数列、导数、解析几何大题综合练习(含答案)

1、已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足112144--b b (1)4-n b =n bn a )1(+(n∈N *),证明{b n }是等差数列;(3)证明2n -31＜21a a +32a a +…+1+n n a a ＜2n (n∈N *).2、设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．3、已知函数)0,()(≠+=a b a bax xx f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。

（1）求)(x f 的表达式 ；（2）记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且，且1x ＝()f 1，求数列{}n x 的通项公式。

（3）记 1n y +⋅=n n x x ，数列｛n y ｝的前 n 项和为 n S ，求证 34<n S4、已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （1）求λ的值；（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2nT 与S n 的大小.5、已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S -1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少? .6、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k nk a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．7、已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S .已知24=a ,205=S . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n a a a T +++=...21,求n T ;(3)设)()12(1*∈-=N n a n b n n ,n n b b b R +++=...21,是否存在最大的整数m ,使得对任意*∈N n ,均有32m R n >成立?若存在,求出m 值;若不存在,请说明理由.8、设数列).(3,3,3}{},{*111N n n P P P b b P b n n n n nn n n ∈+===++且满足 （1）求数列}{n b 的通项公式；（2）若存在实数t ，使得数列})21({,1)41(n C n n n C n n t b C ⋅++⋅-=记数列成等差数列的前n 项和为n T ，证明：3(1)nn n T b -<（3）设25,}{,)1(1<+=n n n n n S S n A T n n A 求证项和为的前数列9、已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令11,n n n b a a +=--求证{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ 若不存在,则说明理由10、已知各项均为正数的数列{n a }前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+11、已知函数32()3f x x ax x =--.(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由．12、已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数 ；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.13、设函数()xe f x x=(1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 若0k >，求不等式'()(1)()0f x k x f x +->的解集．14、设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．15、已知ln ()ln ,(0,],()xf x ax x x eg x x=-∈=，其中e 是自然常数，a R ∈． （1）讨论1a =时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.16、已知函数2(2)()().xx x x e f x g x e e-==, （Ⅰ） 求函数()f x 的极值；（Ⅱ） 求证：当1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ） 如果21x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2)f x f x >-．17、设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．18、设a ＞0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性．19、设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．20、已知函数f (x )=ln(1+x )-x 1 （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,n （n ∈N*）上的最小值为b n 令a n =ln(1+n )-b n .（i ）如果对一切n，不等式<恒成立，求实数c 的取值范围；(ⅱ)求证：1313211224242 1.n na a a a a a a a a a a a -+++<21、已知定点A （-l ，0），动点B 是圆F ：（x-1）2+y 2=8（F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交线段BF 于点P ． （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）是否存在过点E （0，2）的直线l 交动点P 的轨迹于点R 、T ，且满足OR • OT =0（O 为原点），若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22、设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程;（2）已知点M (,55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.23、椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)离心率为36,短轴一个端点到右焦点距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值24、在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程；（2）设曲线1C 上的三点1122(,),(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.25、已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．26、已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，． （I ）证明CA ·CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．27、已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ≤，求2212S S - 的取值范围。