无穷级数和微分方程

当 t = – 2 时, 级数为
此级数发散;
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
即 1 x 3 .
三、求函数的幂级数展开式
1、对函数作恒等变形（如果需要的话） 2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求 函数的幂级数 3、写出收敛范围(P34例1-37)
分离变量方程的解法: (1)分离变量 (2)两边积分
g ( y ) d y f ( x) d x
f ( x) d x
①
(3)得到通解
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
②
*例2. 求微分方程
的通解.
dy 解: 分离变量得 3x 2 d x y
两边积分 得 ln y x ln C
例1. 验证函数 是微分方程 解: 的解.
(C1 , C2为常数 )
k 2 ( C1 sin kt C2 cos kt )
x C1 cos k t C2 sin k t 是方程的解 .
二、解微分方程
1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性 2. 高阶微分方程 可降阶微分方程，二阶线性常系数齐次，二阶线 性常系数非齐次只要求写出特解形式。
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
例3. 判别级数
n 1
ln 1

1 n
2
的敛散性.
1 n
1 ln(1 2 ) n 解: lim 1 n 1 n2
根据比较审敛法的极限形式知
n 1
ln 1
*例1.判断级数的敛散性:
解:该级数是下列两级数之差
1 1 是q 的等比级数 , 收敛. 2n 2 n 1

1 1 3n 是q 3 的等比级数, 收敛. n 1

故原级数收敛.
3.正项级数审敛法
(比较审敛法)
且存在 则有 (1) 若强级数 (2) 若弱级数
设
对一切 有
是两个正项级数,
(2)求b3 .


(1) sin 3x d x

1
0
1

0
1 sin 3xdx
4 3
微分方程
一、微分方程的基本概念 二、解微分方程 三、微分方程应用
一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶 . 例如：
n

当0 p 1条件收敛; 当p 1绝对收敛.
sin n 例5. 证明下列级数绝对收敛 : n4 n 1

证:
sin n 1 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
一阶微分方程
(1 x 2 ) y 2x y 二阶微分方程
100 80 60 40 20 0 第一季度 第三季度 东部 西部 北部
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. 初始条件(或边值条件):
n

在 x 1 处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？ 解：由Abel定理 ，该幂级数在 x 3 处绝对收敛， 故在 x 1 绝对收敛。
例7. 已知 半径是多少 ?
处条件收敛 , 问该级数收敛
答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为
收敛 ,
2.求收敛半径
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点 f (x) , f (x ) f (x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
例13. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x
则有
a0 f ( x) ~ (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
①
②
定理 (收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
无穷级数
一、数项级数
讨论敛散性 二、幂级数 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。 三、傅立叶级数 求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。
一、判断数项级数敛散的方法
1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质 2、利用必要条件：主要判别发散 3、求部分和数列的极限
4、正项级数的审敛法
1）比值审敛法（根值审敛法） 2）比较审敛法（或极限形式） 5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理 6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝 对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛
(常数 k > 0 ),
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ; 也发散 .
例2 判别级数

n 1
1 的敛散性。 n(n 1)
1 1 1 n(n 1) (n 1) 2 n 1
(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 满足 lim
un l , 则有 n vn
2
n2 因此级数 n n 1 e

收敛.
4.交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)

n
lim un 0 ,
( q 称为公比 ).
当 q 1时 级数收敛 ,
级数发散 . P-级数
a 其和为 1 q
;
1 1 1 1 p p p 2 3 n
当p 1收敛， p 1发散。
2.无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 性质2. 设有两个收敛级数 收敛于 S , 即 S u n , 则各项

n
1 ln(1 12n 2 收敛n ) . 2
1
比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 . . 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 级数, 且
1 n! lim 1 n (n 1) !

0
例10. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
1 2 n 1 (n 1)
2 n 1 (n 1) 2 lim n 2n n
当 t = 2 时, 级数为
二、求幂级数收敛域
1.Abel定理 若幂级数
n 0
an x n
的一切 x 幂级数都绝对收敛. 时该幂级数发散 ,则对满足不等式
则对满足不等式 反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
收敛 发散
发
散
收
o
敛
发
散
x
*例6.已知幂级数
n 0
an x 在 x 3 处收敛，则该级数
3
因此可能增、 减解.
即
( C 为任意常数 )
一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得
s( x)是f ( x)的傅立叶级数的和函数
1
y
o
1
3 (1)求S (0), S ( ), S ( ), S ( )的值。 2 2


x
3 解: (1) 当x k , S ( x) f ( x), S ( ) 1, S ( ) 1 2 2 1 (1) 当x k , S ( x) 0, S (0) S ( ) 0 2
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim n an 1
所以收敛域为 ( , ) . an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) ! 所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
1 1 x 2 x3 x n (1,1) 1 x 2 n x x x 1 x (,)
e
x3 x5 x 2 n 1 x (1) 2 n 1 sin x 3! 5! (2n 1)!
2!
n!
n 1
也收敛 , 其和为 c S .
S

n 1
un ,


n 1
vn

则级数
n 1
( u n vn )
也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)