角的比较与运算2
4.3.2角的比较与运算(2)
2．例1：如屯初级中学课堂导学案（续）
3．例2：把一个周角6等分，每一份是多少度的角？
那么把一个周角7等分，每一份的角度是多少？
4．例3：如图，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
求∠DOE
三、当堂检测：
1．P140练习第2、3题．
2．计算：122°48′÷3
四、拓展提高：
在上面的例3中，如果去掉“∠AOC＝50°”这个条件，还能不能求出∠DOE呢？
五、学习小结：
总结反思
年级：七周次：课时：北屯初级中学数学课堂导学案上课时间：年月日星期：
课题：4．3．2角的比较与运算（2）设计人：张娜备课组长：
学习目标：1．会进行度、分、秒的互化及角度的简单运算．
2．会进行角度的“加、减、乘、除”运算．
学习重点：度、分、秒的互化及角度的计算．
学习难点：角度的“除法”运算．
一、自主学习：
1．任意画两个角（一个小于90°，一个大于90°）
先估计这两个角的度数，然后再用角器量出这两个角的度数，试试你的判断能力．
2．什么是1°的角？什么是1′的角？什么是1″的角？还记得吗？
如果不记得了，没关系，先看看书再完成下面的问题．
（1）35°15′与35.15°相等吗？为什么？
与35°15′相等吗？为什么？
（2） 平角＝________度， 周角＝_______度．
（3）3.32°＝______度_______分_______秒．12°9′36″＝_______度．
（完成上面的问题如果有困难，不妨与同学交流）
二、合作探究
1．计算：（1）46°55′＋23°35′（2）46°55′－23°35′
6.3.2.2角的运算课件-人教版(2024)数学七年级上册
获取新知
探究点1 角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，
C B
把这个角分成两个相等的角的射
线，叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言：
因为∠AOB=∠BOC= 1∠AOC， 2
或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，
所以射线OB是∠AOC的平分线.
反之也成立：
因为射线OB是∠AOC的平分线.
2
2
O
A
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°. 因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
解：分以下两种情况：
如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
B D
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
C
因为∠AOB=40°， 所以2x+3x=40°，得x=8°，
O
A
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
5.如图，点O在直线AB上．（1）若∠BOC：∠AOC=1：3，求∠BOC的度数； （2）若OD平分∠BOC，∠DOE=90°，OE平分∠AOC吗？为什么？
解：(1)因为∠BOC+∠AOC=180°， ∠BOC：∠AOC=1：3， 所以∠BOC+3∠BOC=180°， 所以∠BOC=45°．
角的比较和运算 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.
角的比较与运算
2、证明中的书写：
OC 为 AOB 的角平分线
1 1 2 AOB 2 （或 AOB 21 22 ）
3 练习（1）射线 OC 在 AOB 的内部，下列四个式子中，不能 判断 OC 是 AOB 平分线的是（ ） A AOB 2AOC B AOC BOC C AOC BOC AOB
1 D AOC AOB 2
D C B O A
如图
∠AOB＝∠BOC＝∠COD，
则OB 是
AOC 的平分线， 1 BOC ＝ 2 ∠AOC， 1 BOC ＝ 2 ∠BOD 1 AOD ∠BOC ＝ 3 BOD ＝ 2 ` 3 AOD
此时OB、OC叫∠ AOD的三等分线
A E
AD是 BAD
BAC的平分线 = CAD
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C 解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB ∴∠EOC=1／2∠AOC, F ∠COF=1／2∠COB（角平分线的意义）
E
A
O
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180° B （平角的意义）
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
A D
B
C
E
F
2、叠合法比较
A
D
B
DE边在∠ABC的外部,则
C
E
F
∠ABC<∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
DE与AB边重合,则
C
E
F
∠ABC=∠DEF
2、叠合法比较
A D
B
C
E
F
DE边在∠ABC的内部,则
∠ABC>∠DEF
角的比较和运算
方法二:测量法
小学我们学过用量角器测量一个角， 角的大小也可以按其度数比较,度数大的 角则大，度数小的则小．反之，角大度 数大，角小度数小． 注意：使用量角器应注意的问题．即三点： 对中；重合；读数．
如: A 45, P 60 P A
.
.
；https:// 新视觉
①EF与BC重合，∠DEF等于∠ABC，记作 ∠DEF=∠ABC． ②EF落在∠ABC的内部，∠DEF小于 ∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC． ③EF落在∠ABC的外部，∠DEF大于 ∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC
注意：角的大小只与开口大小有关，与边的长短 无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的 区别．
方法一：叠合法
把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重
合，其中的一边也重合，并使两个角的另一
边都在这一条边的同侧
Q
此时：AB边落在QPO 的内部,
B
表明: BAC 小于 QPO
记作: BAC QPO 或 QPO BAC
AP
OC
问:若AB边与PQ边重合表明什么?记作什么? 问:若AB边落在PQ边的外部又表明,记作什么?
角的比较与运算2-时钟问题
解决时钟问题需要理解时钟的基 本工作原理，以及角度的概念和
计算方法。
背景知识
时钟的基本工作原理
时钟的时针、分针和秒针通过 不同的转速和移动方式，来表
示时间。
角度的概念
角度是描述两条射线或线段之 间夹角的大小的度量，通常用 度数或弧度来表示。
角度的计算方法
角度可以通过三角函数、勾股 定理等数学工具进行计算。
时钟问题的常见类型
包括给定时间计算角度、给定角 度计算时间、以及通过时针、分
针和秒针的位置确定时间等。
02
时钟问题的基本概念
时钟的构造与工作原理
时钟主要由时针、分针和秒针组成，用于表示时间。 时钟的工作原理基于地球的自转，一天为24小时，一小时为60分钟，一分钟为60秒。
时针、分针和秒针按照各自的速度围绕钟面旋转，以表示时间。
弧度制
以半径长度为单位的角， 角度等于弧长除以半径。
度分秒制
将1度分为60分，每分为 60秒，用度、分、秒表示 角度大小。
角的比较方法
直接比较
利用三角形比较
通过观察或使用量角器测量，比较两 个角的大小。
通过构建三角形，利用三角形的基本 性质比较角的大小。
利用三角函数比较
利用三角函数关系，通过计算比较两 个角的大小。
判断夹角关系
根据计算出的夹角，判断时针和 分针的夹角关系，如锐角、直角、 钝角等。
时钟问题的思考与拓展
01
时钟问题与现实生活
时钟问题与现实生活密切相关，通过解决时钟问题，可以加深对时间概
念的理解，提高对时间的规划和管理能力。
02 03
时钟问题的变种
除了基本的时钟问题，还有许多变种问题，如涉及秒针的时钟问题、多 个时钟的时间比较等。这些变种问题可以进一步拓展思维，提高解决问 题的能力。
2024-2025学年数学人教版七年级上册 第六章 第10课时 角的比较与运算(2)
所以∠BOE＝∠DOE＝75°，∠BOD＝
2∠DOE＝150°.
因为∠AOB＋∠BOD＝180°，
所以∠AOB＝180°－∠BOD＝30°.
第3题图
因为 OC 平分∠AOB，所以∠BOC＝12 ∠AOB＝15°.
所以∠COE＝∠BOE＋∠BOC＝75°＋15°＝90°.
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与角的平分线有关的运算
例2 如图，∠AOB＝168°，OC平分∠AOB.求∠AOC，∠BOC的
度数． 解：因为OC平分∠AOB，∠AOB＝168°， 所以∠AOC＝∠BOC＝12 ∠AOB＝21 ×
168°＝84°.
例2题图
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第10课时 角的比较与运算(2)
第1题图
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第10课时 角的比较与运算(2)
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2.如图，BD平分∠ABC，∠ABE∶∠CBE＝2∶3，∠ABC＝100°， 求∠DBE的度数．
解:因为BD平分∠ABC，∠ABE∶∠CBE＝2∶3，
∠ABC＝100°，
所以∠ABD＝12 ∠ABC＝50°，∠ABE＝
第5题图
所以∠DOE＝180°－∠COD＝180°－60°＝120°.
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第10课时 角的比较与运算(2)
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(2)试猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
解:(2)∠DOE＝2∠AOC.理由如下：
因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC＝90°－∠AOC. 因为OB平分∠COD， 所 以 ∠COD ＝ 2∠BOC ＝ 2×(90° － ∠AOC)＝180°－2∠AOC. 因为∠COD＋∠DOE＝180°，
人教版数学七上4.3.2角的比较与运算(教案)
4.增加实践活动环节，让学生在实际操作中加深对角的比较与运算的理解。
5.课后关注学生的掌握情况，及时解答他们的问题，帮助他们巩固知识点。
在接下来的教学中，我将根据今天的反思，调整教学方法，以期提高学生们的学习效果。
此外，我在课堂总结时强调了角的比较与运算的重要性，希望学生们能够将这些知识点内化为自己的能力，并在解决实际பைடு நூலகம்题时能够灵活运用。但从学生的提问来看，他们对这部分知识点的掌握还不够扎实，需要在课后进行进一步巩固。
1.加强度、分、秒之间换算的讲解和练习，让学生熟练掌握换算方法。
2.课堂教学中，多结合生活实例，让学生感受数学知识在实际中的应用。
举例：
-难点突破：通过使用图形和实际例子，帮助学生理解角度换算的实际意义。
-比较技巧：教授学生使用直尺或量角器辅助比较两个角的大小，以及通过角的度数直接比较。
-补角理解：通过具体图形，展示补角的概念，并用具体数字进行讲解，如180度减去一个角的度数得到其补角。
-运算应用：设计实际应用题，如“一个角度为75度，求其补角；两个角的度数分别为50度和60度，求它们的和与差”，指导学生如何运用所学知识解题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念和度量单位。角是由两条射线的公共端点（顶点）所围成的图形部分。角的度量单位有度、分、秒，它们之间的换算是60进制。掌握这些概念对于进行角的比较和运算至关重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过比较两个角的度数，我们可以判断它们的大小，并且在一些实际问题中，如分割图形或计算角度总和，我们需要进行角的运算。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的度量和运算这两个重点。对于难点部分，如角度的换算，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。
4.3.2 角的比较与运算
4.3.2角的比较与运算1．角的大小比较方法：(1)度量法；(2)叠合法．2.角的和、差两角的和：如图4-3-7所示，∠AOC是∠AOB与∠BOC的____，记作∠AOC＝∠AOB ＋∠BOC.图4-3-7两角的差：∠AOB是∠AOC与∠BOC的____，记作∠AOB＝∠AOC－∠BOC.3．角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个__相等__的角的射线，叫做这个角的平分线．类型之一角的大小过点O引三条射线OA，OB，OC，使∠AOC＝2∠AOB，若∠AOB＝31°，求∠BOC 的度数．类型之二角的计算计算：(1)103.3°＋176°42′－98.34°；(2)24°22′36″×3；(3)147°45′÷5.类型之三 角的平分线[2016秋·黄冈期末]如图4-3-8，已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数．图4-3-81．∠ABC 与∠MNP 相比较，若顶点B 与N 重合，且BC 与MN 重合，BA 在∠MNP 的内部，则它们的大小关系是( )A ．∠ABC >∠MNPB ．∠ABC ＝∠MNP C ．∠ABC <∠MNPD ．不能确定 2．[2015·岱岳区期中]已知OC 是∠AOB 的平分线，下列结论不正确的是( )A ．∠AOB ＝12∠BOC B ．∠AOC ＝12∠AOBC ．∠AOC ＝∠BOCD ．∠AOB ＝2∠AOC3．如图4-3-9，点O 在直线AB 上，且∠COD ＝90°，若∠COA ＝36°，则∠DOB 的大小为( )图4-3-9A ．36°B ．54°C ．64°D ．72° 4．22°20′×8等于( ) A ．178°20′ B ．178°40′ C ．176°16′ D ．178°30′5．计算：(1)180°－46°42′＝____；(2)28°36′＋72°24′＝____；(3)50°24′×3＝____；(4)49°28′52″÷4＝____．1．已知OC平分∠AOB，∠AOB＝64°，则∠AOC的度数是()A．64°B．32°C．128°D．不能确定2．[2015·济南]如图4-3-10，∠AOB＝90°，若∠1＝35°，则∠2的度数是()图4-3-10A．35°B．45°C．55°D．70°3．如图4-3-11，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝120°，则∠BOC的度数为()图4-3-11A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图4-3-12，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3＝____．图4-3-125．[2016·东平期中]如图4-3-13，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°，∠BOC＝20°，则∠COD 的度数为____．图4-3-136．如图4-3-14，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD＝100°，则∠AOE ＝____．图4-3-147．计算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″；(3)18°13′×5; (4)178°53′÷5(精确到1′)．8．[2016·阳谷期中]如图4-3-15，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC ＝2∠AOC，∠AOB＝114°.求∠COD的度数．图4-3-159．(1)如图4-3-16所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)若第(1)题中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．(3)若第(1)题中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．(4)从以上结果中你能看出什么规律？图4-3-16。
4.6.1-2角的有关概念与比较、运算
D
一、角的有关概念：
5、实战巩固：
3.如图， (1)用三个大写字母表示角: ∠1为 ∠3为 ∠ 2为 ∠ 4为 ;
1 2
A E
4
32)可以用一个大写字母表示的角是______
二、角的度量、互化与分类：
当旋转到角的终边和始边成一直线时， A B O 平角 所形成的角叫平角，当旋转到角的终边和 A(B) O 始边再次重合时，所形成的角叫周角。 周角 把平角平均分成180等份，每一份的角就叫1度的角。
注：小化大除以60，大化小乘以60。
三、方位角：
问题：点P在点O的 什么方向?
A B
35o
30o
P
o 40 做法：先在O点画“坐标”，
O 再画射线OP(视线)，则射线OP 与方向线夹角就是所求方位角。 C 【例题】看图填空： 北偏东35o 方向的一条射线； (1) OA是表示————————
北偏西50o ； (2) 射线OB的方向是———————— 西偏南45o 方向上； (3) 点C在点O的———————— 南偏东60o 方向上。 (4) 点D在点O的————————
如图，若OC平分∠AOB，则： 1 （1）∠AOC=∠BOC= ∠AOB 2 （2）∠AOB=2∠AOC=2∠BOC O
A C B
七、角平分线：
【练一练】
1.如上图，BD是∠ABC的平分线,那么: (1)∠ABD=∠_____ CBD (2)∠____=2∠DBC ABC (3)∠ABD= 1 ∠——— ABC
B
A(B)
一、角的有关概念：
4、角的表示法：
A
①用顶点和角的两边上各任取一点的三个 O B 大写字母来表示(顶点字母必须写在中间)； 右图的角可表示为：∠AOB(读作：角AOB)或∠BOA ②当角的顶点处只有一个角时，可用顶点字母表示； 右图的角还可表示为：∠O（读作：角O） ③还可在角的顶点处画弧线，弧线要从角的一边画到 另一边，再在弧线附近标上一个阿拉伯数字或者一个希腊 字母，然后用阿拉伯数字或希腊字母来表示。 下图的角可表示为：∠1、 、
《4.3.2角的比较与运算》教学设计2
4.3.2角的比较与运算第1课时角的比较教学目标：会比较角的大小,能估计一个角的大小.在操作活动中认识角的平分线教学重点：角的比较与角的平分线的概念.教学难点：角的和差及其画法.教学过程：教学过程设计意图一、复习旧知,导入新课教师提出问题：1.角的表示方法有几种？2.怎样比较两条线段的大小？学生思考后回答.通过对线段大小的比较的类比,探究角的大小的比较方法,巩固旧知识,引入新知识.二、师生互动,探究新知（一）角的大小比较如图已知∠ABC和∠DEF.请大家讨论一下,用什么方法可以比较这两个角的大小？1.分组讨论两角大小的比较方法.在学生讨论过程中,教师深入学生中间巡视、观察并听取他们解决问题的方法和建议.可适当组织交流或分组汇报,师生共同归纳角的比较方法：（1）度量方法：用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小.通过出示两张角的纸片,提出问题,激发学生的求知欲,引导学生主动探索解决问题的方法,自然而然地引入本节课新内容的探究.（2）叠合方法：把两个角的一条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来比较大小.2.观察图形,图中共有几个角？它们之间有什么关系？师生共同讨论后得出结论.3.问题：用一副三角尺,你能画出哪些度数的角？让学生动手做一做,试一试,然后师生共同归纳看一看都可以得到哪几个角.（二）角的平分线在一张纸上画出一个角并剪下,将这个角对折,使其两边重合.想想看,折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？让学生多想一想,做一做,通过观察和思考,然后师生共同归纳结论.引出角的平分线的定义及其几何表达式,类似的还有角的三等分线、四等分线等.想一想,还有什么方法可画出一个角的平分线呢？师生共同归纳：角的平分线的画法（三）角的平分线的几何表示如图,OC是∠AOB的平分线,根据图形填空.∠AOB＝________∠AOC＝________∠COB.∠AOC＝∠COB＝________∠AOB.三、运用新知,解决问题进一步巩固所学教师投影出示：（1）用量角器按以下方法画图：①用量角器画一个36°的角,记作∠AOB；②在∠AOB的两边上分别取OC＝OD＝3cm；③连接CD；④画出∠OCD的平分线,交OD于E,量出图中∠OCD,∠ODC的度数以及OE,CE,CD的长度,想一想,这两个角什么关系？这三条线段有什么关系？（2）如图.OC是∠AOB的平分线,∠AOB＝60°,根据图形完成以下各题.∠AOC＝________°,∠COB＝________°.练习：教材第136页练习第1题.知识,培养学生的几何语言能力,并能根据语言作出相应的图形.四、课堂小结,提炼观点1.谈谈你对角的大小的比较方法的认识.2.谈谈你对角平分线的认识.五、布置作业,巩固提升习题4.3第4,6,15题.【板书设计】角的比较一、角的比较方法1.度量法2.叠合法二、认识角的平分线三、角的平分线的几何表示【教学反思】本节课采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法,以问题的提出与解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题.倡导学生主动参与教学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题,在引导分析时,给学生留出足够的思考时间和空间,让学生去联想、探索,从真正意义上完成对知识的自我建构.另外,在教学过程中,采用多媒体辅助教学,直观呈现教学素材,从而更好地激发学生的学习兴趣,增大教学量,提高教学效率.第2课时角的运算教学目标：会进行度、分、秒间的单位互化及角的和、差、倍、分计算.教学重点、难点：重点：角的度分秒之间的换算与计算.难点：借助几何图形进行角的计算.教学过程：三、运用新知,解决问题练习：教材第136页练习第2,3题.补充例题（教师投影展示）：1.如果一个角是另一个角的3倍,且这两个角的和是90°,求这两个角的度数.2.如图,O是直线AB上一点,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,求∠DOE的度数.教师应当关注两个方面,一是问题的分析,二是解答过程的叙述,不必强求过程叙述的完美,但至少要让学生叙述清楚.通过对练习的解决以及对本节知识的补充,使学生掌握角的有关计算,进一步加深对角的平分线的理解,渗透数形结合的数学思想.四、课堂小结,提炼观点谈谈本节课你的收获.五、布置作业,巩固提升习题4.3第3,5,10,11题.【板书设计】角的运算1.比较角的大小2.角的运算。
6.3.2 角的比较与运算+角平分线+导学案2025学年+人教版(2024)七年级数学上册+
6.3 角6.3.2 角的比较与运算第2课时角平分线一.学习目标1.在操作活动中认识角的平分线,能画出一个角的平分线.2.能利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.二.自主预习我们知道，可以通过折纸的方法将一条线段分成两条相等的线段，那么你能用折纸的方法将一个角分成两个相等的角吗？三.探究新知探究点角平分线1.动手做一做:如图所示,在纸上画∠AOB,然后将其剪下来,将其沿经过顶点的线对折,使边OA与OB重合.将角展开,折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义,填空:∠AOC=∠COB;∠AOB= ∠AOC.【小结】一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.应用格式:因为OC是∠AOB的平分线,∠AOB,∠AOB=2∠BOC=2∠AOC.所以∠AOC=∠BOC=12类似地，还有角的三等分线，四等分线等.练习：在一张半透明的纸上通过折线作出角的平分线.例1.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°,那么∠BOC是多少度?(2)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD是多少度?(3)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB是多少度?例2.把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？练习：如图所示，∠BOA=90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，求∠BOD的大小.四.运用新知1.如图所示,OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°,则∠AOB等于( )A.50°B.75°C.100°D.120°第1题图第2题图2.如图所示，已知点O在直线AB上，∠BOD =115°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠COE的度数为．3.如图所示，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．五.达标测试1.如图所示，在下面的四个等式中，能够表示“OC 是∠AOB 的平分线”的有（ ）①∠AOC ＝∠BOC ；②∠AOC 12∠AOB ；③∠AOB ＝2∠BOC ；④∠AOC+∠BOC ＝∠AOB ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第1题图 第2题图 第3题图 第5题图2.如图所示,点O 在直线AB 上,射线OC 平分∠DOB.若∠COB=35°,则∠AOD 等于( )A.35° B .70° C.110° D.145°3.如图所示，OB 平分∠AOD ，OC 平分∠BOD ，则∠AOD 与∠BOC 的关系是 .4.计算:(1)27°12′52″×3; (2)165°34′42″÷6.5.如图所示，OC 是∠AOB 的平分线，∠AOD ＝2∠BOD ，∠COD ＝18°.求∠BOD 的度数．ODAB C参考答案达标检测1.C2.C3.∠AOD=4∠BOC4.解：(1)27°12′52″×3 =81°36′156″ =81°38′36″;(2)165°34′42″÷6=27°35′47″. 5.解：因为OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠BOC ＝12∠AOB.因为∠AOD ＝2∠BOD ，所以∠AOB ＝3∠BOD ，即∠BOD ＝13∠AOB ，所以∠COD ＝12∠AOB －13∠AOB ＝16∠AOB ，所以∠BOD ＝2∠COD.因为∠COD＝18°，所以∠BOD＝36°.。
4.3.2 角的比较与运算的教学设计
4.3.2 角的比较与运算1.叙述角的定义？答案：(1).静态：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；(2).动态：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
射线旋转时经过的平面部分叫角的内部。
2.比较线段长短，有哪些方法呢？3.如图，已知线段AB、CD,你有哪些办法比较它们的大小？4.将周角、锐角、直角、平角、钝角按从大到小排列。
答：周角>平角>钝角>直角>锐角类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？1.把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点重合；2.零度刻度线和角的一条边重合；3.角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
2. 叠合法想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )问题2：思考：图中共有几个角？它们之间有什么关系？答：有三个角，关系是：∠BOC是∠AOC与∠AOB的差，记作∠BOC＝∠AOC－∠AOB.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠BOC，动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC___=__∠COB;∠AOB=_2__∠AOC概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫这个角的平分线我们把射线OC叫做∠AOB的角平分线∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.例1.如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53º17′，求∠BOC的度数.解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC,∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180º－53º17′＝126º43′.变式训练如图，已知∠AOB＝80°，∠AOC＝15°，OD是∠AOB的平分线，求∠DOC的度数.解：因为∠AOB＝80°，OD是∠AOB的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝40°.因为∠AOC＝15°，所以∠DOC＝∠AOD－∠AOC＝40°－15°＝25°.例2.把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)?解：360º÷7＝51º+3º÷7＝51º+180′÷7≈51º26′.答：每份是51º26′.变式训练如图，∠BOC－∠AOB＝20°，∠BOC∶∠COD∶∠DOA＝4∶5∶6，求∠AOB的度数.解：设∠BOC＝4x°，则∠COD＝5x°，∠DOA＝6x°，∠AOB＝360°－(4x°＋5x°＋6x°)，因为∠BOC－∠AOB＝20°，所以4x°－[360°－(4x°＋5x°＋6x°)]＝20°，解得x＝20，所以∠AOB＝60°.方法总结：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.要点1角的比较1.填空：(1)∠AOC＝∠AOB＋∠_______；(2)∠BOD＝∠COD＋∠_______；(3)∠AOC＝∠AOD－∠_______；(4)∠BOC＝∠______－∠______－∠_____；(5)∠BOC＝∠AOC＋∠BOD－∠_______．答案：BOC；BOC；COD；AOD；AOB；COD；AOD2.已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝______度．答案：153.如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列结论不成立的是()A.∠AOC＝∠BODB.∠COD＝12∠AOB C.∠AOC＝12∠AOD D.∠BOC＝2∠BOD答案：B4.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．解：(1)∠AOE ＝12∠COE ＝35°， ∠DOE ＝180°－∠COE ＝180°－70°＝110°，∠BOD ＝180°－∠AOE －∠DOE ＝180°－35°－110°＝35°(2)∠COE ＝180°×25＝72°，∠DOE ＝180°×35＝108°， ∠BOD ＝180°-∠AOE -∠DOE ＝180°－12×72°－108°＝36° 5. 下列说法错误的是( )A. 角的大小与角的边的长短没有关系B. 角的大小与它们的度数大小是一致的C. 用叠合法比较两个角的大小，只要把两个角的顶点和任意一边重合即可D. 用度量法比较两个角的大小，只要把两个角的度数量出，比较度数的大小即可 答案：C6. 如图所示，已知O 是直线AB 上一点，∠1＝40°，OD 平分∠BOC ，则∠2的度数是( )答案：D7. 如图所示，若∠AOB ＝∠COD ，那么( )A. ∠1>∠2B. ∠1<∠2C. ∠1＝∠2D. ∠1，∠2大小不定答案：C8. 如图所示，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，且∠DOE ＝90°，试说明：A ，O ，B 三点在同一条直线上.解：由OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠AOB ＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠2＋2∠3＝2(∠2＋∠3)＝2∠DOE ＝2×90°＝180°， 所以A ，O ，B 在同一条直线上.9. 如图，∠BOC －∠AOB ＝20°，∠BOC ∶∠COD ∶∠DOA ＝4∶5∶6，求∠AOB 的度数.解：设∠BOC＝4x°，则∠COD＝5x°，∠DOA＝6x°，∠AOB＝360°－(4x°＋5x°＋6x°)，因为∠BOC－∠AOB＝20°，所以4x°－[360°－(4x°＋5x°＋6x°)]＝20°，解得x＝20，所以∠AOB＝60°.教材练习题1—3题。
角的比较与运算(第2课时)
4.3.2角的比较与运算（第2课时）一、教学目标1.知道角平分线的意义，会画一个角的平分线.2.会结合图形进行角度的运算.二、教学重点和难点1.重点：角平分线的意义，角度的运算.2.难点：结合图形进行角度的运算.三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课 （师出示右图）师：（指图）∠AOC 是一个角，（边讲边用彩笔画）射线OB 把∠AOC 分成了两个角，是哪两个角？生：∠AOB 与∠BOC.（师在角上加弧）师：（指准图）如果∠AOB ＝∠BOC 的话（板书：∠AOB ＝∠BOC ），我们就说射线OB 是∠AOC 的角平分线（板书：射线OB 是∠AOC 的平分线）师：由这个例子，哪位同学来说说什么是角平分线？生：……（多让几位同学说）师：（指准图）把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.（二）试探练习，回授调节1.如图，射线AC 是∠BAD 的平分线，∠BAC ＝25°， 则∠CAD ＝ °，∠BAD ＝ °2.如图，射线OB 是∠AOC 的平分线，∠AOC ＝120°，则∠AOB ＝ °，∠BOC ＝ ° 3.如图，射线OC 是∠AOB 的平分线，则：(1)∠AOB=2∠ ＝2∠ ；(2)∠AOC=∠ ＝∠ .（第2题图） （第3题图）4.如图，射线OP 是∠AOB 的平分线，则： (1)∠AOB ＝ °；(2)∠AOP ＝ °.5.用量角器画出下面各角的平分线OP.12P A O B C O A CDB A O B AC A O B C6.思考题：如图，射线OB 是∠AOC 的平分线， ∠AOC ＝60°，∠AOD ＝80°，则 (1)∠BOC ＝ °；(2)∠COD ＝ °； (3)∠BOD ＝ °. （三）尝试指导，讲授新课 例1 计算：(1)37°28′＋44°49′； (2)25°36′×4； （先让生尝试，师再讲解）例2 如图，O 是直线AB 上一点， ∠AOC ＝53°17′，求∠BOC 的度数.师：请大家对照这个图，仔细地把题目读几遍，弄清楚这道题目已知是什么，要求的是什么.（生读题）师：（指准图）O 是直线AB 上一点，可见∠AOB 是平角，∠AOB ＝180°.师：（指准图）∠AOC ＝53°17′（在图中标上53°17′），求∠BOC 的度数（在图中标上问号）.怎么求∠BOC 的度数？生：……师：（指准图）∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ，∠AOB ＝180°，∠AOC ＝53°17′，所以可以求出∠BOC 的度数.（以下师边讲边按下面样子板书）解：∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝180°－53°17′＝179°60′－53°17′＝126°43′.（四）试探练习，回授调节7.计算：(1)27°48′＋53°34′＝ABC D O A B C O O BA O B(2)90°－78°19′＝(3)40°24′×3＝8.填空：如图，∠AOB ＝135°，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝ ° ′.9.填空：如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠COD ＝31°28′，则∠AOC ＝ °，∠AOD ＝ ° ′.（第8题图） （第9题图）（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了一个角的平分线的概念，还学习了角度的运算.什么是一个角的平分线？生：……（作业：P 143习题3.5.选做题P 144习题10.）A B C D A O C B。
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4.3.2角的比较和运算⑵
学习目标
1．掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算 2．学会用方程解决几何问题
学习重点：利用角之间的和差关系进行简单的计算 学习难点：利用角之间的和差关系进行简单的计算
一、 探 究 新 知 （一）、度分秒的互化 1、⑴ 57.32︒= 度 分 秒， ⑵ 17°6′36″= 度。
⑶ 14°25′12″= 度。
⑷ 28°39′+ 61°35′=___________ ； ⑸ 54°23′- 36°31′=____________ ⑹ 33223⨯'︒=___________ 2、把一个周角7等分，每一份是多少度的角？（精确到分）
（二）、角之间的和差关系 3、如图⑴,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠BOC(填>,=,<);
O
C
(1)
A
B O D
C
(2)
A
B
4、如上图⑵,∠AOC=______+______=______-______; ∠BOC=______-_____= _____-_______.
5、如上图⑵，如果∠AOB=∠COD ，那么图中相等的两角是:∠_______=∠________. （三）、角平分线 5、如图：OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线，那么下列各式中正确的是：( )
AOB
BOC AOB
BOD AOB
AOD AOC COD ∠=∠∠=∠∠=∠∠=
∠23
D 31
C 3
2
B 21
A ．．．．
6、如图，OC 是平角∠AOB 的角平分线，∠COD=32°， 求∠AOD 的度数。
D
C
O B
A
二、范例分析、
1、如图，OB 是∠AOC 的平分线，，OD 是∠COE 的平分线， （1） 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
（2） 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？ （3） 如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
O
E
D
C
B
A
2、如图,BD 平分∠ABC,BE 分∠ABC 分2:5两部分, ∠ABC=140°,求∠DBE 的度数.
D C
A
E
三、学后反思
1．你 学 会 的 ( 知 识 、方 法)有：
2．注 意 点 有
四、自我检测
1、如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.
O C
A B
2、如图，∠BAD=_______+________；∠C AE=_______+________
如果∠BAD=∠COE ，那么图中有相等的两角是:∠_______=∠
________.
3、已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC 的度数是_______
4、如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°,求∠AOC 的度数？
O
C A
E D
B
5、如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD 的度数
O
D
C
B A。