的两条直线AC,BD 的位置关系是 。
2.2.2 反证法
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练2已知函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的
曲线,且f(x)在[m,n]上单调递减,若f(m)f(n)<0,求证:方程f(x)=0在(m,n)
上有且只有一个实数根.
证明:因为函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,
课前篇自主预习
【做一做 2】 用反证法证明命题“若 a>b,则3 ������ > 3 ������”时,假设
内容应是( )
A.3 ������ = 3 ������
B.3 ������ < 3 ������
C.3 ������ = 3 ������且3 ������ < 3 ������ D.3 ������ = 3 ������或3 ������ < 3 ������
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟 至少、至多型命题的解题策略 1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程烦 琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现 了“正难则反”的思想方法. 2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:
x0≠x1. 若x0>x1,则有f(x0)<f(x1),即0<0,矛盾; 若x0<x1,则有f(x0)>f(x1),即0>0,矛; 故假设错误,即方程f(x)=0在(m,n)上的根是唯一的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
用反证法证明“至少、至多”型命题 例3 已知a,b,c都是小于2的正数,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少 有一个不大于1. 分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故 用反证法证明.
2.2.2反证法
人教A版选修2—2 精讲细练2.2.2 反证法一、知识精讲1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理等矛盾．【注】：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确。
3.反证法步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;②归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理,得出矛盾③结论——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.二、典例细练【题型一】：“反设”的选取例题1：否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数【答案】 B【解析】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.变式训练1：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】 B【解析】“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.变式训练2：用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数【答案】 B【解析】“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数．变式训练3：命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b”的结论的否定应该是( ) A ．a<b B ．a≤b C ．a ＝b D ．a≥b 【答案】 B【解析】 “a>b”的否定应为“a ＝b 或a<b”，即a≤b.故应选B. 【题型二】：用反证法证明否定性命题例题2：已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．【证明】假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且a 0x ＝－x 0－2x 0＋1，由0<a 0x <1即0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根． 【点评】反证法步骤——反设⇒归谬⇒结论。
2.2.2 《反证法》
2．2.2反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．基础梳理反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．基础自测1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D)A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选D.2．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(B)A．a，b都与l相交B．a，b至少有一条与l相交C．a，b至多有一条与l相交D．a，b都与l不相交解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B.3．用反证法证明“已知a3＋b3＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3＋b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．答案：a＋b＞26(b－1)2＜04．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是___________________________________________________________ _____________．解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．（三）注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB ＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP4．求证：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，且n>1)．证明：假设na不大于nb，则na＝nb，或na＜nb当na＝nb时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．当na＜nb时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．所以na＞nb.1．“实数a，b，c不全为0”的意思为(D)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为02．下列命题中错误的是(D)A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中为奇数的一个也没有3．用反证法证明命题“如果a＞b，则3a＞3b”时，假设内容应是(D)A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：容易知道，“3a＞3b”的否定是“3a＜3b或3a＝3b”，所以选D.4．如果两个实数之和为正数，则这两个数(A )A ．至少有一个是正数B ．两个都是正数C ．一个是正数，一个是负数D ．两个都是负数解析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.5．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a(D ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个数不大于2D ．至少有一个数不小于2解析：a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6.若三个数均小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6，故选D.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)(C )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能解析：∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c .∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内，则x 21＋x 22≥2，但x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 24c 2＋2c 2c ＝74＜2，矛盾． ∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.7．命题“在△ABC 中，A ＞B 则a ＞b ”，用反证法证明是，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”．答案：a ≤b8．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除．”那么假设的内容是____________________．解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”．答案：a ，b 中没有一个能被5整除9．命题“a ，b ∈R ，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．答案：a ≠1，或b ≠110．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程实根，求实数a 的取值范围．解析：设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ＝4a 2－4（－2a ）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1，或a ＞13，－2＜a ＜0，所以－32＜a ＜－1. 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＋2b ac， ∴b 2＝ac .又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ， 即(a －c )2＝0.∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．∴2b ＝1a ＋1c不成立．12．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0＜0且x 0≠－1且ax o ＝－x 0－2x 0＋1， ∴0＜ax o ＜1⇒0＜－x 0－2x 0＋1＜1，解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．►品味高考1．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰有两个实根解析：因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．2．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长；(2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．解析：(1)如图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，∴MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF.∴MG⊥GN.∴MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.∴EN∥AB.又AB∥CD∥EF，∴EF∥NE.这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。
2.2.2反证法
之内， （1）如果点 在△ABC之内，根 ）如果点D在 之内 据假设，围绕点D的三个角都是 据假设，围绕点 的三个角都是 锐角，其和小于270°，这与一 B 锐角，其和小于 ° 个周角等于360°矛盾； 个周角等于 °矛盾；
A
A
D C
D （2）如果点 在△ABC之外，根 之外， ）如果点D在 之外 据假设四边形ABCD的四个内角 据假设四边形 的四个内角 C 分别是某锐角三角形的内角， 分别是某锐角三角形的内角， B 都小于90° 即∠A，∠B，∠C，∠D都小于 °，这和 ， ， ， 都小于 四边形内角和等于360°矛盾， 四边形内角和等于 °矛盾， 综上所述，原题的结论正确。 综上所述，原题的结论正确。
从上述两例看出， 从上述两例看出，反证法不是直接去证 明结论，而是先否定结论， 明结论，而是先否定结论，在否定结论的 基础上，运用演绎推理，导出矛盾， 基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而 肯定结论的真实性。 肯定结论的真实性。
二．反证法的主要步骤 (1) 反设： 反设： 反设是反证法的基础， 反设是反证法的基础，为了正确地作出 反设， 反设，掌握一些常用的互为否定的表述形 式是有必要的，例如： 不是 存在/不 不是； 式是有必要的，例如：是/不是；存在 不 存在；平行于/不平行于 垂直于/不垂直 不平行于； 存在；平行于 不平行于；垂直于 不垂直 等于/不等于 不等于； 小 于 不大 不大(小 于 于；等于 不等于；大(小)于/不大 小)于； 都是/不都是 至少有一个/一个也没有 不都是； 一个也没有； 都是 不都是；至少有一个 一个也没有； 至少有n个 至多有 至多有(n一 个 至多有一个/ 至少有 个/至多有 一1)个；至多有一个 至少有两个；唯一/至少有两个 至少有两个。 至少有两个；唯一 至少有两个。
2.2.2反证法
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
（回顾小结）
应用反证法的情形： (1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。 正难则反!
（回顾小结）
合情推理 （归纳、类比）
推理 演绎推理 （三段论） 证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？ 你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
综上可知：a，b，c都大于零．
3.已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用
反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0 无实根．
【正解】 证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根， 则该方程根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0， 解得 p≥2 或 p≤－2， 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 解得－2<p<－ ，二者无公共部分，所以假设不成立， 2 故关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根.
两式相除得2b1－b2＝1， 如果b1－b2>0，则2b1－b2 >1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2 <1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故方程2x＝3有且只有一个根．
2.2.2 反证法
又x=b时,(x-a)(x-b)=0,
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立, 从而x≠a且x≠b.
例2 已知直线a，b和平面α,如果 a , b ,
且 a // b ,求证: a // .
证明：因为a∥b,
所以经过直线a,b确定一个平
a
面 .
因为 a ,而
因为x1 ≠ x2，所以x1 - x2 ≠0,所以应有a = 0, 这与已知矛盾，故假设错误.
所以，当a ≠0时，方程ax=b有且只有一个根. 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一 性问题,常用反证法 .
【变式练习】
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b.
证明 假设x=a或x=b, 由于x=a时,(x-a)(x-b)=0,
原词语 否定词 原词语
否定词
等于 不等于 任意的
某个
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
成立 不成立
不成立
存在某x, 成立
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根. 分析：由于a ≠0，因此方程至少有一个根 x . b
否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立.
归谬矛盾： （1）与已知条件矛盾. （2）与假设矛盾或自相矛盾. （3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.
2.2.2反证法
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• 例题讲解
反证法的思维：正难则反
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• 例题讲解
否定性命题：正面模糊，反面具体
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例 3:用反证法证明关于 x 的方程 x2 4ax 4a 3 0 ， x2 (a 1)x a2 0, x2 2ax 2a 0 ，当 a 3 或 a 1 时，人教A版Leabharlann 河北新乐市第一中学田丽
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• 情景创设
问题：将9个球分别染成红色或白色。 那么无论怎样染，至少有5个球是同色 的。你能证明这个结论吗?
间接证明：不是直接从原命题的条件 逐步推理命题成立的证明方法。
反证法是一种常用的间接证明的方法
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• 反证法定义
一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫做反证法。
2
至少有一个方程有实数根.
“至少”“至多”等存在性问题
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• 小试牛刀
练习：写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”
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练习：写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”
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• 技法点拨
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• 小结
反证法适用的两种情形
2.2.2 反证法
2 a 1且 2 b 1 0 a 1且0 b 1
1 1 ab 而 由a b a b ab
a 0, b 0
0 ab 1 ab 1
矛盾！
三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
例题 例1、已知：一个整数的平方能被2整除， 求证：这个整数是偶数。
证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法.
练习、已知x>0,y>0，x+y>2，
1 x 1 y 求证： , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明： 2. 假设结论不成立，即： 2且 y x
1 x 2 y且1 y 2 x.
∴a2=(2n+1)2=4n2+ห้องสมุดไป่ตู้n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。 从反面进行思考，问题就可能迎刃而解。
注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，
1 1 例2、(2015,湖南，理)已知a>0,b>0， 且a b . a b
求证： (2)a 2 a 2 , b2 b 2不可能同时成立 .
假设不成立，原结论成 立，即证 .
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从而就有m 2n ，所以m2=2n2 ，所以m为偶数. 于是可设m=2k（k是正整数），从而有 4k2=2n2 ，即n2=2k2， 所以n也为偶数.这与假设“m，n互质”矛盾， 所以假设错误，从而 2 是无理数.
无理数的发现——第一次数学危机
希帕索斯在求正方形的对角线时，当边长为 1时，对角线的长度（ 2 ） 不能用有理数 （整数或整数之比）去表示，导致了当时认 识上的危机，从而产生了第一次数学危机。
假设李子是甜的
长在路边早被人采光了，与实际这棵 树果实累累矛盾
所以李子是苦的
•生活中是否有应用这种思想方法解决 问题的例子呢？ 举例并说明。
反证法
假设原命题结论不成立，即结论的反面成立， 经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
反设 归谬 结论
合作探究
例1、已知直线ɑ，b和平面α，如果ɑ α，b α ，
反证法
活动探究 证明： 任意13个同学中必有同一个月生日的同学
假设13个同学中没有同一个月生日的同学
则13个同学生日的月份就应该有13个月， 与事实“一年只有12个月”矛盾
所以任意13个同学中必有同一个月生日的同学
道旁李苦
王戎是魏晋时期的人，竹林七贤之一，有一天和小朋友出去玩，突然 看到路边的一颗李树果实累累，于是小伙伴们一哄而上，唯有王戎不 动。有人问他：“你为什么不去摘李子呢？”王戎说：“树在道路旁而多 子，此李必苦！”
且ɑ//b，求证：ɑ//α.
证明：假设直线ɑ与平面α有公共点，
设 a A
a
cb
A
a // b,
Ab
在平面α内，过A作 c // b
a // c,
A a, Ac,
a c A 这与ɑ//c矛盾.
所以假设错误, 所以ɑ//α.
合作探究
例2、求证 2 是无理数.
证明：假设 2 不是无理数，即是有理数. 于是存在互质的正整数m，n，使得 2 m ，
后来欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理 数的解释与现代解释基本一致。
2
1
1
概念理解 反设： 正确写出命题的否定。
常用词语的否定
词语 大于 不小于 等于 是 都是 至少1个 至多1个
否定
≤
<
不等于 不是 不都是 一个没有 至少2个
概念理解
归谬：在命题条件下，从假设出发， 对等式或不等式进行恰当变形，结合已知定理， 结论，事实等进行推理， 导出矛盾
矛盾的可能有：
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾； ③与定义、定理、事实矛盾等
小结
反证法
反设 归谬 结论
与已知矛盾 与假设矛盾 与定义，定理，事实矛盾
完全归纳法：
考察全体对象从而得到结论的推理方法
……Biblioteka 不完全归纳法：考察部分对象 从而得出结论的
推理方法
要使得多米诺骨牌 全部倒下，
需要具备哪些基本条件？
A
A
B
B
C
F
C
ED
（1）验证当n=1初时始结值论n成0时立结。论成立。
（2）假设当n=k(k≥1n)0时)时结结论论成成立立，，证证明明则则当当 n=k+1时结论也成立。
（3）下结论：根据（1）和（2），可知对 任意的正整数n，结论都成立。
练习巩固
1.用数学归纳法证明：
在验证 n=1成立时，左边计算所得的
。
倒下。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可
可知不论有多少块骨牌， 都能全部倒下。
知对任意的正整数n，猜 想 都成立。
证明：
(2)假设n=k（k≥1）时猜想成立即
ak
1 k
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
（1）验证当n=1时结论成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时结论成立，证明则 当n=k+1时结论也成立。
从n=k到n=k+1有什么变化
凑结论
，命题正确。
结果是（ C ）
A．1
B.
C．
D.
3：用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边=
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
=2. 命题成立
则当n=k+1时，
＝
+
利用假设 = =
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
（1）最开始的一块骨牌倒下。 （2）若第k块倒下时，k≥1
则相邻的第k+1块也倒下。
已知数列
多米诺骨牌游戏的原理
这个猜想的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立。
（2）若当n=k（k≥1）时猜想
（2）若第k(k≥1)块倒下 成立，即
证明n=k+1时
时，则相邻的第k+1块也 猜想也成立，即
（3）总结：根据（1）和（2），可知对任 意的正整数n，结论都成立。
例1：证明
证明：
（1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝ 左边=右边，∴等式成立
（2）假设当n=k（k≥1）时等式成立，
思考：
1.判断命题真假： 某人姓张，如果规定他的子孙们都随父姓，那么， 他的子子孙孙全部都姓张！
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°