第二类换元积分法

容易求得，则可按下法求不定积分：
f (x)dx 令x (t) f [ (t)] (t)dt F(t) C
回代t (x) F[(x)] C (第二类换元积分法)
例1
求
1
dx
x
例2 求
dx x 3 x
例3 求
a2 x2 dx(a 0)
a
x
t
a2 x2
例4 求
dx (a 0) a2 x2
确选择u及v很重要。关键： （1） v要容易求得；
（2） vdu 要比 udv 易求。
例2 求 x2exdx
例3 求 xarctgxdx
例5 求
ex cosxdx
例4 求 ln xdx
总结：使用分部积分公式 udv uv vdu
时 （1）若被积函数为幂函数与指数（或正、
余弦）函数的乘积，则选幂函数为u较合适。
如 ln xdx 等。为此，我们引入一种新的积分
法 ——分部积分法。 设函数u(x)与v(x) 具有连续的导数，则由
d(uv)=udv+vdu有udv=d(uv)-vdu，故
udv uv vdu（分部积分公式）
例1 求 x cosxdx
应用分部积分公式 udv uv vdu 时，正
t (0, )
2
）
注：上述总结（三角代换）不可绝对化。
如 x x2 a2 dx 1
2
x2
a2d(x2
a2)
1
(x2
3
a2)2
Fra Baidu bibliotek
C
3
这种算法更方便。
例6 求
(x2
dx a2
)2
(a
0)
x2 a2
x
t a
有些积分用两类换
元法都能求得结果。
例7 求 x x 1dx
例8 求
dx
4x2 4x 1
（2）若被积函数为幂函数与对数（或反三
角）函数的乘积，则把对数（或反三角）函数 选为u较合适。
（3）若被积函数为指数函数与正（余）弦 函数的乘积，则把其中任一函数选为u均可，但 两次必须统一，然后得一方程解之即可。
（18）
dx a2 x2
1 a
arctg
x a
C
（19）
dx x2 a2
1 2a
ln
xa xa
C
（20）
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
（21） dx ln x x2 a2 C
x2 a2
第四节 分部积分法与查表求积分
一、分部积分法 换元积分法也不能完全解决不定积分问题。
例9 求
2x 5
dx 4x2 4x 1
前面的例题中,我们推得了一些有用的公式。 为方便计,总结如下(作为新的积分基本公式使用)
（14） tgxdx ln cosx C （15） ctgxdx ln sin x C
（16） sec xdx ln sec x tgx C
（17） cscxdx ln cscx ctgx C
第三节 换元积分法
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
第一类换元积分法有局限性。例如 a2 x2dx
用第一类换元法很难求得，而用相反的方法， 令 x=asint，就能顺利求出结果(见后面的例子)。
一般地,在计算 f (x)dx 时,可适当选择 x (t)
（单调、可导且 (t) 0 ），如果 f [ (t)] (t)dt
a2 x2 x
t a
例5
求
dx (a 0) x2 a2
x
t
a
总结：三角代换
x2 a2
（1）当被积函数含有 a2 x2 时，可令
x=asint（
t
[
2
,
2
]
）
（2）当被积函数含有 x2 a2 时，可令
x=atgt（
t ( , )
22
）
（3）当被积函数含有 x2 a2 时，可令
x=asect（