概率论第四章自测题参考答案

第四章 自测题参考答案与提示
时间：120分钟
一、单项选择题 (每题2分，共10分)
1．随机变量X, Y 和X+Y 的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X 与Y (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 不相关的必要条件，但不是充分条件； (C) 独立的必要条件，但不是充分条件；
(D) 独立的充分必要条件。

( C ) 2．若方差D(X), D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有
(A) X 与Y 一定相互独立； (B) X 与Y 一定不相关；
(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。

( B ) 3．设随机变量X 与Y 独立同分布，记U=X+Y ，V=X-Y ，则随机变量U 和V 必然
(A) 不独立；(B) 相互独立；(C) 不相关；(D) 无法判断。

( C ) 4．若随机变量X 与Y 不相关，则与之等价的条件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)≠D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)≠D(X-Y)。

( B )
5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为
(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。

( C )
二、填空题 (每题3分，共18分)
1．设D(X)=4，D(Y)=9，ρXY =0.6，则D(3X-2Y)= 28.8 。

2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y
在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2， 则X 与Y 的相关系数ρXY = 1/4 。

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X 与Y 的相关系数ρXY =-1/2，则当a = 2 时，a X+Y 与Y 相互独立。

4．设X~N(0, 4)，Y 服从指数分布，其概率密度为
12
10()2
00
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-a Y ，Cov(X, Z)=Cov(Y , Z)，则a = -1 ，X 与Z 的相关系数 ρXZ
4。

5．设随机变量X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布，随机变量
-1X >0Y =0
X =01X <0
⎧⎪
⎨⎪⎩
则D(Y)= 8/9 。

6．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤ 1/8 。

三、基本计算题 (共54分)
1．(10分) 设ξ, η是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为 P{ξ=i}=1/3，i =1, 2, 3 又设X=max(ξ, η)，Y=min(ξ, η)，
求 (1) 随机变量X 的数学期望E(X)，(2) X 与Y 的相关系数ρXY 。

答：E(X)=22/9，ρXY =8/19。

提示：X 与Y 的联合分布律为：
2．(8分) 设随机变量X, Y 的相关系数ρXY =0.6，且X 与Y 的分布律分别为：
试求X 与Y 的联合分布律。

答：
提示：由边缘分布及相关系数确定联合分布，设X 与Y 的联合分布律为
3．(8分) 设(X, Y)的概率密度为 201, 01
(,)0
x y
x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
其他
(1) 判别X 与Y 是否相互独立？是否相关？(2) 求 D(X+Y)。

答：(1) 不独立，相关。

(2) D(X+Y)=5/36。

解 1
X 0301()(,)(2)2
x
x f x f x y dy x y dy +∞
-∞
⎧-<<⎪=
=--=⎨⎪⎩
⎰
⎰其他
，同理
Y 301()(,)2
0y
y f y f x y dx +∞
-∞
⎧-<<⎪=
=⎨⎪⎩
⎰
其他
在0<x <1, 0<y <1内，f (x , y )≠f X (x )⋅f Y (y )，所以X 与Y 不相互独立。

1
35E (X )(,)(
)2
12
xf x y dxdy x x dx +∞+∞
-∞-∞
=
=
-=
⎰⎰
⎰
，由x 与y 的对称性知 E(Y)=
512
111
21E (X Y )(,)(2)(
)3
3
6
x xyf x y dxdy xdx y x y dy x dx +∞+∞-∞-∞=
=
--=
-
=
⎰⎰
⎰
⎰⎰
1
2
2
2
2
X 0
31E (X )()(
)E (Y )2
4
x f x dx x x dx +∞
-∞
=
=
-=
=⎰
⎰
D(X)=E(X 2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，
X Y 1ρ11
=
=-
，ρXY ≠0，故X 与Y 相关。

因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36, 。

4．(10分)设(X, Y)的联合概率密度为 1, 0<<1
(,)0
y x x f x y ⎧<=⎨
⎩其他
求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，ρXY 。

答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，ρXY =0。

提示：利用公式D(X)=E(X 2)-(E(X))2
及X Y ρ=
5．(8分) 设随机变量X 1, X 2, …, X n 相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布， 求Z=min{ X 1, X 2, …, X n }的数学期望与方差。

答：E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。

提示：F Z (z)=1-(1-F X (z))n 。

6．(10分) 某系某班共有n 名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，
求恰好拿到自己的学生证的人数X 的数学期望与方差。

答：E(X)=1，D(X)=1。

提示：采用随机变量的分解方法求数学期望。

设
1X 1, 2, , 0
i i i i n ⎧==⎨
⎩ 若第名学生拿到自己的学生证若第名学生没拿到自己的学生证
，
则 X=X 1+X 2+…+X n ， 注意：X 1，X 2，…，X n 不相互独立， 因此在计算方差时，应利用公式
1
1
1D (X )D (X )D (X
)2
(X ,X )n
n
i i
i j i i i j n
C ov ==≤<≤==
+∑∑∑
四、综合题 (共18分)
1．(8分) 设某种商品每周需求量X 是服从区间[10, 30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，
求最优进货量。

答： 23单位商品（近似值）。

提示：求进货量a =何值时E(X)最大。

2．(10分) 设X 1, X 2, …, X n (n>2)为独立同分布的随机变量，且均服从N(0, 1)，记
n
1
1
X =
X n
i
i =∑， Y i =X i -X ，i =1, 2, …, n
求 (1) Y i 的方差D(Y i )，i =1, 2, …, n ；
(2) Y 1与Y n 的协方差Cov(Y 1, Y n )；
(3) P{Y 1+Y n ≤0}。

答：D(Y i )=(n-1)/n ，Cov(Y 1, Y n )=-1/n ，P{Y 1+Y n ≤0}=1/2。

提示：Cov(Y 1, Y n )=E(Y 1Y n )-E(Y 1)⋅E(Y n )=E （(X 1-X )(X n -X )）。