同济高等数学第六版PPT课件D11映射与函数
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高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
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四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
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五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高数同济六版课件D11总复习
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
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3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
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4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
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4、两类曲面积分的联系
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
2．函数的单调性:
x1,x2I, 当 x1 x2时,
若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调增加函数； 若 f(x1)f(x2),称f (x)为I上的单调减少函数；
如 yx,yx3 单增
yx2?
精选课件ppt
21
3．函数的奇偶性:
设 D关于原, 对 点 于 对 xD 称 , 有
f(x)f(x)
o
x
精选课件ppt
27
（2）单值函数的反 一函 定数 是不 单值函数
如y ： x2
反函数x： y. （3）若y f(x)单调增（减），
其反函数也单调增（减 ）。
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28
六、基本初等函数
1.幂函数
yx (是常)数
y
y x2
yx
1
y x (1,1)
o1
x
y 1 x
精选课件ppt
29
2.指数函数 yax (a0,a1) y e x
（1）子集； （ 2）集合相等； （3）空集；
精选课件ppt
2
（ 4）集合运算： 如A B {xx A 且 x B }
AB{xxA 或x者 B }
3、常用数的集合：
N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集
数集间的关系:
R----实数集
N Z ,Z Q ,Q R .
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第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
精选课件ppt
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性}质
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
第六版高等数学同济版教材
第六版高等数学同济版教材第一章函数与极限函数是数学中的一种基本概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在高等数学中，函数的概念被广泛应用于各个分支领域，如微积分、线性代数等。
本章将介绍函数的定义、性质以及与极限的关系。
1.1 函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合。
在数学中，常用符号表示函数，如f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质函数具有多个性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
奇偶性指函数关于原点的对称性，周期性指函数在一定区间内重复出现的性质，单调性指函数随自变量变化的方向性。
1.3 极限的概念极限是函数与自变量趋于某个值时的特殊性质。
在同济版教材中，极限的定义包括数列极限和函数极限。
数列极限是指数列中的数值随着序号的增加逐渐接近某个值，函数极限是指函数在某个点附近的取值逐渐趋近于某个值。
第二章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要分支，涵盖了函数的导数与微分以及相关应用。
本章将介绍导数的定义、运算法则以及一些典型函数的导数计算方法。
2.1 导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义包括了函数的极限和斜率的概念，可以通过极限计算得到。
2.2 导数的运算法则导数具有多个运算法则，如和差法则、乘法法则、链式法则等。
这些法则用于简化函数导数的计算步骤，提高计算效率。
2.3 典型函数的导数计算一些常见函数的导数计算方法被广泛应用于微分学中。
如幂函数、指数函数、对数函数等，它们的导数计算方法需要掌握并灵活运用。
第三章函数的应用函数的应用十分广泛，可以用于解决实际问题、描述自然现象以及进行科学建模等。
本章将介绍一些常见的函数应用领域，并探讨如何将数学理论与实际问题相结合。
3.1 函数建模函数建模是将实际问题转化为数学模型的过程，通过构建适当的函数关系，描述问题的规律和特征。
映射与函数
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
导数
分析 引论
微分
极限
空间解析几何
微积分 主体
函数 多元函数
专 常微分 题 方程
无穷 级数 多元函数 积分学
多元函数 微分学
偏导数 全微分
重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度…
应
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 定 积分 积分学 无穷 级数
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1） 映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
函 数
集合
定义
a A. ( 或 a A ) .
确定性、无序性、互异性 有限集、无限集 列举法、描述法
特性
分类 表示法 关系 运算 运算律
A B A B且 B A
A B A B
A\ B
AC
( A B)C AC B C
同济大学高等数学课件映射与函数
,
an
??
?a
i
?n i?1
自然数集 N ? ?0, 1 , 2 , ? , n,? ?? ?n ?
(2) 描述法：M ? ?x x 所具有的特征 ?
例: 整数集合 Z ? ?x x? N 或 ? x? N ? ?
有理数集
Q
?
???
p q
p? Z, q? N? ,
p 与 q 互质???
实数集合 R ? ?x x 为有理数或无理数 ?
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
y ? f (x), x? D
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形 :
C ? ?(x , y) y ? f (x) , x? D ?
? D ? f (D)
ax bx ( D ? [ a, b])
18
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? x? D f y? f (D) ? ?y y ? f (x), x? D ?
X (数集 或点集 ) f R
f 称为定义在 X 上的为函数
泛函 functional, 变换 transformation,函数 function
14
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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f ?1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y ? f (x), x? D D
元素 a 不属于集合 M , 记作 a ? M ( 或 a ? M ) .
注: M 为数集
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M ? 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
同济大学《高等数学》第六版：D11_习题课PPT共35页
同济大学《高等数学》第六版：D11_ 习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
同济高等数学第六版上册第一章ppt.
第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限∞第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(x f y =对0)1(x x →+→0)2(x x -→0)3(x x ∞→x )4(+∞→x )5(-∞→x )6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限x 0定理2 .若在0x 的某去心邻域内0)(≥x f )0)((≤x f , 且,)(lim 0A x f x x =→则.0≥A )0(≤A 证:用反证法.则由定理1,0x 的某去心邻域,使在该邻域内,0)(<x f 与已知所以假设不真, .0≥A (同样可证0)(≤x f 的情形)思考:若定理2 中的条件改为,0)(>x f 是否必有?0>A 不能!lim 2=→x x 存在如假设A < 0, 条件矛盾,故时,当0)(≥x fyX-xX直线y= A为曲线的水平渐近线.第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=±)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f ±证: 因,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有βα+=+=B x g A x f )(,)((其中βα,为无穷小)于是)()()()(βα+±+=±B A x g x f )()(βα±+±=B A 由定理1 可知βα±也是无穷小,再利用极限与无穷小BA ±=的关系定理, 知定理结论成立.定理3 .若推论:若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==且),()(x g x f ≥则.B A ≥( P46 定理5 ))()()(x g x f x -=ϕ利用保号性定理证明.说明:定理3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理4. 若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==则有=)]()(lim[x g x f )(lim )(lim x g x f 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论1 .)(lim )](lim[x f C x f C =( C 为常数)推论2 .nnx f x f ])(lim [)](lim[=( n 为正整数)例2.设n 次多项式,)(10nn n x a x a a x P +++= 试证).()(lim 00x P x P n n x x =→证:=→)(lim 0x P n x x 0a x a x x 0lim 1→+++ nx x n xa 0lim →)(0x P n =BA =。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
高等数学同济六版第十一章课件
2 0
1
B(1,1)
= 0.
在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到1 ,
A(1,0)
∫AB 2xydx + x dy = ∫0 (2y⋅ 0 +1)dy = 1.
2
1
∴原式= 0+ 1= 1. +
问题：被积函数相同，起点和终点也相同， 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同. 路径不同而积分结果相同
类似地
n
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A( x, y, z)dr
Γ
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
5.性质 性质
(1) ∫ [αF ( x, y) + β F2 ( x, y)]dr 1
L
= α∫ F ( x, y)dr + β ∫ F2 ( x, y)dr . 1
+
Q[ϕ ( t ),ψ ( t )]
β
ψ ′( t ) ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t )
} ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
= ∫ { P [ϕ ( t ),ψ ( t )]ϕ ′( t ) + Q [ϕ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}d t
α
即 ∫ Pdx + Qdy =∫ (P cosα + Qcos β )ds
2 2
0 π
B(−a,0)
A(a,0)
4 3 = a ∫ (1 − cos θ )d(cosθ ) = − a . 0 3
1
B(1,1)
= 0.
在 AB 上, x = 1, y 从 0 变到1 ,
A(1,0)
∫AB 2xydx + x dy = ∫0 (2y⋅ 0 +1)dy = 1.
2
1
∴原式= 0+ 1= 1. +
问题：被积函数相同，起点和终点也相同， 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同. 路径不同而积分结果相同
类似地
n
∫
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A( x, y, z)dr
Γ
A( x, y, z) = P( x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k
5.性质 性质
(1) ∫ [αF ( x, y) + β F2 ( x, y)]dr 1
L
= α∫ F ( x, y)dr + β ∫ F2 ( x, y)dr . 1
+
Q[ϕ ( t ),ψ ( t )]
β
ψ ′( t ) ϕ ′2 (t ) + ψ ′2 (t )
} ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
= ∫ { P [ϕ ( t ),ψ ( t )]ϕ ′( t ) + Q [ϕ ( t ),ψ ( t )]ψ ′( t )}d t
α
即 ∫ Pdx + Qdy =∫ (P cosα + Qcos β )ds
2 2
0 π
B(−a,0)
A(a,0)
4 3 = a ∫ (1 − cos θ )d(cosθ ) = − a . 0 3
同济大学《高等数学》第六版：D11_3格林公式共36页PPT
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
同济大学《高等数学》第六版：D11_3格 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 林公式
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
Байду номын сангаас
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
高数同济六版课件D11总复习
制定任务清单
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。
高等数学(同济第六版)课件第一章.绪论、第1节
◆
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
莱 布 尼 茨
莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微 积分文献，这篇文章有一个很长而且很古 怪的名字《一种求极大极小和切线的新方 法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分 法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积 分学的文献。他是历史上最伟大的符号学 者之一，他所创设的微积分符号，远远优 于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大 的影响。现在我们使用的微积分通用符号 就是当时莱布尼茨精心选用的.
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪 ，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心。
高等数学 以微积分为主要内容的学科
微积分的发展历程
微积分的创立 ——变量的数学
初等数学时代（17世纪前） —— 常量的数学
• 算术
• 初等几何 • 初等代数
初等数学时代 —— 算术
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例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的函数
三、函数
1. 函数的概念 定义5. 设数集 D 上的函数 , 记为
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当
当x> 0
当x= 0 当x< 0
例5. 设函数 解:
x 换为 f (x)
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
对映射 若
, 则称 f 为满射; 引例2, 3
若
有
则称 f 为单射; 引例2
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
值域
又如, 绝对值函数 定义域
值域
例4. 已知函数
写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 及 解: f (x) 的定义域 值域
2. 函数的几种特性 设函数
(1) 有界性 使 使
且有区间
称 称
为有界函数. 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .(见 P11 )
(2) 单调性 当 称 为有上界
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数
记
奇函数 双曲正弦
再如,
奇函数
记
双曲正切
说明: 给定
则
偶函数
奇函数
(4) 周期性
且
若
则称 为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 狄利克雷函数
x 为有理数 x 为无理数
3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
元素 a 不属于集合 M , 记作
(或
).
注: M 为数集
表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合
自然数集
(2) 描述法：
x 所具有的特征
例: 整数Байду номын сангаас合
或
有理数集
p 与 q 互质
实数集合 开区间 闭区间
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 .
集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集
称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域.
x 为有理数或无理数
半开区间 无限区间
点的 邻域
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 若
必有
则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作
例如,
,
,
显然有下列关系 :
称 称 为为有I下上界的
单调增函数 ; 若对任意正数称M , 均存为在I 上的
使
则称 f ( x ) 无界单.调减函数 .
(3) 奇偶性 且有
若 若
则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 在 x = 0 有定义 则当 为奇函数时, , 必有
例如,
偶函数
记
双曲余弦
又如,
设有函数链 ①
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 例如, 函数链 :
不可少. 可定义复合函数
当改
时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数,
但可定义复合函数
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
可定义复合函数: 约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域,
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集
或
交集
且
差集
且
余集
直积
特例:
记
为平面上的全体点集
二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
引例2.
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
4. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
可表为
故为初等函数.
因变量
称为值域 函数图形:
则称映射
为定义在
定义域
自变量
(定义域)
(对应规则) (值域)
• 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.
• 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法 例如, 反正弦主值
定义域
同济高等数学第六版 PPT课件D11映射与函数
2020年4月20日星期一
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作