高考数学一轮复习3.5定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理新人教A版
高三数学一轮复习 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教B版
解析：由方程组
y＝2x＋3， 2 y ＝ x ，
可得x1＝－1，x2
2 3－1(2x＋3)dx－3－1x dx ＝3.故所求图形面积为s＝
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
• 点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求 面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还 要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确 定积分的正负．
• (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． • ∴当x＝0时，f(x)min＝－4； • 当x＝±1时，f(x)max＝2.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
a－b＋c＝2 b＝0
(a≠0)，
，即
c＝2－a b＝0
，∴f(x)＝ax2＋(2－
a)．
1 2 1 f(x)dx＝ [ax ＋(2－a)]dx 又
0 0
1 3 2 1 ＝[ ax ＋(2－a)x]|0 ＝2－ a＝－2， 3 3 ∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
n
b－a ④取极限： f(x)dx＝linm . →∞ f(ξi)· n i＝1
b a
n
注：定义中将区间[a，b]分成n个小区间，当 λ→0时，和式 f (ξi)Δxi的极限存在．但在实际应用中
i＝0 n－1
为了方便，一般将区间[a，b] n ，则所有小区间 · 等分 ．． b－a b－a 长度都是 ，故λ＝ ，当n→∞时，λ→0，和式 n n
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
W＝4F(x)dx＝25dx＋4(3x＋4)dx
0
0
2
＝5×2＋32x2＋4x42
＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦)．
答案：163
[典题 3] (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急
情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋12＋5t(t 的单位：s，v 的单位：
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
()
A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝
0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( )
a
a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成 a
的图形一定在 x 轴下方．( )
(4)若 f(x)是偶函数，则∫a－a f(x) dx＝2∫a0f(x) dx.( ) (5)微积分基本定理中 F(x)是唯一的．( )
高三数学一轮复习 2.13 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件 理 新课标
【例3】在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位： s)所走过的路程 s＝4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动 速度v成正比，且当v＝10 m/s时，F＝5 N，求物体在位移区间 ［1,4］内克服介质阻力所做的功. 【解题指南】由题意可以先求出阻力F，再利用变力做功公式， 求物体克服阻力所做的功.
0
44
，9 x2
(3)因为x=1>0，所以f(1)=lg1=0，又因为
f(x)=x+0a 3t2dt x，所a3以f(0)=a3，所以a3=1,a=1.
答案：1
【反思·感悟】1.求定积分时,如果被积函数比较复杂,可把被 积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数 的积或和或差的形式,再求解. 2.求定积分值时，应首先选用微积分基本定理,当满足F′(x)= f(x)的F(x)不易求时,可考虑应用定积分的几何意义求解.
x
的阴影部分，
联立
y
2
x得在第一象限的交点为(2，1),
y x 1
故所求面积为
4
2
(x
1
2 x
)dx
=(1 x2 x 2lnx) 4 4 2ln2.
2
2
2.(2012·揭阳模拟)若
a
0
x 2dx
9，则a=_______；
2
4 x2 dx________.
2
【解析】∵ a x2dx 1 x3 a 1 a3 9,a 3,
利用定积分求平面图形的面积 【方法点睛】 求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下 限； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
一轮复习优质课件定积分与微积分基本定理
b－a (ξi)· . n
(3)定积分 f(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 [a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
b a
基础归纳
2．定积分的几何意义
当 f(x)≥0 时，定积分 f(x)dx 的几何意义：表示由 a
b
直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时 f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．
b
f(x)dx＝
a
c
b a
f(x)dx(其中 a<c<b)
你能从定积分的几何意义解释性 质③吗？
基础归纳
4．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且
b F ′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝ F(b)－F(a)． 这个结论叫
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了
变式训练：
(本题满分10分)物体A以初速度为2(速 度v的单位：m/s)、加速度为a(t)＝6t(t的单 位：s)在一直线上运动．在此直线上与物 体A出发的同时，物体B在物体A的正前方 5 m处以v＝10t＋1(t的单位：s，v的单位： m/s)的速度运动． (1)求物体A的速度； (2)两物体何时相遇？相遇地与物体A 的出发地的距离是多少？
i＝ 1 i＝ 1 n n
b－a f(ζi)，当 n→∞时，此和式无限接 n
近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积 分
基础归纳
记作
b a
f(x)dx，即
b a
f(x)dx＝lim
《定积分与微积分基本定理》新课程高中数学高三一轮复习课件
下半支方程为y=- 2x，所以
S A1 =
2
[
0
2x (
2x )]dx 2
1 2
2 x 2dx 0
=2
2
2 3
3
x2
0 2
16 3
,
S A2 =
8
[4 x ( 2x )]dx
2
=
4x
1 2
x2
22 3
3
x2
0 2
38 3
于是：S=
16 18 33
=18.
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解法二：选y作积分变量，
0
1
2
=
x2 4
1+
0
1 3
x3
1 0
+ 2x 3 ln 2 2
= 181 8 4 4 3 3 ln 2 ln 2
= 31 4
.
12 ln 2
名师伴你行
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(2)当x∈[0, ]时,
2
1 sin 2x (sin x cos x)2 =|sinx-cosx|
-sinx+cosx
= sinx-cosx
λ→0 i=0
a
被,a积函数
叫 积分下限 ,b叫 积分上限 ，f(x)dx叫作 被积式 .
2、定积分的几何意义
设函数f(x)在区间［a,b］上连续，定积分
b
f(x)dx
在
a
几何上表示界于x轴、曲线y=f(x)及直线x=a、x=b之间
各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取 正号 ，
在x轴下方的面积取 负号 .
3 4
t2
90t
60 40
1350
答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.
高考讲定积分及其应用举例课件理
总结词
定积分的定义包括将函数分割成小段， 然后求和；定积分的性质包括奇偶性、 可加性等。
VS
详细描述
定积分的定义是将一个函数分割成许多小 段，然后求这些小段的面积和。具体来说 ，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么 对于这个区间上的任意两个点a和b，都 有定积分∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中 F(x)是f(x)的原函数。此外，定积分还具 有一些性质，例如奇偶性、可加性等。这 些性质在计算定积分时非常有用。
04
定积分的计算方法
直接积分法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
直接积分法是最基本的 积分方法，主要依靠微 分的概念进行计算。
详细描述
直接积分法是将一个函 数的积分转化为另一个 函数的导数的过程。具
体地，对于一个函数 f(x)，其不定积分就是 所有使得f(x)成立的函 数F(x)的导数。换句话 说，不定积分就是找到 一个函数，使得这个函 数的导数等于原函数。
微积分基本定理
01
微积分基本定理的定义
微积分基本定理是指对于一个给定的函数f(x)，如果对其进行积分，那
么该积分等于f(x)的原函数在该区间上的增量。
02
微积分基本定理的意义
微积分基本定理是微积分学的基础，它揭示了可积函数的原函数与积分
之间的联系，为解决微积分问题提供了基本的方法和工具。
03
微积分基本定理的应用
05
定积分的应用扩展
物理应用
匀速直线运动
01
定积分可应用于计算位移，特别是在匀速直线运动中，速度是
恒定的，因此可以通过对速度的积分来求解位移。
简谐振动
02
高考一轮课时训练(理)4.3定积分的概念微积分基本定理及简单应用(通用版)
第三节 定积分的概念 ，微积分基本定理及简单应用一、选择题1．(2009年广州月考)曲线y ＝sin x(－π≤x ≤2π)与x 轴所围成的封闭区域的面积为( )A ．0B ．2C ．－2D ．6解析：三块区域的面积都是2，故总面积为6.答案：D2．设f(x)的曲线是[a ，b]上的连续曲线，n 等分[a ，b]，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f(x)d x 是( ) A .lim n →∞∑i ＝1n f (ξi ) B .lim n →∞∑i ＝1n b －a n f(ξi ) C .lim n →∞∑i ＝1n ξi f(ξi ) D .lim n →∞∑i ＝1n (ξi －ξi －1)f(ξi ) 解析：由积分的定义易知．答案：B3．下列式子中，正确的是( )A .⎠⎛ab f(x)d x ＝f(b)－f(a)＋C B .⎠⎛a b f(x)d x ＝f ′(b)－f ′(a)C .⎠⎛ab f ′(x)d x ＝f(b)－f(a) D ．[⎠⎛ab f(x)d x]′＝f(x) 解析：由微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)，易知C 正确．答案：C4．以初速度40 m /s 坚直向上抛掷一物体，t 秒时刻的速度为v ＝40－10t 2，则此物体所能到达的最高高度是( )A .1603 mB .803 mC .403 mD .203m 答案：A5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x ≤π2)的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A .32 B ．1 C ．2 D .12答案：A二、填空题6．(2009年南通模拟)已知t>0，若⎠⎛0t ()2x －1d x ＝6，则 t ＝______.答案：37．(2008年山东卷)设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)．若⎠⎛01f(x)d x ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx | 10 ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：338．由曲线y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3及x 轴，y 轴所围成的区域的面积为：________.解析：如下图，S ＝⎠⎛01(1＋x 2)d x ＋⎠⎛13(3－x)d x ＝103.答案：103三、解答题9．(2009年济南模拟)如下图所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax ()a>1交于点O 、A ，直线x ＝t ()0<t ≤1与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连结OD ，DA ，AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f ()t ；(2)求函数S ＝f ()t 在区间(]0，1上的最大值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，得点O ()0，0，A ()a ，a 2.又由已知得B ()t ，－t 2＋2at ，D ()t ，t 2.故S ＝⎠⎛0t ()－x 2＋2ax d x －12·t·t 2＋12()－t 2＋2at －t 2 ×()a －t＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋ax 2| t 0－12t 3＋()－t 2＋at ×()a －t ＝⎝⎛⎭⎫－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t. ∴S ＝f ()t ＝16t 3－at 2＋a 2t ()0<t ≤1. (2)f ′()t ＝12t 2－2at ＋a 2， 令f ′()t ＝0，即12t 2－2at ＋a 2＝0， 解得t ＝()2－2a 或t ＝()2＋2 a.∵0<t ≤1，a>1，∴t ＝()2＋2a 应舍去．若()2－2a ≥1即a ≥12－2＝2＋22时， ∵0<t ≤1，∴f ′()t ≥0.∴f ()t 在区间(]0，1上单调递增，S 的最大值是f ()1＝a 2－a ＋16. 若()2－2a<1，即1<a<2＋22时， 当0<t<()2－2a 时，f ′()t >0，当()2－2a<t ≤1时，f ′()t <0.∴f ()t 在区间(]0，()2－2a 上单调递增，在区间[]()2－2a ，1上单调递减．∴f ()t 的最大值是f []()2－2a ＝16[]()2－2a 3 －a []()2－2a 2＋a 2()2－2a ＝22－23a 3.综上所述，[]f ()t max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＋16，a ≥2＋22，22－23a 3，1<a ＜2＋22.10．(2008年山东德州)若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，且f(1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f(x)d x ＝316，求函数f(x)的解析式．解析：由题意知f(1)＝a ＋b ＋c ＝4，①f ′(1)＝2a ＋b ＝1.②又由⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知 a 3＋b 2＋c ＝316.③ ①②③联立，解得：a ＝－1，b ＝3，c ＝2，从而所求的函数f(x)的解析式为f(x)＝－x 2＋3x ＋2.。
黄冈名师2020版高考数学大一轮复习3.5定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理新人教A版
F(x)dx=
2 0
5dx+
4 2
(3x+4)dx=5×2(+3
2
x
2＋4x
)
|24
=10+[ 3 42＋4 4 ( 3 2=2＋346(2J))].
2
2
答案:36
【规律方法】定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动
物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的
x
的系数是 ( )
A.240
B.80
C.-80
D.-240
【解析】选B.方法一: e10 xdx=ex |10=e-1,
所以n=5 10 exd=x 5,则 (x 4 2)5 [(x 4 ) 2]5
e 1
x
x
C50
(x
4 x
)5
C15
(x
4 x
)4
21
C52
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是 路程.
F(x)做的功为________J.
【解析】(1)选C.令v(t)=0得,3t2-4t-32=0,
解得t=4(t＝ 8 舍去).
3
汽车的刹车距离是
4 0
(7
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第5讲 定积分与微积分基本定理课件 理
∴1 0
1－x2dx
几何意义为1个圆的面积． 4
∴1 0
1－x2dx＝π4.
(2)1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e1－1＝e. 0
12/11/2021
第二十五页，共四十九页。
答案
(3)因为(sinx)′＝cosx，
所以πcosxdx＝sinxπ0＝sinπ－sin0＝0. 0
(4)因为(x2)′＝2x，1x′＝－x12，所以132x－x12d
答案 C
12/11/2021
第四十三页，共四十九页。
答案
解析 由v(t)＝0，得t＝4.故刹车距离为s＝4v(t)dt 0
＝047－3t＋12＋5 tdt＝－23t2＋7t＋25ln
1＋t|40＝4＋25ln
＝2－4π－－1＝2－π2.
12/11/2021
第二十八页，共四十九页。
触类旁通 求曲线围成平面图形面积的方法
对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根 据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．
12/11/2021
第二十九页，共四十九页。
即时训练 2.由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积 为________．
12/11/2021
第三十五页，共四十九页。
即时训练 3.已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面
积为92，则k等于(
)
A．2
B．1
C．3
D．4
答案 C
12/11/2021
第三十六页，共四十九页。
答案
解析
由
y＝x2， y＝kx
消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则阴影部分
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x
2
(=-48)00x2,
x
所以在 (x 4 的2)展n 开式中x2的系数是80.
x
方法二:由 e10 xdx=ex |10=e-1,
所以n=5 10 exd=x 5,
e 1
则 (x 4 2)5 [(x展 开4 )式 2的]5 通项
x
x
C5r
(x
4 x
路程s=
b a
v(t)dt.
(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是 W= ab F(x)dx.
【对点训练】
某人吃完饭后散步,在0到3小时内速度与时间的关系为
v=t3-3t2+2t(km/h),这3小时内他走过的路程为 ( )
A.2-ln 3 C.2
B.ln 3 D.4-ln 3
【解析】选D.方法一:由xy=1,y=3可得交点坐标为( 1 ,3)，
3
由xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),由y=x,y=3可得交
点坐标为(3,3),
所以由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平面图形
的面积为
11
3
(3
1 x
A. 9 kmB.10 kmC.11 kmD.13 km
4
4
4
4
【解析】选C.v=t3-3t2+2t的原函数可为F(t)= 1 t4
4
-t3+t2= 1 t2(t-2)2,路程为
F(x)dx=
2 0
5dx+
4 2
(3x+4)dx=5×2(+3
2
x
2＋4x
)
|24
=10+[ 3 42＋4 4 ( 3 2=2＋346(2J))].
2
2
答案:36
【规律方法】定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动
物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的
f(x)≥0(x∈(a,b)).
2.积分的性质
(1) ab
kf(x)dx=k
b a
f(x)dx(k为常数).
(2) ab [f1(x)±f2(x)]dx=___ab f_1_x__d_x___ab_f_2 _x__d_x_.
(3) ab f(x)dx= ca f(x)dx+__cb_f__x_d_x__(其中a<c<b).
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是 路程.
)5r
2 r
2
r
C5r C5kr
x 5r k
(
4 x
)k
?
4 k
2
r
C C x r k 5r2k 5 5r
,
由题意可知:5-r-2k=2,当r=3,k=0,则(-2)3C35C02 =-80,
当r=1,k=1,则(-4)(-2) C15C=14 160, 则在 (x 4 的2)展n 开式中x2的系数是80.
则围成图形的面积为
3(3x-x2)dx=
0
(
3 2
x
2－
1 3
x
3
)
|30
= 3×3×3- ×13×3×3= ×31×3×3= . 9
2
3
6
2
考点一 定积分的计算
【题组练透】
1.(2019·鞍山模拟)已知n=510 exdx，其中e=2.71…,
e 1
e为自然对数的底数,则在 (x 4 2)n 的展开式中x2
3.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)
=f(x),那么
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则
b a
f(x)dx>0.
(
)
(3)若 ab f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
2.函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
(1)若f(x)为偶函数,则
a
a
f(x)dx=2
a 0
f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数,则
a
a
f(x)dx=0.
【基础自测】
题组一:走出误区
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
1 2 3
题组二:走进教材
1.(选修2-2P60B组T3改编)求曲线y=x2与y=x所围成
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
(x
4 x
)3
22
C35
(x
4 x
)2
2 3
C54
(x
4
4 )0 x
25，
则展开式中x2出现在
C15
(x
(4-)24)1及
x
C35
(x
(4-2)2)3,所以(-2)
x
C15C=34 x136(0x4x)21 ,
(-2)3
C35C02
V
80
1
g(y3 )2dy
80
2
y 3dy
3 5
gy
5 3
|80
3 25 96 .
5
5
答案: 96
5
【规律方法】利用定积分求平面图形面积的四个步骤
【对点训练】
(2018·南昌模拟)由曲线y= 4 ,直线y=x,x=4所围成的
x
封闭图形的面积为 ( )
A.6-4ln 2
【规律方法】运用微积分基本定理求定积分时的注意 点 (1)被积函数要先化简,再求积分. (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对 区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值 符号,再求积分. (4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.
考点二 利用定积分计算平面图形的面积 或立体图形的体积 【典例】1.由曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的封闭图 形面积为 ( )
b a
f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,
区间_[_a_,_b_]_叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,
x叫做_积__分__变__量__,_f_(_x_)_d_x_叫做被积式.
(3)
b a
f(x)dx的几何意义:表示由直线x=a,x=b,y=0
及曲线y=f(x)所围成的_曲__边__梯__形__的面积,注意条件:
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、 定积分的简单应用(全国卷5年0考)
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i(i=1,2,
(5)×.因为y=x2的图象不总是在y=x的图象上方, 所以曲线围成的面积不一定是 ab(x2-x)dx.
2.(2018·达州模拟)已知矩形ABCD的四个顶点的坐标 分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,0),D(-1,0),其中A,B两点 在曲线y=x2上,如图所示.若将一枚骰子随机放入矩形 ABCD中,则骰子落入阴影区域的概率是 ( )
x
的系数是 ( )
A.240
B.80
C.-80
D.-240
【解析】选B.方法一: e10 xdx=ex |10=e-1,
所以n=5 10 exd=x 5,则 (x 4 2)5 [(x 4 ) 2]5
e 1
x
x
C50
(x
4 x
)5
C15
(x
4 x
)4
21
C52
…,n),作和式
n
f
(i
)x
i1
n
i1
b
n
a
f
i
,
当n→∞时,上述
和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区
间[a,b]上的定积分,记作__ab_f__x_d_x_,即 ab f(x)dx=