【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试数学(文)试题
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试语文试题及答案解析
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试语文试题及答案解析注意事项：1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并在答题卡规定位置贴条形码。
2.本试卷满分150分，共10页，考试用时150分钟。
3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成 1~5题。
①“记忆”一词现在常能听到，但基本都是从技术层面来讲的。
计算机的内存也叫记忆，指的是信息的储存空间，这个“记忆”已经成为人人都理解的日常概念。
有人觉得电脑的记忆和人脑的记忆在工作方式上差不多——信息输进来，大脑进行记录，需要时再提取出来。
对不对？②错！数据和信息被输进电脑的内存，等到需要提取时，除非出现什么技术故障，正常情况下会与当初存进去时一模一样地被提取出来。
在这个程度上，可以说两者是相似的。
我们都有过这种体验吧？有时候，原本正在房间里做着什么事，突然想起来要到另外的房间拿个东西。
起身去拿的半路上，被什么打了岔，好比说注意到广播里放的曲子，听到旁边有人说了什么好笑的话，到了要去的那个房间，却一下子想不起到底是来干什么了。
这种令人沮丧、心烦的情况，却偏偏是人脑处理记忆的方式出奇复杂而造成的诸多怪癖之一。
③大多数人最熟悉的记忆分类方法是区分短期记忆和长期记忆的。
它们的名称很恰当：短期记忆最多持續一分钟；长期记忆能够与你终生相伴。
④短期记忆维持时间不长，但负责对实时的信息做有意识的操作，也就是我们当前正在想的事。
我们之所以能够思考，是因为信息就在短期记忆中；这就是短期记忆的功能。
长期记忆提供了丰富的数据辅助我们思考，但真正进行思考的是短期记忆.⑤为什么短期记忆就那么限量？部分原因是它在不停地工作。
山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学文科试题(解析版)
13.假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第8支疫苗的编号_______．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
可得： ，
可得函数解析式为：
故把 的图象向左平移 个单位长度，
可得 的图象，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，函数 的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
8.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为 ，可推得 .如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是( )
山东省山东省实验中学淄博实验中学烟台中学莱芜一中四校
2019届高三联考文科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 （）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简 ，再利用纯虚数的定义求解即可．
9.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试化学试题
山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试化学试题2018．10说明：本试卷满分100分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第5页，第Ⅱ卷为第6页至第8页。
试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间90分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N14 O 16 Na 23 Fe 56第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项．．．．．．符合题意）1．化学与社会、科技、生产、生活、环境等密切相关。
下列有关说法不正确的是A．含氮、磷元素的污水任意排放，会导致水华、赤潮等水体污染B．工业生产玻璃、水泥，均需要用石灰石为原料C．有人称“一带一路”是“现代丝绸之路”，丝绸的主要成分是纤维素D．研究表明，中国蓝是古代人工合成的蓝色化合物，其化学式为BaCuSi4O10 。
可将该化学式改写成BaO•CuO•4SiO22．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A．NaHCO3受热易分解，可用于制胃酸中和剂B．SiO2熔点高硬度大，可用于制光导纤维C．SO2是酸性氧化物，可用作漂白剂D．CaO能与水反应，可用作干燥剂3．下列各项中，两物质间反应均产生1 mol气体时，参加反应的酸的物质的量最少的是A．碳与浓硝酸B．铜与浓硫酸 C. 锌与稀硫酸D．二氧化锰与浓盐酸4．某溶液中含有①NO3-、②HCO3-、③SO32-、④CO32-、⑤SO42-等五种阴离子。
若向其中加入少量的Na2O2固体，充分作用后溶液中的离子浓度基本保持不变的是(忽略溶液体积、温度变化)A．①B．①⑤C．①④⑤D．①③④⑤5．把一小块金属钠放入下列溶液中，说法正确的是A．放入饱和NaOH溶液中：有氢气放出，恢复至原温度后溶液的pH增大B．放入稀CuSO4溶液中：有氢气放出，有紫红色铜析出C．放入MgCl2溶液中：有氢气放出，有白色沉淀生成D ． 放入NH 4NO 3溶液中：有无色无味气体放出6．在如图装置中，烧瓶中充满干燥气体a 。
2019-2020学年山东省实验中学高三第一次诊断性考试 数学试题(文科)
2019-2020学年山东省实验中学高三第一次诊断性考试 数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、已知集合，则 A ． B ． C ． D ．3、命题“”的否定是A ．B ．C ．D ． 4、已知角终边上一点，则角的最小正值为 A ．B ．C ．D ．5、已知向量与的夹角为，，则 A ．5 B ．4 C ．3 D ．16、 的值是 A ．B ． CD7、定义在R 上的函数满足，且时，，则A ．-1B ．C ．1D ．z 2(1)1z i i +=-i z {|(1)0},{|1}x A x x x N x e =-<=>()N C A B =[1,)+∞(0,)+∞(0,1)(0,1]000(0,),ln 21x x x ∃∈+∞=+000(0,),ln 21x x x ∃∈+∞≠+000(0,),ln 21x x x ∃∉+∞=+(0,),ln 21x x x ∀∈+∞≠+(0,),ln 21x x x ∀∉+∞≠+α22(sin,cos )33P ππα56π116π23π53πa b 01203,13a a b =+=b =002cos10sin 20sin 70-12()f x ()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+(1,0)x ∈-()125x f x =+2(log 20)f =45-458、已知，函数在上单调递减，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9、如图，已知四边形是梯形，分别是腰的中点，是线段上的两个点， 且 ，下底是上底的2倍，若，则A ．B ．C ．D ．10、函数 的图象大致是11、已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 12、设是函数的导数，且满足，若是锐角三角形，则A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.0w >()sin()3f x wx π=+(,)2ππw 15[,]3617[,]3615[,]4617[,]46ABCD ,E F ,M N EF EM MN NF ==,AB a BC b ==DN =1122a b --1142a b +1122a b +1142a b -()12sin(cos )12xxf x x -=+12ln ([,])y a x x e e =+∈P 22y x =--Q ,P Q a 2[3,]e 2[,)e +∞221[4,]e e +1[3,4]xe +()f x '(),f x x R ∈()()20xf x f x '->ABC ∆22(sin )sin (sin )sin f A B f B A >22(sin )sin (sin )sin f A B f B A <22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >22(cos )sin (sin )cos f A B f B A <13. 已知集合，，则集合的非空真子集的个数为 ． 14.设条件若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________.15. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，,则 .16.下列命题:①若函数为奇函数,则=1;②设函数定义域为R ，则函数与的图像关于y 轴对称； ③若函数与都是奇函数，则实数4为函数的一个周期； ④对于函数,若,则.以上命题为真命题的是 ______________.(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）已知命题，且，命题，且. (Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的充分条件，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分） 已知，(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)解不等式。
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题(解析版)
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题2023.10第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．1.已知集合{}24x A x =<，{}1B =≤，则A B = （）A.()0,2 B.[)1,2 C.[]1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2.已知复数z 满足i 2i z =-，其中i 为虚数单位，则z 为（）A .12i-- B.12i + C.12i-+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】计算12i z =--，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()2i i 2i 12i i i i z -⨯--===--⨯-，则12i z =-+.故选：C3.“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立求出b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立，则当0b =时，10>恒成立，即0b =，当0b ≠时，2040b b b >⎧⎨-<⎩，解得04b <<，因此R x ∀∈，210bx bx -+>成立时，04b ≤<，因为(0,4)[0,4)，所以“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的充分不必要条件.故选：A4.设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()D Y =（）A.4 B.5 C.6D.7【答案】A 【解析】【分析】二项分布与n 次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出()D X ，再利用方差的性质求解即可．【详解】解：因为12,3X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则()11421339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又31Y X =-，所以()()()224313349D Y D X D X =-==⨯=．故选：A ．5.设数列{}n a 为等比数列，若2342a a a ++=，3454a a a ++=，则数列{}n a 的前6项和为（）A.18B.16C.9D.7【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()223412234511214a a a a q q q a a a a q q q ⎧++=++=⎪⎨++=++=⎪⎩，解得1172a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，数列{}n a 的前6项和为()61127912-=-.故选：C.6.已知函数()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()2,+∞ C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】∵()f x 满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，∴()f x 在R 上是减函数，()00120203a a a a a ⎧<<⎪∴-<⎨⎪-⨯+≤⎩，解得103a <≤，∴a 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：C ．7.已知函数()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，则（）A.()()20f x f x --+=B.()()1f x f x -=+C.()()22f x f x +=-D.()20230f =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于A 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，可得()()2f x f x +=-，又由()f x 为奇函数，则()()()()22,f x f x f x f x --=-+-=-，则有()()2f x f x --=--，所以()()2f x f x ---=-，即()()2=fx f x --，所以A 错误；对于B 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，所以B 不正确；对于C 中，由()()()2+==f x f x f x --，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()22f x f x +=-，所以C 正确；对于D 中，由()f x 是周期为4的周期函数，可得()()()()150********f f f f =-+⨯=-=-，其中结果不一定为0，所以D 错误.故选：C.8.已知OA ，OB ，OC 均为单位向量，满足12OA OB ⋅= ，0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，OC xOA yOB =+ ，则3x y +的最小值为（）A.14-B.3-C.14-D.-1【答案】B 【解析】【分析】首先确定向量,OA OB 的夹角，从而构建单位圆，确定向量,,OA OB OC的坐标，并利用三角函数表示3x y +，并利用三角函数求最小值.【详解】1cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅==，所以π,3OA OB =，根据0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，则π,0,2OA OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ,π,0,2OB OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,如图，建立平面直角坐标系，设()1,0A，1,22B ⎛ ⎝⎭，()cos ,sin C θθ，ππ,62θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由OC xOA yOB =+，可知，cos 2sin 2y x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得cos sin 3x θθ=-，sin 3y θ=，()33cos sin cos 333x y θθθθθϕ⎛⎫+=-==+⎪⎪⎭，其中cos tan ϕϕϕ===，所以π0,6ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,62θϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，所以当π2θ=时，所以3x y +的最小值是33-.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数r 越接近于1B.样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68C.已知随机变量()2~,X N μσ，若()()151P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12x x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】ABC 【解析】【分析】A 由相关系数的实际意义判断；B 由百分位数定义求出对应分位数判断；C 根据正态分布对称性判断；D 由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.【详解】A ：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数r 越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，对；B ：由630% 1.8,650%3⨯=⨯=，则第30百分位数与第50百分位数分别为373930,382+=，故和为68，对；C ：由()()()()151151P X P X P X P X ≥-+≥=≥-+-<=，故()()15P X P X ≥-=<，根据正态分布对称性：1522μ-+==，对；D ：由题意，总体均值为12x x x ==，若两层样本容量依次为,m n ，则()()2222222112212··m n m n s s x x s x x s m n m n m n m n ⎡⎤⎤⎡=+-++-=+⎢⎥⎥⎢++++⎦⎣⎣⎦，当且仅当m n =时()2221212s s s =+，错.故选：ABC 10.若110a b<<，则（）A.22a b < B.2ab b < C.()()ln ln a b ->- D.a b a b+>+【答案】AB 【解析】【分析】首先由条件得0b a <<，再根据不等式的性质，以及函数的单调性，即可判断选项.【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0b a ->->，所以22b a >，故A 正确；0b a <<，0b <，则2b ab >，故B 正确；由0b a ->->，则()()ln ln b a ->-，故C 错误；由0b a <<，则a b a b +=+，故D 错误.故选：AB11.已知函数()1sin sin f x x x=-，则（）A.()y f x =的图象关于原点对称B.()f x 的最小正周期为πC.()y f x =的图象关于直线π2x =对称 D.()f x 的值域为R【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，根据周期的定义即可判断B ，根据()()()πf x f x f x +=-=-即可判断C ，根据奇偶性以及单调性即可判断D.【详解】令sin 0π,Z x x k k ≠⇒≠∈,故()1sin sin f x x x=-的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，有()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-+=--为奇函数，A 正确，()()()()11πsin πsin sin πsin f x x x f x x x +=+-=-+≠+，π不是()f x 的周期，故B 错误，()()()11πsin πsin sin πsin f x x x x x +=+-=-++，由于()()()πf x f x f x +=-=-，故π2x =是()f x 的一条对称轴，故C 正确，令[)(]sin 1,00,1t x =∈- ，()1f t t t=-在(]0,1t ∈单调递增，故()1f t t t=-在(]0,1t ∈上的范围为(],0-∞，由于()1f t t t =-为奇函数，所以()1f t t t=-在[)1,0t ∈-上的范围为[)0,∞+，故()f x 的值域为R ，D 正确，故选：ACD12.在平面直角坐标系xOy 中，将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转()090αα︒<≤︒后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”，则（）A.存在“90°旋转函数”B.“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”C.若()1g x ax x=+为“45°旋转函数”，则1a =D.若()ex bxh x =为“45°旋转函数”，则2e 0b -≤≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可．【详解】对于A ，如y x =，旋转90°后为y x =-满足条件，故A 正确；对于B ，如倾斜角为10︒的直线是70︒旋转函数，不是80︒旋转函数，故B 错误；对与C ，若1()g x ax x=+为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g x ax x=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点．故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x=+的函数图象有两个交点．即(R)y x b b =+∈与1()g x ax x=+至多1个交点．联立1y ax x y x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，可得2(1)10a x bx --+=．当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；当1a ≠时，2(1)10a x bx --+=的判别式24(1)b a ∆=--，对任意的a ，都存在b 使得判别式大于0，不满足题意，故1a =．故C 正确；对与D ，同C ，()e xbxh x =与(R)y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e x bx a x =-至多1个解，故()e x bx g x x =-为单调函数，由()()()11,110e xb x g x g -=-=-'<'，故(1)()10exb x g x --'=≤恒成立，即e (1)xb x ≥--恒成立．即e x y =图象在(1)y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤．当e x y =与(1)y b x =--相切时，可设切点00(,e )x x ，对e xy =求导有e xy '=，故00e e 1x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤．故D 正确．故选：ACD．【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=______．【答案】79【解析】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式即可求解.【详解】由π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2ππ17cos 22cos 1212499θθ⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故77sin 2sin 299θθ-=-⇒=，故答案为：7914.已知平面向量a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若2c a =+ ，则cos ,a c = ______．【答案】23【解析】【分析】代入向量数量积的夹角公式，即可求解.【详解】()2222a c a a a b ⋅=⋅+=+⋅=，3c == ，所以22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯.故答案为：2315.二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为______．【答案】6【解析】【分析】利用赋值法可得系数和为()20232023516+=，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数.【详解】令1x =得()20232023516+=，由于()202320231223320232023202320236171C 7C 7C 77=-+=-+-+++ ，由于()202320231223320231223320232023202320232023202320236171C 7C 7C 7767C 7C 7C 77=-+=-+-+++=-+-+++ ，1223320232023202320237+C 7C 7C 77--+++ 均能被7整除，所以余数为6，故答案为：616.若函数()()2sin cos 1f x x ω=-在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是______．【答案】π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】利用三角函数的性质计算即可.【详解】在()0,2πx ∈时，[)cos 1,1x ∈-，此时cos y x =的图象关于直线πx =对称，若0ω>，则[)cos ,x ωωω∈-，易知()πcos 2πZ 6x k k ω=+∈或()5πcos 2πZ 6x k k ω=+∈时，()()2sin cos 10f x x ω=-=，因为恰有两个零点，故5ππ66ω>>，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；若0ω<，则(]cos ,x ωωω∈-，同上，有π5π66ω->>-，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；综上π5π5ππ,,6666ω⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .【点睛】本题关键在于对ω符号的讨论，还需要考虑到cos y x ω=的对称性，取零点时通过数形结合注意端点即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知120A =︒，1b =，2c =．（1）求sin B ；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积．【答案】（1）14（2）10【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解a ，即可由三边求解cos B ，进而可求正弦值，（2）根据面积公式即可求解.公众号：高中试卷君【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos 14221cos1207BC a b c bc A ==+-=+-⨯⨯⨯︒=，则BC =，222cos214a c b B ac +-===，()0,πB∈,所以sin14B===．【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDAB ADSS AC AD⨯⨯⨯︒==⨯⨯⨯︒△△，则11121sin12055210 ACD ABCS S⎛⎫==⨯⨯⨯⨯︒=⎪⎝⎭△△．18.已知数列{}n a的前n项和为n S，且2nS n n=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足2,2,nnana nbn⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b的前2n项和2n T．【答案】（1）2na n=（2）124423nn+-+【解析】【分析】（1）根据1n n na S S-=-即可求解，（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】当2n≥时，()()221112n n na S S n n n n n-=-=+----=，当1n=时，112a S==，因为1a也符合上式．所以2na n=．【小问2详解】由（1）可知2,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()246222610422222n n T n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()124142424422143n n n n n +-+--=+=+-．19.如图，某公园拟在长为8（百米）的道路OP 的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为(3,S ，跑道的后一部分为折线段MNP ．为保证跑步人员的安全，限定120MNP ∠=︒．（1）求A ，ω；（2）求折线段跑道MNP 长度的最大值．【答案】（1）A =6π=ω（2）3百米【解析】【分析】（1）由图象即可得A 和函数的周期，继而求得ω；（2）解法一，由（1）的函数解析式，即可求得M 点坐标，求出MP 的长，在MNP △中利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案；解法二，在MNP △中利用正弦定理求得NP MN +的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求得答案.【小问1详解】依题意，有A =34T =，则12T =，又2πT ω=，∴6π=ω；【小问2详解】由（1）知，π6y x =．当4x =时，2π33y ==，∴()4,3M ．又()8,0P ，∴5MP ==．解法一：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =，由余弦定理得2222cos MN NP MN NP MNP MP +-⋅⋅∠=．故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤，即3MN NP +≤，当且仅当3MN NP ==时等号成立．故折线段赛道MNP 最长为3百米．解法二：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒<<︒．由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MN θθ==︒︒-，∴sin 3NP θ=，()103sin 603MN θ=︒-．故()sin 6033NP MN θθ+=+︒-()1sin cos 603223θθθ⎛⎫=+=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭．∵060θ︒<<︒，∴当30θ=︒时，()sin 603θ+︒取到最大值3，即折线段赛道MNP 最长，故折线段赛道MNP 最长为1033百米．20.已知()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e x f x g x +=.（1）求()f x 的单调区间；（2）对任意实数x 均有()()230g x af x +-≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0∞-（2）(,-∞【解析】【分析】（1）对于()()e x f x g x +=将x 换成x -结合奇偶性求出()f x 、()g x 的解析式，在利用导数求出函数的单调区间；（2）设e e x xt -=+，则问题转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，参变分离可得82a t t ≤+，再利用基本不等式求出8t t +的最小值，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()()e x f x g x +=①，()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --=②，①②解得()()1e e 2x x f x -=+，()()1e e 2x x g x -=-，所以()()1e e 2x x f x -'=-，()()1e e 02x x g x -=+'>，所以()f x '（()g x ）在定义域R 上单调递增，又()()0010e e 02f '=-=，所以当0x >时()0f x ¢>，即()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0x <时()0f x '<，即()f x 的单调递减区间为(),0∞-.【小问2详解】公众号：高中试卷君设e e x x t -=+，因为e e 2-+≥=x x ，当且仅当0x =时取等号，所以2t ≥，不等式()()230g x af x +-≥恒成立，转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，分离参数得82a t t ≤+在2t ≥时恒成立，由均值不等式8t t +≥=当且仅当t =时取等号，故8t t+的最小值为，所以2a a ≤⇒≤，故实数a 的取值范围为(,-∞.21.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．（1）求2P 的值，并探究数列{}n P 的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．【答案】（1）1942，1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）第二次，证明见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解2P ，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即可对n 分奇偶性求解.【小问1详解】记该顾客第()*N i i ∈次摸球抽中奖品为事件A ，依题意，127P =，()()()()()22121121212119||1737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．因为()11|3n n P A A -=，()11|2n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111||n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P -⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为127P =，则131077P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，故1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明：当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅，则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．22.已知函数()ln a f x x x =+的最小值为1．（1）求a ；（2）若数列{}n x 满足()10,1x ∈，且()1n n x f x +=，证明：1322n n n x x x ++++>．【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性，并求函数的最小值，即可求实数a 的取值；（2）由（1）的结果可知，11n x +>，*N n ∈，并设()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，利用导数判断函数的单调性，根据()()21n n g x g x ++>，即可证明.【小问1详解】()221a x a f x x x x-'=-+=，0x >．①若0a ≤，()0f x ¢>恒成立，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 没有最小值，不符合题意；②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()min 1ln 1f x f a a ==+=，所以1a =．【小问2详解】证明：由（1）可得，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则有()()11f x f ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x f x =>，()()32111n n x f x x x f +>⋅⋅⋅=>=．令()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x g x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()g x 在区间[)1,+∞上单调递减，且()10g =，所以()()1110n n n g x f x x +++=-<，而()21n n x f x ++=，所以21n n x x ++<，所以()()21n n g x g x ++>，即()()2211n n n n f x x f x x ++++>--，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题，第二问是本题的难点，关键是构造函数()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，并结合()1n n x f x +=，即可求解.。
高考文数百强名校试题解析精编版：山东省实验中学2019届高三上学期第一次诊断性测试文数试题解析(原卷版)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，若复数z 满足()20152016z i i ⋅-=+，则z 为（ ）A ．20152016i +B ．20152016i -C ．20162015i -+D ．20162015i --2、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ð为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4,5D ．{}2,3,4,53、函数()f x =的定义域为（ ） A ．[)(]2,00,2- B ．()(]1,00,2- C ．[]2,2- D ．(]1,2-4、在某次测量中得到的A 样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加20后所得数据，则A ， B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差5、设命题:p 函数2sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列判断准确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]0,1C ．[]1,2D ．[]2,1-7、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．168、设函数()1ln 3f x x x =-（0x >），则函数()f x （ ） A ．在区间()0,1，()1,+∞内均有零点B ．在区间()0,1，()1,+∞内均有零点C ．在区间()0,1内有零点，在区间()1,+∞内无零点D ．在区间()0,1内无零点，在区间()1,+∞内有零点9、函数cos 622x x x y -=-的图象大致为（ ）10、若()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有()()44f x f x +≤+，且()()22f x f x +≥+，若()34f =，则()2015f 的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，E 为线段1C B 上的一点，则三棱锥1D D A -E 的体积为 ．12、已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则89101112a a a a a ++++= ．13、()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ为常数，0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．14、已知m 、n 为正实数，向量(),1a m =，()1,1b n =-，若//a b ，则12m n+的最小值为 ． 15、已知双曲线1C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，若抛物线2C :22x py =（0p >）的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则p = ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos C cos 2cos b c a +B =B ．()I 求角B 的大小；()II 若函数()()()2sin 2sin 22cos 1f x x x x =+B +-B +-，R x ∈．()1求函数()f x 的最小正周期；()2求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17、（本小题满分12分）山东省济南市为了共享优质教育资源，实现名师交流，甲、乙两校各有3名教师报名交流，其中甲校2男1女，乙校1男2女．()I 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；()II 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，D P ⊥平面CD AB ，D DC C 1P ==B =，2BA =，//DC AB ，CD 90∠B =，点E 、F 、G 分别是线段AB 、C P 、D E 的中点．()I 求证：FG//平面PAB ；()II 求证：DF ⊥平面C PB ．19、（本小题满分12分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2716a a +=，10100S =． ()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 若数列{}n b 满足：122n a n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20、（本小题满分13分）如图，椭圆:M 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，直线x a =±和y b =±所围成的矩形CD AB 的面积为．()I 求椭圆M 的标准方程；()II 若P 为椭圆M 上任意一点，O 为坐标原点，Q 为线段OP 的中点，求点Q 的轨迹方程；()III 已知()1,0N ，若过点N 的直线l 交点Q 的轨迹于E ，F 两点，且1812F 75-≤NE ⋅N ≤-，求直线l 的斜率的取值范围．21、（本小题满分14分）已知函数()21ln 22f x ax x =--，R a ∈． ()I 当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率；()II 讨论函数()f x 的单调性；()III 若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．。
山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试数学文试题
山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试数学试题(文科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项．．．．．．符合题意）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可解得，根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为，根据指数函数的性质可解得，所以,故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及集合的交集运算，属于中档题.2.下列函数中在区间上为增函数的是A. B. C. D.【答案】C【分析】根据常见基本初等函数的单调性，逐项分析各个选项即可求出.【详解】对于选项A，在区间上为减函数，对于选项B,在区间上为减函数，对于选项C, 在区间上为增函数，对于选项D，在区间上为减函数，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.3.设函数（），则是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】试题分析：∵，∴最小正周期T=，为偶函数.考点：三角函数的奇偶性与最小正周期.4.已知命题，命题，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简命题q:或，是的充分不必要条件可知，反之则不成立，所以.【详解】由可知，或，因为是的充分不必要条件，所以，即是的真子集，故，选B.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，子集的概念，属于中档题.5.已知，，，则A. B. C. D.【解析】【分析】根据不等式的性质可比较，分析，即可比较大小.【详解】因为，，所以，又因为，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及对数函数的性质，属于中档题.6.若函数为奇函数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式可知，,又函数为奇函数，故.【详解】因为，而为奇函数，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及分段函数的解析式，属于中档题.7.已知函数则函数的大致图象是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的解析式知，当时，函数图象中的一段在处应该是空心点，所以可知的图象中有一段在，即时，处为空心点，据此选出即可.【详解】因为函数为分段函数，且两段分别为指数和对数函数，当时，其中对数函数一段图象在 为空心点，所以当，即时，图象必在处为空心点，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数及对数函数的图象，属于中档题. 8.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则( )A.B.C. D.【答案】A 【解析】 作延长线上一点为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.9.函数在上单调递减，且的图像关于对称，若，则满足的取值范围是A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象平移可知，关于对称，所以关于y 轴对称，所以，结合增减性可知只需即可,所以可解出. 【详解】因为的图象向左平移2个单位可得到的图象，所以由的图像关于对称可知的图象关于y 轴对称，为偶函数，所以上为增函数且，所以只需，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性、增减性及解不等式，属于中档题. 10.已知为自然对数的底数，是可导函数.对于任意的，恒成立，则A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数，则，可知函数为R 上的减函数，所以，即可求出.【详解】根据题意构造函数，则,所以函数为R 上的减函数，所以，，即，，化简可得，故选C.【点睛】本题主要考查了导数在判断函数增减性中的应用，属于中档题. 11.将函数（）的图象向左平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为A.B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】将函数（）的图象向左平移个单位长度，可得，图像过点可知，故当时即可.【详解】将函数（）的图象向左平移个单位长度，可得，因为图像过点 可知，由且 最小知，当时，即时成立，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象和性质，属于中档题. 12.已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用导数先求出函数的值域，再利用导数研究函数，根据函数的大致图象，让的值域是的不含极值点的单值区间的子集即可.【详解】设，当时，，是增函数，所以时，，设，，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，且，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，所以只需，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了方程恒成立问题，构造函数，利用导数求函数的单调性和取值范围，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括5小题，共20分）13.函数的定义域是__________．【答案】.【解析】要使函数有意义，则自变量需满足：，解得：，且，∴函数的定义域是：．点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14.已知命题“”.若命题是假命题，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】根据命题是假命题知p是真命题，即转化为恒成立问题，求的值域即可.【详解】因为命题是假命题，所以p是真命题，即，所以有解即可，令，，利用二次函数可知，故.【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，恒成立问题，属于中档题. 分离参数的方法是解题的关键.15.已知（），则________________.【答案】-7【解析】【分析】由（），可得，而，即可求出.【详解】因为（），所以，所以，所以，因为，所以，联立解得，所以，而，所以填.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于中档题.16.已知是奇函数，当时，（），当时，的最小值为，则的值为________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本题包括6小题，共70分）17.函数，（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据解析式直接计算即可（2）利用诱导公式得，再根据二倍角公式计算.【详解】（1）则（2）则【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及两角和差的余弦公式，属于中档题.18.函数（）的导函数的图象如图所示：（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）根据导函数的图象可写出函数的单调区间（2）利用导数研究函数的极大值及极小值，根据增减性只需极大值大于0，极小值小于0即可.【详解】(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以解得a＝－，b＝－2，由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减．(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－＜c＜.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值，零点问题，属于中档题.19.函数（）的最小正周期为.（1）求的值；（2）当时，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化简函数解析式，利用周期求出（2）根据角的范围得到，利用正弦函数的图象和性质即可求出.【详解】（1），（2），在上单调递减，在上单调递增的值域为【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的值域，属于中档题.20.已知函数（）．（1）当时，求此函数对应的曲线在（为自然对数的底数）处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可写出切线方程（2）求出函数导数，分类讨论，确定导数的正负，即可写出单调区间.【详解】（）当时，，∴，，，∴切线方程为．（）．令，则或，当时，在上为减函数，上为增函数．当时，在，上为增函数．在上为减函数，当时，在上为增函数，当时，在，上为单调递增，在上单调递减．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求函数单调区间，分类讨论的思想方法，属于中档题.21.三个内角的对边分别为，.（1）证明：；（2）若，，为边上一点且，求的面积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，化简得，即可证明（2）利用余弦定理求出，求出，，利用面积公式求解即可.【详解】（1）在中，（2）在中，在中，有或为边上一点，的面积为【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.22.已知函数（）．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（为自然对数的底数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数在上是减函数知其导数在上恒成立，结合二次函数性质可求得的范围（2）先假设存在，对函数求导，根据的值分情况讨论在上的单调性和最小值取得，可知当能够保证当时有最小值3（3）令由（2）知，，令可求出其最大值为3，即有，化简即可得证.【详解】（1）在上恒成立，令，有得，得．（2）假设存在实数，使有最小值3，①当时，在上单调递减，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增∴，满足条件．③当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3．（3）令由（2）知，。
高考文数百强名校试题解析精编版：山东省实验中学2019届高三上学期第一次诊断性测试文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，若复数z 满足()20152016z i i ⋅-=+，则z 为（ ）A ．20152016i +B ．20152016i -C ．20162015i -+D ．20162015i -- 【答案】D 【解析】试题分析：由()20152016z i i ⋅-=+得()2015201620162015z i i i =+=-+ ，所以20162015z i --，故选D.考点：复数的相关概念及运算.2、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U AB ð为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4,5D ．{}2,3,4,5 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知{4,5}U A =ð，所以(){2,4,5}U A B =ð，故选C.考点：集合的运算.3、函数()f x =的定义域为（ ）A ．[)(]2,00,2-B ．()(]1,00,2-C ．[]2,2-D ．(]1,2-【答案】B 【解析】试题分析：函数有意义2240401110lg(1)010x x x x x x ⎧-≥⎧-≥⎪⇔⇔+≠⇔-<<⎨⎨+≠⎩⎪+>⎩或02x <≤，故选C.考点：函数的定义域.4、在某次测量中得到的A 样本数据如下：582，584，584，586，586，586，588，588，588，588．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加20后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 【答案】D 【解析】试题分析：由标准差的定义及计算公式可知，原数据统一加上或减去一个数后，标准差不变，故选D. 考点：统计.5、设命题:p 函数2sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列判断准确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真 【答案】C 【解析】试题分析：因为2sin 2cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭是偶函数，所以命题p 是假命题，由余弦函数的性质可知命题q 是假命题，选项C 准确. 考点：1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.6、若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]0,1C ．[]1,2D ．[]2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：作出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为11(0,0),(,),(0,1)22A B C -，将三个点的坐标分别代入目标函数得10,,22z z z ===，所以目标函数的取值范围为[]0,2，故选A.考点：线性规划.7、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C 【解析】试题分析：模拟法，开始：1,1k S == ，满足3k <； 1122,2S k =⨯==，满足3k <；2228,3S k =⨯==，不满足3k <，输出8S =，故选C. 考点：程序框图. 8、设函数()1ln 3f x x x =-（0x >），则函数()f x （ ） A ．在区间()0,1，()1,+∞内均有零点 B ．在区间()0,1，()1,+∞内均有零点C ．在区间()0,1内有零点，在区间()1,+∞内无零点D ．在区间()0,1内无零点，在区间()1,+∞内有零点【答案】D 【解析】 试题分析：()()111ln ,33f x x x f x x'=-=-,当03x <<时，()0f x '< ，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '> ，()f x 单调递增，所以min ()(3)1ln 30f x f ==-<，而11(1)ln1033f =-=>，所以函数在区间在区间()0,1内无零点，在区间()1,+∞内有零点，故选D.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程. 9、函数cos 622x xxy -=-的图象大致为（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由cos(6)cos6()()2222x x x xx xf x f x ----==-=---可知，函数为奇函数，故排除A ，又当02x π<<时，0y >，排除B ，当1x >时， ，排除C ，故选D.考点：1.函数和奇偶性；2.函数图象与性质；3.三角函数性质.10、若()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有()()44f x f x +≤+，且()()22f x f x +≥+，若()34f =，则()2015f 的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】C 【解析】试题分析：由()()22f x f x +≥+得，()()422()4f x f x f x +≥++≥+，又因为()()44f x f x +≤+，所以()()44f x f x +=+，所以()()44()f x k f x k k Z +=+∈，则(2015)(34503)(3)45032016f f f =+⨯=+⨯= ，故选C. 考点：1.函数的表示；2.函数周期性的应用.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、如图，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为1，E 为线段1C B 上的一点，则三棱锥1D D A -E 的体积为 ．【答案】16考点：三棱锥的体积.12、已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则89101112a a a a a ++++= ． 【答案】100 【解析】试题分析：由数列的前n 项和的定义可知，228910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++=.考点：数列的前n 项和的定义.13、()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ为常数，0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．【答案】1 【解析】试题分析：由图可知，2A =，3113,,241264T T ππππω=-=∴==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 2,sin 1,6336f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52sin(2)2sin 13366f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭.考点：三角函数的图象与性质.14、已知m 、n 为正实数，向量(),1a m =，()1,1b n =-，若//a b ，则12m n+的最小值为 ．【答案】3+【解析】试题分析：因为//a b ，所以1m n =-即1m n +=，所以12122()()333n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+2n m m n=即222n m = 时取选号，所以12m n+的最小值为3+考点：1.向量的坐标运算；2.基本不等式.15、已知双曲线1C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，若抛物线2C :22x py=（0p >）的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则p = ． 【答案】8 【解析】试题分析：2,2,ce c a b a==∴===,所以双曲线的渐近线方程为y =，又抛物线的焦点坐标为(0,)2p，由点到直线的距离公式得22,82pp =∴=.考点：双曲线、抛物线的几何性质.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos C cos 2cos b c a +B =B ．()I 求角B 的大小；()II 若函数()()()2sin 2sin 22cos 1f x x x x =+B +-B +-，R x ∈．()1求函数()f x 的最小正周期； ()2求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ) 3B π=;(Ⅱ) （1）T π=;（2）max min ()() 1.f x f x ==-【解析】试题分析：(Ⅰ)由cosC cos 2cos b c a +B =B 及正弦定理或射影定理可得B A A cos sin 2sin =或2cos a a B =，从而可求得角B 的值； (Ⅱ)将3B π=代入函数解析式，再利用两角和与差的正弦与余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式得())4f x x π=+；（1）由三角函数性质可求函数的最小正周期；（2）由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得32[,]444x πππ+∈-，即可求得sin(2)[4x π+∈，所以可求函数的最大值与最小值.试题解析：(Ⅰ)cos cos 2cos b C c B a B +=，由射影定理，得2cos a a B =1cos .23B B π∴=∴=……………4分或边化角,由cos cos 2cos b C c B a B +=,变为B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+,即B A A cos sin 2sin = 1cos .23B B π∴=∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知3B π=，所以2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--=sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 23333x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+……………7分 （1）()f x 的最小正周期22T ππ==.……………8分（2）3[,],2[,],2[,]4422444x x x πππππππ∈-∴∈-+∈-，sin(2)[4x π+∈所以，())[4f x x π=+∈-……………10分故max min ()() 1.f x f x ==-……………12分考点：1.正弦定理、射影定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的图象和性质.17、（本小题满分12分）山东省济南市为了共享优质教育资源，实现名师交流，甲、乙两校各有3名教师报名交流，其中甲校2男1女，乙校1男2女．()I 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；()II 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】(I) 所的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) ; 2名教师性别相同的概率为49;（II ）所有结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；2名教师来自同一学校的概率为25.选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49. ……………………6分 （II ）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；………………………10分 选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=. ………………………12分 考点：古典概型.18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，D P ⊥平面CD AB ，D DC C 1P ==B =，2BA =，//DC AB ，CD 90∠B =，点E 、F 、G 分别是线段AB 、C P 、D E 的中点．()I 求证：FG//平面PAB ； ()II 求证：DF ⊥平面C PB ．【答案】（I ）（II ）均见解析. 【解析】试题分析：（I ）由线面平行的判定定理可知，要证//FG 平面PAB ，只要证在平面PAB 内存有一条直线与FG 平行即可，连接,EC AC 易证四边形AECD 是平行四边形，所以点G 为AC 的中点，由三角形中位线定理可知//FG PA ，可证结论成立；（II ）先由PD ⊥平面ABCD得到PD BC ⊥，由已知CD BC ⊥，证得BC ⊥平面PCD ，得到DF BC ⊥，又因为三角形PCD 为等腰直角三角形，所以DF PC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可知结论成立. 试题解析：（I ）因为DC=1，BA=2，AB ∥DC ， E 是线段AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE=DC ，所以四边形AECD 为平行四边形。
高考理数百强名校试题解析精编版：山东省实验中学2019届高三上学期第一次诊断性测试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、在复平面内，复数21i-对应的点到直线1y x =+的距离是（ ）A B C ．2 D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+,所以该复数对应的点为(1,1)，该点到直线1y x =+的距离为d ，故选A. 考点：1.复数的运算与几何意义；2.点到直线的距离公式. 2、不等式220x x -++<的解集是（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}22x x x <->或 C ．{}11x x -<< D ．{}11x x x <->或 【答案】B 【解析】试题分析：当0x ≥时，不等式222202020x x x x x x -++<⇔-++<⇔-->，此时不等式的解集为{}|2x x >；当0x <时，不等式222202020x x x x x x -++<⇔--+<⇔+->，此时不等式的解集为{}|2x x <-；综上所述，原不等式的解集为{}22x x x <->或. 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算.3、函数()ln xf x x e =+（e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,eD ．(),e +∞【解析】试题分析：当0x →时，()ln xf x x e =+的值趋近于-∞ ，即此时()0f x <，又1111ln 10ee f e e e e ⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭，由零点存有定理可知，函数()f x 的零点在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A.考点：零点存有定理. 4、给出下列命题：①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则//l α；②若平面α⊥平面β，且l αβ=，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β；③()03,x ∃∈+∞，()02,x ∉+∞；④已知R a ∈，则“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件． 其中准确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D考点：1.直线与平面平行的判定；2.直线与平面垂直的判定；3.逻辑联结词与命题；4.充要条件.5、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）3m A ．72 B ．92 C ．73 D ．94【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如图所示几何体，其体积为3个正方体的体积加下个三棱柱的体积，所以17322V =+=，故选A.考点：三视图与多面体体积. 6、将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移23π个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =与2x π=-，3x π=，x 轴围成的图形面积为（ ）A ．52 B ．32C．1+．1-【答案】B 【解析】试题分析：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移23π个单位得到函数()2sin 2()sin(2)sin 233f x x x x πππ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()sin y g x x ==-的图象，函数()y g x =与2x π=-，3x π=，x 轴围成的图形面积为()()0033002213sin sin cos cos 1()22S x dx x dx x xππππ--=---=-=--=⎰⎰，故选B.考点：1.图象平移、伸缩变换；2.积分的几何意义与运算；3.三角函数图象与性质. 7、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()01f =-，且对任意R x ∈，有()()2f x f x =--成立，则()2015f 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()2f x f x =--可知函数()f x 为周期为4的周期函数，令1x =得，()()()()1211,10f f f f =--=-∴=所以()2015(45041)(1)(1)0f f f f =⨯-=-==，故选C.考点：函数的周期性与对称性.8、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a的值是（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：作出实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩的的可行域为如图所示三角形ABC ，由图可知，当目标函数2t x y =-经过点A 时有最大值，此时直线22x y -=与直线20x -=的交点坐标为(2,0)，代入直线20x y a +-=得2a =，故选D.考点：线性规划.9、已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A．1 B．2 C1- D2- 【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线定义可知，点P 到准线的距离可转化为到焦点F 的距离，即求PQ PF +的最小值即可，又因为1PQ PC ≥-，所以111PQ PF PC PF FC +≥-+≥-=-，故选C.考点：1.抛物线和定义与几何性质；2.数形结合与求最值.10、已知直线10ax by +-=（a ，b 不全为0）与圆2250x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条 【答案】B 【解析】试题分析：圆2250x y +=上横、纵坐标均为整数的点有(1,7),(1,7),(1,7),(1,7),----(5,5),(5,5),-(5,5),-(5,5)--,(7,1)(7,1)(7,1)(7,1)----,共有12个点，过这12个点所确定的直线共有2121211662C ⨯==条，又因为直线10ax by +-=不过原点，这66 条直线中共有6 条直线过坐标原点，所以过其中两点符合条件的直线共有60条，又过这些点与圆相切的直线也符合条件，这样的直线共有12条，所以符合条件的直线共有601272+=条，故选B. 考点：1.圆的方程与性质；2.两个基本原理；3.排列与组合. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、已知过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：因为过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，所以双曲线的渐进线b y x a =的倾斜角小于45，所以1ba<，即22222,b a c a a <-<，解得1e <<考点：双曲线的标准方程与几何性质.12、将211nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n +∈N ）的展开式中4x -的系数记为n a ，则232015111a a a ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】40282015【解析】试题分析：211n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n +∈N ）的展开式的通项为()21211rr r r rr n n T C C x x -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，由题意可知2r =，此时，2(1)2n n n n a C -==，所以12112()(1)1n a n n n n==---，所以 23201511111111140282[(1)()()]2(1)2232014201520152015a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-=-=. 考点：1.二项式定理；2.裂项相消法求和.13、已知D 为三角形C AB 的边C B 的中点，点P 满足C 0PA +BP +P =，D λAP =P ，则实数λ的值为 ． 【答案】2-考点：向量的几何运算.14、已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，利用如图所示的程序框图输出该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n < （填一个整数值）．【答案】10 【解析】试题分析：当9n =时，符合判断框中的条件，当10n =时，不符合判断框中的条件，故条件应为10n <. 考点：程序框图.15、设函数()()()2,142,1xa x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】112a ≤<或2a ≥. 【解析】试题分析：当0a ≤时，()2xf x a =-在区间(),1-∞上无零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上无零点，不符合题意； 当102a <<时，()2xf x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上无零点，不符合题意； 当112a ≤<时，()2x f x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上有一个零点，符合题意；当12a ≤<时，()2xf x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上有两个零点，不符合题意；当2a ≥时，()2xf x a =-在区间(),1-∞上无零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上有两个零点，符合题意；综上，a 的取值范围为112a ≤<或2a ≥. 考点：1.函数与方程；2.分类讨论与数形结合.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）设函数()f x m n =⋅，其中向量()2cos ,1m x =，()cos 2n x x =．()1求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间；()2在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()2f A =，1b =，C∆AB，求C ∆AB 外接圆半径R ． 【答案】(1) T π=，()f x 的单调递减区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2) 1R =.【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量条件，代入函数解析式()f x m n =⋅中，使用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式()2sin(2)16f x x π=++，由三角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)将条件()2f A =代入函数解析式可求出角A ，由三角形面积公式1sin 2S bc A ==求出边c ，再由余弦定理求出边a ，再由正弦定理2sin aR A=可求外接圆半径. 试题解析：(1)由题意得：2()2cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++．所以，函数()f x 的最小正周期为T π=，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 函数()f x 的单调递减区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……………………………6分(2)()2,2sin(2)126f A A π=∴++=，解得3A π=，又ABC ∆1b =.得1sin 22bc A c ==.再由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，解得a =222c a b ∴=+，即△ABC 为直角三角形．12cR ∴==…………………………l2分 考点：1.向量坐标运算；2.三角函数图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.17、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11a =，121n n a S +=+（n +∈N ）．()1求{}n a 的通项公式；()2等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +成等比数列，求n T ．【答案】（1）13n n a -=;（2）22n T n n =+ . 【解析】试题分析：(1)由121n n a S +=+ 得到121n n a S +=+，由1(2)n n n a S S n -=-≥，两式相减得到数列{}n a 的递推公式，由等比数列定义可得数列{}n a 是等比数列，由等比数列的通项公式求之即可；(2)用基本量法，即用公差d 和首项1b 表示已知条件列出方程()()()2515953d d -+++=+，解出公差d 有两个值，再由等差数列{b n }的各项为正，舍去负值，再由等差数列的求和公式1(1)2n n n dS na -=+求之即可.试题解析：（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ ， 又21213a S =+= ∴213a a =，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，所以，13n n a -=. ……………………6分 （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+ 解得10,221-==d d∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+…………………l 2分考点：1.数列的递推公式；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的定义与性质.18、（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱111C C AB -A B 的各条棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点．()1求证：平面1D AB ⊥平面11ABB A ； ()2求异面直线1AB 与C B 所成角的余弦值；()3求平面1D AB 与平面C AB 所成二面角（锐角）的大小．【答案】(l)见解析；； (3) 4π；试题解析：(l)证明：取1AB 的中点E ，AB 的中点F ．连结DE EF CF 、、． 故11//2EF BB ．又11//.2CD BB ∴四边形CDEF 为平行四边形，∴DE ∥CF ．又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱．△ABC 为正三角形．CF ⊂平面ABC ，1,CF BB CF AB ∴⊥⊥，而1ABBB B =，CF ∴⊥平面11ABB A ，又DE ∥CF ，DE ∴⊥平面11ABB A ．又DE ⊂平面1AB D ．所以平面1AB D ⊥平面11ABB A ．…………………………4分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0),(0,,0),(0,,),(0,0,),(0,0,0)22a aA C a D aB a B 设异面直线1AB 与BC 所成的角为θ，则11||2cos ||||AB BC ABBC θ⋅==⋅故异面直线1AB 与BC ……………………8分 (3)由(2)得133(,,),(,)222a a a a a AB a AD =--=- 设(1,,)n x y =为平面1AB D 的一个法向量．由1(1,,)(,)0,2(1,,)(,)0,22an AB x y a a a n AD x y ⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅=⎪⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n = 显然平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m ．则cos ,m n ==，故,4m n π=． 即所求二面角的大小为4π………………12分 （此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得AB B 1∠即为所求） 考点：1.两个平面垂直的性质与判定；2.空间向量的应用.19、（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题准确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能准确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否准确回答互不影响． ()1求该选手被淘汰的概率；()2记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)101125; (2) ξ的分布列为E (ξ)＝5725 【解析】试题分析：(1) 利用相互独立事件概率之间的关系先求该选手没有被淘汰的概率，再利用对立事件的概率求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在考核中回答问题的个数ξ的可能值有1、2、3三种可能， 1ξ=说明第一个问题回答错误，2ξ=则说明第一个问题回答准确，第二个问题回答错误，3ξ=说明前两个问题回答准确即可，与第第三个问题的准确与否无关，分别计算其概率，可得概率分布裂，由期望公式代入直接计算即可.试题解析：(1)记“该选手能准确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.∴该选手被淘汰的概率P ＝1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－45×35×25＝101125 (5)分(2)ξ的所有可能取值为1,2,3. 则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×825＋3×1225＝25.…………………………………12分考点：1.相互独立事件与对立事件的概率；2.离散型随机变量的分布列与期望.20、（本小题满分13分）如图，椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点()0,1，离心率e =()1求椭圆C 的方程；()2设直线1x my =+与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为'A （'A 与B 不重合），则直线'A B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】 (1) 2214x y +=; (2) 直线'A B 与x 轴交于定点(4,0).【解析】试题分析：(1) 由题意椭圆过点()0,1，离心率e =，列出椭圆方程中系数,,a b c 的关系式，解之即可求椭圆方程；(2)联立方程组22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得出二次方程22(4)230m y my ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系得到两根这和与两根之积的关系，用11,x y ，22,x y 表示直线，再令0y =，用12,y y 的表示x 的值，利用前面得到的12122223,44m y y y y m m +=-=-++，代入化简求值可得x 的值为定值，即可得到该直线经过x 轴上的定点.试题解析：(1)依题意可得2221,,b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1a b ==． 所以，椭圆C 的方程是2214x y +=……………………4分(2)由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(1)44my y ++=，即22(4)230m y my ++-= ……………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y 则11'(,)A x y -．且12122223,44m y y y y m m +=-=-++．…………………7分 经过点11'(,)A x y -，22(,)B x y 的直线方程为112121y y x x y y x x +-=+-． 令0y =，则21211112211211211212()()x x x x y x y y x y x y x y x y y y y y y --+++=+==+++………………9分 又11221,1x my x my =+=+．∴当0y =时，22211212121212262(1)(1)2()44424m mmy y my y my y y y m m x m y y y y m --+++++++====++-+这说明，直线'A B 与x 轴交于定点(4,0)…………………………………………13分 考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.21、（本小题满分14分）已知函数()()ln x f x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．()1求实数a 的值；()2若()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围； ()3讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数． 【答案】(1) 0a =； (2) 1t ≤- ；(3) 故当21m e e >+时，方程无实根；当21m e e=+时，方程有一个根；当21m e e<+时，方程有两个根. 【解析】试题分析：(1)由奇函数的性质()()f x f x -=-代入解析式得()0x xa e ea -++=恒成立可求参数a 的值；(2) ()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数等价于'()0g x ≤恒成立⇔1λ≤-，2()1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立⇔2max ()(1)sin11g x g t t λλ=-=--≤++在[]1,1x ∈-上恒成立2sin11t t λλ⇔--≤++在1λ≤-时恒成立2(1)sin110t t λ⇔++++≥(其中1λ≤-)恒成立，构造函数2()(1)sin110(1)h t t λλλ=++++≥≤-求之即可； (3)2ln 2()xx ex m f x =-+⇔2ln 2xx ex m x=-+，构造函数212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+，分别研究两个函数的单调性与极值，数形结合可得方程根的个数. 试题解析：(1)()ln()x f x e a =+是奇函数，()()f x f x -=-，即ln()ln()x x e a e a -+=-+恒成立，2()()1,11x x x x e a e a ae ae a --∴++=∴+++=．即()0x x a e e a -++=恒成立，故0a =……1分．(2)由(l)知()()sin g x f x x λ=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-∴要使()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤恒成立，1λ∴≤-．又max ()(1)sin1,g x g λ=-=--∴要使2()1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，只需2sin11t t λλ--≤++在1λ≤-时恒成立即可．2(1)sin110t t λ∴++++≥(其中1λ≤-)恒成立即可．令2()(1)sin110(1)h t t λλλ=++++≥≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即210,sin10,t t t +≤⎧⎨-+≥⎩而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-………10分 (3)由(1)知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2xx ex m x =-+，令212ln (),()2xf x f x x ex m x==-+ 121ln '()xf x x -=当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数； 当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数； 当x e =时，1max 1()f x e=． 而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，∴当x e =时，22min ()f x m e =-．故当21m e e ->，即21m e e>+时，方程无实根； 当21m e e -=，即21m e e=+时，方程有一个根； 当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个根．………………14分 考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性；3.函数与方程.。
山东实验中学2019届高三4月上旬质量检测试题(数学文)
数学（文科）试卷本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足32z i i ⋅=+，则复数z 的虚部为 A ．3i - B ．3i C ．3 D ．3- 2．设{}{}23,40A x y x B x x x A B ==-=->⋂=，则 A ．{}0x x ≤ B ．{}03x x <≤ C ．{}4x x ≤D ．{}x x R ∈3．已知向量()()()2,1,1,a b k a a b ==-⊥+，若，则k 等于 A ．5B ．3C ．2D ．3-4．命题存在实数0x ，使200ln 1x x <-的否定是A ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x <-B ．对任意的实数x ，都有2ln 1x x ≥-C ．不存在实数0x ，使200ln 1x x ≥-D ．存在实数0x ，使200ln 1x x ≥-5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4572,14a S S +==，则公差d =A ．4-B ．2-C ．2D ．46．已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 7．与函数()()()()()2ln 2,00,2sin x x f x x x⋅=∈-⋃的部分图象最符合的是8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如右图所示)，则该鳖臑的体积为A ．43B ．423C ．83D ．49．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为双曲线C 右支上一点，若三角形PFO 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．31+B ．132C ．5D ．210．已知函数()()()2sin 0012f x x f πωϕϕ⎛⎫=+<<= ⎪⎝⎭，且，若函数()f x 的图象关于49x π=对称，则ω的取值可以是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 点的直线交抛物线于不同的两点A 、B ，且8AB =，点A 关于x 轴的对称点为A '，线段A B '的中垂线交x 轴于点D ，则D 点的坐标为 A ．(2，0) B ．(3，0) C ．(4，0) D ．(5，0)12．已知函数()221,1ln 2,1x ax x f x x a x ⎧-++≤=⎨+>⎩，给出下列命题，其中正确命题的个数为①当01a <<时，()()f x -∞+∞在，上单调递增；②当1a >时，存在不相等的两个实数12x x 和，使()()12f x f x =； ③当0a <时，()f x 有3个零点．A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试数学试题(文科) 2018．10说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页。
试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.设集合{}03S x x =≤≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则ST =A.[)0,+∞B.(]1,3C.[)3,+∞D.(](),01,-∞+∞2.下列函数中在区间[0,)+∞上为增函数的是 A.1y x=B.2x y -=C.21y x =+D.0.5log (1)y x =+ 3.设函数()sin(2)2f x x π=-（x ∈R ），则()f x 是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 4.已知命题:p x k ≥，命题:(1)(2)0q x x +-<，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A.[2,)+∞B.(2,)+∞C.[1,)+∞D.(,1]-∞-5.已知131()3a =，121()2b =，2log 4c π=，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6.若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=A ．2-B ．1-C ．0D ．1 7.已知函数133, 1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则函数(2)y f x =-的大致图象是8.在ABC △中，角B 为34π，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A = A.255B.55C.23D.539.函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(2)f x -的图像关于2x =对称，若(2)1f -=，则满足(2)1f x -≥的x 取值范围是A ．[]2,2-B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C. (][),04,-∞⋃+∞ D ．[]0,4 10.已知e 为自然对数的底数，()f x 是可导函数.对于任意的x ∈R ，()()0f x f x '-<恒成立，则A.2018(1)e (0),(2018)e (0)f f f f >>B.2018(1)e (0),(2018)e (0)f f f f <>C.2018(1)e (0),(2018)e (0)f f f f <<D.2018(1)e (0),(2018)e (0)f f f f ><11.将函数()2sin()3f x x πω=+（0ω>）的图象向左平移6π个单位长度，所得图象过点(,1)2π，则ω的最小值为A.114 B.2 C.34 D.2312.已知对任意的1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得2ln 1e y x x a y -++=成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是( )A.2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.21,e e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,e e ⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括5小题，共20分）13.函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是________________. 14.已知命题:p “1,420x x x m +∀∈-+=R ”.若命题p ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是_____________. 15.已知32sin cos 5x x +=（(0,)x π∈），则1cos2sin 2x x -=________________. 16.已知()f x 是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-（12a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为________． 三、解答题（本题包括6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）函数()cos()4f x x π=+， （Ⅰ）求()()66f f ππ+-的值；（Ⅱ）若2()3f x =，求sin 2x 的值. 18.（本小题满分12分）函数321()3f x x ax bx c =+++（,,a b c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（Ⅰ）求,a b 的值并写出()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =有三个零点，求c 的取值范围．19.（本小题满分12分）函数()2sin (3sin cos )3f x x x x ωωω=+-（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当[,]66x ππ∈-时，求()f x 的值域.20.（本小题满分12分）已知函数22()(24)ln f x x ax x x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）当0a =时，求此函数对应的曲线在(e,(e))f （e 为自然对数的底数）处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．21.（本小题满分12分）ABC △三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，(1cos )cos c B b C -=. （Ⅰ）证明：A C =； （Ⅱ）若6B π=，3c =，D 为边BC 上一点且1AD =，求ACD △的面积S .22.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax x =+-（a ∈R ）． （Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,e ]x ∈（e 为自然对数的底数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）当(0,e]x ∈时，证明：225e (1)ln 2x x x x ->+．一诊答案1-5 BCBBB 6-10 AAADC 11-12 CD 13.1(,1)3- 14.1m ≤ 15.7- 16.117．【解析】（1）()()cos()cos()2cos 44f x f x x x x ππ+-=++-+=则36()()2cos 266622f f πππ+-==⨯=——————（5分） （2）2()cos()410f x x π=+=则25sin2cos(2)12cos ()249x x x ππ=-+=-+=——————（10分）18．【解析】(1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b .因为f ′(x )＝0的两个根为－1，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－2a ，－1×2＝b ，解得a ＝－12，b ＝－2，由导函数的图象可知，当－1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，函数单调递减， 当x ＜－1或x ＞2时，f ′(x )＞0，函数单调递增， 故函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增， 在(－1，2)上单调递减．——————（6分）(2)由(1)得f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋c ，函数f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数， 在(－1，2)上是减函数，所以函数f (x )的极大值为f (－1)＝76＋c ，极小值为f (2)＝c －103.而函数f (x )恰有三个零点，故必有⎩⎪⎨⎪⎧76＋c ＞0，c －103＜0，解得－76＜c ＜103.所以使函数f (x )恰有三个零点的实数c 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，103.——————（12分）19．【解析】（1）2()23sin 2sin cos 3f x x x x ωωω=+- 3(1cos2)sin23x x ωω=-+- sin23cos2x x ωω=-2sin(2)3x πω=-——————（4分）T π=，0ω> 22ππω∴= 1ω∴=——————（6分）（2）66x ππ-≤≤22033x ππ∴-≤-≤s i n y x =在2[,]32ππ--上单调递减，在[,0]2π-上单调递增 1s i n (2)03x π∴-≤-≤——————（10分）22s i n (2)03x π∴-≤-≤ ()f x ∴的值域为[2,0]-——————（12分）20.【解析】（1）当0=a 时， ()222ln (0)=+>f x x x x x ，∴()23=f e e ， ()4ln 4=+'f x x x x ，()8'=f e e ，∴切线方程为2850--=ex y e ．——————————（5分）（2）()()22444ln 2x axf x x a x x x-=-++' ()44ln 44x a x x a =-+-()()44ln 1x a x =-+．————————————————（7分）令()0f x '=，则1e x -=或x a =，当0≤a 时， ()f x 在10,⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上为减函数， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．————（8分）当10e a <<时， ()f x 在()0,a ， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，——（9分） 当1ea =时， ()f x 在()0,+∞上为增函数，——————（10分） 当1e a >时， ()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (),a +∞上为单调递增，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．——（11分）综上所述：略 ——（12分）21．【解析】（1）(1cos )cos c B b C ⋅-=⋅sin (1cos )sin cos C B B C ∴⋅-=⋅——————（2分）sin sin cos sin cos sin()sin C B C C B B C A ∴=⋅+⋅=+=——————（4分） ∴在ABC ∆中，A C =——————（5分）（2）在ABC ∆中，3a c ==——————（6分）在ABD ∆中，有2222cos6AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅2133B D B D ∴=+- 1BD ∴=或2D 为边BC 上一点1BD ∴=——————（8分）6B A D B π∴∠=∠=3A D CB B A D π∴∠=∠+∠=，31DC a BD =-=-——————（10分）∴A C D ∆的面积为1331(31)sin 234S π-=⨯⨯-⨯=——————（12分） 22.【解析】（1）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=≤在[]1,2上恒成立， 令()2 21h x x ax =+-，有()()1020h h ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得1,72a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-．—————（4分）（2）假设存在实数a ，使()(]()l n 0,g x a x x x e=-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-= ①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e==-==（舍去）， ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增 ∴()2min 11ln 3,g x g a a e a ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件． ③当1e a ≥时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e==-==（舍去）， 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．—————（8分） （3）令2()ln ,=-F x e x x 由（2）知，min ()3=F x 。