因式分解法,直接开平方法(一)
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
一元二次方程的解法及步骤
一元二次方程的解法及步骤1、直接开平方法：例．解方程3x+1^2;=7 3x+1^2=7 ∴3x+1^2=7∴3x+1=±√7注意不要丢解符号∴x= ﹙﹣1±√7﹚/32、配方法：例．用配方法解方程 3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边 3x2-4x=2方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+ 4/62=2 +4/6 2配方：x-4/62= 2 +4/6 2直接开平方得：x-4/6=± √[2 +4/6 2 ]∴x= 4/6± √[2 +4/6 2 ]3．公式法：例.用公式法解方程 2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5 b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0∴x=[-b±√b2-4ac]/2a4．因式分解法：例．用因式分解法解下列方程：1 x+3x-6=-8化简整理得x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零x-5x+2=0 方程左边分解因式∴x-5=0或x+2=0 转化成两个一元一次方程∴x1=5,x2=-2是原方程的解.其实一元二次方程没有什么难点的，对于应用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。
对于解一元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x2=25，可以直接解出x=±5）②求根公式法（x2+2x+1=0 △=b2-4ac 判断△的范围，＞0，＝0，＜0去解出根）③因式分解法（这个方法对于很多同学来说都是一个难点，要掌握这个方法必须通过大量的题去掌握，例如x2-5x+6=0 可以化为（x-2）（x-3）=0 解得x1=2，x2=3）④配方法（例如x2-6x-6=0 可以化为（x-3）2=15，再用直接开方法解出x1，和x2）还有一点，一元二次方程是一定要掌握的，对于接下来的二次函数有很大的帮助。
21.2.3因式分解法解一元二次方程
配方法
10 x 4.9 x 2 0
解： x 2
100 x0 49
公式法
10 x 4.9 x 2 0
解： 4.9 x 2 10 x 0
2
100 50 50 2 x x 0 49 49 49
50 50 x 49 49
笔记： 2、分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
（2）、求出
的值。
b2 4ac
2
的值，
特别注意:当
b 4ac 0
时无解
2
（3）、代入求根公式 : （4）、写出方程的解：
b b 4ac x 2a
x1、 x2
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. （3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
(2)移项、合并同类项，得
4 x 2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得
1 1 x1 , x2 . 2 2
x2+6x-7=0
解： ( x 1)( x 7) 0
x 1 0或x 7 0
x1 1, x2 7
2直接开平方法,.因式分解法解一元二次方程
（２）方程 2x 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
2
（3） 方程 (2 x 1) 9 的根是 X1＝2， x2＝－1
2
2. 解下列方程：
（1）x2－ 81＝0
(3)(x＋1)2=4
（2） x2 ＝50
(4)x2＋2 5 x＋5=0
答案：(1)x1 9, x2 9. (2)x1 5 2, x2 5 2. (3)x1 1, x2 3. (4)x1 x2 5.
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小颖是这样解的 :
小明是这样解的 :
解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0.
22.2用直接开平方法解一元二 次方程
汤庄一中 雷林海
教学目标
会用直接开平方法解数字系数的一元二次方 程
自学指导
1.自学时间：10分钟 2.自学方法：自主学习 3.自学内容：课本20--21页，例1 4.自学要求：独立完成课本第25页练习，思考下列 问题 （1）什么是直接开平方法 ？ （2）如何用直接开平方法解方程？
4 x1 0; x2 . 5
x 1 0或x 7 0 x1 1, x2 7
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
3.(宁夏中考)一元二次方程x(x-2)=2-x的根 是( ) A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2-9=0； (2)x2-2x=0; （3）7x(3-x)=2（x-3） （4）16(x-7)² -9(x+2)² =0
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全小编寄语：同学们对于二元一次方程的解法了解多少呢，自己又掌握了几种？下面小编为大家精心整理了二元一次方程的解法，供大家参考。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为x=根号下n+m. 例1．解方程〔1〕(3x+1)2=7〔2〕9x2-24x+16=11分析：〔1〕此方程显然用直接开平方法好做，〔2〕方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。
〔1〕解：(3x+1)2=7(3x+1)2=53x+1=(注意不要丢解)x=原方程的解为x1=,x2=〔2〕解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=x=原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac0时，x+=x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方〕解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=x=原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-425=64-40=240x=[(-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
22.2.1一元二次方程的解法(直接开平方法和因式分解法)
(2). χ2－1=0
(2). χ2－1=0
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？
还可以这样解： （χ+1）（χ－1）=0 将方程左边分解因式，得 则必有： χ＋1=0，或χ－1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 χ1=－1,χ2=1.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
x 5x 6 0 的两个解，求这个等腰
2
三角形的周长
5.若关于x的一元二次方程
(m 1) x 5x m 3m 2 0
因式分解法解方程的一般步骤：
1、利用因式分解法解下列方程： 1) χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25； 3）（2χ+3）2－25=0. ∴ χ=0,或χ－3=0， 解得 χ1=0，χ2=3. 2) 方程移项，得16χ2－25=0 方程左边分解因式，得 （4χ＋5）（4χ－5）=0 ∴ 4χ+5=0，或4χ－5=0，
解：1）方程左边分解因式，得χ（χ－3）=0.
5 解得 χ1=－ 4
5 ，χ2= 。 4
因式分解法解方程的一般步骤：
（2）因式分解:将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式： （3）得到两个一元一次方程：令每个因式分别为零
（1）移项:将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；
（4）解这两个一元一次方程得原方程的解。
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
7 5 ∴x1= ， x = 2 4 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解 解：2x-1=
专题05 直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略(解析版)
专题05直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一解一元二次方程——直接开平方法】 (1)【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】 (3)【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 (5)【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 (6)【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】 (8)【考点六利用配方法求多项式的最值问题】 (10)【过关检测】 (13)【典型例题】【考点一解一元二次方程——直接开平方法】【变式训练】开方得，235x +=±，解得11x =，24x =-．（2）方程两边直接开方得：311x x -=+，或()311x x -=-+，∴22x =，或40x =，解得：11x =，20x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】【变式训练】【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【变式训练】【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【变式训练】【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】【变式训练】1.（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=【考点六利用配方法求多项式的最值问题】【变式训练】1.（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【详解】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -≥，∴()2211x --≥-即代数式2|431x x -+≥-，【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2410x x -=+时，原方程可变形为（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x -=D ．2(4)17x +=【答案】B【分析】根据2410x x -=+，配方得()225x +=，然后作答即可．【详解】解：2410x x -=+，配方得()225x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）一元二次方程22023x x =的根为（）A ．2023x =-B ．2023x =C ．10x =，22023x =-D ．10x =，22023x =【答案】D故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．二、填空题(1)当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,1,3，+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；此时113(2)当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,3,3，+>，满足三角形的三边关系定理，此时133++=；则这个等腰三角形的周长为1337综上，这个等腰三角形的周长为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．三、解答题212320m m -+=，212364m m +-=，∴()264m -=，62m -=±，18m =，24m =，经检验18m =，24m =是原方程的解，∴m 的值为8或4．【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．20．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0，可以用公式()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：()2224844424y y y y y ++=+++=++．()220y +≥ ()2244y ∴++≥∴代数式248y y ++的最小值为4．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)【类比探究】()222x -+的最小值为______；(2)【举一反三】代数式28x x -+有最______（填“大”或“小”）值为______；(3)【灵活运用】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形．已知栅栏的总长度为24m ，则可设较小矩形的宽为m x ，较大矩形的宽为2m x （如图）．当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)2(2)大，16(3)当4x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】(1)根据材料内容即可解答；(2)根据材料内容即可解答；(3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答．。
1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法 1)
2
上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
动脑筋
方程①还有其他解法吗？ (35-2x) -900 = 0．
2
①
把方程①写成(35-2x)2=900， 这表明35-2x是900的平方根， 因此 3 5 2 x 9 0 0 或 35 2 x 900 ， 即35-2x=30 或 35-2x=-30． 解得 x=2.5 或 x=32.5．
（4）解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解。
因式分解法的依据是什么？
若ab＝0,则a＝0或b＝0。
布置作业
P19
(A) T1
结
束
可以用平方差公式， 把方程①的左边因式 分解．
先把方程①写成 (35-2x) -30 =0. 把此方程的左边因式分解 (35-2x+30)(35-2x-30)=0， 即 (65-2x)(5-2x)=0. ② 因此，从方程②得 其次，我们知道:“如果p q = 0， 65-2x=0或 5-2x=0． ③
（1） 9x -49=0 ， 原方程可以写成 解 2 2 (3x) -7 = 0， 把方程左边因式分解，得 (3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0. 解得 x1 7 ，x 2 7 . （2） 36-x =0 ， 原方程可以写成 解 62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得 (6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0. 解得 x1 6 ，x 2 6 .
解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
把方程左边因式分解，得
解一元二次方程(直接开方法配方法公式法因式分解法)
解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）一元二次方程知识讲解只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【例题讲解】例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．小试牛刀1. 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．10一元二次方程的解叫做一元二次方程的根解一元二次方程:直接开方法配方法公式法因式分解法【例题讲解】例1：解方程：x+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．【小试牛刀】1. 求出下列方程的根吗？102（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=02.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？例题讲解例1. 解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x+6x+3=-5+3（x+3）=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（由此可得x+32335）=-1+（）2（x+）2= 2224222355353=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5 ，x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2从以上例题可以看出，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法：总结用配方法解一元二次方程的步骤10（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．【小试牛刀】用配方法解以下方程（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4）【课堂引入】例1. 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm212x-x-4=0 4?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．解：存在．根据题意，得：m2+1=2 ，即m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠010当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=1?(?1)?91?3 即 x1=1，x2=- ?22?241． 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，?b?b2?4ac?将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．小试牛刀1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 因式分解法因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A・B＝0A＝0或B＝0．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：10感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初三数学-一元二次方程知识点
初三数学一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-±注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下： ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3） 配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
九年级数学上册《直接开平方法和因式分解法》教案、教学设计
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，让学生在实际问题中发现问题、提出问题，培养他们的探究能力。
（3）通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学策略：
2.提高题：针对学有余力的学生，布置第XX页的习题4、5，这两题具有一定的挑战性，需要学生灵活运用所学方法，并具有一定的推理能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与直接开平方法或因式分解法相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并简要说明解题思路。
例如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为100元，售价为200元。为了促销，工厂决定对售价进行打折，设折扣为x（0<x<1），问折扣为多少时，工厂能获得最大利润？”
2.因式分解法：
（1）回顾因式分解的基本原理，引导学生理解其在二次方程求解中的应用。
（2）讲解因式分解法求解二次方程的步骤，结合具体例题进行分析。
（3）强调因式分解法在解决实际问题中的重要性。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组针对以下问题进行讨论：
（1）直接开平方法和因式分解法的适用场景。
（2）如何运用直接开平方法和合适的求解方法。
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，涵盖直接开平方法和因式分解法的应用。
2.让学生独立完成习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.选取部分学生的解答进行展示和评价，引导学生从中发现问题、总结规律。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结直接开平方法和因式分解法的特点和适用范围。
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
完整版)一元二次方程解法及其经典练习题一元二次方程的解法及经典练题方法一：直接开平方法（基于平方根的定义）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
即，如果x²=a，那么x=±√a。
注意，x可以是多项式。
一、使用直接开平方法解下列一元二次方程：1.4x²-1=22.(x-3)²=233.81(x-2)²=1644.(x+1)²/4=255.(2x+1)²=(x-1)²6.(5-2x)²=9(x+3)²7.2(x-4)²/3-6=0.方法二：配方法解一元二次方程1.定义：把一个一元二次方程的左边配成一个平方，右边为一个常数，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤：1）将方程移项，使等式左边为完全平方，右边为常数。
2）将等式左右两边开平方。
3）解出方程的根。
二、使用配方法解下列一元二次方程：1.y²-6y-6=02.3x²-2=4x3.3x²-4x=94.x²-4x-5=05.2x²+3x-1=06.3x²+2x-7=0方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
2.公式的推导：使用配方法解方程ax²+bx+c=0（a≠0），解得x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3.由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因为1）当b²-4ac>0时，方程有两个实数根，x₁=[-b+√(b²-4ac)]/(2a)，x₂=[-b-√(b²-4ac)]/(2a)。
2）当b²-4ac=0时，方程有一个实数根，x₁=x₂=-b/(2a)。
121因式分解法,直接开平方法(一)
1.2 解一元二次方程的算法1.2.1因式分解法，直接开平方法（一）教学目标1、理解一元二次方程降次的转化思想，知道解一元二次方程的基本思想是降次，即化一元二次方程为一元一次方程；2、会用因式分解法和直接开平方法解简单的一元二次方程。
3、能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。
重点难点重点：用因式分解法和直接开平方法解形如（ax+b）2-k=0(k≥0)方程。
难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
学习及引导过程一、复习引入1、判断下列说法是否正确：（1）若ab=0，则a=0或b=0；（2）若ab=1，则a=1或b=1；（3）若(x-5)(x+2)=0，则x-5=0或x+2=0；（4）若(x-5)(x+2)=1，，则x-5=1或x+2=1。
2、若x2=a，则x叫做a的_________，x=______；若x2=4，则x=______；若x2=2，则x=_____。
二、自主探究1、试验发现观察方程：方程（1）x(x-2)=0，（2）3x(x+2)=0，回答问题：（1）你能观察出这两个方程的特点吗？（2）这两个方程的解是什么？说说你的理由。
先让学生自己完成，然后教师归纳：上述两个方程中，由于方程的右边是0，左边是两个因式乘积的形式，因此都可以根据ab=0，则a=0或b=0求解，令每个因式分别等于0，实现降次，从而求出方程的解，这种解法叫做因式分解法。
2、探究（1）：怎样用因式分解法解一元二次方程？以1.1节问题一中的方程：（35-2x）2-900=0为例。
怎样将方程化为ab=0的形式？并求出方程的解？学生思考后回答，展示方法。
本例是实际问题，提醒学生注意解的合理性。
归纳：因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）移项，使方程的右边为0；（2）将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n ≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
因式分解法、直接开平方法
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在平方法（1）
主备人
备课时间
集体修订时间
课型
新授课
授课人
授课时间
教学目标：
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
教学札记
知识与能力：
教学重点:
掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点：
用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学课时：1课时
教学方法：自主、合作、探究
教学媒体：多媒体
教学过程：
（一）复习引入1、提问：
(1)解一元二次方程的基本思路是什么？
(2)现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)；(2) (x-1)(x+3)=12。
[解] (1)原方程可变形为2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0，3x-2=0，或x+3=0，
（五）应用新知
课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
人教版九年级数学上册教学课件：用因式分解法解一元二次方程
x2 (-3 2)x 6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3); 解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
解:原式 x2 bx ax a b
x 5 0, x 6 0 x1 5, x2 6
十字相乘法分解因式: a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )
3x 2 7x 2 0
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x 2 6x 8 0; 2x 2 5x 6 0; 3x 2 x 20 0; 4x 2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x 2 11x 30 0
a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
一.因式乘法
1:计算: (1). (x+2)(x+3); 解:原式 x2 2x 3x 23
x2 (2 3)x 6
x2 5x6
(2). (x+2)(x-3);
(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
x
6
x
-3
例 把 x2 2x 15分解因式;
解一元二次方程--因式分解法
(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程 、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法 配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式 什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式 整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些 的方法有那些? 问题 、分解因式的方法有那些 （1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法 ）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法[知识要点表解]一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
学法建议本节篇幅大，本节内容是本章的重要内容，也是中学的主要内容，在初中代数中占有重要地位。
公式法是本节重点。
难点是配方法，学好本节的关键是掌握一元二次方程各种解法适合的类型。
公式法是通法，一定要熟练掌握。
释疑解难 1、“配方法”中，为什么方程的两边要加上一次项系数的一半的平方？答：目的是使方程左边变成一个完全平方式.x 2±mx 可以写成x 2±2x •2m .对照完全平方公式，a 2+2ab+b 2=(a±b)2可知，x 2相当于a 2，2x •2m 相当于2ab,b 相当于2m ,b 2相当于（2m ）2.既然a 2+2ab 再配上b 2可以配成完平方式，x 2±mx 再配上（2m）2就可以配成完全平方式，这就是方程的两边要加上一次项系数的一半的平方的原因。
值得一提一是，方程两边都加一次项系数的绝对值的一半的平方更好，这样写成完全平方就不会在符号上出现错误。
如课本由x 2-27x=-23配方得： x 2-27x+（-47）2=-23+（47）2 .例6 用配方法证明：无论x 为何实数，代数式x 2-4x+4.5的值恒大于零。
[分析]本题不是用配方法解一元二次方程，所用的配方法与已学的配方法大同小异。
“大同”指思路一致，好都构造一个完全平方式。
“小异”指具体实施方法有区别，前者在等号两边同加一个相同的数，后者在等号一边加上一个数又减去这个数。
具体办法如下：[解答] x 2+4x+4.5=(x2+22)-22+4.5=(x-2)2+0.5 ,∵(x-2)2≥0,∴(z-2)2+0.5>, ∴x 不论为何实数，代数式x 2+4x+4.5的值恒大于零。
[能力层面训练]1、填空：（1）x 2+6x+________=(x+_______)2;（2）x 2-5x+_________=(x-_______)2;（3）x 2+2m+________=(x+_______)2;（4）x 2-3m+________=(x-_______)2.2、用直接开平方法解下列方程：（1）x 2=8; (2)3x 2=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)4(1-x)2-9=0.3、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x-1=0; (2).3x 2+21x-1=0; (3)3x 2-4x-7=0; (4)2x 2-2m 2=mx. 4、用公式法解下列方程：（1）6x 2-13x-5=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)mnx 2-(m 2+n 2)x+mn=0; (4)x 2-(1+23)x+3-3=0.5、用因式分解法解下列方程：（1）（x+1）2-2=0; (2)(x+2)2=2x+4; (3)x 2=5x; (4)x 2-5x+2=0.6、用适当方法解下列方程：（1）（x-1）(2+x)=4; (2)(x+3)2=3(4x+3); (3)(2x+1)2-3(2x+1)+2=0; (4)2x 2-mx=m 2.7、解方程：（精确到0.01）（1）x 2+x-1=0; (2)x 2+4x+1=0 (3)2x 2-8x=7;8、 x 为何值时，下列各组两个代数式的值相等？（1）x(3x-2)和4（2-3x ）; (2)32x-和232x +41-x ； （3）x 2和x; (4)2x 2-2m 2和mx.能力提高9、若6y 2-5xy+x 2=0,求证： x=2y 或者x=3y .10、若方程x 2+6x+5a=0的一个根是32-，求a 的值和方程的另一个根。
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给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
二、
合
作
探
究
（一）探究：
让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。
情感与价值观
经历“降次”的过程，增进对过程的认识，发展学生分析问题，解决问题的能力。
教学重难点
教学重点
掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
教学难点
通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
教具、学具
教学课时
1课时
教
学
过
程
一、
情
景
导
入
（一）复习引入：
点评：通过解答这个问题，使学生明确一元二次方程的解有三种情况。
作业
课本习题，1．2中A组第1题．
备注
反思
(4)若x+3=或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3=或x-6=2( )。
2、填空：若x2=a；则x叫a的，x=；若x2=4，则x=；若x2=2，则x=。
（二）创设情境：
前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
（二）讲解例题
展示课本P．7例1，例2。
按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。
因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
三、
巩
固
练
习
课本P．8，练习。
四、
总
结
提
高
（一）课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么?
2、通过“降次”，把—元二次方程化为两个一元一次方程的方法有哪些？基本步骤是什么？
3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（二）思考与拓展
不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？
(1) -4x2+1=0；(2) x2+3=0；(3) (5-3x)2=0；(4) (2x+1)2+5=0。
直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b=和ax+b=-，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
注意：(1)因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
(2)直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k<0时，方程无实数解。
教学内容
因式分解法、直接开平方法（一）
教
学
目的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
过程与方法
在学习因式分解法、直接开平方法解一元二次方程的过程中感受解一元二次方程的基本思路，感知这两种方法的异同。
1、判断下列说法是否正确
(1)若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )；
(2)若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )；
(3)若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，
若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；