自动控制理论第4章 线性系统的根轨迹法PPT课件
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自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
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第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
《自动控制原理教学课件》第4章.ppt
i 1
j 1
135 90 225
不满足相角条件，s1不在根轨迹上
s1
j
(s2 p1) (s2 p1) (116.5) (63.5) 180
s1 p1
s1 p2
满足相角条件，s2在根轨迹上
135
p2 1 0.5
p1 0
G(s)H(s) 1
K
1
(s2 p1)(s2 p2 )
❖ 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上对应的K值就是 Kv。
❖ 动态特性 当0< K<0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当 K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当 K>0.25时，闭环极点是共轭复数，为欠阻尼状态，单 位阶跃响应为衰减振荡过程。
-0.5
-0.5+j0.5 …… -0.5+j∞
-0.5
-0.5-j0.5 …… -0.5-j∞
所谓根轨迹图，即以
K 为参变量，当 K 由0→∞时，
系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。
通信技术研究所
3
根据此图可以分析参数变化对系统特性的影响。
❖ 稳定性 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的K值都是稳定的，
通信技术研究所
4
4.2 根轨迹方程
4.2.1 根轨迹方程 R(s)
C(s)
G(s)
闭环传递函数：
(s) G(s)
H (s)
1 G(s)H(s)
闭环特征方程：1 G(s)H (s) 0（根轨迹方程基本形式）
或
G(s)H(s) 1
通信技术研究所
5
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
根轨迹法优秀课件
系统性能改善不显著， 系统增益超过临界值 时，系统仍会不稳定。
闭环复数极点距离虚轴较远， 实数极点距离虚轴较近，系 统有较低的响应速度。
开 环 零 点 在 不 同 取 值 情 况 下 的 根 轨 迹
17
从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这 时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性能指标 也比较令人满意。
点的零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、极点彼此
相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，通常称
这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。
在系统中附加下述网络
1
s 1 T
s 1
1 0
T
若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。
32
例4-15 系统的开环传递函数为
WK
(s)
s(s
1.06 1)( s
由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按 第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。
4
1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为
WK
(s)
KK s(1 Ts)
Kg s(s
1
)
T
5
(1)闭环系统有两个负实极点 暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。 一般当时 R2 5R1，可忽略极点 R2的影响。
2
用根轨迹图分析控制系统的稳定性，比仅仅知道一组闭环极点 要深刻得多。
比如，当Kg在（0，∞）间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚 轴的左边，就意味着不管Kg取任何值闭环系统都是稳定的。
反之，根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管
Kg取何值，闭环系统都不可能稳定，这种情况下，如果开环
零、极点是系统固有的、不可改变的，那么要使系统稳定就 必须人为增加开环零、极点，这就是通常讲的要改变系统的 结构，而不仅仅是改变系统的参数。
课程自动控制理论 课件第四章根轨迹
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
（１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。
G (S)H (S) ?
m
? K 1
(s ? z j )
j?1
n
? (s ? pi)
i?1
z j －开环零点．
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
pi －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
m
? K 1
s ? zj
j? 1 n
?1
（＊）
? s ? pi
i?1
m
n
? ? ? (s ? z j ) ? ? ( s ? pi ) ? ? (2q ? 1)180 ? q ? 0 ,1, 2 , … （＊＊）
当 K1 ? ? ，必有Ｓ＝ z j ，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处
起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于
无穷远处。
举例如题，G(S) ?
K S( S ? 1)
，起点：０，－１，无零点，n=２，
m=0，n－m=2，有两条根轨迹→ ∞
三．根轨§迹４的－分２支绘制数根轨迹的基本规则
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的 条件是，其右边开环零点和 开环极点数目之和为奇数。
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属
自动控制原理04ppt课件全
➢……
.
.. . ..
-2 -1
.
➢当K= ∞时，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞
.
jw 2 1
s -1 -2
6
二. 根轨迹与系统性能
D(s) s2 2s K * 0
1,2 1 1 K *
1
0 1
7
1.稳定性
G(s) K s(0.5s 1)
根轨迹没有穿越虚轴进入s的右半平面，则系统稳
16
例4-1 设系统的开环传函为: G(s)H (s) k (s 4)
检验点s1= -1.5+j2.5是否
s(s 2)(s 6.6)
在根轨迹上; 并确定与其相对应的 k 值。
解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以
1)利用幅角条件(s1 z1) (s1 p1) (s1 p2 ) (s1 p3)
[讨论]：➢当K=0时，s1=0,s2=-2
开环极点
➢当K=0.125时，s1=-0.13,s2=-1.866
.
➢根当轨K迹=0：.25时，s1=-0.29,s2=-1.707 ➢参当数K从当=0系0.5统到时中+，∞某s变个1=化（-1时或,s，2几=系个-1统）闭 ➢环在当特根K征平=1方面时程（，的S平s根1面=（-）1即+上闭j,移s环2动=极-的1点-轨j） ➢迹当。K=2.5时，s1=-1+2j,s2=-1-2j
i 1
K
* G
KG
1 2
T1T22
K G*：前向通道根轨迹增益
10
反馈通路传函：
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s p j )
.
.. . ..
-2 -1
.
➢当K= ∞时，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞
.
jw 2 1
s -1 -2
6
二. 根轨迹与系统性能
D(s) s2 2s K * 0
1,2 1 1 K *
1
0 1
7
1.稳定性
G(s) K s(0.5s 1)
根轨迹没有穿越虚轴进入s的右半平面，则系统稳
16
例4-1 设系统的开环传函为: G(s)H (s) k (s 4)
检验点s1= -1.5+j2.5是否
s(s 2)(s 6.6)
在根轨迹上; 并确定与其相对应的 k 值。
解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以
1)利用幅角条件(s1 z1) (s1 p1) (s1 p2 ) (s1 p3)
[讨论]：➢当K=0时，s1=0,s2=-2
开环极点
➢当K=0.125时，s1=-0.13,s2=-1.866
.
➢根当轨K迹=0：.25时，s1=-0.29,s2=-1.707 ➢参当数K从当=0系0.5统到时中+，∞某s变个1=化（-1时或,s，2几=系个-1统）闭 ➢环在当特根K征平=1方面时程（，的S平s根1面=（-）1即+上闭j,移s环2动=极-的1点-轨j） ➢迹当。K=2.5时，s1=-1+2j,s2=-1-2j
i 1
K
* G
KG
1 2
T1T22
K G*：前向通道根轨迹增益
10
反馈通路传函：
H
(s)
K
* H
l
(s z j )
j 1
h
(s p j )
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
《自动控制原理》PPT课件
i1
j1
i1
j1
f
G(s)
K G (1s 1)(22s2 22s 1) s (T1s 1)(T22s2 2T2s 1)
KG'
(s zi )
i1 q
(s pi )
i1
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
KG'
KG
1 2 2 T1T2 2
反馈通道根轨迹增益
l
(s z j )
H(s) K H '
狭义根轨迹（通常情况）：
变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
G(s)H (s) K s(s 1)
(s) C(s) K R(s) s2 s K
D(s) s2 s K 0
s1,2
1 2
1 2
1 4K
K＝0时 s1 0 s2 1
0 K 1/ 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
i1
i1
负实轴上都是根轨迹上的点！
m
n
(s zi ) (s pi ) | s2 p1 135
i1
i1
负实轴外的点都不是根轨迹上的点！
二、绘制根轨迹的基本规则
一、根轨迹的起点和终点 二、根轨迹分支数 三、根轨迹的连续性和对称性 四、实轴上的根轨迹 五、根轨迹的渐近线 六、根轨迹的分离点 七、根轨迹的起始角和终止角 八、根轨迹与虚轴的交点 九、闭环特征方程根之和与根之积
a
(2k 1)180 nm
渐近线与实轴交点的坐标值：
n
m
pi zi
a＝ i1
i1
nm
证明
G(s)H (s) K '
m
(s zi )
i 1 n
自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
解：1）τ>T
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
自动控制原理第六版ppt 第4章 线性系统的根轨迹法
上海大学自动化系
自动控制原理
模值条件与相 根轨迹的模值条件与相角条件
第四章
* 模值条件 : K 1+K -1.09+j2.07
78.8o
∏ (s - ∏ zj ) p s ︱ ︱ i j=1 *
n
m
角条件的应用
66.27o
2.26
2.072 2.11
相角条件 : -2 -1.5
m
j=1 K*=
∏ ( s -p ) s - z︱ ∏ i︱ j i=1
n−m
n
渐近线与实轴交点的坐标值：
σ =
i = i 1= j 1 a
∑ p −∑z
n−m
m
j
渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）
上海大学自动化系
自动控制原理
第四章
绘制根轨迹图的基本法则
ϕa
( 2k + 1)π ( k 0, 1, 2, , n − m − 1) = n−m
n－m条与实轴交点为σa 、倾角ϕa为的一组射线
−6
−5
K * ( s + 1)( s + 3) G (s) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
s平面
−2
−1
−4
−3
o
σ
法则1：两条终止于-1, -3, 一条终止于无穷远处
−2 − 4 − ( −1 − 3) 法则3：n-m=1条渐近线， φa= 180°, σ a = = −2 3−2
K=0 K →∞ K=2.5
8
j
2 1
K=0.5 K=0
K=1
-2
-1
K=1
-1 -2
自动控制原理
模值条件与相 根轨迹的模值条件与相角条件
第四章
* 模值条件 : K 1+K -1.09+j2.07
78.8o
∏ (s - ∏ zj ) p s ︱ ︱ i j=1 *
n
m
角条件的应用
66.27o
2.26
2.072 2.11
相角条件 : -2 -1.5
m
j=1 K*=
∏ ( s -p ) s - z︱ ∏ i︱ j i=1
n−m
n
渐近线与实轴交点的坐标值：
σ =
i = i 1= j 1 a
∑ p −∑z
n−m
m
j
渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）
上海大学自动化系
自动控制原理
第四章
绘制根轨迹图的基本法则
ϕa
( 2k + 1)π ( k 0, 1, 2, , n − m − 1) = n−m
n－m条与实轴交点为σa 、倾角ϕa为的一组射线
−6
−5
K * ( s + 1)( s + 3) G (s) = s ( s + 2)( s + 4)
jω
s平面
−2
−1
−4
−3
o
σ
法则1：两条终止于-1, -3, 一条终止于无穷远处
−2 − 4 − ( −1 − 3) 法则3：n-m=1条渐近线， φa= 180°, σ a = = −2 3−2
K=0 K →∞ K=2.5
8
j
2 1
K=0.5 K=0
K=1
-2
-1
K=1
-1 -2
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z i 前向通道传递函数 零点
p i 前向通道传递函数 极点
l
K H * (s z j )
H (s)
j 1
h
(s pj) j 1
K H * 反馈通道根轨迹增益
z j 反馈通道传递函数 零点
p j 反馈通道传递函数 极点
R
G (s)
C
f
K G* (s zi )
G(s)
i 1 q
(s pi )
开环前向通路根轨迹增益 开环前向通路零点 ＋ 反馈通路的极点 开环零、极点以及开环根轨迹增益有关
开环传递函数和闭环传递函数所包含的系统信息完全一样 如何由已知的开环零、极点不直接求解闭环特征方程， 找出闭环极点在增益K*变动下的规律性
根轨迹法
利用开环传递函数直接寻求闭环极点的总体规律
三. 根轨迹的基本原理
j
•
[s]
j2
•
j1
•
2
•
1
•
0
•
j1
j2
•
性能分析
K
j [s]
K 0
j2
j1
2 1
0
j1
K 0.5
j2
K
（1）稳定性
K:0时，根轨迹全部分布在s左 半平面，系统稳定。
（2）动态性能
0K0.5 两个不相等的负实根
K 0.5
过阻尼状态 两个相等的负实根 临界阻尼状态
K 0.5 一对共轭复根 欠阻尼状态
第四章 线性系统的根轨迹法
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建模 分析系统性能
时域分析法 （第三章） 根轨迹法 （第四章） 频域分析法 （第五章） 校正
4-1 根轨迹法的基本概念
R(s) E(s)
系统性能
解： 闭环传递函数 闭环特征方程 闭环极点
C(s)
2K
(s)R(s)s22s2K
s22s2K0
s 1 1 1 2 K ， s 2 1 1 2 K
R
K
C
s (0.5 s 1)
s1 1 1 2K s2 1 1 2K
K0 s10,s22 （开环极点） K0.25s10.2,9 s21.71 K0.5 s11,s21 K1 s1 1 j,s2 1 j K s1 1 j ,s2 1 j
（3）稳态性能 有一个开环极点在原点，系统为Ⅰ型
阶跃输入下稳态误差为0
斜坡输入下稳态误差为常值
二. 绘制根轨迹的依据
闭环零、极点与开环零、极点的关系
R
G (s)
C
H (s)
前向通道传递函数
反馈通道传递函数
f
K G* (s zi )
G(s)
i 1 q
(s pi )
K G*
i 1
前向通道根轨迹增益
(2k1)
k0,1,2,
用试探法寻找满足相角方程的点：
j
s2
（1）在负实轴的（-0.5 ，0）区段上任
取一点s1，代入相角条件验证：
p2
p1
G ( s 1 ) ( s 1 p 1 ) ( s 1 p 2 )
0.5 s 1
0
1 8 0 0 1 8 0
满足相角方程，该区段在根轨迹上。
i 1
l
K H * (s z j )
H (s)
j 1 h
(s pj)
j 1
H (s)
开环传递函数
f
l
K* (szi) (szj)
G(s)H(s)
i1 q
j1 h
(s pi )(s pj )
i1
j1
K* KG*KH* 开环根轨迹增益
zi z j
开环传递函数 零点
pi p j
开环传递函数 极点
C(s)
+-
G(s)
B(s)
H(s)
R(s)
C(s)
Ф(s)
(s) G(s)
闭环极点
1G(s)H(s) 闭环零点
稳定性
由闭环极点决定
动态性能 由闭环极点和闭环零点共同决定
n>3阶的时候，求解闭环极点困难 伊万思---根轨迹（图解法）
max
r
r
E
z2
c
c
ห้องสมุดไป่ตู้
Ra La
us Ka ua
ia
m
ea M
z1
Jm fm
（2）在 p1p2 线段的垂直平分线上
任取一点s2 进行验证： G(s2)(s2p1)(s2p2)
180
整个垂直平分线都在根轨迹上。 逐点试探可绘制出全部根轨迹。
根据模值方程，可求出S1、 S２处 的根轨迹增益（或开环增益）。
i1 l
j1
i1
j1
K * ( s z j ) 闭环传递函数的零点
j 1 n
(s si)
闭环传递函数的极点
i1
闭环根轨迹增益
开环前向通路根轨迹增益
（容易）
闭环零点 开环前向通路零点 ＋ 反馈通路的极点 （容易）
闭环极点 开环零、极点以及开环根轨迹增益有关 （困难）
闭环根轨迹增益 闭环零点 闭环极点
G(s)H(s)
j1 n
1
(s pi )
i1
j 1 n
1
s pi
i 1
相角方程 G (s)H (s) (2 k 1 )
m
n
(s zj) (sp i) (2 k 1 ),k 0 , 1 ,...
j 1
i 1
2．分析
相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件
模值方程用来确定根轨迹上各点对应的开环根轨迹增益K*
if
θr
ur
us
电位器
比较
放大器
电机 减速器
JL fL
mL
工作 θc
机械
uc
电位器
θr
K
-u
KA
k1
ua s(T2s 1)(T1s 1) θm
1/i
θc
K
一. 根轨迹的概念
当系统的某个参数（例如开环增益K）由 0
变化时，闭环极点在s平面上移动的轨迹
R
K s (0.5 s 1)
C 画出系统的根轨迹，并分析
f
K G* (s zi )
G(s)
i 1 q
(s pi )
i 1
K H * l (s z j ) R
H (s)
j 1 h
(s pj)
j 1
G (s)
C
H (s)
闭环传递函数
f
h
KG* (szi) (spj)
(s) q
i1 h
j1 f
l
(spi) (spj)KG*KH* (szi) (szj)
满足相角方程也必能满足模值方程
单位负反馈系统开环传递函数为 试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。
G(s) K s(2s 1)
解： G (s) K 0.5K K* s(2s1) s(s0.5) s(s0.5)
根轨迹增益 K* 0.5K
无开环零点，开环极点为： p10 p20.5
根据相角方程，应有
G (s ) (s p 1 ) (s p 2 ) s (s0.5)
根轨迹
所有闭环极点的集合
根轨迹上的点满足闭环特征方程
1G(s)H(s)0
1．三种表达方式
G(s)H(s)1
零极点形式
m
K* (s zj )
G(s)H(s) j1 n
1
(s pi )
i1
m
模值方程和相角方程
K* (s zj )
模值方程 G(s)H(s) 1 m K * s z j