《推荐》备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题15导数法妙解不等式问题Word版含解析
导数专题书目录
导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。
高考数学复习讲义：破解导数问题常用到的4种方法
(－∞，－a－1)，(a，＋∞)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，极大
值为 f(a)＝1.当 a<0 时，f(x)的递增区间是(－∞，a)，(－a－1，
＋∞)，递减区间是(a，－a－1)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，
极大值为 f(a)＝1.
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[题后悟通] 求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首 项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为 零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先 证系数零正负”．
函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不
等式f(x)g(x)>0的解集是
()
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
返回
[解析] 利用构造条件中“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”与待 解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，可构造函数 F(x)＝f(x)g(x)，由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x) 在(－∞，0)上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上 的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增，而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－F(3)，结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的 解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
由
f′(x)＝0⇒x1＝－a－3
a2－3，x2＝－a＋3
a2－3 .
x (－∞，x1) (x1，x2) (x2，＋∞)
如何快速解决高考数学中的导数问题
如何快速解决高考数学中的导数问题作为高中数学的一个难点，导数问题是很多考生头疼不已的题目。
但是，掌握了一些解题技巧与方法，我们可以轻松应对导数问题，提高解题的效率。
在这篇文章中，我们将分享一些如何快速解决高考数学中的导数问题的技巧与方法。
一、掌握基本概念在解决导数问题之前，我们首先要掌握基本概念。
在高中数学中，导数是一个数学分支，是描述函数怎样随自变量的变化而变化的一种工具。
在学习导数时，我们需要掌握导数的定义、性质、公式与几何意义等基本概念。
在解决导数问题时，我们需要掌握导数的求解步骤，例如利用导数的基本公式求导、利用链式法则、反函数求导、隐函数求导等方法求导等等。
二、做好基础练习在掌握了基本概念之后，我们要进行基础练习。
在做基础练习的时候，可以从简单到复杂、从易到难的顺序逐步练习。
在做基础练习时，我们需要注意题目的解题方法与技巧，例如如何根据导数的基本公式求导、如何利用链式法则求导等等。
此外，在做练习的过程中，我们还要注意细节，尤其是符号的使用、计算的准确性等。
三、掌握常见题型在做基础练习的过程中，我们可以逐步掌握常见题型。
在高考数学中，导数问题的题型非常多，例如求函数在某点的导数值、求函数在某点的切线方程、求函数的最值等等。
在掌握常见题型的过程中，我们需要注意题目的特点与难点，例如如何根据题目条件求解问题等等。
四、多练习真题多练习真题是巩固知识的重要方法。
在做高考数学真题时，我们可以有针对性地练习导数问题。
在做真题的过程中，我们需要注意不同年份、不同省份的高考数学试卷的出题特点，例如不同年份、不同省份对导数问题的出题难度、范围等等。
在做真题时，我们还可以掌握解题的技巧与方法，例如如何运用公式、如何化简计算等等。
五、学会总结经验学会总结经验也是提高解题效率的重要方法。
在做练习与真题的过程中，我们可以总结解题方法、经验与技巧，并归纳整理成笔记。
在总结经验时，我们要注重理解与应用，将概念、公式、方法等整理出来，形成系统化的知识框架，以便复习时更加方便、快捷。
高考数学导数解题技巧及方法
高考数学导数解题技巧及方法数学是许多人难以攻克的短板，你的数学学得如何？千万不要焦虑，下面就是小编给大家带来的，希望大家喜欢！1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。
2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。
3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。
5.涌现了一些函数新题型。
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。
7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。
8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。
1.单调性问题研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。
由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。
2.极值问题求函数 y=f(x)的极值时，要特别注意 f'(x0)=0 只是函数在 x=x0 有极值的必要条件，只有当 f'(x0)=0 且在_0 时，f'(x0)异号，才是函数 y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在 x=x0 处没有导数时，在 x=x0 处也可能有极值，例如函数 f(x)= |x|在 x=0 时没有导数，但是，在 x=0 处，函数 f(x)= |x| 有极小值。
还要注意的是，函数在 x=x0 有极值，必须是 x=x0 是方程 f'(x)=0 的根，但不是二重根(或 2k 重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由 f'(x)=0 所求的驻点是否在函数的定义域内。
3.切线问题曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。
备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽-专题14-导数法妙解极值、最值问题-Word版含解析
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第14讲 导数法妙解极值、最值问题考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大（小）值。
（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D ,再求导，再解方程1()0f x =（注意和D 求交集），最后列表确定极值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x >0，右侧1()f x <0，那么)(0x f 是极大值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x <0，右侧1()f x >0，那么)(0x f 是极小值。
（3）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）一般地，连续函数()f x 在点0x 处有极值 是'0()f x =0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值（1）设)(x f y =是定义在闭区间[],a b 上的函数，)(x f y =在(),a b 内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(),a b 内的根n x x x ,,,21 ）；②比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b ，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文 北师大版
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3
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得 x0=-ln 2, 又e-������ 0 =eln 2=2, (1)A (2)( -ln 2,2) (-ln 2,2). 故点 P 的坐标是
-4-
1.导数与导函数的概念 (1)平均变化率:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,若设 Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0 ������ ������
-15考点1 考点2 知识方法 易错易混
考点Байду номын сангаас导数的运算 例1分别求下列函数的导数:
(1)y=ex· cos x; 解:(1)y'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=excos x-exsin x. 1 1 2 (2)y=x ������ 3 + + 1 2 3 ; ������ ������ (2)∵y=x +1+ 2,∴y'=3x2- 3. ������ ������
1
1
2 2 1 1 ∴y'=- sin x- xcos x. 2 2
2 2
2
2
答案
-16考点1 考点2 知识方法 易错易混
思考:函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得:函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切 忌记错记混.
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题高考数学中，导数和微分问题是一个常见的考点，也是让许多考生头疼的难题。
在解决复杂的导数和微分问题时，我们可以运用以下几种方法和技巧。
一、基本函数的导数公式在解决复杂的导数问题时，我们首先要掌握基本函数的导数公式。
基本函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
比如，幂函数y=x^n的导数公式为dy/dx=n*x^(n-1)；指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的导数公式为dy/dx=a^x*lna；对数函数y=log_a(x)的导数公式为dy/dx=1/(x*lna)；三角函数sinx的导数公式为dy/dx=cosx，cosx的导数公式为dy/dx=-sinx。
掌握了基本函数的导数公式，我们可以通过将复杂函数拆解成基本函数的组合来求解导数。
二、运用导数的四则运算法则在解决复杂的导数问题时，我们可以运用导数的四则运算法则，即和、差、积、商的导数法则。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)都是可导的，则它们的和（差）的导数为(f±g)'=f'(x)±g'(x)，积的导数为(f·g)'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，商的导数为(f/g)'=(f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/[g(x)]^2。
通过运用导数的四则运算法则，我们可以将复杂的函数化简为较简单的形式，更容易求解其导数。
三、隐函数求导和相关变化率在解决复杂的导数问题时，有些情况下函数并不能直接表示为y=f(x)的形式，而是通过一个方程来间接表示。
这时，我们需要运用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导的基本步骤是利用导数的定义，对方程两边求导，然后解出所求的导数。
通过隐函数求导，我们可以解决一些由方程确定的函数的导数问题。
此外，在解决复杂的导数问题时，还可以运用相关变化率的概念。
2017高考数学导数部分考题汇编详细解析太好了(请收藏)
2017高考数学导数部分考题汇编详细解析太好了（请收藏）
高中数学导数部分相关知识，无论文理学科，在高考中，都是作为难题，压轴题存在。
本章难度高，综合性较强，想要在数学成绩上达到中上等水平，就必须在本章有所突破。
本章的【学习目标】如下：1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利
用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题5. 定积分的应用。
下面是收集整理的2017年高考数学理科试卷的导数部分的考题汇编与详细解析，全部解析文档有16页，另外有原题文档，需要全部可编辑打印文档的可回复或私信输入“004”索取。
大家喜欢我的文章的话可以顺手点个赞，更可以加关注，我会经常发些初高中学习与教育方面的文章来供大家阅读与
参考，如有不当之处也多请大家包涵，谢谢！。
2017年全国高考考前解答题点理数命题揭秘之导数：高考
纵观2012到2016年全国的高考试题，对导数部分的考查基本上集中在以下几个热点问题上： 热点一、导数的几何意义导数的概念及几何意义的考查仍是命题的热点。
一般在问题中充当“穿针引线”的作用，但是我们还是要掌握好切线的斜率与函数导数间的关系，对很多同学来说，有时在压轴题中，这也是不多的得分点之一；主要有两种类型；（1）求曲线上某点处的切线方程。
（2）已知曲线上某点处的切线方程，求参数。
1.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【考点】1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【名师点睛】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．2.【2014高考新课标2】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.【考点】导数的几何意义及方程思想.【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数公式及求导法则；本题属于基础题，解决本题的关健在于正确求出已知函数的导数.【命题的趋势与预测】全国高考中导数几何意义的问题难度为中等，预计2017年高考中导数的几何意义依然是热点，考查考生对导数概念和几何意义的理解，求导运算及方程思想。
(整理版)高考中导数问题的六大热点
高考中导数问题的六大热点由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，下面例析导数的六大热点问题，供参考．一、运算问题 例1函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '．分析：用商的导数及复合函数导数的运算律即可解决．解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ---•-'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 评注：对于导数运算问题关键是记清运算法那么．主要是导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法那么等．二、切线问题例2设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，那么a = ．分析：由垂直关系可得切线的斜率为－12，又k ＝0()f x '，即可求出a 的值． 解：axae y ='，∴切线的斜率a y k x ===0'，由垂直关系，有1)21(-=-⋅a ，解得2=a ．评注：是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：⑴ 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的斜率k ，倾斜角为θ，那么tan θ＝k ＝0()f x '． ⑵ 其切线l 的方程为：y ＝y 0＋0()f x '(x －x 0)．假设曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x ＝x 0．三、单调性问题例3函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 分析：对于第(1)小题，求导后利用f '(x )＞0或'()f x ＜0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为'()f x ＜0在2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上恒成立即可． 解：〔1〕32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++． 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增．当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=，即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增． 〔2〕假设函数在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，那么2()321f x x ax '=++两根在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，外，即2'()31'()3f f ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤0≤0，解得a ≥2，故取值范围是[2，＋∞)． 评注：一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，那么f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，那么f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间； ②证明单调性； ③单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题． 四、极值问题 例4函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数．当n =2时，求函数f (x )的极值；分析：运用导数先确定函数的单调性，再求其极值． 解：由得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1}， 当n =2时，21()ln(1),(1)f x a x x =+--所以232(1)().(1)a x f x x --=-(1)当a ＞0时，由'()f x ＝0，得11x =+1，21x =＜1， 此时 f ′〔x 〕=123()()(1)a x x x x x ----. 当x ∈〔1，x 1〕时，f ′〔x 〕＜0,f (x )单调递减； 当x ∈〔x 1+∞〕时，f ′〔x 〕＞0, f (x )单调递增. 〔2〕当a ≤0时，f ′〔x 〕＜0恒成立，所以f (x )无极值. 综上所述，n =2时，当a ＞0时，f (x )在1x =+处取得极小值，极小值为2(1(1ln ).2a f a+=+当a ≤0时，f (x )无极值．评注：运用导数解决极值问题．一般地，当函数f (x )在x 0处连续，判别f (x 0)为极大(小)值的方法是：⑴ 假设0'()f x ＝0，且在x 0附近的左侧()f x '＞0，右侧()f x '＜0，那么f (x 0)是极大值，⑵ 如果在x 0附近的左侧()f x '＜0，右侧()f x '＞0，那么f (x 0)是极小值． 五、最值问题例5 求函数f (x )＝x 4－2x 2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值． 分析：可先求出导数及极值点，再计算．解： ()f x '＝4x 3－4x ，令()f x '＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，均在(－2，2)内． 计算f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (－2)＝13，f (2)＝13． 通过比拟，可见f (x ) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．评注：运用导数求最大(小)值的一般步骤如下： 假设f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，那么⑴ 求()f x '，令()f x '＝0，求出在(a ，b )内使导数为0的点及导数不存在的点． ⑵ 比拟三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f (x )在[a ，b ]上的最大值，最小者便是f (x )在[a ，b ]上的最小值．六、应用问题例6 用总长的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等根底知识．解：设容器底面短边长为x m ，那么另一边长为()0.5x + m ，高为()14.8440.5 3.224x x x --+=-．由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<， 设容器的容积为3ym ，那么有()()0.5 3.22y x x x =+- ()0 1.6x <<．即322 2.2 1.6y x x x =-++， 令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，2415x =-〔不合题意，舍去〕.当x ＝1时，y 取得最大值，即max 2 2.2 1.6 1.8y =-++=， 这时，高为3.221 1.2-⨯=.答：容器的高为m 时容积最大，最大容积为31.8m ．。
高考数学如何应对复杂的导数题目
高考数学如何应对复杂的导数题目导数作为高中数学中的重要概念之一，在高考数学中占有较大的比重。
高考数学中的导数题目往往涉及到复杂的计算和推理，对考生的思维能力和数学功底提出了较高的要求。
因此，考生在备战高考时需要针对导数题目进行有针对性的复习和应对。
本文将介绍一些应对复杂导数题目的方法和技巧。
一、搞清楚导数的定义和性质在应对导数题目之前，考生首先需要搞清楚导数的定义和性质。
导数的定义是衡量函数变化率的一个工具，其定义公式为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]同时，导数具有诸多基本性质，如加减法规则、乘法规则、链式法则等。
考生应该牢固掌握这些定义和性质，这将有助于理解和解答复杂的导数题目。
二、灵活运用导数的计算方法在复杂导数题目中，往往需要对函数进行求导运算，考生需要熟练掌握导数的计算方法。
常见的导数计算方法包括：1. 基本函数的导数运算：线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
2. 复合函数的导数计算：根据链式法则，将复合函数分解成几个简单函数的组合，然后通过基本函数的导数运算来求解。
3. 参数方程的导数计算：将参数方程转化成普通函数形式，然后运用基本函数的导数运算来求解。
考生需要熟练掌握这些导数计算方法，并能够灵活运用于解答复杂的导数题目。
三、建立导数的几何意义和应用除了求导的计算技巧外，理解导数的几何意义和应用也是应对复杂导数题目的重要环节。
导数的几何意义是函数在某点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点处的斜率。
因此，通过关注导数的符号、零点和变化趋势，能够更好地理解和解答导数题目。
此外，导数在实际问题中的应用也十分广泛，如求最值、判定变化趋势、求曲线的拐点等。
考生需要通过大量练习和实例，加深对导数几何意义和应用的理解和应用能力。
四、注重问题解决思路和方法选择在应对复杂导数题目时，注重解题思路和方法选择是至关重要的。
导数高考题分析之2017年全国I理数：利用导数研究函数单调性、函数零点问题，注意导函数因式分解?
导数高考题分析之2017年全国I理数：利用导数研究函数单调性、函数零点问题，注意导函数因式分解
导数高考题分析之2017年全国I理数
：利用导数研究函数单调性、函数零点问题，注意导函数因式分解函数导数研究函数性质和证明不等式问题，一直都是以高考压轴题的地位出现，也是大家的噩梦，但其实这类问题最大的敌人是自己心中的畏惧，接下来如果看到一个导数题，不要说话，努力灭它.
下面的专题以高考压轴题为例，一天一个的去消灭它们，希望能在解题的过程中再次学习，归纳总结，大家多多指点.
今天的问题是：2017年全国I理数
吐槽一下：函数导数经典问题
第一问研究函数单调性，求导后一定要会分解因式，然后找到界点分类讨论。
第二问考察函数零点个数，可直接考察函数单调性和极值点、最值，也可等价转化为考察交点个数问题。
学习时间的长短并不重要，重要的是效率
高考得分策略：细节决定命运，细节改变命运
（1）内紧外松
（2）一慢一快，相得益彰，即审题慢，解题快
（3）确保运算准确，立足一次成功
（4）做快不等于做对，准确放第一位
（5）书写规范
（6）抓紧时间，不为难题纠缠
（7）控制节奏
（8）执过索因，逆向思考，正难则反
（9）面对难题，讲究策略，争取得分
（10）用好开考前5分钟
教育就是当学的东西全都忘了的时候，仍保留下来的东西
数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学
数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语音，数学是一种精神，一种理性的精神
教育是一个圆形概念，方方面面都要兼顾到
每天都要加油哦
作者简介：廖邦亮，男，中学一级教师，湖南师范大学计算数学研究生，现就职于广东河源市河源中学，任教高中数学。
2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题13 导数法巧解单调性问题 含解析
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第13讲导数法巧解单调性题考纲要求:1。
了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次).基础知识回顾：用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x≥(≤）0(2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D→求导'()f x→解不等式'()f x＞()<0得解集P→求D P，得函数的单调递增（减）区间.一般地，函数()f x在某个区间可导，'()f x＞0 ⇒()f x在这个区间是增函数一般地,函数()f x在某个区间可导，'()f x＜0 ⇒()f x在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地,函数()f x在某个区间可导,()f x在这个区间是增(减)函数⇒'()f x≥()≤0【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域,然后解不等式'()f x＞（＜)0(不要带等号），最后求二者的交集,把它写成区间。
②已知函数的增（减）区间，应得到'()f x≥(≤）0，必须要带上等号。
③求函数的单调增（减)区间，要解不等式'()f x＞()<0，此处不能带上等号。
④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式;单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个,中间不能用“”连接.应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】【2017山东济南市高三摸底考试】已知函数f （x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．【答案】见解析【例2】【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数f (x )＝ln （x ＋1）－错误!（a 〉1）．讨论f （x )的单调性．【答案】见解析【解析】f （x)的定义域为(－1，＋∞），又))(1()]2([)(2a x x a a x x x f ++--='. ①当1<a 〈2时，若x ∈(－1，a2－2a),则)(x f '〉0，f(x)在（－1，a2－2a ）内是增函数；若x ∈(a2－2a ，0），则)(x f '〈0，f(x ）在（a2－2a,0)内是减函数；若x ∈（0，＋∞),则)(x f '>0，f （x)在(0，＋∞）内是增函数．②当a ＝2时，)(x f '≥0,)(x f '＝0成立当且仅当x ＝0，f （x)在(－1，＋∞)内是增函数．③当a 〉2时，若x ∈（－1，0)，则)(x f '〉0，f （x)在（－1，0)内是增函数;若x∈(0，a2－2a）,则)(x f'〈0，f(x)在(0，a2－2a）内是减函数;若x∈（a2－2a,＋∞)，则)(x f'>0，f（x）在（a2－2a，＋∞）内是增函数．点评:导数法证明函数f（x）在（a,b)内的单调性的3步骤(1)一求．求f′（x);（2）二定．确认f′(x）在(a，b)内的符号;(3)三结论．作出结论：f′（x）＞0时为增函数；f′（x)＜0时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．类型二、求函数的单调区间【例3】【2017河南省洛阳市一中高三入学考试】定义在R上的函数f（x)满足f(x）＝错误!·e2x－2＋x2－2f(0）x，g(x)＝f 错误!－错误!x2＋(1－a)x＋a。
2017年高考数学(理)一轮复习 专题15 导数的综合应用(教学案) 含解析
专题15 导数的综合应用（教学案） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一 用导数解决与不等式有关的问题例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D 解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f xx为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 【变式探究】证明：当x ∈时，22x ≤sin x ≤x .高频考点二、不等式恒成立问题例2、已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 2＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)上为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 13)＝32e 23，即b 的最大值为32e 23.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －a x ＋3a x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．【感悟提升】(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立． 高频考点三、利用导数解决函数零点问题例3、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.【感悟提升】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x的图象与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．高频考点四、利用导数解决生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝10 ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【感悟提升】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．【变式探究】某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
2017高考数学导数的解题技巧
2017 年高考数学导数的解题技巧
高考导数题主若是观察与函数的综合，观察不等式、导数的应用
等知识，难度属于中等难度。
都有什么题型呢？
①应用导数求函数的单调区间，或判断函数的单调性；
②应用导数求函数的极值与最值；
③应用导数解决有关不等式问题。
有没有什么解题技巧啦？
导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为①确立函数 f(x) 的
定义域（最简单忽视的，请牢记） ; ②求方程 f ′ (x)=0的解，这
些解和 f(x) 的中止点把定义域分成若
干区间；
③研究各小区间上 f ′ (x) 的符号， 0f 时′，(x)该区＞间为增区间 ,反之则为减区间。
从这两步开始有分类谈论，函数的最值可能会出现极值点处也许
端点处，多项式求导一般联合不等式求参数的取值范围，依据题目会
有必定的变化，那接下来详尽总结一些做题技巧。
技巧破解 + 例题拆解
1．若题目观察的是导数的看法，则主要观察的是对导数在一点
处的定义和导数的几何意义，注意划分导数与△之间的差别y/。
△x 2．若题目观察的是曲线的切线，分为两种状况：
（1）关于曲线在某一点的切线，求曲线 y=f(x) 在某一点 P（x,y ）
的切线，即求出函数y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的切线的
斜率 .
（2）关于两曲线的公切线，若向来线同时与两曲线相切，则称
该直线为两曲线的公切线 .
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2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题15 导数法妙解不等式问题 含解析
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第15讲 导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题考纲要求:1。
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大,属中高档题． 常见的命题角度有：(1）证明不等式；（2)不等式恒成立问题;(3）存在型不等式成立问题．2。
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次)。
3。
会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）．基础知识回顾：1、求函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大(小)，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大(小）值。
(2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D ,再求导，再解方程1()0fx =(注意和D 求交集）,最后列表确定极值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x >0，右侧1()f x 〈0，那么)(0x f 是极大值。
一般地，函数在()f x 点0x 连续时，如果0x 附近左侧1()f x <0，右侧1()f x 〉0,那么)(0x f 是极小值。
（3）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
(5)一般地,连续函数()f x 在点0x 处有极值 是'()f x =0的充分非必要条件.（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值（1)设)(x f y =是定义在闭区间[],a b 上的函数，)(x f y =在(),a b 内有导数,可以这样求最值：①求出函数在(),a b 内的可能极值点（即方程0)(/=x f在(),a b 内的根n x x x ,,,21 )；②比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f ,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)a b，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
2017高考数学一轮复习导数答题技巧
2017高考数学一轮复习导数答题技巧
2017高考数学一轮复习导数答题技巧，希望对大家有帮助。
一、专题综述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：
1.导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合
1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求
导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
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2017高考数学专题探究课一(导数热点题型)
③当 a＜0 时，由 2x－ax2＜0，解得2a＜x＜0，由 2x－ax2＞0， 解得 x＜2a或 x＞0. 所以，当 a＜0 时，函数 f(x)在区间－∞，2a，(0，＋∞)上为 增函数，在区间2a，0上为减函数. 综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增；
解 (1)设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0，0)，
则
f(x0)＝0，f′(x0)＝0.即x03＋ax0＋14＝0，解得 3x02＋a＝0，
(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax. ①当 a＝0 时，若 x＜0，则 f′(x)＜0，若 x＞0，则 f′(x)＞0. 所以当 a＝0 时，函数 f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间 (0，＋∞)上为增函数. ②当 a＞0 时，由 2x－ax2＜0，解得 x＜0 或 x＞2a，由 2x－ax2＞0， 解得 0＜x＜2a. 所以 f(x)在区间(－∞，0)与2a，＋∞上为减函数，在0，2a上为 增函数.
(1)证明 f′(x)＝m(emx－1)＋2x， 若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0. 若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0. 所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.
因为 h′(x)＝ln x＋1x＋1＋x（xe－x 2）， 所以当 x∈(1，2)时，h′(x)＞1－1e＞0， 当 x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0， 所以当 x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增， 所以 k＝1 时，方程 f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程 f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根 x0. 且 x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，
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【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第15讲导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
及其附近有定义，如果错误!未找到引用源。
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附近所有各点的值都大（小），则称错误!未找到引用源。
是函数错误!未找到引用源。
的一个极大（小）值。
（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域错误!未找到引用源。
,再求导，再解方程错误!未找到引用源。
（注意和错误!未找到引用源。
求交集），最后列表确定极值。
一般地，函数在错误!未找到引用源。
点错误!未找到引用源。
连续时，如果错误!未找到引用源。
附近左侧错误!未找到引用源。
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是极大值。
一般地，函数在错误!未找到引用源。
点错误!未找到引用源。
连续时，如果错误!未找到引用源。
附近左侧错误!未找到引用源。
<0，右侧错误!未找到引用源。
>0，那么错误!未找到引用源。
是极小值。
（3）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）一般地，连续函数错误!未找到引用源。
在点错误!未找到引用源。
处有极值是错误!未找到引用源。
=0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值（1）设错误!未找到引用源。
是定义在闭区间错误!未找到引用源。
上的函数，错误!未找到引用源。
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内有导数，可以这样求最值：①求出函数在错误!未找到引用源。
内的可能极值点（即方程错误!未找到引用源。
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）；②比较函数值错误!未找到引用源。
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，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间错误!未找到引用源。
，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例1】【2017西安八校联考】已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R)．(1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ＜0，不等式x 2＋(m ＋2)x ＞f ′(x )恒成立，求m 的取值范围．(2)依题意，f ′(x )＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋2m ＜x 2＋(m ＋2)x ，x ＜0，因为x ＜0，所以m e x －x －m ＞0， 令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x －1，当m ≤1时，h ′(x )≤e x－1＜0， 则h (x )在(－∞，0)上单调递减，所以h (x )＞h (0)＝0，符合题意；当m ＞1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增，所以h (x )m in ＝h (－ln m )＜h (0)＝0，不合题意．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．点评：利用导数解决不等式的恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题【例2】【2017福建四地六校联考】已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x .(1)是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值？证明你的结论； (2)设g (x )＝(a －2)x ，若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )定义域为(0，＋∞)，f (x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x. 假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f (1)＝0，∴a ＝2，此时，f ′(x )＝2x －12x ，当x >0时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值．类型三、利用导数证明不等式【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】已知函数f (x )＝x ＋ae x .(1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0＜1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x )．解：(1)易得f ′(x )＝－x －1－ae x ，由已知知f ′(x )≥0对x ∈(－∞，2)恒成立，故x ≤1－a 对x ∈(－∞，2)恒成立，∴1－a ≥2，∴a ≤－1.故实数a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)证明：a ＝0，则f (x )＝x ex . 函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)．令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x ∈R ，则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －1－x 0e x 0＝1－x e x 0－1－x 0e x e x ＋x 0. 设φ(x )＝(1－x )e x 0－(1－x 0)e x ，x ∈R ，则φ′(x )＝－e x 0－(1－x 0)e x ，∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0，∴φ(x )在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0，∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0，∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0，∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数，∴x ∈R 时，h (x )≤h (x 0)＝0，∴f (x )≤g (x )．点评：利用导数证明不等式若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )＜0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点【例4】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．解：(1)f (x )的定义域为R ，由导数公式知f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x ＋1)2e x ，x ∈R . ∵对任意x ∈R ，都有f ′(x )≥0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，且f (0)＝1－a <0，f (a －1)＝a e a －1－a ＝a (ea －1－1)． ∵a >1，∴a －1>0，∴a －1>0，∴ ea －1>1， ∴e a －1－1>0，故f (a －1)>0，∴∃x 0∈(0，a －1)使得f (x 0)＝0.又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．【例5】【2017贵州七校联考】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R.(1)当a ＞0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在上有解．解：(1)因为e x ＞0，所以不等式f (x )≤0即为ax 2＋x ≤0， 又因为a ＞0，所以不等式可化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0， 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0.点评：利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．方法、规律归纳:1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.实战演练:1．【2017广东湛江一模】若函数f (x )＝x ＋b x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】D【解析】由题意知，f′(x)＝1－b x2，∵函数f(x)＝x ＋b x(b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－b x2＝0时，b ＝x2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)，令f′(x)＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－b)，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．2．【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′x≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 【答案】A 3．【2017沈阳模拟】函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(-2,-1)(B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)【答案】B【解析】由题意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b 有三个不相同的实数根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函数y=f(x)= 2x3-3x2+1与直线y=-b 有三个交点.由f ′(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(0)是函数的极大值,f(1)是函数的极小值,若函数y=f(x)=2x 3-3x 2+1与直线y=-b 有三个交点,则f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.4.【2017广东省惠州市高三第一次调研考试】设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有错误!未找到引用源。