42第二类换元积分法
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
换元法第二类换元法
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(22)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(23)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
(24)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
说明: 当遇到
时, 先将
2
2
例7. 求
解:
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C
(P203 公式 (23) )
例8. 求
解: 原式
dx
ex d x
ex 1 e2x
1 e2x
d ex arcsin ex C 1 e2x (P203 公式 (22) )
例9. 求 解: 原式 =
ln
a2 x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
2 倒代换
当分母的阶较高时, 可采用倒代换 x 1.
1
t
例4
求
x(
x7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
1
t 7
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
(2) a2 x2 (3) x2 a2
可令x a tant; 可令x a sec t.
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第二类换元法
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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例11. 求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u2 1) 1 u
1 du
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
t
1
12
t
1
1 t2
dx
t3 1
dt t2
1 2
t 2 dt 2 1 t2
u t2
1 2
u 1
u
du
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
D4_2换元法
x
dln x
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例7. 求
x 2 3 x 解: 原式 e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
e3
x
dx .
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
思考：
3 4 sin x cos x dx . 2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2
机动
高等数学A4.2-换元积分法(1)
d
x
(5)
4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2
d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求 提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)
f
(x n
)1 x
dx
(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万 能 凑 幂 法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.
1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.
1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
高等数学——第二类换元积分法
1.根式代换
被积函数中含有n ax b（根号里是一次式），
此类型所用方法为---根式代换法，具体
令 t n ax b
例1 计算
x 1 dx. x
令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt,
x 1 dx = x
t
t2
2tdt 1
2t 2 t 2 1 dt
2
t2 11 t 2 1 dt
2
2
2
a2 (t sin t cos t) C
2
例2 计算 a2 x2dx(a 0)
a2 x2dx a2 (t sin t cos t ) C 2
把变量 t 换为 x . 为简便起见, 画一个辅助三角形，如图.
根据 sin t x
a
得 t arcsin x , 又因为 cos t a
a2 x2 , a
a x
所以
a2 x2 dx a2 (t sin t cos t ) C 2
t
a2 x2
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C .
2
a2
例3 计算 x
dx 1 x2
令 x = tan t，则 dx = sec2 tdt， 于是得
2 (1 1 )dt 2(t arctan t) C
t2 1
2( x 1 arctan x 1) C
2.三角代换
被积函数中含有 x2 a2、a2 x2 类型------三角代换法
（1）被积函数中含有 a2 x2 ,设 x a sin t （2）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a tan t （3）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a sect
42换元积分法
C
3
3 11
33
1 (3x 2)11 C 33
November, 2004
例 (3x 2)10 dx
(3x 2)10 dx
1 3
(3x 2)10 d(3x 2)
1 (3x 2)11 C 33
Check [ 1 (3x 2)11] 1 (3x 2)10 (3x 2)
d
ln
x
1 dx d ln x x
1 2
(1
1 2 ln
x)
d (1
2 ln
x)
1 2
ln
1
2 ln
x
C
November, 2004
一般
f
(ln x
x) dx
f (ln x)d ln x
u ln x
1 dx d ln x x
November, 2004
例
ex dx 3 1 ex
1 2
f
(u)du
u x2 xdx 1 dx2
2
November, 2004
f (x2)xdx 1 f (x2 )d (x2 ) xdx 1 dx2
2
2
推而广之
xn1dx 1 dxn
n
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn n
November, 2004
解
tan xdx
sin x cos x
dx
1 cos
x
sin
xdx
1 cos
第一类积分换元法和第二类积分换元法的区别
第一类积分换元法和第二类积分换元法的
区别
积分换元法是微积分中求解不定积分的一种方法。
它主要有两种类型，分别是第一类积分换元法和第二类积分换元法。
第一类积分换元法：第一类积分换元法也称为代换法，它主要是通过将一个变量替换为另一个变量，使得原来较为复杂的积分问题变得简单。
这种方法通常需要选择一个适当的代换函数来实现变量的替换。
例如，设u = g(x) 为代换函数，那么dx = g'(x) du，从而原积分问题转化为u 的积分问题。
第一类积分换元法适用于积分函数中包含某个函数及其导数的情形。
第二类积分换元法：第二类积分换元法也称为分部积分法，它主要用于处理两个函数的乘积形式的积分。
这种方法基于微积分中的分部积分公式，即：对于两个可导函数u(x) 和v(x)，有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
通过适当选择u(x) 和v'(x)，可以将原积分问题简化为一个更容易处理的积分问题。
第二类积分换元法适用于积分函数是两个函数乘积的形式，且其中一个函数的积分或导数容易求得。
总之，第一类积分换元法和第二类积分换元法都是积分
问题中的重要方法，它们分别适用于不同类型的积分问题。
选择合适的方法可以帮助我们更高效地求解积分。
关于不定积分中第二类换元法思想的探讨
第二类换元法是指将不定积分的求解过程转化为一个关于一个变量的定积分的求解。
这种方法主要用于求解形如$\int f(x,y)dx$ 或$\int f(x,y)dy$ 的不定积分。
具体来说，第二类换元法的基本思想是：将原本关于$x$ 或$y$ 的不定积分，通过换元的方式转化为关于另一个变量的定积分，然后利用定积分的求解方法求解。
例如，对于不定积分$\int f(x,y)dx$，假设存在一个变量$t=t(x,y)$，使得$dt=f(x,y)dx$。
那么，原来的不定积分$\int f(x,y)dx$ 就可以转化为$\int dt=\int t(x,y)dt$ 的形式，即一个关于$t$ 的定积分。
这样，就可以利用定积分的求解方法，解决原来的不定积分问题。
同样地，对于不定积分$\int f(x,y)dy$，也可以通过类似的方法将其转化为关于另一个变量的定积分。
第二类换元法的关键在于找到合适的变量$t$，使得原本的不定积分能够转化为关于$t$ 的定积分。
通常需要利用高中数学中学过的一些技巧，才能找到合适的变量$t$。
第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，在数学学习和应用中有重要的意义。
然而，要想使用第二类换元法求解不定积分，需要先掌握较为熟练的定积分求解技巧，才能保证求解的准确性。
此外，在使用第二类换元法时，需要注意一些问题，例如换元后可能出现的分段定积分等。
这些问题可能会导致求解过程的复杂性增加，因此需要谨慎处理。
总的来说，第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，但也需要先熟悉定积分的基本知识，并注意一些问题，才能在求解过程中取得成功。
第二类换元积分法-精品
(三)
如 何 求 a2x2 dx?
当被积函数f(x)不能用第一类换元 法(凑微分法)时,就要用一种相反的 代换.
Hale Waihona Puke 2.第 二 类 换 元 积 分 法
通过变量代换x (t) (一般要求 (t) 是单调的 , 且有连续的导数 (t) 0) ,
把积分 f (x)dx转化为一个易于计算 的积分 f [ (t)] (t)dt , 这种换元的
例35
求1
xdx 1x2
.
例36
求
1+x x 1-x2
dx
小结
两类换元积分法：
（一）凑微分 （二）三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
(1) a2x2 可令xasitn ; (2) a2x2 可令 xatat;n (3) x2a2 可令 x a se t. c
* * 1 . 简 单 无 理 函 数 的 积 分 , 一 般 直 接 令 根 式 为 一 新 变 量 ；
例 26.求a2x2dx (a0)
例 27.求 dx (a0).
a2x2
例 28.求 dx (a0).
x2a2
形如“ f( x2 a2 , a2 x2 )dx”的积分，
一般用三角代换。 **以上三个结果实际为积分公式
三角代换常有下列规律
(1) a2x2 (2) a2x2 (3) x2a2
2.被积函数为异次根式的mx, l x时 ,令 xtn(其中n为各根指数的最小公倍数)；
3.形如 dx ,
dx
的积分
xm x2 a2 xm ax2 bxc
(m为正整数)一般采用倒代换,令x= 1t
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1
1 u2 dx arctanu c
教学内容:第二类换元积分法
主要用于求被积函数含有根号的不定积分， 去掉根号是换元的主要思路。
如何求形如
? dx , 2 x 1
的不定积分?
a2 x2 dx
一.简单的根式代换
例1.求
2
1 dx x 1
解决策略 设置中间变量, 去掉根号
解： 令 x 1 t，则 x t 2 1，dx 2tdt,
a tan2 tdt a (sec2 t 1)dt
x
a tant at C
x2 a2 a arccosa C
t a
x
x2 a2
例7..求 x(x 1)10 dx
u x 1
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
2
1 dx x 1
2t 2
t
dt
2
t
t
2
2
2dt
2
(1
t
2
2
)dt
2t 2ln t 2 c
回代
2 x 1 2ln x 1 2 c
例2 求
dx x 3 x
解 令 6 x t ，则 x t 6 , dx 6t 5dt
dx
x 3 x
6t 5 t3 t2
dt
6 t3 dt 6 t 3 1 1dt
2
a2
1
x
dx arcsin C;
a2 x2
a
1 dx ln( x x2 a2 ) C.
x2 a2
两类积分换元法：
（一）第一换元积分法(凑微分)
一般是结合基本积分公式，对复合函数 进行逆向思考。
导数
（二）第二换元积分法（根式代换、三角代换）
通常用于解决被积函数含有根式的情形.
经济数学
(1) a2 x2 可令 x a sin t,
t , ;
2 2
变量还原时通常可采用如下方法:
(2) a2 x2
可令 x a tant , t , ;
2 2
ax t
a2 x2
x2 a2
x
t a
(3) x2 a2
可令
x a sect, t 0,
2
x x2 a2
ax
22
a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
2x
a2 x2 a2
例5所使用的换元函数为三角函数,称之为为三角代换,其目的是化 简根式
代换的一般规律如下：当被积函数中含有
作业
1. 习题4 教材P98 2单号题； 3双号题
2. 补充题
已知 f ( x)dx sin x x C ,求
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
4.2 换元积分法 一.第一类换元积分法(凑微分法) 二.第二类换元积分法
复习引入
1.积分形式的不变性：
2.积分形式不变性下的 基本积分公式：
kdu ku c
du u c
u du 1 u1 c
1
audx 1 au c ln a
eudx eu c
1 u
dx
ln
u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
cosudu sin u c
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
3
3
t(t
2t dt 2 1)
t
2
2
dt 1
t
1 1
t
1
1
dt
ln
t t
1 1
C
2ln
1 ex 1 x C.
例4 求
1
dx 2x 1
解 令 2x 1 t ，则
x t 2 1 dx tdt
2
1
dx 2x
1
1
t
t
dt
t dt t 1
(t
1) 1dt t 1
(1
1 )dt t 1
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
a2
1
x2
dx
1 a
arctan x a
C;
1
1 ax
a2 x2 dx 2a ln a x C;
a 2 x2 dx a 2 arcsin x x a 2 x2 c
t 1
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
dx
t
2t 2
dt , 1
1
1 e x dx
t a
(1) a2 x2 可令 x asin t (2) a2 x2 可令 x a tan t
(3) x2 a2 可令 x asect
* 例6
解：令
计算
x2 a2 dx
x
(a 0)
x asect (0 t )
2
x2 a2 x
dx
a a
tan t sect
asect tantdt
若 f (x)dx F(x) c
则 f (u)du F(u) C
u为x的函数
sin udu cosu c csc2udu cotu c
sec2 udu tanu c
secu tan udu secu c
cscu cotudu cscu c
1 du arcsin u c 1u2
(t ln t 1) c
ln 2x 1 1 2x 1 c
二.三角代换
* 例5 计算 a2 x2 dx (a 0)
解：令 x a sin t ( t ) 则 dx a costdt,
22
a2 x2 dx
a2 cos2 tdt a2
1 cos2t dt 2
a2 (t 1 sin 2t) C