第二类换元积分法
第二类换元积分法三角代换
第二类换元积分法三角代换第二类换元积分法是数学中常用的一种方法，得名于它对被积函数进行的一种特殊变换。
它与第一类换元积分法不同，第一类换元积分法是一种利用导数关系的方法，而第二类换元积分法是一种代数变换的方法。
在第二类换元积分法中，三角代换是一种重要的技巧。
本文将对于第二类换元积分法三角代换进行详细讲解。
一、三角函数与三角比的定义三角函数是一个广泛应用于数学和自然科学中的函数，是一种以角度作为自变变量的周期函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
正弦函数和余弦函数的周期是 $2\pi$，而正切函数和余切函数的周期是 $\pi$。
三角比是三角函数中的一种，是指在直角三角形中各边的长度之比。
其中正弦、余弦和正切分别是：$$\sin\theta = \frac{opposite}{hypotenuse} \quad \cos\theta = \frac{adjacent}{hypotenuse} \quad\tan\theta = \frac{opposite}{adjacent}$$二、三角代换的基本思想三角代换是指将代数式中的未知量用三角函数或三角比来表示，从而使被积函数能够被化为一些比较简单的形式。
三角代换的基本思想是根据三角函数的周期性和单调性，将被积函数变为一个更易于积分的形式。
同时，三角代换通常要求代换变量与原变量的关系为一个三角函数或三角比。
三、三角代换的常见形式1、反三角代换反三角代换是指将被积函数中的一部分转化为反三角函数或反三角比形式，从而使被积函数更加便于积分。
常见的反三角代换包括：$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a}+C \quad \int\frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$2、三角函数代换三角函数代换要求被代换的部分可以表示为$\sin\theta$ 或 $\cos\theta$ 的形式。
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第二类换元、分部积分法
一、第二类换元积分法 二、分部积分法
一、第二类换元积分法
第一类换元法解决的问题
f [(x)](x)dx f (u)d u u (x)
难求
易求
若若所所求求积积分分 ff(u(x)d)dux难难求求，，作变量替换 x (t)
代入原式中有f [(x)](x)dx 易求,
∴ 原式= sin x d e x
ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x , v ex , 则
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
x
x
1 x
dx
x ln x x C
例6.求
解: 令 u arcsin x , dv dx , 则
原式 = x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsin x
1 2
1 d(1x2 ) 1 x2
x arcsin x 1 x2 C
2、当被积函数由三个及以上函数的乘积组成时， 则首先要通过适当的恒等变换，将其化成两个函 数乘积的形式，再用分部积分公式求解
a2
1
cos 2
2t
d
t
a2
t sin 2t C
24
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
公式1： a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C (a 0)
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
第二类换元积分法
基 本 积 分 表 2
(14)
tan xdx ln cos x C ;
(15)
(16)
sec xdx ln sec x tan x C ;
a
dx arctan
cot xdx ln sin x C ;
(17)
(18)
cot csc xdx ln csc x x x C ; 1 1
x a sint
a2 于是 原式
2
a 1 [t sin2t ] C 2 2
a x x a x [arcsin ( )] C . 2 a a a
2 2 2
a
x
t
a2 x2
例4 求
1 dx ( a 0). 2 2 x a
2
, 解 令 x a tan t dx a sec tdt t 2 2 1 1 2 x 2 a 2 dx a sec t a sec tdt sec tdt ln sect tan t C
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
6t 5 t3 ( t 3 1) 1 于是 原式 3 2 dt 6 dt 6 dt t t t 1 t 1
例3 求
解 令
a 2 x 2 dx (a 0).
, dx a cos tdt t 2 2 2 2 1 cos 2t dt cos tdt a 2
a x
dx
1 x 2 1( ) a
x d( ) a
x arcsin C a
x dx arcsin C 2 2 a a x
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
微积分换元法公式
微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。
换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。
1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。
将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。
具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。
我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。
将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。
这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。
需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。
第二类换元积分法中的三角换元公式
第二类换元积分法中的三角换元公式
具体来说，当我们遇到形如∫f(sin x, cos x)dx的积分时，可以通过三角换元公式来简化计算。
三角换元公式包括以下几种常见形式：
1. 当积分中包含平方根√(a^2 x^2)时，可以使用x = asinθ进行三角换元。
2. 当积分中包含平方根√(a^2 + x^2)时，可以使用x = atanθ进行三角换元。
3. 当积分中包含平方根√(x^2 a^2)时，可以使用x = asecθ进行三角换元。
通过这些三角换元公式，我们可以将原积分中的三角函数转化为θ的函数，从而更容易求解积分。
在进行换元后，需要将原函数中的x用θ表示，并将dx用θ表示的式子代入原函数中，然后再进行积分运算。
三角换元公式在处理含有三角函数的积分时非常有用，能够简
化计算过程，提高求解的效率。
因此，在学习和应用积分技巧时，掌握三角换元公式是非常重要的。
希望这个回答能够帮助你更好地理解三角换元公式。
不定积分第二类换元法公式
不定积分第二类换元法公式
换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint，源式化为a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式x = φ(t)。
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。
由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
第二节 第二类换元积分法
例10. 求
解: 原式
d e x x arcsin e C 2 x 1 e
(P205 公式 (22) )
例11. 求
1 解: 令 x ,得 t 原式
倒代换
t a 2t 2 1
dt
1 d (a 2t 2 1) 1 2 2 2 a t 1 C 2 2 2 2a a a t 1
去根号
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
d x a sec t d t 2 a sec t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t
2
x tan t a
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2
ln sec t tan t C1
ln
思考与练习
1.(1)设函数ƒ(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分
解
由题意知 则
(2) 若己知
, 求：
解
由题意知
2. 计算不定积分
解: 令
(3) 解： 利用凑微分法 , 得 原式 = 令
(1 x ) 1 x 解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin 2 t , d x cos td t cos t 原式 dt 2 (1 sin t ) cos t 2 分子分母同除以 cos t
1 解 令 x t
1 说明: 当分母的次数较高时, 可采用倒代换 x . t
用它往往能把分母上的较高次幂去掉
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1) ( 2)
f ( x , n ax b ) dx ,
令ax b t
关于第二类积分换元法定理 -回复
关于第二类积分换元法定理 -回复作者：XXX在本文中，我将探讨关于第二类积分换元法定理的相关内容。
我们将从基础概念出发，逐步深入分析其原理和应用，以期帮助读者更加全面、深入地理解这一主题。
1. 第二类积分换元法定理的概念让我们明确第二类积分换元法定理的基本概念。
第二类积分换元法是微积分中的一个重要定理，用于求解定积分，特别是在遇到复杂的形式时，可以通过变量代换的方式将积分化简为更容易求解的形式。
2. 原理及应用接下来，我们将深入分析第二类积分换元法定理的原理及其应用。
当我们遇到形如∫f(u)du的积分形式时，可以通过令u=g(x)，然后对x 和u进行变量替换，将原积分转化为∫f(u)du的形式，从而更容易求解原积分。
3. 举例说明为了更好地理解第二类积分换元法定理的应用，让我们通过几个例子来加深对这一概念的理解。
例1：计算定积分∫x*e^x*dx，我们可以通过令u=x，进行变量代换，化简为∫u*eu*du的形式，再进行求解。
例2：计算定积分∫(x^2+1)/x^3*dx，同样可以通过合适的变量代换化简为更容易求解的形式。
4. 我的观点和理解在个人观点方面，我认为第二类积分换元法定理在解决复杂积分问题时具有重要的作用。
通过合理的变量代换，可以简化原积分的形式，使得求解过程更加高效和方便。
这一定理在微积分学科中具有重要地位，对于理解和应用定积分具有重要意义。
5. 总结和回顾在本文中，我们对第二类积分换元法定理进行了全面的探讨。
从概念入手，深入分析了其原理和应用，并通过例子进行了详细说明。
希望本文可以帮助读者更好地理解和应用第二类积分换元法定理，以及对其在微积分学科中的重要性有更深入的认识。
结语通过本文的撰写，我对第二类积分换元法定理的理解也得到了进一步加深。
希望本文能够对您有所帮助，如果有任何疑问或建议，欢迎在评论区留言，我将会及时回复。
感谢阅读！至此，我们的文章达到了3000字，对第二类积分换元法定理进行了深入全面的探讨。
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
第四章 第3节 第二类换元积分法
a xb c xd
) dx
,
令
t
n
a xb c xd
节 讲
(3) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a sin t 或 x a cos t
(4) f (x , a2 x2 ) dx , 令 x a tan t
(5) f (x , x2 a2 ) dx , 令 x a sect
f ( x)dx F( x) C [( x)] C,
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x)
第二类积分换元公式
4
例1 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
20
(6) f (a x ) dx , 令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
说明:
被积函数含有
或 x2 a2 时, 除采用
三角代换外, 还可利用公式
ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 .
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
23
高等数学§4-3第二类换元积分法-PPT精选文档
x a x ln C . a a
2 2
a2 x2
x
a
t
2 2 lnx x a C .
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例5. 求
1 dx( a 0 ). 2 2 x a
2
dx a sec t tan tdt t 0, 解：令x a sec t
2 t 2 t 2 ln 1 t C x 2 x 2 ln( 1 x ) C .
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例2.求
6
1 dx . 3 x(1 x)
5 dx 6 t dt , 解：令 x t 2 5 1 6t 6 t dt dt x(1 3 x)dx 3 2 1 t t (1 t 2 )
回代 t 1x 2 1 xc
(第二类换元积分法)
使用第二类换元积分法的目的是使被积函数有理化. 第二类换元积分法的具体方法为：
f ( x ) dx 令 x ( t ) f [ ( t )] d ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
回代 t x
x t
2 sin tdt 2 cos t c
2 cosx C
2
(第一类换元积分法)
sin x 解2： sin tdt 2 cos t c x dx 令x t 2
回代 t x
2 cosx C
(第二类换元积分法)
1 又例 1 xdx
2 2 2 a a a x 1 2 2 t 2 sin t cos t C arcsin x a x C 2 4 2 a 2
高等数学——第二类换元积分法
1.根式代换
被积函数中含有n ax b（根号里是一次式），
此类型所用方法为---根式代换法，具体
令 t n ax b
例1 计算
x 1 dx. x
令 x 1 t, x t 2 1, dx 2tdt,
x 1 dx = x
t
t2
2tdt 1
2t 2 t 2 1 dt
2
t2 11 t 2 1 dt
2
2
2
a2 (t sin t cos t) C
2
例2 计算 a2 x2dx(a 0)
a2 x2dx a2 (t sin t cos t ) C 2
把变量 t 换为 x . 为简便起见, 画一个辅助三角形，如图.
根据 sin t x
a
得 t arcsin x , 又因为 cos t a
a2 x2 , a
a x
所以
a2 x2 dx a2 (t sin t cos t ) C 2
t
a2 x2
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C .
2
a2
例3 计算 x
dx 1 x2
令 x = tan t，则 dx = sec2 tdt， 于是得
2 (1 1 )dt 2(t arctan t) C
t2 1
2( x 1 arctan x 1) C
2.三角代换
被积函数中含有 x2 a2、a2 x2 类型------三角代换法
（1）被积函数中含有 a2 x2 ,设 x a sin t （2）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a tan t （3）被积函数中含有 x2 a2 ,设 x a sect
换元积分法公式
换元积分法公式
换元积分法是求解不定积分的一种重要方法，其基本思想是通过变量代换将原函数中的变量替换为一个新的变量，从而将原不定积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的换元积分法有三种：第一类换元法，第二类换元法以及特殊换元法。
下面将分别介绍这三种换元积分法的公式。
第一类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x) = h(g(x))g'(x)，其中h(t)为可导函数，则有∫f(x)dx = ∫h(g(x))g'(x)dx = H(g(x)) + C，其中C为常数，H(t)为h(t)的一个原函数。
第二类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x)中至少含有一个因式为g(x)，则有∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt，其中x = g(t)。
特殊换元积分法的公式如下：
常用的特殊换元积分法包括三角换元法、指数换元法、倒代换法、万能代换法等。
以上是换元积分法的三种常用公式。
在实际应用中，需要根据具体问题的不同选择不同的换元积分法，以求出较为简单的积分形式。
同时，需要注意选取合适的换元变量，并保证换元变量的可导性和可逆性，避免引入新的难以求解的形式。
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一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
第一类换元积分法有局限性。例如 a2 x2dx
用第一类换元法很难求得，而用相反的方法， 令 x=asint，就能顺利求出结果(见后面的例子)。
一般地,在计算 f (x)dx 时,可适当选择 x (t)
（单调、可导且 (t) 0 ），如果 f [ (t)] (t)dt
t (0, )
2
）
注：上述总结（三角代换）不可绝对化。
如 x x2 a2 dx 1
2
x2
a2d(x2
a2)
1
(x2
3
a2)2
C
3
这种算法更方便。
例6 求
(x2
dx a2
)2
(a
0)
x2 a2
x
t a
有些积分用两类换
元法都能求得结果。
例7 求 x x 1dx
例8 求
dx
4x2 4x 1
确选择u及v很重要。关键： （1） v要容易求得；
（2） vdu 要比 udv 易求。
例2 求 x2exdx
例3 求 xarctgxdx
例5 求
ex cosxdx
例4 求 ln xdx
总结：使用分部积分公式 udv uv vdu
时 （1）若被积函数为幂函数与指数（或正、
余弦）函数的乘积，则选幂函数为u较合适。
如 ln xdx 等。为此，我们引入一种新的积分
法 ——分部积分法。 设函数u(x)与v(x) 具有连续的导数，则由
d(uv)=udv+vdu有udv=d(uv)-vdu，故
udv uv vdu（分部积分公式）
例1 求 x cosxdx
应用分部积分公式 udv uv vdu 时，正
a2 x2 x
t a
例5
求
dx (a 0) x2 a2
x
t
a
总结：三角代换
x2 a2
（1）当被积函数含有 a2 x2 时，可令
x=asint（
t
[
2
,
2
]
）
（2）当被积函数含有 x2 a2 时，可令
x=atgt（
t ( , )
22
）
（3）当被积函数含有 x2 a2 时，可令
x=asect（
（18）
dx a2 x2
1 a
arctg
x a
C
（19）
dx x2 a2
1 2a
ln
xa xa
C
（20）
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
（21） dx ln x x2 a2 C
x2 a2
第四节 分部积分法与查表求积分
一、分部积分法 换元积分法也不能完全解决不定积分问题。
容易求得，则可按下法求不定积分：
f (x)dx 令x (t) f [ (t)] (t)dt F(t) C
回代t (x) F[(x)] C (第二类换元积分法)
例1
求
1
dx
x
例2 求
dx x 3 x
例3 求
a2 x2 dx(a 0)
a
x
t
a2 x2
例4 求
dx (a 0) a2 x2
例9 求
2x 5
dx 4x2 4x 1
前面的例题中,我们推得了一些有用的公式。 为方便计,总结如下(作为新的积分基本公式使用)
（14） tgxdx ln cosx C （15） ctgxdx ln sin x C
（16） sec xdx ln sec x tgx C
（17） cscxdx ln cscx ctgx C
（2）若被积函数为幂函数与对数（或反三
角）函数的乘积，则把对数（或反三角）函数 选为u较合适。
（3）若被积函数为指数函数与正（余）弦 函数的乘积，则把其中任一函数选为u均可，但 两次必须统一，然后得一方程解之即可。