选修1-1导数及其应用训练题组AB
人教a版数学【选修1-1】：第三章《导数及其应用》章末检测(b)(含答案)
第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
【数学】第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教B版选修1-1)
第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11- C 极大值5，无极小值 D 极小值27-，无极大值 2 若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=（ ） A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为（ ） A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________三、解答题1． 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值2 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立， 则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点 三、解答题 1 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值 3 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解：由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得 所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。
人教b版选修1-1高二数学《导数及其应用训练题1》.docx
导数及其应用训练题1（5.10晚）一、选择题1、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ C ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒2、函数3y x x =+的递增区间是（ C ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞3、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ D ）A ．319B ．316C ．313D ．3104、函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ D ）A ．72B ．36C ．12D ．05、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（C） A ．(1,0) B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--6、()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ B ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数7、函数x xy ln =的最大值为（ A ）A ．1-eB ．eC ．2eD ．3108、设函数的导函数为，且，则等于 ( B )A、B、C、D、9、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)可能为（ D ）10、方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是 ( C )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题11、若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；1±12、曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；34π 13、函数sin x y x =的导数为_________________；2cos sin x x x x- 14、若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
数学选修1-1 第三章__导数及其应用 练习
3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（ ）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（ ） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（ ）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。
(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定2．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ） A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <5．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定6．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点7．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．28．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥ D ．()()()1322f f f +>9．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知函数()()()0ln 10xe xf x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-11．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ）A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e--+∞ B ．21[,)2e-+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e--- 二、填空题13．已知一个母线长33米的圆锥形容器，则当该容器的容积最大时，其高为___________米.14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.18．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是 ．20．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()2ln 2f x x x =-，函数()212g x x a x=--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间． 23．已知函数()()21xf x x ae=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围. 24．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围.25．为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为10米的圆形空地进行种植花草绿化改造．规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地．设OAB θ∠=，正六边形的面积为1S ，六个矩形的面积和为2S ．（1）用θ分别表示区域面积1S ，2S ； （2）求种植鲜花区域面积的最大值． （参考数据：3tan 41︒≈，23tan 49︒≈）26．已知函数1()(0,1)xxf x a a a a =->≠． （I ）若1a >，不等式()2(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （II ）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.2．A解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-， 整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.3．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 5．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）6．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.7．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212ln x kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.8．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.9．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围． 【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减，∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．10．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解. 【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点， 则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞， 所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312xx -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．12．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)a a e =-+， 由题意可得(1)21aa e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e--， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V hπ'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得 解析：(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】由题可知： 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==， 所以03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].-- 故答案为：(]3,2-- 【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.16．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-.故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式 解析：32()232f x x x【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''=联立求解可得. 【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x故答案为：32()232f x x x【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性 解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =， 所以．考点：函数的单调性．20．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力 解析：[1,)+∞【分析】 求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.三、解答题21．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间； （2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，设()1ln h x x x=+，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】（1）函数()2ln 2f x x x =-的定义域为0,，则()()()21212114'4x x x f x x x x x-+-=-==， 由题意120x +>，得 当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()'0,f x f x >递增， 当1,2⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x 时，令()()'0,f x f x <递减， 所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立， 即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 令()1ln h x x x=+， 则()22111'x h x x x x-=-=， 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <， 函数()h x 单调递减， 当时()1,∈+∞x ，()'0h x >， 函数()h x 单调递增，所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=， 从而a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．（1）220x y --=；（2）函数()f x 的单调增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫∞⎪⎪⎝⎭，单调减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）解方程()0f x '=，列表分析()f x '的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）由()3f x x x =-，得()231f x x '=-，所以()12f '=，又()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()21y x =-，即220x y --=．（2）令()2310f x x '=-=，得x =， x 、()f x '、()f x 在R 上的情况如下：所以函数()f x 的单调增区间为,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭． 【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间. 23．（1）()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）(][),11,-∞-+∞.【分析】（1）先求导并解得()0f x '=的根，再判断根附近导数值的正负，即得单调性； （2）先判断极小值即最小值，再结合()210f a =>可知()min0f x ≤，解不等式即得结果. 【详解】解：（1）()()21xf x x a e '=-+，定义域为R ，由()0f x '=，得21x a =-，当21x a <-时，()0f x '<；当21x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）由（1）知()f x 在21x a =-处取得极小值，也是最小值， 则()()221min 11a f x f a e-=-=-，因为()f x 存在零点，且()210f a =>，故只需()21min 10a f x e -=-≤，即2101ae e -≥=，故210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥， 所以a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.【点睛】 方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -． 【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++， 所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x=++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=， 所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增， 所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞， 所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．25．（1）216003sin S θ=，221200sin cos 12003sin S θθθ=-；（2）()30073-. 【分析】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，OAD △为等腰三角形，可得AOF OAB θ∠=∠=即可求出BC 的长，进而可得1S ，求出OBC 的高OE ，AB EF OF OE ==-，26S AB BC =⨯⨯即可求解； （2）将面积之和12S S +用角θ表示出来，在求其求导，利用导数判断单调性即可求最值.【详解】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，由对称性可知OAD △为等腰三角形，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，由AB BC ⊥，OF BC ⊥，可得//AB OF ，所以AOF OAB θ∠=∠=，所以22sin 20sin BC AD AF OA θθ====，所以正六边形的面积2122666400sin OBC SBC S θθ====， 在OBC中，20sin 22OE BC θθ===，所以10cos AB EF OF OE θθ==-=-，所以()26610cos 20sin S AB BC θθθ=⨯⨯=-⨯21200sin cos θθθ=-，综上所述：21S θ=，221200sin cos S θθθ=-.（2）求种植鲜花区域面积的最大值即是求12S S +的最大值.设22121200sin cos y S S θθθθ=+=+-21cos21200sin cos 600sin 22θθθθθ-=-=-600sin 2θθ=+-所以1200cos 22y θθ'=-令0y '=，可得tan 2θ= 当249θ>时，0y '<；当249θ<时，0y '>，所以当249θ=时，y 取得最大值，max 600sin 493003cos 493003y =+- 因为tan 49︒≈，可得22sin 49cos 491sin 49cos 493︒︒︒︒⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2sin 4921cos 49⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以max 60030077y =⨯+-=-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是得出AOF OAB θ∠=∠=，求出2BC AD AF ==，2OE BC =，AB EF OF OE ==-即可将面积1S ，2S 用θ表示出来，利用导数求面积之和的最值.26．（I ）()3,5-;（II ）2m =【分析】（Ⅰ）判断出()1x x f x a a=-是R 上的单调递增和()f x 为定义域为R 的奇函数，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解 （Ⅱ）利用()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+，进而利用导数求最值即可求出m 的值 【详解】 解:（Ⅰ） ()1(0,1)x x f x a a a a =->≠，因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >，所以，()1x x f x a a =-是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的函数，满足()()f x f x -=-，所以，()f x 为定义域为R 的奇函数，所以，()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>- 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立，所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-.（Ⅱ）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+， 因为()122x x f x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以()312u f ≥=， 因为()()221222x xh x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），当32m <时， ()min 3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =【点睛】关键点睛：解题关键：（Ⅰ）利用函数的奇偶性和单调性得到 ()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而转化求解即可； （Ⅱ）求出a ，构造函数()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 然后令()122x x u f x ==-，构造出()222g u u mu =-+，进而求解。
高中数学新人教A版选修1-1练习导数及其应用
回扣验收特训(三) 导数及其应用1.下面求导运算正确的是()A. (2x)'= 2x log2eB. (x3sin x)'= 3x2cosx1贝U △= 1—4c>0,解得cv 1.43.已知函数f(x)= 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A. (2,3)B. (3,+s )C. (2 ,+^ )D.(―汽3)解析：选B 因为函数f(x) = 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，又f' (x)= 6x2+ 2ax+ 36,所以f' (2) = 0 解得a=—15.令f' (x)> 0，解得x> 3 或x v 2,所以函数的一个递增区间是(3, + s).4.已知f(x) = 3x2+ ln x,贝V li A xm>0 f " 2&&f 1- & =( )A. 7時C . 21D . —21解析：选 C T f' (x) = 6x +1,f 1 + 2 A x —f 1 — A x/■ li mA x f0 A xf(1 + 2 A x fd —Z\ ,=3li m = 3f' (1) = 21.3 Ac ^0 3 A x1sin x, 1D. (x+ 1。
眇)=1+ 而解析：选 D (2x)' = 2x ln 2, (x3sin x)' 2 3=3x sin x+ x cosx,osx cosx+ xsin x离，(x+ log3x)' = 1+ xln 32.已知函数1 if(x)= 3x3—2x2+ cx+ d有极值，则c的取值范围为()3 2iA. c v 4 B.C< 11 C. c>41 c> 4解析：选A 由题意得f' (x)= x2—x + c,若函数f(x)有极值,C.5. 函数y= In x—x在x€ (0, e]上的最大值为()A. eB. 1C. —1D. —e解析：选C 函数y= ln x —x的定义域为(0 ,+^),1 1 一x又y' = -—1 = ------ ，令y' = 0 得x= 1,x x当x € (0,1)时，y' >0，函数单调递增；当x€ (1, e)时，y' <0，函数单调递减.当x = 1时，函数取得最大值一1,故选C.1 e c 一一6. 已知函数f(x)=—;x3+ 2x2+ 2x，若存在满足0W x°w 3的实数x°,使得曲线y= f(x)3在点(X0, f(X0))处的切线与直线x+ my—10 = 0垂直，则实数m的取值范围是()A. [6,+^ )B. ( — 8, 2]C . [2,6]D . [5,6]解析：选 C f' (x)=—x2+ 4x+ 2 =—(x —2)2+ 6,因为x°€ [0,3]，所以f' (x°)€[2,6],又因为切线与直线x + my—10= 0垂直，所以切线的斜率为m,所以m的取值范围是[2,6].7. _______________________________________________ 曲线y= C OS x在点M n, 0 '处的切线方程为_______________________________________________ .“ ,iCosx、—xsin x—cosx解析：y'=亍'= --------------- x2 --------- ,•••切线的斜率k= y' x=n =—2.2 n•所求切线的方程为y—0=—ni x—n即y= —2x +1.n答案：y= —2x+1n8. _________________________________________________ 函数f(x) = 12x —x3在区间[—3,3]上的最小值是__________________________________________ .解析：f' (x)= 12—3x2.令f' (x)= 0，得x= 2 或x =—2.因为f(—3) =—9, f( —2) =—16, f(2) = 16, f(3) = 9,所以函数f(x)在区间[—3,3]上的最小值是一16.答案：—169.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取值范围是_________ .解析：由题意得f' (x)= 3x2—4ax+ a2的两个零点X i, X2满足X i< 2< X2, 所以f' (2) = 12—8a+ a2< 0,解得2< a< 6.答案：(2,6)10. 已知函数f(x) = e x(ax+ b) —x2+ 4x，曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x—3.(1) 求a, b的值；⑵讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值.解：(1)f' (x)= e x(ax+ a+ b)—2x + 4.•••曲线在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x —3.••• f(0) = —3, f' (0) = 2,b= —3, b=—3,•解得a + b+ 4= 2, |a= 1.x 2(2) 由(1)知f(x) = e(x—3) —x + 4x,f' (x)= e x(x—2)—2x+ 4 = (x—2)(e x—2).令f' (x)= 0，得x= In 2 或x = 2.•••当x € (—a, In 2) U (2 ,+s)时，f' (x)> 0;当x € (In 2,2)时，f' (x)< 0,故f(x)在(—a, in 2), (2, + a)上单调递增，在(In 2,2)上单调递减.•••当x = 2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2) = 4—e2.11. 某工厂某种产品的年产量为 1 000x 吨，其中x € [20,100],需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x€ [20,80]时，C(x)= 土2—30x + 500;当x€ (80,100]时，C(x)=四輕.若每吨商品售价为血万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式;(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)= 1 000ln x—C(x) =9.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取000ln x —x —30x + 500 , x€ [20, 80],1 000ln x —, x € 80, 100].⑵当x€•••L(x)在［20,50)上单调递增，在［50,80)上单调递减, •••当 x = 50 时，L(x)max = 1 000ln 50 - 250; 当 x € (80,100]时，L(x)= 1 000ln x - 20 000单调递增, px• L(x)max = 1 000ln 100 - 2 000.•/ 1 000ln 50 - 250 - (1 000ln 100 - 2 000) =1 750 -1 000ln 2 > 1 750 - 1 000 > 0,•••当x = 50,即年产量为 50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50 - 250)万元.12.已知函数f(x)= ax 3 + bx 1 2 + cx的导函数为h(x), f(x)的图象在点(一2, f( - 2))处的切 0，又直线y = x 是函数g(x)= kxe x 的图象的一条切线.(1)求函数f(x)的解析式及k 的值;⑵若f(x)w g(x)- m + 1对于任意x € [0,+^ )恒成立，求 m 的取值范围. 解：(1)由 f(x)= ax 3 + bx 2 + cx , 可知 h(x)= f ' (x)= 3ax 2+ 2bx + c.由f(x)在(-2, f(-2))处的切线方程为 3x -y + 4= 0可知， f( - 2)=- 8a + 4b - 2c =- 2, f ' (- 2)= 12a -4b + c = 3, 又由 h ' (x)= 6ax + 2b 可知,4a + 2b = 0,1由①②③，解得 a =云，b = 1, c = 1,xp (x) = e — x — 1,再令 0(x)= e x — x — 1, / (x)= e x — 1 = 0,解得 x = 0.1所以f(x)的解析式为f(x) = ?x 3+ x 2+ x.由题意，g(x)= kxe x 与y = x 相切可知函数在原点或 (—In k ,- In k)处切线斜率为1.因为 g ' (x)= k(e x + xe x ),所以 g ' (0) = k = 1 或 g ' (- ln k)= 1，得 k = 1. 综上可得k 的值为1.⑵若f(x)w g(x)- m + 1对任意x € [0, + g )恒成立, 即 £X 3+ x 2+ x < xe x - m + 1 恒成立， 2则 m - 1 w xe x - ^x 3 — x 2- x 恒成立. 设 q(x)= xe x -^x 3- x 2- x = x e x -护-x - 1 , x ：2线方程为3x - y + 4 = 0,且h '2 =所以当x€ ［0,+ g)时，(x)>0,所以g x)在［0, + g)上单调递增，所以g x)》机0) = 0,即卩p' (x) > 0,所以p(x)在［0，+ g)上单调递增，所以p(x)> p(0) = 0, 所以当x€ ［0,+g)时，q(x)>0恒成立，且q(0) = 0, 因此，m— 1 < 0即可，贝U m W 1.故m 的取值范围为(—g, 1］．。
(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1]D ．[1,)+∞2．已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．(4,)+∞C ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．16,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．已知函数()2sin x mf x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e5．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题6．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 7．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞8．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞9．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<B ．0k >C ．27k <D ．27k >10．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．111e ⎛⎫---⎪⎝⎭， C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，11．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞12．已知函数()()()22ln 0f x a e x xa =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题13．已知一个母线长___________米.14．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.15．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________16．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________.17．已知函数f (x )＝2,(,0],(0,)x x x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f（x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____.18．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________.19．使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立的一个m 值是_____.20．已知随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为E X ，则满足E X k <的最大正整数k 的值是_____. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）三、解答题21．已知函数()ln f x x x e =--． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()xe f x mx ⋅在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 23．已知函数()ln(1)f x x a =++，()x a g x e -=，a R ∈.（1）若0a =，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线，证明：()0001ln 1x x x ++=； （2）若()()1g x f x -≥，求a 的取值范围. 24．已知函数()x ax f x e=． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()1ln =--f x x x . （1）证明：()f x 存在唯一的零点； （2）当0x >时，证明：ln x e x x >>.26．设函数1()ln ,f x a x a x=+∈R .（Ⅰ）设l 是()y f x =图象的一条切线，求证：当0a =时，l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-在定义域上单调递减，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出()'f x 由()0f x '≤得314x a x ≤-，令1()4g x x x=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】31()4(0)f x x x a x'=-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x≤-， 令1()4g x x x =-，由于114,y x y x ==-在[]1,2都是增函数， 所以1()4g x x x=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以33a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1()4g x x x=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．B解析：B 【分析】求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k +=+，因此12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．【详解】解：函数244()()x f x k lnx k x-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+，而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立， 令4()g k k k=+，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442g k g ==+= ∴6164414k k=+， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．故选：B ． 【点睛】方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．3．A解析：A 【分析】()0f x =有两解变形为m e =设()g x =单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】由()2sin x m f x x +=-得m e =()g x =sin )()xx x g x e-'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mxx e e =有两解得34411m e e e ππ≤<，所以344m ππ-≤<-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2m x xe e =，问题转化为2()xx g x e=的图象与直线my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．4．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.5．D解析：D 【分析】分析函数()13logxf x e x=-为增函数，若1x≥，求出[)1,x∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案.【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为：()0,∞+,且导函数()1ln3xf x ex'+=>，则函数单调递增，结合()1131log1ef e=-=，可得当1≥x时，函数的值域为[),e+∞.据此可知p是假命题，q是真命题，q⌝是假命题.结合全称命题与特称命题的关系可得：p的否命题是：若1x<,则()03f x<.[):1,q x⌝∀∈+∞，()3f x≠故选：D【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.6．D解析：D【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x+=-，2324log logx x-=，化简结论得32312xx-，311,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x xx=-，11,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可．【详解】已知函数图象如下：方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．7．B解析：B 【分析】 构造函数()()f xg x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x -'=， ∵当0x >时，有()()'xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， ∴02x <<或2x <-，∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．8．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．9．D解析：D 【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可． 【详解】解：依题意，222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩， 当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >，令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<， 故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增， 要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点， 则1233132()()0min k g x g k k k k==+-<，解得27k >．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】求导()()1xf x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1x xm e --=有两个不同的解，构造函数()xx g x e =，求导()1x xg x e-'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点，所以()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点， 故关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解， 令()xx g x e =，则()1x xg x e-'=，当(,1)x ∈-∞时，()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<， 即111m e--<<-. 故选：B.【点睛】 本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.11．D解析：D【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解．【详解】令2()()x g x e f x =，则2()[2()()]x g x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．D解析：D【分析】求得导函数()'f x ，确定()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，从而可得题中平面区域面积，解之可得a .【详解】解：()()2222a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()22,a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2e a e =-， 故选：D .【点睛】 本题考查用导数求函数的值域，解题方法是求出导函数，用导数确定函数的单调性，求得值域区间，然后可计算出题设平面区域面积，得出结论．二、填空题13．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值.【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h << 圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V hπ'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.14．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<，所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增，当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减，又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >，所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃，故答案为：()(),01,3-∞⋃【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.15．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单 解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ 【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()x g x f x e =，则()()xg x f x e --=-， 因为2()()0x f x e f x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+， 当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减； 则()g x 在()0,∞+上单调递增；又不等式21()(1)x f x e f x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-， 所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.16．【分析】设切点为根据已知得求出得构造函数求出的范围即可【详解】设切点为则整理得由解得由上可知令则因为所以在上单调递减所以即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义利用导数求参数的范围考查计算求解能力 解析：280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】设切点为()00,A x y ，根据已知得0000()(),()()f x g x f x g x ='='，求出02x >，得04x x a e =，构造函数4(),2x x h x x e =>，求出()h x 的范围即可. 【详解】 设切点为()00,A x y ，(),()4xf x aeg x x '='= 则0020024x x ae x m ae x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得20004200x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩， 由200240m x x =->，解得02x >. 由上可知004x x a e =，令4()xx h x e =，则4(1)()x x h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)4()0,()x x x x h x h x e e -'=<=在(2,)+∞上单调递减，所以280()h x e <<，即280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 17．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生 解析：[ln 2，2）【分析】用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可．【详解】显然10x ，20x >，由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，2212224x x x x e ∴-=-+，由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<，设()24(02)x g x x e x ln =-+<，则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减，又(0)2g =，(2)2g ln ln =，2()2ln g x ∴<．故答案为：[2ln ，2)．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题解析：(],1-∞【分析】 求出函数的导数，问题转化为10a x -在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】 ()f x ax lnx =-，(0)x >，1()f x a x∴'=-， 若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则10a x -在区间(0,1)恒成立， 即1()min a x， 因为(0,1)x ∈，所以min11x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以1a ≤.故答案为：(-∞，1]．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题． 19．；【分析】首先有且根据导函数得到的单调区间及对应的单调性使函数在区间(0m 上单调递减成立即(0m 包含于的单调递减区间即可得到一个m 值【详解】由题意知：且∴当且时即单调递减当时即单调递增故要使在区间( 解析：12； 【分析】首先有2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠，根据导函数得到()f x 的单调区间及对应的单调性，使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立，即(0，m ]包含于()f x 的单调递减区间，即可得到一个m 值【详解】由题意，知：2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠ ∴当0x ≠且1x <时，()0f x '<，即()f x 单调递减当1x >时，()0f x '> ，即()f x 单调递增故，要使()f x 在区间(0，m ]上单调递减，则01m <<即可∴12m =符合要求 故答案为：12 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围20．【分析】根据期望的定义先得到将不等式化为构造函数利用导数的方法判断其单调性计算即可得出结果【详解】由题意所以可化为即其中显然成立；两边同时取以为底的对数得令则当时即函数单调递增；当时即函数单调递减； 解析：4【分析】根据期望的定义，先得到()31k E X kek -=-++，将不等式()E X k <化为ln 3k k >，构造函数()ln ,03k f k k k =->，利用导数的方法判断其单调性，计算()4f ，()5f ，即可得出结果.【详解】由题意，()()333111kk k E X e k e ke k ---⎛⎫=++-=-++ ⎪⎝⎭， 所以()E X k <可化为310k ke --+<，即3k k e >，其中0k >显然成立；两边同时取以e 为底的对数，得ln 3k k >， 令()ln ,03k f k k k =->，则()11333k f k k k-'=-=， 当()0,3k ∈时，()303k f k k -'=>，即函数()ln 3k f k k =-单调递增； 当()3,k ∈+∞时，()303k f k k -'=<，即函数()ln 3k f k k =-单调递减； 因此()()max 33ln 3ln 3103f k f ==-=->， 又()444ln 42ln 2 1.3862 1.3333033f =-≈-=->， ()55ln 5 1.6094 1.666603f =-≈-<， 因此满足ln 3k k >的最大正整数k 的值是4， 即满足()E X k <的最大正整数k 的值是4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，涉及离散型随机变量的期望，属于常考题型.三、解答题21．（1）函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)；（2）(1,e e -⎤-∞-⎦． 【分析】（1）解不等式()0f x '>与()0f x '<即可得单调区间；（2）先分离参数再利用导数研究函数最值即可得结果.【详解】（1）依题意11(0,),()1x x f x x x'-∈+∞=-=， 令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<， 故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)；（2）因为0x >，故不等式化为(ln )x x x e e m x --⋅，令(ln )()xx x e e h x x--⋅=，故min [()]m h x ，因为2(1)(ln 1)()x x x x e h x e x---+'=， 令11()ln 1,()1x x x x e x x xϕϕ'-=--+=-=，由（1）可知，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，又221130,(1)20,()0e e e e e ϕϕϕ⎛⎫=--<=->= ⎪⎝⎭， 所以()ϕx 在(0,1)上存在唯一零点0x ，在(1,)+∞上存在唯一零点x e =，当00x x <<时，()0()0x h x ϕ'<<，，当01x x <<时，()0()0x h x ϕ'>>，，当1x e <<时，()0()0x h x ϕ'><，，当x e >时，()0,()0x h x ϕ'<>， 所以函数()h x 在()00,x 和(1,)e 上为减函数，在()0,1x 和(,)e +∞上为增函数，所以min [()]h x 是()0h x 与()h e 中的较小者，而1()e h e e-=-， 因为()000ln 10x x x e ϕ=--+=，故010x e x e +-=，故()()00001000ln x x e x x e e h x e e x x ---=⋅=-=-，故1e m e --， 综上所述，实数m 的取值范围为(1,e e-⎤-∞-⎦．【点晴】 参变分离利用导数求解函数最值是解参数范围的关键.22．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2x f x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=得2lnx a =. 若2,lnx a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21x g x ae x x x =+-+ 设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++- ()2221(1)(1)11()x x ae x ae x h x x x x x +--'=+-= 因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减.当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增.所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e =时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240e e h e a e e e---=-+->->， ()22221220e e h e a e e =++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <； 所以函数()h x 在()21,e -和()21,e 各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点. 综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e>时，函数()g x 无零点；当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】 方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()a g x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.23．（1）证明见解析；（2）(,0]-∞.【分析】（1）求出导函数()'f x ，()'g x ，求出()f x 在00(,())x f x 切线方程，利用切线斜率求得()y g x =的切点坐标，得切线方程，由两条切线方程是相同的，可证结论；（2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+-，求得()h x '，确定单调性，最小值，由最小值不小于1可得a 的范围．【详解】（1）若0a =，则()ln(1)f x x =+，()x g x e =. 所以1()1f x x '=+，()xg x e '=， 曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()0001ln 11y x x x x =-+++， 令01()1x g x e x '==+，则01ln 1x x =+， 曲线()y g x =在点0011ln ,11x x ⎛⎫ ⎪++⎝⎭处的切线方程为()00011ln 111y x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦++， 由题意知()()()000000111ln 1ln 1111x x x x x x x x ⎡⎤-++=+++⎣⎦+++， 整理可得()000ln 111x x x +=+，00x =显然不满足， 因此()0001ln 1x x x ++=. （2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+- 若0a >，0(0)01a h e a e -=-<-=，不符合条件；若0a =，()ln(1)x h x e x =-+，1()1x h x e x '=-+， 当(1,0)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(0)1h x h ≥=，符合条件；若0a <，则()ln(1)ln(1)1x a x h x e x a e x -=-+->-+≥，符合条件.所以a 的取值范围是(,0]-∞.【点睛】思路点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．求切线方程时要注意是函数图象在某点处的切线，还是过某点的切线，由导数得斜率得切线方程，若不知切点时一般需设出切点坐标，写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点，再得切线方程，不能弄错．24．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间； （2）由0g x ，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：（1）当1a =时，()x x f x e =，定义域为R ， 所以()1xx f x e -'=． 当1x <时，0f x ，函数()f x 单调递增； 当1x >时，0f x ，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x x x a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭． 当0g x 时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x 恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点．②若ln 1a <，即0a e <<，当ln x a <时，0g x ，函数()g x 单调递增；当ln 1a x <<时，0g x，函数()g x 单调递减； 当1x >时，0g x ，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>，又因为()2220a g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>，又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>，若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->， 解得2e a e <<． ③若ln 1a >，即a e >， 当1x <时，0g x ，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当ln x a >时，0g x ，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a => 所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x 求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导，利用导数判断()f x 的单调性，求出()f x 的极值或最值，即可求证；（2）构造函数()x g x e x =-，求导利用单调性证明()0xg x e x =->，再由（1）可知()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+可得ln x x >，进而可证明0x >时， ln x e x x >>.【详解】（1）()1ln =--f x x x 的定义域为()0,∞+，1()1f x x'=- 当01x <<时，1()10f x x '=-<，当1x >时，1()10'=->f x x， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以1x =时()f x 最小为(1)11ln10f =--=，所以()f x 存在唯一的零点1x =，（2）令()x g x e x =-，则()1x g x e '=-，当0x >时，()10xg x e '=->， ()x g x e x =-在()0,∞+单调递增，所以()()0001g x g e >=-=，即10x e x ->>，即0x e x ->，所以x e x >，由（1）知()1ln =--f x x x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 最小为(1)11ln10f =--=，所以()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+，所以ln x x >，综上所述：当0x >时，ln x e x x >>.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）(,2]-∞.【分析】（Ⅰ）设切点为001(,)P x x ，求出切线方程并计算l 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.（Ⅱ）由题设可得()0g x '≤，利用参变分离可得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0a =时，1(),0f x x x =>，21()f x x'=-， 设()f x 图象上任意一点001(,)P x x ，切线l 斜率为0201()k f x x =-'=. 过点001(,)P x x 的切线方程为020011()y x x x x -=--. 令0x =，解得02y x =；令0y =，解得02x x =. 切线与坐标轴围成的三角形面积为0012|||2|22S x x =⋅=. 所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.（Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞.因为()g x 在(0,)+∞上单调递减， 所以21()10a g x x x '=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即当(0,)x ∈+∞，1a x x ≤+恒成立， 所以min 1()a x x ≤+因为当(0,)x ∈+∞，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号. 所以当1x =时，min 1()2x x +=所以2a ≤.所以a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】结论点睛：一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()00f x f x ''><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()00f x f x ''≥≤．。
数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案
数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数y=(3−x2)e x的单调递增区间是( )A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, −3)D.(−3, 1)2. 若曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=3x，则a=( )A.1B.2C.3D.43. 已知f(x)=(e x−a)(eax+1)，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的a的个数有( )A.1B.2C.3D.44. 若函数f(x)=ax3−2x2在x=−1时取得极值，则f(1)等于（）A.−103B.−23C.0D.135. 已知函数f(x)=13x3+12ax2−bx+a2−2(a,b∈R)，若f(x)在x=−1处有极值53，则a−b的值是()A.−4或3B.3C.−4D.−16. 函数f(x)＝ln x过点(0, 0)的切线方程为（）A.y＝xB.y=2e x C.y=12x D.y=1ex7. 设定义在(0, +∞)的函数f(x)的导函数是f′(x)，且x4f′(x)+3x3f(x)=e x，f(3)=e381，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既无极大值，又无极小值D.既有极大值，又有极小值8. 已知f(x)=x3−ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A.a>72B.a≥72C.a<72D.a≤729. 已知函数f(x)＝−x 3+ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m, n ∈[−1, 1]，则f(m)+f ′(n)的最小值为() A.−13 B.−15 C.10 D.1510. 已知函数f(x)=x ln x 的图象上有A 、B 两点，其横坐标为x 1，x 2(0<x 1<x 2<1)且满足f(x 1)=f(x 2)，若k =5(x 1+x 22+√x 1x 2)，且k 为整数时，则k 的值为（ ）（参考数据：e ≈2.72） A.1 B.2 C.3 D.411. 函数f(x)=12x −sin x 在[−π2,π2]上的最小值是________.12. 函数f(x)=ax 2−2x −9在x =1处取得极值，则实数a =________．13. 给出函数①y =x 3，②y =x 4+1，③y =|x|，④y =√x ，其中在x =0处取得极值的函数是________（填序号）．14. 函数f(x)＝e x cos x 的图象在x =π2处的切线斜率为________−e π2 ．15. 函数f(x)=12x −x 3在区间[−3, 3]的最小值是________．16. 已知函数f(x)=x 3−ax 2+3x ，a ∈R ．若x =3是f(x)的一个极值点，则f(x)在R 上的极大值是________．17. 定义在(0, +∞)上的函数f(x)，总有f′(x)>f(x)+ex −ln x 成立，且f(2)＝e 2−2，则不等式f(x)≥e x −2的解集为________．18. 若直线y =kx +b 是曲线y =e x−2的切线，也是曲线y =e x −1的切线，则b =________.19. 若函数f (x )={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则实数a 的取值范围为________.20. 若直线y ＝12x +m 与曲线y ＝x 3−2相切，则m ＝________．21. 已知函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，求a的取值范围．22. 已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a，求f(x)的单调递减区间．23. 已知函数f(x)=x3−x2+x+2.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求经过点A(1,3)的曲线f(x)的切线方程．24. 已知函数f(x)=x2−2(a+1)x+2a ln x(a≠0).(1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．25. 已知函数f(x)=x ln x−ae x+a，其中a∈R.(1)当a=0时，求函数在(e,f(e))处的切线方程；(2)若函数f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．26. 已知f(x)=(3e x−2a)⋅√x，其中a∈R，e=2.718⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）若x=1为函数f(x)的极值点，求a的值．（Ⅱ）若f(x)≤6e在x∈[0,2]上恒成立，求a的取值范围．27. 已知函数f(x)=ln x−ax2+(a−2)x.(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.28. 已知：函数f(x)=ln(x+a)+x2，当x=−1时，f(x)取得极值，求：实数a的值，并讨论f(x)的单调性．29. 已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．30. 已知函数f(x)=13x 3+ax +b ，(a, b ∈R)在x =2处取得极小值−43．求a +b 的值．31. 已知函数g(x)=x 2−(2a +1)x +a ln x . (1)当a =1时，求函数g(x)的单调增区间；(2)求函数g(x)在区间[1, e]上的最小值；32. 已知函数f (x )=x −a ln x +1(a ∈R ).(1)若a =1，求函数f(x)在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．33. 已知函数f(x)=x(x −c)2（其中c 为常数，c ∈R ） （1）若函数f(x)在定义域内有极值，求实数c 的取值范围；（2）若函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值．34. 已知函数f(x)＝x −ln x ． （1）求f(x)的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，(1+12)×(1+13)×⋯×(1+1n )<e ．35. 已知函数f(x)=x 3+3bx 2+3cx 的两个极值点为x 1，x 2，x 1∈[−1, 0]，x 2∈[1, 2]．证明：0≤f(x 1)≤72，−10≤f(x 2)≤−12．36. 已知函数f(x)=−x 2+ax −ln x(a ∈R)． (1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f(x)在[12, 2]上单调时，求a的取值范围．37. 已知函数f(x)=x(x−a)2+b在x=2处有极大值．（1）当[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，求b的取值范围．（2）若过原点有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围．38. 已知函数f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f(x)在x∈R时存在极值，求a的取值范围；（2）若f(x)在[−1,12]上是增函数，求a的取值范围．39. （山东省济宁市2019届高三二模）已知函数f(x)=ln x−xe x+ax(a∈R)．若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；若a=1，求f(x)的最大值．40. 已知函数f(x)=x+1x+a ln x的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．（1）求实数a的值；（2）求函数g(x)=f(x)+2x的极值．参考答案与试题解析数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，令导函数大于0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：y′=(3−x2)e x+(−2x)e x=−(x+3)(x−1)e x，令y′>0，解得：−3<x<1，故函数的单调递增区间是(−3, 1).故选D．2.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决．【解答】解：∵y=ax−ln(x+1)，∴y′=a−1，x+1′=a−1=3，当x=0时，k=y x=0∴a=4.故选D．3.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值和不等式恒成立问题．【解答】解：∵ f(x)=(e x−a)(eax+1)，f(x)≥0(x∈R)恒成立，∴ (e x−a)(eax+1)≥0在R上恒成立．当a<0时，e x−a≥0恒成立，而eax+1≥0在R不成立，∴ a≥0，当a=0时，f(x)=e x≥0成立，当a >0时，由f (x )≥0恒成立，有{e x −a ≥0eax +1≥0或{e x −a ≤0eax +1≤0，由e x −a =0，得x =ln a ；由eax +1，得x =−1ea ， 设g (a )=ln a +1ea，则g ′(a )=1a−1e ⋅1a 2，∴ g(a)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增，∴ g (x )min =g (1e )=ln 1e +1e⋅1e=0，∴ 方程ln a =−1ea 有一个解，即有一个a 值使得f (x )≥0恒成立， ∴ 满足条件的a 的解有2个． 故选B ． 4.【答案】 A【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】对函数求导，因为x =−1是极值点，则该处导数为0，故可求出a 的值，即可求出f(1)． 【解答】解：由已知得f′(x)=3ax 2−4x ， 又因为在x =−1处有极值， 所以f′(−1)=0，即3a +4=0，即a =−43， 所以f(1)=−43−2=−103． 故选：A ． 5.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】对函数f(x)求导，根据函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R)在−1处有极值53，可知f′(−1)=0和f(−1)=53，得到{f′(−1)=0f(−1)=53，解方程组得到a 与b 的值，注意验证，可求得答案． 【解答】解：由函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R )，由于f(x)在x =−1处有极值53，则f′(−1)=0和f(−1)=53， 故{f′(−1)=0，f(−1)=53，即{1−a −b =0，−13+12a +b +a 2−2=53，解得 {a =2，b =−1，或{a =−32,b =52,当a =2，b =−1时，f′(x)=x 2+2x +1=(x +1)2≥0， 故f(x)在R 上为增函数，不满足f(x)在x =−1处有极值53， 则a =−32，b =52，故a −b =−4． 故选C . 6.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，把原点代入，求出切点坐标，则答案可求． 【解答】由f(x)＝ln x ，得f′(x)=1x ， 设切点为(x 0, ln x 0)，则f′(x 0)=1x 0，∴ 过切点的切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，代入(0, 0)，可得ln x 0＝1，即x 0＝e ．∴ 函数f(x)＝ln x 过点(0, 0)的切线方程为y −1=1e (x −e)， 即y =1e x ．7.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值即可． 【解答】 解：f′(x)=e x −3x 3f(x)x 4，则ℎ′(x)=e x−3[f′(x)x3+3f(x)x2]=e x−3x[f′(x)x4+3f(x)x3]=e x−3x ⋅e x=e x⋅x−3x，所以ℎ(x)≥ℎ(3)=e3−81f(3)=0，即f′(x)≥0，因此f(x)在(0, +∞)递增，既无极大值，又无极小值，故选：C．8.【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，可得f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′(x)=3x2−2ax+4∵f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，∴f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1∴f′(0)=4>0，f′(1)=7−2a<0，解得a>72故选A．9.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】试题分析：f(x)=−3x2+2ax函数f(x)=−x3+ax2−4在x=2处取得极值．−12+ 4a=0解得|a=3.f(x)=−3x2+6∴ n=[−1,1]时，f(n)=−3n2+6n当n=−时，f(n)最小，最小为−9当m∈[−1,1)时，f(m)=−m3+3m24,f(m)=−3m2+6m令f(m)=0得m=0,m=2所以m=0时，f(m)最小为−4，故f(m)+f(n)的最小值为−9+(−4)=−13，故选A．【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】推导出f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，由x1ln x1=x2ln x2，得0<x1<1e <x2<1，由由x1+x22>1e，x2>2e−x1，得到x1+x22+√x1x2<2e，由此能求出k为整数时，k的值．【解答】解：∵f(x)=x ln x，∴f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，∵函数f(x)=x ln x的图象上有A、B两点，其横坐标为x1，x2(0<x1<x2<1)且满足f(x1)=f(x2)，∴x1ln x1=x2ln x2，(0<x1<1e<x2<1)，如图所示，由x1+x22>1e，x2>2e−x1，x1+x22+√x1x2<x1+(2e−x1)2+√x1(2e−x1)=1e+√2ex1−x12，∵t=1e +√2ex1−x12关于x1单调递减，0<x1<1e，∴x1+x22+√x1x2<2e，∴5(x1+x22+√x1x2)<10e≈3.7，∴k≤3．∴k为整数时，则k的值为3．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】π6−√32【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)=12x−sin x，∴f′(x)=12−cos x，x∈[−π2,π2].令f′(x)=0得，x=−π3或x=π3.当x∈[−π2,−π3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈[−π3,π3]时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(π3,π2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增.而f(−π2)=−π4+1，f(π3)=π6−√32.∵f(−π2)>f(π3)，∴函数的最小值为f(π3)=π6−√32.故答案为：π6−√32.12.【答案】1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】先求导，令导数为0，可求出a的值．【解答】解：f′(x)=2ax−2；∵函数f(x)=ax2−2x−9在x=1处取得极值，∴f′(1)=2a−2=0∴a=1．故答案为：1．13.【答案】②③【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由函数取极值的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项①对y=x3求导数可得y′=3x2≥0，函数R上单调递增，故不能在x=0处取得极值，错误；选项②对y=x4+1求导数可得y′=4x3，函数在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，故在x=0处取得极小值，正确；选项④y=√x的定义域为[0, +∞)，不满足在x=0处取得极值，错误．故答案为：②③14.【答案】−e π2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，然后求解图象在x=π2处的切线斜率．【解答】函数f(x)＝e x cos x，可得f′(x)＝e x cos x−e x sin x，函数f(x)＝e x cos x的图象在x=π2处的切线斜率为：f′(π2)=−eπ2．15.【答案】−16【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数在该区间上的极值，函数在端点处的函数值，其中最小的即为最小值．【解答】解：由f′(x)=12−3x2=0，得x=−2或x=2，又f(−3)=−9，f(−2)=−16，f(2)=16，f(3)=9．所以函数f(x)在区间[−3, 3]上的最小值是−16．故答案为：−16．16.【答案】1327【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f′(x)=3x2−2ax+3，当x=3时有极值，所以f′(3)=0，解得a=5，确定函数的单调性，由此能求出f(x)在R上的极大值【解答】解：f′(x)=3x2−2ax+3，∵当x=3时有极值，所以f′(3)=0，即27+3−2a×3=0，解得a=5．这时，f′(x)=3x2−10x+3，令f′(x)=3x2−10x+3=0，得x1=13，或x2=3．当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由表可知：f(x)的极大值为f(13)=1327， 故答案为：1327． 17.【答案】 [2, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由题意构造辅助函数g(x)＝ex −ln x −2，求导，g′(x)<0，函数单调递减，g′(x)>0，函数单调递增，求得g(x)的最小值，再构造辅助函数ℎ(x)=f(x)+2e x，求导，求得ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0, +∞)上递增，即f(x)≥e x −2，由f(2)＝e 2−2，得ℎ(x)≥ℎ(2)，即可求得不等式的解集． 【解答】令g(x)＝ex −ln x −2，则g′(x)＝e −1x ，∴ g(x)在(0, 1e)时，g′(x)<0；g(x)在(1e, +∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)在(0, 1e )上单调递减，在(1e , +∞)上单调递增， ∴ x ∈(0, +∞)时，g(x)≥g(1e )＝0， 再令ℎ(x)=f(x)+2e x，则ℎ′(x)=f ′(x)−f(x)−2e x>ex−ln x−2e x=g(x)e x≥0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上递增， ∴ f(x)≥e x −2，即f(x)+2e ≥1，ℎ(x)≥ℎ(2)，∴ x ≥2，∴ 解集为：[2, +∞)， 18. 【答案】12ln 2−12 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设直线 y =kx +b 与曲线 y =e x−2 切于点 P 1(x 1,e x 1−2) ,与曲线 y =e x −1 切于点 P 2(x 2,e x 2−1)，从而x1−2=x2，k=12,e x2=12,x2=−ln2，所以切线方程为y=12(x+ln2)+e x2−1=12x+12ln2−12,于是b=12ln2−12.故答案为：12ln2−12.19.【答案】a≤e【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：当x≤1时，f(x)=−x3+3x2，f′(x)=−3x2+6x,令f′(x)=0，得x=0或x=2，当x∈(−∞,0),f(x)单调递减，当x∈(0,1]，f(x)单调递增，又f(0)=0，则可得到f(x)图象如下：如图，x>1部分，是f(x)=e x−a的图象，x≤1部分，是f(x)=−x3+3x2的图象，当图中点A不在x轴下方时，函数f(x)有最小值，即e1−a≥0，解得a≤e.故答案为：a≤e.−18或14【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得y＝x3−2的导数，设切点为(s, t)，可得切线的斜率，由切线方程可得s，m的方程组，解方程可得m的值．【解答】y＝x3−2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3−2相切，设切点为(s, t)，可得3s2＝12，12s+m＝s3−2，即有s＝2，m＝−18；s＝−2，m＝14．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由题意求导f′(x)=3ax2−2x+1，从而可得{a≠0△=4−4×3a≤0，从而求a的取值范围．【解答】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．22.【答案】解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．【考点】利用导数研究函数的单调性解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．23.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）设切点为（m，n），代入f（x），求得切线的斜率和方程，代入点A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切线的方程．【解答】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−4x+2ln x，则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ， ∴ a ≥1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =0时，f (x )=x ln x ，f (e )=e ， f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)．26.【答案】 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 27.【答案】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增， ∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减， ∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2.【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增，∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22 ,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减，∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当12<a <√22时，函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是a4−1−ln 2.当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2. 28.解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．【考点】函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数的单调性【解析】先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′(−1)=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′(x)>0，f′(x)<0，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．29.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a进行分类讨论，再令f′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．30.【答案】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=0【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用函数在x=2处取得极小值−43，建立方程，可求a、b的值，从而可求a+b的值．【解答】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=031.【答案】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(1)由g′(x)=2x2−3x+1x>0，能求出函数f(x)的单调增区间．(2)g′(x)=2x−(2a+1)+ax =(2x−1)(x−a)x=0，由此根据a的取值范围分类讨论，能求出g(x)min．【解答】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.32.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a>0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a >0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞). 33.【答案】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3， 因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增，f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6…【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】（1）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系求c 的取值范围． （2）利用函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值． 【解答】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3，因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增， f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6… 34. 【答案】 f ′(x)=1−1x =x−1x，当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减； 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增； 故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x −ln x ≥1即ln x ≤x −1，所以ln(1+1k )≤1k<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可证明．【解答】f′(x)=1−1x =x−1x，当x∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减；当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增；故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x−ln x≥1即ln x≤x−1，所以ln(1+1k2)≤1k2<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．35.【答案】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x1)=3x12+6bx1+3c=0，则bx1=−12x12−12c，∴f(x1)=−12x13+3c2x1，由于x1∈[−1, 0]，c≤0，∴0≤f(x1)≤12−3c2，∵−2≤c≤0，∴0≤f(x1)≤72．f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0，bx2=−22x22−22c，∴f(x2)=−12x23+3c2x2，由于x2∈[1, 2]，c≤0，∴−4+3c≤f(x2)≤−12+32c．∵−2≤c≤0，∴−10≤f(x2)≤−12．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f(x)得f′(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]则由根的分布得有2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得−2≤c≤0，用消元法消去参数b，利用参数c表示出f(x1)和f(x1)的值域，再利用参数c的范围能证明0≤f(x1)≤72，−10≤f(x2)≤−12．【解答】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x 1)=3x 12+6bx 1+3c =0，则bx 1=−12x 12−12c ， ∴ f(x 1)=−12x 13+3c 2x 1，由于x 1∈[−1, 0]，c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤12−3c 2，∵ −2≤c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤72．f′(x 2)=3x 22+6bx 2+3c =0， bx 2=−22x 22−22c ， ∴ f(x 2)=−12x 23+3c 2x 2，由于x 2∈[1, 2]，c ≤0， ∴ −4+3c ≤f(x 2)≤−12+32c ．∵ −2≤c ≤0， ∴ −10≤f(x 2)≤−12．36. 【答案】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)， 则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得：12<x <√22,∴ g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．【考点】函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，由题意可得f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2；于是由{a 2>0△=a 2−4×2×1>0即可求得a 的取值范围；（2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x ，结合题意可得g(x)在[12, √22)上递减, g(x)在(√22, 2]上递增；从而可求得当x ∈[12, 2]时，g(x)max =92，g(x)min =2√2．于是得，若f(x)在[12, 2]单调递增，f′(x)≥0即a ≥g(x)，从而求得a 的取值范围；同理可求，若f(x)在[12, 2]单调递减时a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x =−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)，则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得:g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．37.【答案】 解：（1）f(x)=x(x −a)2+b =x 3−2ax 2+a 2x +b ⇒f ′(x)=3x 2−4ax +a 2，f ′(2)=12−8a +a 2=0⇒a =2或a =6， 当a =2时，函数在x =2处取得极小值，舍去；当a =6时，f ′(x)=3x 2−24x +36=3(x −2)(x −6)， 函数在x =2处取得极大值，符合题意，∴ a =6．∵ 当x ∈[−2, 4]时，函数y =f(x)的图象在抛物线y =1+45x −9x 2的下方， ∴ x 3−12x 2+36x +b <1+45x −9x 2在x ∈[−2, 4]时恒成立，即b <−x 3+3x 2+9x +1在x ∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x 3+3x 2+9x +1， 则ℎ′(x)=−3x 2+6x +9=−3(x −3)(x +1)，由ℎ′(x)=0得，x 1=−1，x 2=3． ∵ ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21， ∴ ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b <−4．（2）f(x)=x 3−12x 2+36x +b ，设切点为(x 0，x 03−12x 02+36x 0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x 02−24x 0+36，切线方程为y −x 03+12x 02−36x 0−b =(3x 02−24x 0+36)(x −x 0)，即 y =(3x 02−24x 0+36)x −2x 03+12x 02+b ，∴ −2x 03+12x 02+b =0⇒b =2x 03−12x 02．令g(x)=2x 3−12x 2，则g ′(x)=6x 2−24x =6x(x −4)， 由g ′(x)=0得，x 1=0，x 2=4． 函数g(x)的单调性如下：y =f(x)相切．【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）其中一个函数的图象在另一个函数图象的下方，转化为两个函数的“差函数”在相应区间内恒小于0的问题；（2）求切线主要还是抓住切点，因此既然有三条切线，因此应该有三个切点，也就是利用切点表示的方程将原点代入后，得到关于切点横坐标x的方程有三个不同的实数根．再结合导数研究函数的图象求解．【解答】解：（1）f(x)=x(x−a)2+b=x3−2ax2+a2x+b⇒f′(x)=3x2−4ax+a2，f′(2)=12−8a+a2=0⇒a=2或a=6，当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；当a=6时，f′(x)=3x2−24x+36=3(x−2)(x−6)，函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．∵当x∈[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，∴x3−12x2+36x+b<1+45x−9x2在x∈[−2, 4]时恒成立，即b<−x3+3x2+9x+1在x∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x3+3x2+9x+1，则ℎ′(x)=−3x2+6x+9=−3(x−3)(x+1)，由ℎ′(x)=0得，x1=−1，x2=3．∵ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21，∴ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b<−4．（2）f(x)=x3−12x2+36x+b，设切点为(x0，x03−12x02+36x0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x02−24x0+36，切线方程为y−x03+12x02−36x0−b=(3x02−24x0+36)(x−x0)，即y=(3x02−24x0+36)x−2x03+12x02+b，∴−2x03+12x02+b=0⇒b=2x03−12x02．令g(x)=2x3−12x2，则g′(x)=6x2−24x=6x(x−4)，由g′(x)=0得，x1=0，x2=4．函数g(x)的单调性如下：y= f(x)相切．38.【答案】解：由f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2−a2x+2(1)①当a=0时，f′(x)=2>0∴f(x)单调递增，∴f(x)不存在极值②当a≠0时，△=a4−8a≤0，即0<a≤2，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立∴f(x)不存在极值a的范围为0≤a≤2∴f(x)存在极值a的范围为a<0或a>2．（2）由题意f′(x)≥0在(−1, 12]恒成立①当a=0时f′(x)=2>0恒成立∴a=0合题意。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)
目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
(典型题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(答案解析)
一、选择题1．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A．4B ．C ．D ．65．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b < 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ）A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <8．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（ ）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 210．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．1326-C ．1326+ D ．2311．函数()212x f x x -=+的值域是（ ） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+C ．()0,3D ．)3,⎡+∞⎣12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．14．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.15．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．16．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.17．函数21f x x x 的极大值为_________.18．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．19．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.20．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．三、解答题21．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()xax f x e =． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 24．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 25．已知函数21()ln (1)12f x a x x a x =+-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.26．已知函数321()23f x x x ax =-++，21()42g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为13-，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解， 设2sin ()xxg xe =，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】 由()22sin x mf x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()x x g x -'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mx e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2sin m xe =2sin ()x g x =my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．4．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞因为16x x +≥16x x =即x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围； 【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 8．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.9．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.10．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求出函数的定义域，然后求出导函数，确定单调性，得值域．【详解】由21020x x ⎧-≥⎨+≠⎩得11x -≤≤，()f x '==当112x -≤<-时，()0f x '>，()f x 递增，112x -<≤时，()0f x '<，()f x 递减， 所以12x =-时，max()22f x ==-+(1)(1)0f f -==， 所以()f x的值域是⎡⎢⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是由导数确定函数的单调性，得出最大值和最小值，得值域．12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．14．【分析】首先求函数的导数由条件是函数的唯一极值点说明在无解或有唯一解求实数的取值【详解】∵∴∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点在上无解或有唯一解x=1①当x=1为其唯一解时k=e 令当时即h(x)的单 解析：(,]e -∞【分析】首先求函数的导数2(1)()()x x e kx f x x'--=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明0-=x e kx 在()0,x ∈+∞无解，或有唯一解1x =，求实数k 的取值. 【详解】∵()(ln )x e f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x'---=+-= ∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)x h x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()h x 在x =1处，取得极小值， ∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x=在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x =则2(1)()x e x g x x'-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤ 故答案为：(,]e -∞. 【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略k e =的情况，此时x e ex ≥恒成立.15．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.16．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】 由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率， 因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.17．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤ 【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立，当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x ex =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 22．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间；（2）由0g x，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当1a =时，()xxf x e =，定义域为R ， 所以()1xxf x e -'=． 当1x <时，0f x，函数()f x 单调递增；当1x >时，0f x，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增； 在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x xx a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭． 当0g x时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点． ②若ln 1a <，即0a e <<， 当ln x a <时，0g x，函数()g x 单调递增； 当ln 1a x <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当1x >时，0g x，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 又因为()2220ag e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意． （Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>， 又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->， 解得2ea e <<．③若ln 1a >，即a e >，当1x <时，0g x，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减； 当ln x a >时，0g x，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a =>所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题 23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x -'=>． 当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->．因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 25．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <. 【分析】（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10a x a x af x x a x x'-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（I ）当0a =时，21()12f x x x =-+. 所以()1f x x '=-， 所以(2)1k f '==，因为21(2)22112f =⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为21()ln (1)12f x a x x a x =+-++ 所以2(1)()1a x a x af x x a x x'-++=+--=. 令()0f x '=，即2(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以0a 成立.（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以01a <<成立.（3）当1a =时，()0f x '在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立. （4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以1a >不成立. 综上所述，1a <. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.26．（1）12a >-；（2）最大值点为36+.36x +=. 【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，由()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解求解.（2）由()0G x '=得1x =2x =，根据02a <<，易得10x <，213x <<，则()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，然后由()()143143G G a -=-+，分14403a -+<，14403a -+≥确定最小值进而求得a 即可 【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间， ∴()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解，即()max 0f x '>在()0,∞+上成立， 而()f x '的最大值为()112f a '=+， ∴120a +>， 解得：12a >-. （2）3211()()()2432G x f x g x x x ax =-=-+++， ∴()22G x x x a '=-++，由()0G x '=得：112x =，212x +=，则()G x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又∵当02a <<时，10x <，213x <<，∴()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ， 而()()143143G G a -=-+， 1︒当14403a -+<，即706a <<时，()113623G a =-=-，得136a =，此时，最大值点236x +=； 2︒ 当14403a -+≥，即726a ≤<时，()2511263G a =+=-，得94a =-（舍）.综上()G x 在[]1,3 【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得； (2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。
[原创]数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷(含答案).doc
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高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。
( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 ．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 ．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。
《导数及其应用》同步练习B卷答案(人教A版选修1-1)(新人教A版选修1-1).doc
1.解析：选D.2.解析：设切线的斜率为由卫二件=1得1+ 3刈比=一2或&=*, y = x2的导数为y =2x.令y=一2或y =丄可解得兀=一1或x =丄。
-2 4 B19•解析：/(2) — 4, /(_1)= -鸟 + 4,・・・ /(%) 在区间［-1,2］上的平均变化率为/⑵一/(—1) _2比 + 4-(7 + 4) _ 3比一2-(-1) _2-(-1) ~ 3 - °10.解析:/(x0 + Ar)-/(x0) _ /(2 + Ar)-/(2)3.解析:AS k (f + △/) + b —(血 + b)Ar ArS'(t) = k ,故平均速度与任何时刻的瞬时速度相等。
4.解析：根据定义可得。
5 •解析：y = +12x" + 6x +1 ,・；y = 24x2 + 24x + 6 , /. y = 6,故选D。
.v=06.解析：△y _ 2(x + Ax)_ -l-(2x2 -1) _ 4Axbc + 2A A J AxAx Ax= 4x + 2Ax,故选C。
Ax Ax(2 + Ax) +2(2 + A Y ) + 1- (2’ + 2x2 +1)Xx= Ar2+3Ar + 14,当心无限趋近于0时，人？+3心+ 14无限趋近于14, 曲线在(2,13)处的切线的斜率为14, A切线的方程为y-13 = 14(兀一2), B|J y = 14x-15 o11. 解析：(1)Aj.心(x +Ax)2 + (x +Ax)-(x2+牙)- 心心+2x + l,当心无限趋近于()时，绥无限趋近Ar于2x+l,所以/(x) = 2x + l； (2) f⑵=5,k\t Ar27.解析：—^5AZ + AZ ^5 + Ar,当△/无限趋Ar △/近于0时, 万无限趋近于5。
所以/(x) = x2 + x在*2处的导数为5。
12.解析：f(x)在区间［⑦切上的平均变化率为/(b)-/(a)_(2b + l)-(2° + 1) 一——L Qb-a b-a8-解析:X A ~ X By —无- —414. 解析：(1)由｛得兀=一3或x = 3,[y = x + 2・・・两曲线交点的坐标为A(-2,0), B (3,5), (2) y =F_4, ・・・y =2兀，.••抛物线在两点处的 切线的斜率为一4和6,由y = -4[x — (—2)]得 4x+y + 8= 0 ；由 y-5 = 6(x-3)得: 6兀 一 y -13 = 0。
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度／秒. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的()f x '均大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于函数（3），当x 小于0时，()f x '小于0，当x 大于0时，()f x '大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思3．2导数的计算 练习（P85）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）41065y x x '=-+； （4）3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组（P85）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题3.2 B 组（P86）1、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.3．3导数在研究函数中的应用 练习（P93）当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P96）注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-；当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22、2x ，4x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习（P98）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组（P98）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =-，所以()20f x '=>. 因此，函数()24f x x =-是单调递增函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）当112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4924-. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减，且1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，128-. 习题3.3 B 组（P99）（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >.因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 3．4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.（第2题）3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可知，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =.（第3题）当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题3.4 B 组（P105）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.因为()L x 只有一个极值，所以350x =为最大值点.因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组（P110）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （3）ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=，0 1.6x <<. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x， 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组（P111）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，细菌在增加；当55t <<+时，细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.当24x =时，9600162478424⨯+=（元）. 于是20780()940.824÷=（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈，114y ≈；当50x =，114y ≈；当100x =，138y ≈.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.。
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导数及其应用题组A
1．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
2.函数y ＝ax 2
＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A. 18 B. 41 C. 21 D. 1 3.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数
4、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=
5、曲线y ＝x 3－23 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为
6、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，
B ，
C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f
（f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数
f′（3）＝ .
7、已知曲线x x y ln 3212-=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标
为 ．
8、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为
9、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a
10、曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
11、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，
则)1(2)1(f f '+的值是
12、在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为
导数及其应用题组B
1．函数x x y 142+=单调递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),21(+∞
D ．),1(+∞
2．函数x
x y ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．
310 3.已知函数()2()x ax b f x =+ (a,b ∈R)在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ）
A.（-∞，0）
B.（0，2）
C.（2，+∞）
D.（-∞，+∞）
4、设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的
图象最有可能的是( )
5、若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则其导函数）（x f '的
图象可能是（ ）
6、若函数,5)1(3
1)(23++∙-'-=x x f x x f 则=')1(f 7、若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为
8、函数23)(23+-=x x x f 在区间]1,1[-上的最大值是
9、函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调增区间
10、已知m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上有最小值为
11、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为 ．
12、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =
13、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点
个
14、已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是
15、函数322y f(x) x
ax bx a ==＋＋＋，在x = 1时，有极值10，则 a = ,b = 。
16、设f ( x ) = x 3－21x 2－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，
则实数m 的取值范围为 .
17、已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.。