《概率学》1.5全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中经典的公式，它们之间存在一定的联系和区别。
全概率公式描述了一种基于先验概率和条件概率推导出后验概率的方法，它是由贝叶斯公式演化而来的。
全概率公式通过将所有可能的事件划分为互斥且完备的事件集合，并计算它们的概率从而推导出后验概率。
贝叶斯公式是用于计算“逆概率”的公式，即已知某种结果出现的概率，求当前这种结果的特定概率。
它同样也是通过先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
贝叶斯公式的主要应用是在分类、估计、预测等实际问题中，例如在医学领域中用于诊断疾病。
总的来说，全概率公式是用来求解不同情况下的条件概率的，而贝叶斯公式是用来根据观察到的事件推测其原因的。
两者都是基于先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
1_5全概率与贝叶斯公式
k 1 n
于是， P ( Bi / A)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
P( B )P( A / B )
k k k 1
n
( i 1, 2, , n) .
《概率统计》
返回
下页
结束
3. 应用举例 例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂 占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如 果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？ 解：设B1={灯泡是甲厂出产的}，B2={灯泡是乙厂出产的}， B3={灯泡是丙厂出产的}，A={买到一个次品灯泡}. 由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4， P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，P(A/B3)=0.02， 由全概率公式得
返回 下页 结束
[例5]. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比 赛取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取
得3个新球的概率．
解：令Bi={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 ), A={求第二次比赛取得3个新球}． 显然B0, B1, B2, B3为第一次比赛取3球试验样本空间的一个 划分，由全概率公式得
§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式与证明
三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
《概率统计》
返回
下页
结束
§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入 引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球， 现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋 取出2个红球的概率. 引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、 2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现
全概公式与贝叶斯公式
注意：一定要找到样本空间的一个完备事件组.
注：该公式于1763年（这个指的是发表文章的年限） 由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已 发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
例5：某村麦种放在甲乙病三个仓库保管，其保管 数量分别占总数量的40%、35%、25%，所 保管麦种发芽率分别为0.95、0.92、0.90， 现将三个仓库的麦种全部混合，求 ⑴其发芽率； ⑵在发芽的情况下，该麦种是乙厂库的概率.
5
基本思想 把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和，
通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的 可加性，得到复杂事件的概率。
样本空间划分
n
Ai Aj ,
Ai ,
i 1
n
B Ai B i 1
A1
A3
B
A5
A2
A4 A6
6
定理1.1(全概率公式)
如果事件 A1, A2 , , An 构成一个完备事件组，而且
B的条件概率
注意：一定要找到样本空间的一个完备事件组.
【例2】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到 次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
?
1红4白
12 3
15
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
?
B ={取得红球}
求P(A1|B)
1红4白
1-5全概率与贝叶斯公式
《概率统计》
返回
下页
结束
四、全概率公式应用
例3. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台 的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件 是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为 多少？
解：令Bi={零件为第i台机床加工的} (i=1,2)， A={取到的零件为合格品}.
C42 C72
C42 C52
C32 C72
C22 C52
C31C41 C72
C32 C52
8 35
《概率统计》
返回
下页
结束
四、全概率公式应用
例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的 概率．
P( A) P(Bi)P( A / Bi)
i 1
推导：Ｅ2的P(A), 实质上是 P(A/Ω1) ! 关键所在! 难点所在!
［这里的P(A/Ω1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义］
引甲个由例袋红条中球1件P. (概设任的AB率甲取概1公袋率2A球式B有。2放得3个入，L P白乙(AA球袋B/n)4，1个)再P红P(从PA(球(AB乙1，)11)袋)乙P中(PA袋(B任A2有)取11L)个2球P白P[，(AA球(B求Bn12)个从B红乙2 球袋L ，取B现出n)]从2
《概率统计》
返回
下页
结束
二、全概率公式与证明
设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件B1，B2，…，Bn为样本空
间Ω的一个划分，且Ｐ(Bi)>0, i =1,2, …，n．
则对任意事件A，有
全概率公式和贝叶斯公式的理解
全概率公式和贝叶斯公式的理解
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于统计学、机器学习、人工智能等领域。
在这篇文章中，我们将详细解释这两个公式的含义和应用。
全概率公式
全概率公式是指，在一组互斥且穷尽的事件中，某一事件的概率可以用其他事件的概率加权求和得到。
具体来说，如果有事件 A1, A2, ..., An，它们是互斥且穷尽的（即只能出现其中一个事件），那么对于任意一个事件 B，有：
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An) 其中，P(B|Ai) 表示在事件 Ai 发生的情况下，事件 B 发生的概率，P(Ai) 表示事件 Ai 发生的概率。
这个公式的含义就是，事件B 的概率可以通过分别考虑每个可能的事件 Ai 发生的情况，并将它们对事件 B 的影响加权得到。
贝叶斯公式
贝叶斯公式是一种条件概率公式，它用于在已知某个条件下计算另一个条件的概率。
具体来说，如果有两个事件 A 和 B，它们发生的概率分别为 P(A) 和 P(B)，且已知事件 B 发生的情况下事件 A 发生的条件概率为 P(A|B)，那么可以根据贝叶斯公式计算在已知事件 B 的情况下事件 A 发生的概率：
P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)
其中，P(B|A) 表示在事件 A 发生的情况下事件 B 发生的概率，
P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
这个公式的含义是，已知事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率可以通过考虑事件 A 和 B 同时发生的情况，并将它们对事件 B 发生的影响加权得到。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中常用的工具，用来计算事件的概率。
下面将分别介绍这两个公式。
全概率公式是概率论中的一个重要定理，用来计算条件概率。
它指出，如果有一组互斥且完备的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两互斥且它们的并集等于全样本空间，那么对于任意一个事件B，可以通过以下公式计算其条件概率P(B)：P(B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+…+P(An)P(B，An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
全概率公式的应用非常广泛，特别在贝叶斯定理的推导中非常有用。
贝叶斯公式是概率论与数理统计中一种常用的计算概率的方法，它使用了全概率公式的思想。
贝叶斯公式可以用来计算在已知其中一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
贝叶斯公式通常用于处理具有不完备信息的问题，根据已知的信息更新先验概率得到后验概率，并基于后验概率进行进一步的推断和决策。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论与数理统计中两个重要且相互关联的公式。
全概率公式通过将一个事件分解为多个互斥且完备的小事件，计算条件概率；而贝叶斯公式则通过已知信息计算先验概率，并根据新的信息更新概率。
这两个公式在实际问题的求解中经常起到至关重要的作用。
通过灵活应用全概率公式和贝叶斯公式，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并进行统计数据的分析与预测。
1-5全概率公式贝叶斯公式1-6伯努利概型
定义 如果试验E只有两个基本事件A及A， 且P(A) p, P(A) 1 p(0 p 1), 将E独立 地进行n次，则这一系列试验称为n重伯努 利试验或n重伯努利概型，简称伯努利概型.
定理 在n重伯努利试验中，设每次试验中 事件A发生的概率为p(0 p 1), 则在n次重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率为
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
中去接待站是等可能的.
17 27
37
47
172
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712种.
12 2
32
42
122
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212种.
解 设 A 为事件 "产品合格".
B 为事件 "机器调整良好". 则有
P( A B) 0.98, P( A B) 0.55,
P(B) 0.95, P(B) 0.05, 由贝叶斯公式得所求概率为
P(B A)
P( A B)P(B)
P(AB)P(B) P(AB)P(B)
0.98 0.95
0.97.
解 设X表示这一年内的死亡人数, 则 保险公司在1年的收入是2500120=300000元
保险公司这一年里付出20000X元
当20000X ＞300000, 即X ＞ 15人时公司亏本
于是, P{公司亏本} =P{ X ＞ 15} =1-P{X≤ 15}
15
P{公司亏本} 1
Ck 2500
(0.002)k
贝叶斯公式
P ( Bi
A)
概率论与数理统计 第5节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
例2 假设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生
的报名报,其中女生的报名表分别 是3份、7份和5份。现随机地
取出一个地区的报名表 ,并从中先后随机取出两 份, (1)求先抽
到的一份是女生表的概 率;(2)已知后抽到的一份是男 生表,求先
到的一份是女生表的概率.
的情况。我们不去计算基于知道发生机制的事件
的概率，而是基于观察到的现象，想得到和了解
不知道发生机制的事件的发生的可能性。
目录 上页 下页 返回 结束
• 我们需要了解在一些情况下基于观测现象背后的关 联性。比如医学（如果检测为阳性，患病的可能有 多大？）、比如社会科学（基于历史数据，最好的 解释通货膨胀与失业率之间关系的模型是什么？） 、比如日常生活（如果女孩同意和我去另外一家酒 吧，他对我有意思的可能性有多大？）。 贝叶斯定理提供了一个形式化的工具，让我们 能回答这些问题。当一种事情已经发生的条件下， 定理让我们能计算这样的概率，当特定事件发生时 ，鉴于观测结果，基于我们把观测结果纳入特定事 件看是否发生，这样能同时得到先前事件在特定事 件下发生的可能性。 贝叶斯定理是一个分析信息缘由的强大工具， 它还是整个统计学思想的底层框架。
到的一份是女生表的概 率;(2)已知后抽到的一份是男 生表,求先 到的一份是女生表的概率.
解 (1)由全概率公式有 :
P( A1) P(B1) P(A1 B1) P(B2) P(A1 B2) P(B3) P(A1 B3)
1 3 1 7 11 3 10 3 15 3 5
二、贝叶斯公式
例3 一工厂有甲乙丙三车间 生产同一种产品 , 每个车间的产量分别为 25%,35%,40 %, 而产品的次品率分别 为5%,4%,2%. 现将这些产品混在一起 ,并随机抽取一个 ,若抽 到的一件是次品 ,问这件次品是甲乙丙车 间的概率各是多少 ?
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。
而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。
具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。
- 1 -。
全概率公式与贝叶斯公式ppt
全概率公式与贝叶斯公式ppt一、全概率公式P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，A为所求事件，B1、B2...Bn为多个互斥且完备事件，P(Bi)为事件Bi发生的概率，P(A，Bi)为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
举个例子来说明全概率公式的应用。
假设一个品牌有三个工厂A、B、C，分别生产产品的比例为0.4、0.3、0.3、在批产品中，A、B、C工厂生产的产品的质量不合格的概率分别为0.02、0.03、0.05、现在要求产品质量不合格的概率。
根据全概率公式，我们可以得到如下计算过程：P(不合格)=P(不合格，A)P(A)+P(不合格，B)P(B)+P(不合格，C)P(C) =0.02*0.4+0.03*0.3+0.05*0.3=0.008+0.009+0.015=0.032二、贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一些已知条件下，计算另一事件的后验概率的方法。
贝叶斯公式的表达式如下：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/(P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn))其中，Bi为已知条件下的事件，A为所求事件，P(Bi)为已知条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(A，Bj)P(Bj)为全概率。
贝叶斯公式实际上是将全概率公式反过来，通过已知条件下事件的概率计算另一事件的概率。
贝叶斯公式在很多领域都有广泛的应用，尤其在数据分析和机器学习领域。
举个例子来说明贝叶斯公式的应用。
假设在一些城市中，男性和女性的比例为1:1、在这个城市中，对乳腺癌的筛查有个测试方法，该方法可以正确诊断90%的患者，但在健康人中有10%的误判率。
现在有个女性进行了乳腺癌测试，并且测试结果显示为阳性。
现在要求在这个测试结果下，该女性真正患乳腺癌的概率。
写出全概率公式和贝叶斯公式
写出全概率公式和贝叶斯公式
（1）全概率公式
全概率公式是概率统计学中的一种重要概率公式，它可以用来描述一
个随机事件B的条件概率，简称P(B|A)，即B发生的条件概率是多少，其公式为：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
其中：P(A∩B)代表A与B共同发生的概率，P(A)代表A发生的概率。
（2）贝叶斯公式
贝叶斯公式也叫条件概率公式，它是概率统计学中一种非常重要的概
率模型，它表示在已知条件下，某件事情发生的概率。
它的公式为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中：P(A|B)代表A在已知B的情况下发生的概率，P(B|A)即为全概
率公式中的P(A∩B)，P(A)代表A发生的概率，P(B)代表B发生的概率。
概率论与数理统计-第1章-第5讲-全概率公式与贝叶斯公式
01 全概率公式
例 设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1，另有 20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三 个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮 件为垃圾邮件的概率.
A1, A2 , A3 分别表示邮件来自账户1、2、3
n
P(Ai)>0，i =1,2,…,n, Ai S, 则对任一事件B，有
i 1
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
5
01 全概率公式
证明 A1, A2 , , An 两两互不相容，
得 A1B, A2B, , AnB 也两两互不相容；
P(A)>0
2
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
例 设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的 25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件， 求它是次品的概率.
A1, A2 , A3 分别表示产品由甲、乙、丙厂生产
完备事件组
B表示产品为次品 A1B A2B A3B, A1B, A2B, A3B两两互斥. P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
主讲教师 |
第5讲 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它 们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.
全概率公式
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
贝叶斯公式和全概率-精品文档
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子 的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分， 用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50 粒以上麦粒的事件，则由全概率公式
定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样 本空间的一组事件。 如果 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
A1 A3
A2 …
… An
n
Ai
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。 例如上例中的 Ａ1＝从甲盒取出２个白球， Ａ2＝从甲盒取出２个红球， Ａ3＝从甲盒取出1个白球1个红球， 就构成了一个完备事件组。
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
P ( B ) P ( A i) P ( B |A i)
i 1
4
=0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0
P(A) P(B (A| B i )P i)
i1
4
9 5 . 5 % 0 . 5 2 % 0 . 1 5 1 . 5 % 0 . 1 1 % 0 . 0 5 0 . 4 8 2 5 .
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贝叶斯公式:
设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分， 且P(Ai)>0, i =1,2, …，n． 则对任意事件B，若P(B)>0 则
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P(Ai )P(B | Ai )
i1
j 1, 2,..., n
证明:由条件概率的定义及全概率公式有
(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导 致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Ai|B) 可以用贝叶斯公式.
1 2
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例4 某商店从三个厂家购进一批灯泡，其中甲厂占 25%，乙厂占35%，丙厂占40%。各厂产品的次品率分 别为5%, 4%, 2%. 如果消费者已经买到一个次品灯泡， 问是哪个厂生产的可能性大?
A1
n
A2
P(B) P( Ai)P(B | Ai).
… An
i 1
证明 因为 Ai Aj , (i j).
A3 B …
n
Ai Ai B
Aj B , (i j).
i 1
按概率的可加性及乘法公式有
n
B B ( Ai )B ( A1B A2B AnB),
n i1
n
n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
3 i0
P( Ai)P(B
|
Ai)
3 i0
C9i C33i C132
C3 9i
C132
C33 C132
C93 C132
C91C32 C132
C83 C132
C92C31 C132
C73 C132
C93 C132
C63 C132
441 3025
0.145ห้องสมุดไป่ตู้.
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
解:设A1= “发出信号“.” ” B= “收到信号“-” ” .
由贝叶斯公式得
A2= “发出信号“-” ”,
P( A1 | B)
P( A1)P(B | A1)
P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 )
0.4 0.99
0.97
0.6 0.02 0.4 0.99
1 7
解 由贝叶斯公式得
P(A | B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.0004 0.99
0.284
0.0004 0.99 0.99960.001
1
5
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
练习： 已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一 个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认 为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产 品确是合格品的概率．
第一章
事件与概率
任课教师： 授课班级：
第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率 第二节 概率的定义 第三节 概率的性质 第四节 条件概率与独立性 第第五五节节 全全概概率率公公式式与与贝贝叶
叶斯斯公公式式
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设
Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.25, P(A2)=0.35，P(A3)=0,4，
P(B|A1)=0.05， P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.02.
由Bayes公式得: P( A1 | B)
P( A1)P(B | A1)
解:设A1= “产品是合格品” A2= “产品是不合格品”, B= “检查认为是合格品” .
已知P(A1)=0.96，P(A2)=0.04 ；P(B|A1)=0.98，P(B|A2)=0.05． 需要求的概率为P(A1 |B). 由贝叶斯公式
P( A1
|
B)
P( A1)P(B | A1) P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概 率分别为0.3,0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的概率． 解：设 A1＝“乘火车去”， A2＝“乘轮船去”，
A3＝“乘汽车去”， A4＝“乘飞机去”， B＝“迟到”. 易见, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，且两两互不相容， 由全概率公式得
解：令B=“取到的零件为合格品”，
Ai=“零件为第i台机床的产品”,i=1,2. 此时,全部的零件构成样本空间Ω， A1, A2为Ω的一个 划分,由全概率公式得:
P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 )
2 0.96 1 0.93 0.95.
3
3
9
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
例6 用甲态蛋白法检验肝癌. 令
A = “被检验者患有肝癌”,
B= “甲态蛋白检验结果为阳性”
由过去的资料已知P(B | A) 0.99 , P(B | A) 0.999 已知某地区居民肝癌发病率P(A) = 0.0004，在普查
中发现某人的甲态蛋白检验结果为阳性，求这批人中真
正患有肝癌的概率P(A | B) .
3
= 0.3628
同理可得
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
P( A2 | B) 0.4058, P( A3 | B) 0.2319,
由此可知：次品由乙厂生产的可能性大.
1 3
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例5 从银行的大数据分析得：当某人信誉良好时， 按时还款率为90%，而当某人信誉不好时，其按时还款率 为30%. 统计表明，信誉良好人的概率为75%，试求某人 按时还款时，其信誉是良好的概率。
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
1/ 70 1 . 3 / 70 3
i 1
1 0
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
二、 贝叶斯公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有４个 白球，１个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙 盒任取2球，已知从乙盒取出2个红球,求从甲盒取出两 个红球的概率
解：设A1=“从甲盒取出2个红球”，A２＝“从甲盒取 出2个白球”, A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”； B=“从乙盒取出2个红球
例1．设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．
第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取
3球，求第二次比赛取得3个新球的概率．
解：Ai=“第一次比赛恰取出i个新球”（i=0,1,2,3 )；
B=“第二次比赛取得3个新球”．
显然A0,A1，A2，A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：
P(B)
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
样本空间的一个划分（完备事件组）
定义1 设事件A1，A2，…，An为样本 空间Ω的一组事件
A1
A2
如果 （1） AiAj=Φ （i≠j）
… An
n
（2） Ai
A3
…
i 1
则称A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分.
如引例中的
A1=“从甲盒取出2个红球”，
P( Aj
|
B)
P( Aj B) P(B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
j 1, 2,..., n
1 1
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
贝叶斯公式的应用
第一章 事件与概率
(1) 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而 成，E１有若干种可能的结果，E2在E１的基础上也有 若干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件 发生了，求与试验E１的结果有关事件的概率，可以用 贝叶斯公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备 事件组．
一、 全概率公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个 白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙 盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．
解：设Ａ1=“从甲盒取出2个红球”，Ａ2＝“从甲盒取 出2个白球”, Ａ3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”； B=“从乙盒取出2个红球
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以 B=ΩB=(A1 A２ A3 )B＝A1BA２BA3B
|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1)（0.75）, P(A2) （0.25） P(A1|B)（0.9）, P(A2|B)（0.1）
通常称为验前概率.
通常称为验后概率.1 4 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
4
P(B) P( Ai)P(B / Ai) i 1