从勾股定理到图形面积关系的拓展ppt课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
苏科版九年级下册勾股定理及其逆定理课件(共18张PTT)
AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度.
A
D
E
B
F
C
变式训练3
2. 如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线
BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1)求证：AG＝C'G；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
5或 7
3.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为________.
5
4.等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，则它的腰长为__________.
48
5.等腰三角形的周长是36 cm，底边上的高是6 cm，则它的面积为_______.
考点2：勾股定理与求解三角形
例2：如图，已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分
10
别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___________.
变式训练1
1. 如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两
100
个小半圆的面积和为100,则大的半圆面积是__________.
绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
考点4：利用勾股定理逆定理求角度
例5.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将
△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，
A
D
E
B
F
C
变式训练3
2. 如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线
BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1)求证：AG＝C'G；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
5或 7
3.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为________.
5
4.等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，则它的腰长为__________.
48
5.等腰三角形的周长是36 cm，底边上的高是6 cm，则它的面积为_______.
考点2：勾股定理与求解三角形
例2：如图，已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分
10
别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___________.
变式训练1
1. 如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两
100
个小半圆的面积和为100,则大的半圆面积是__________.
绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
考点4：利用勾股定理逆定理求角度
例5.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将
△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，
从勾股定理到图形面积关系的拓展定稿版
从勾股定理到图形面积关系的拓展HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力教学重点：利用勾股定理，解决实际问题教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。
教学过程：一、 向外拓展正方形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+∴ 132s s s =+拓展练习：1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?二、向外拓展正三角形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(432232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得23243c s s =+=1s 即：132s s s =+三、向外拓展正五边形如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，求证：132s s s =+1s S2 3s证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,∵cot α=2c h , ∴αcot 2c h =, ∴ααcot 455cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4523•=a s ，∴)(cot 45cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴1232cot 45s c s s =•=+α 即：132s s s =+依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 422•=b n s ，αcot 423•=a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222cb a =+，1232cot 4sc n s s =•=+α 即：132s s s =+通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=+πππ，由勾股定理222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+ππππ，即：132s s s =+拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：SS欣赏勾股图教学总结：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。
勾股定理的应用课件
利用勾股定理确定卫星轨 道参数，提高卫星通信的 覆盖范围和信号质量。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
中考数学专题复习拓展勾股定理与图形面积关系公开课精品课件
勾股定理的惊奇之处
勾股定理与图形面积关系
重温经典 勾股定理 不同版本教材中的证明方法
a2+b2=c2
c a
b
浙教版
苏教版
沪教版
人教版
简单问题 探寻奥秘
5 3
❶
4
5
=
3❸❷4源自❶=❷5
4
？
+❸
3
对比探索 领悟共性 猜想
a2 b2 c2 线段关系
s1+s2=s3 面积关系
A
S1 3S1aSS11
B
S2 SSS333 4b C
S3 5c
D
9 + 16 = 25
SSS222
实验
推理 共性
S1 1• a2
S1
3 a2 4
S1
8
a2
S2 1•b2
S2
3 b2 4
S2
8
b2
S3 1• c2
S3
3 c2 4
S3
8
c2
S1 Fa2 S2 Fb2 S3 Fc2
提炼总结 品味经典
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S3 S1
S2
…… 形状相同，大小不同
在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积， 等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。
35 4
形状相同，大小不同
……
拓展延伸，精准深化
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S1
S5
S4
S3
S2
S1 S3
S4 S2
S3 S1
S2
S1
S3
S2
第18章 勾股定理-认识勾股定理拓展课件 2022--2023学年沪科版数学八年级下册
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
分析：
3²+4²=5²
5
∠C是直角
4
10
8
3 C
6
O
图1
图2
例2：古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉
（填A或B）
A．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
+−
=
2
++
即2ab＝（a+b+c）（a+b-c）
化简得a2+b2＝c2．
B
E
F
C
例3：如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形
A
ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
+−
2
D
因为AB＝BD+AD，所以a-x+b-x＝c，解得x＝
I
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
分析：
3²+4²=5²
5
∠C是直角
4
10
8
3 C
6
O
图1
图2
例2：古埃及人用下面的方法得到直角三角形，把一根长绳打上等距离的13个结（12段），然后用桩钉钉
（填A或B）
A．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
（2）仿照上面的方法，再结合上面你写出的勾股数，你能否只用绳子，设计一种不同于上面的方法得
到一个直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）
+−
=
2
++
即2ab＝（a+b+c）（a+b-c）
化简得a2+b2＝c2．
B
E
F
C
例3：如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形
A
ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
+−
2
D
因为AB＝BD+AD，所以a-x+b-x＝c，解得x＝
I
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他
《探索勾股定理》勾股定理PPT(第1课时)
1
也可以表示为 4• 2ab+(b- a)2 .
c
∵
c2=
4•
1
2ab
+(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
c
a
a b b bb
c
∴ a2+b2=c2
c
验证方法三：美国总统证法
D
b
c
Aa
如图，梯形由三个直角三角形
组合而成，利用面积公式，列
C 出代数关系式,得
c
1 (a b)(b a) 2 1 ab 1 c2 .
观察与思考
活动：请你利用自己准备的四个全等的直 角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
有不同的 拼法吗？
讲授新课
一 勾股定理的验证
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？ 那么如何验证勾股定理呢 ？
据不完全统计，验证的方法有400多种， 你有自己的方法吗？
验证方法一：毕达哥拉斯证法
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ;
解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为 300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h.
公路
C
B
400m 500m
A
练一练
1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的
正方形A
正方形B
正方形C
的面积 + 的面积 = 的面积
一直角边2 +
另一直角边2
= 斜边2
勾股定理说课(完整版)PPT课件
教学目标
（1）、知识与技能： 理解勾股定理的两种 证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图 证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形 三边计算问题 （2）、过程与方法：通过对直角三角形三边 关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索 过程，发展合情推理，体会数形结合的思想 （3）、情感态度与价值观：在勾股定理的探 索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学 习的信心
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
( 24 )。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c。
c=10 b=8
ac
b
1.说一说本节课我有哪些收获? 2.本节课我还有哪些疑惑?
-
作业
必做题：课本69页第一题。 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、交流。
图2
4
9
13
图2
C
A
B
图3
图3
9 25 34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
ac
结论
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证 明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百 种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎 样证明这个命题的．
教学重点、难点
重点：探究并理解勾股定理 难点：探索勾股定理的验证方法
教法 分析
平行线的性质是学生对图形性质的第一 次系统研究，对于研究过程和研究方法都 是陌生的，所以学生需要在老师的引导下 类比研究平行线的判定的过程来构建平行 线的性质的研究过程。
《勾股定理》PPT教学课件(第1课时)
献和地位。尤其是其中体现出来的“形
数统一”的思想方法，更具有科学创新
的重大意义。
获取新知
猜想直角三角形的三边关系
一起探究
问题1
4 AB=___
5
1、 BC=___,
3 AC=___,
B
25
S蓝 =___,
9
16 S红 =___
2、 S黄 =___,
C
A
S黄+S蓝=S红
3、S黄、S蓝与S红的关系是__________.
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
2m
AC 2 AB 2 BC 2 12 22 5
AC 5 2.24
A
1m
B
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
我们已经学习了勾股定理，利用勾股定理，我们可以解决一
些实际问题.
在应用中关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形
模型，常见类型有：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
S1 S 2 S3
.(用图中字母表示)
勾股定理与图形面积
归纳：
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的
结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
基本思想方法：勾股定理把“形”与
C
“数”有机地结合起来，即把直角三角
形这个“形”与三边关系这一“数”结
数统一”的思想方法，更具有科学创新
的重大意义。
获取新知
猜想直角三角形的三边关系
一起探究
问题1
4 AB=___
5
1、 BC=___,
3 AC=___,
B
25
S蓝 =___,
9
16 S红 =___
2、 S黄 =___,
C
A
S黄+S蓝=S红
3、S黄、S蓝与S红的关系是__________.
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
2m
AC 2 AB 2 BC 2 12 22 5
AC 5 2.24
A
1m
B
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
我们已经学习了勾股定理，利用勾股定理，我们可以解决一
些实际问题.
在应用中关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形
模型，常见类型有：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
S1 S 2 S3
.(用图中字母表示)
勾股定理与图形面积
归纳：
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的
结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股
基本思想方法：勾股定理把“形”与
C
“数”有机地结合起来，即把直角三角
形这个“形”与三边关系这一“数”结
勾股定理优秀PPT课件
b
c
a
a
这种证明方法从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思 想方法.
18
-
<四>练习提升
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足a2+b2=c2.
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4， 求两直角边的长.
19
-
<五>勾股定理的文化价值
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理.
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应 该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号. (3) 勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机. (4) 勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序 树立了一个范式.
20
-
<六>小结反思
学生反思：我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
AB2+AC2=BC2.
11
-
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不 需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的 勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出， 被称为“无字证明”.
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九 章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理.
方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时， 创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对 勾股定理最早的证明.
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是 经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
6
-
c
由面积计算,得 c2 41ab(ba)2. 2
《勾股定理发展史》课件
莱布尼茨分别在微积分学和解析几何方面做出了卓越 的贡献，他们的研究为勾股定理的应用和发展提供了新的思 路和方法。
牛顿利用微积分的方法研究了曲线的面积和体积，而莱布尼 茨则利用解析几何的方法研究了平面图形的面积和体积，这 些研究都与勾股定理有着密切的联系。
CHAPTER 03
相等的特殊情况。
非欧几何的应用主要在宇宙学 、相对论等领域，勾股定理在 这些领域中仍然具有重要意义
。
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域中可以表述为 三角恒等式，即对于任意复数z
，有z^2 = x^2 + y^2。
在复数域中，勾股定理的应用主 要涉及信号处理、控制系统等领
域。
通过利用勾股定理，可以方便地 计算复数的模长，进而进行信号
建筑中的勾股定理
建筑师在设计和建造建筑物时，经常运用勾股定理的原理。例如，在建造高塔或大型建筑时，建筑师可以利用勾 股定理来计算建筑物的角度和线条，以确保建筑物的稳定性和美观性。
勾股定理在文学作品中的描述
小说中的勾股定理
一些小说家在创作中运用勾股定理的原理，以丰富作品的主题和情节。例如，在描写爱情故事时，小 说家可以利用勾股定理来描述男女主角之间的情感关系，使情节更加生动和有趣。
欧几里得的证明方法虽然简洁，但在当时并未得到广泛的认可和应用，直到文艺 复兴时期才被重新发掘和推广。
笛卡尔与费马的新证明方法
笛卡尔和费马分别独立地提出了新的 证明方法，他们的证明方法更加直观 和易于理解，为勾股定理的普及和应 用做出了重要贡献。
笛卡尔的证明方法利用了代数和坐标 系的思想，而费马的证明方法则利用 了无穷小量的概念，这两种方法都对 后来的数学发展产生了深远的影响。
毕达哥拉斯定理
牛顿利用微积分的方法研究了曲线的面积和体积，而莱布尼 茨则利用解析几何的方法研究了平面图形的面积和体积，这 些研究都与勾股定理有着密切的联系。
CHAPTER 03
相等的特殊情况。
非欧几何的应用主要在宇宙学 、相对论等领域，勾股定理在 这些领域中仍然具有重要意义
。
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域中可以表述为 三角恒等式，即对于任意复数z
，有z^2 = x^2 + y^2。
在复数域中，勾股定理的应用主 要涉及信号处理、控制系统等领
域。
通过利用勾股定理，可以方便地 计算复数的模长，进而进行信号
建筑中的勾股定理
建筑师在设计和建造建筑物时，经常运用勾股定理的原理。例如，在建造高塔或大型建筑时，建筑师可以利用勾 股定理来计算建筑物的角度和线条，以确保建筑物的稳定性和美观性。
勾股定理在文学作品中的描述
小说中的勾股定理
一些小说家在创作中运用勾股定理的原理，以丰富作品的主题和情节。例如，在描写爱情故事时，小 说家可以利用勾股定理来描述男女主角之间的情感关系，使情节更加生动和有趣。
欧几里得的证明方法虽然简洁，但在当时并未得到广泛的认可和应用，直到文艺 复兴时期才被重新发掘和推广。
笛卡尔与费马的新证明方法
笛卡尔和费马分别独立地提出了新的 证明方法，他们的证明方法更加直观 和易于理解，为勾股定理的普及和应 用做出了重要贡献。
笛卡尔的证明方法利用了代数和坐标 系的思想，而费马的证明方法则利用 了无穷小量的概念，这两种方法都对 后来的数学发展产生了深远的影响。
毕达哥拉斯定理
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6
三、向外拓展正五边形
如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： s2 s3 s1
S1
O
h
α
S2
b
c
a S3
7
四、向外拓展半圆
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个半圆的面积 之和，等于以斜边 为边长的半圆的面 积. 图2-39，S1+S2=S3
8
把大半圆向上翻折，得到如下图：
9
小结
• 在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图 形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相 似的图形面积之和.
10
欣赏勾股图
11
欣赏勾股图
12
欣赏勾股图
13
欣赏勾股图
14
公元前约400年，古 希腊的希波克拉底 研究了他自己画的 形如图2-41的图形， 得出如下结论： “两个月牙的面积 之和，等于△ABC 的面积，即S1+S2=S3. 你能说明理由吗？
4
3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分 别为5和11.求正方形b的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号 两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和 为多少?
5
二、向外拓展正三角形
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个正三角形的 面积之和，等于以 斜边为边长的正三 角形的面积. 图2-39，S1+S2=S3
1
一、向外拓展正方形
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个正方形的面 积之和，等于以斜 边为边长的正方形 的面积. 图2-38，S1+S2角形拼合成的图形， 其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、 C、D的面积之和吗？请试一试．
3
2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形， 若S1+S4=100，S3=36，则S2=（ ）
15
三、向外拓展正五边形
如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： s2 s3 s1
S1
O
h
α
S2
b
c
a S3
7
四、向外拓展半圆
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个半圆的面积 之和，等于以斜边 为边长的半圆的面 积. 图2-39，S1+S2=S3
8
把大半圆向上翻折，得到如下图：
9
小结
• 在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图 形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相 似的图形面积之和.
10
欣赏勾股图
11
欣赏勾股图
12
欣赏勾股图
13
欣赏勾股图
14
公元前约400年，古 希腊的希波克拉底 研究了他自己画的 形如图2-41的图形， 得出如下结论： “两个月牙的面积 之和，等于△ABC 的面积，即S1+S2=S3. 你能说明理由吗？
4
3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分 别为5和11.求正方形b的面积.
4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号 两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和 为多少?
5
二、向外拓展正三角形
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个正三角形的 面积之和，等于以 斜边为边长的正三 角形的面积. 图2-39，S1+S2=S3
1
一、向外拓展正方形
分别以直角三角形 两条直角边为边长 的两个正方形的面 积之和，等于以斜 边为边长的正方形 的面积. 图2-38，S1+S2角形拼合成的图形， 其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、 C、D的面积之和吗？请试一试．
3
2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形， 若S1+S4=100，S3=36，则S2=（ ）
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