高三数学一轮复习 45分钟滚动基础训练卷(1)(江苏专版)

45分钟滚动基础训练卷(一)
[考查范围：第1讲～第3讲 分值：100分]
一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)
1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2
}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________．
2．[2012·扬州模拟] “α＝π6”是“sin α＝1
2
”的________条件．
3．[2011·南通二模] 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2
<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
4．[2011·南京二模] 已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x ︱x 2
－x －6≥0，x ∈R }，则Z ∩(∁U A )中元素的个数为________．
5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．
6．[2011·镇江模拟] 已知p ：|x －a |<4，q ：x 2
－5x ＋6<0，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是________．
7．[2011·南通三模] 对于定义在R 上的函数f (x )，给出下列三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数； ②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数； ③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为________．
8．若a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2
－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的________条件．
二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
9．已知p ：x 2
－x －6≥0，q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值．
10．[2012·杭州模拟] 已知集合A ＝
⎪⎪ x y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2
＋2x ＋m )}．
(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；
(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值； (3)若A ∪B ⊆B ，求m 的取值范围．
11．已知关于x 的方程(1－a )x 2
＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R )．求： (1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
12．[2011·扬州期末] 已知数列{a n}，a n＝p n＋λq n(p>0，q>0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*)．
(1)数列{a n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
(2)设B＝{(n，b n)|b n＝3n＋k n，n∈N*}，其中k∈{1,2,3}，C＝{(n，c n)|c n＝5n，n∈N*}，求B∩C.
测评手册
45分钟滚动基础训练卷(一)
1．4 [解析] ∵A＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2
}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝16，a ＝4，∴a
＝4.
2．充分不必要 [解析] 由“sin α＝12”得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π
6
，k ∈Z ，所
以“α＝π6”是“sin α＝1
2
”的充分不必要条件．
3．真 [解析] 否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2
≥4”，这是真命题．
4．4 [解析] 因为∁U A ＝{x |x 2
－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以Z ∩(∁U A )＝{－1,0,1,2}，所以该集合的元素有4个．
5．m －n [解析] 因为∁A ∩B ＝(∁U A )∪(∁U B )，所以A ∩B 中共有(m －n )个元素．
6．[－1,6] [解析] 由p ：|x －a |<4⇒－4＋a <x <4＋a ；q ：x 2
－5x ＋6<0⇒2<x <3.因为
p 是q 的必要条件，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－4＋a ≤2，
4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6.
7．② [解析] 根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．从而命题①错误；命题②正确；对于使f (－2)＝f (2)＝0的函数，f (x )可能为奇函数，说明命题③错误．
8．充要 [解析] 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，所以a ，b 互补；若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，所以a ＋b ≥0，此时有φ(a ，b )＝a ＋b 2－2ab －(a ＋b )＝a ＋b 2－(a ＋b )＝(a ＋b )－(a ＋b )＝0，所以φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．
9．[解答] 由“p 且q ”与“非q ”同时为假命题可知，非q 为假命题，则q 为真命题；p 且q 为假命题，则p 为假命题，即綈p ：x 2－x －6<0为真，∴－2<x <3，又x ∈Z ，∴x ＝－1，0,1或2.
10．[解答] (1)由6
x ＋1
－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}．当m ＝3时，由
－x 2
＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．
(2)∵A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根，∴m ＝42
－2×4＝8.又当m ＝8时，B ＝{x |－2<x <4}，此时A ∩B ＝{x |－1<x <4}，符合题意，故m ＝8.
(3)由－x 2＋2x ＋m >0，得x 2
－2x －m <0.
令x 2
－2x －m ＝0，
解得x 1＝1＋1＋m ，x 2＝1－1＋m ，
所以不等式的解集为：{x |－1＋m <x <1＋1＋m }，
又A ∪B ⊆B ，所以⊆B ，所以⎩⎨
⎧
1－1＋m ≤－1，
1＋1＋m >5.
解得m >15.
11．[解答] (1)方程(1－a )x 2
＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－a ≠0，
Δ≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≠1，
a ＋
2
＋－a
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≠1，
a ≤2或a ≥10，
即a ≥10或a ≤2且a ≠1； 设此时方程两根为x 1，x 2，
∴方程有两正根的充要条件是：
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠1，
a ≤2或a ≥10，x 1
＋x 2
>0，x 1x 2
>0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠1，
a ≤2或a ≥10，
a ＋2a －1>0，
4a －1>0
⇒1<a ≤2或a ≥10即为所求．
(2)从(1)知1<a ≤2或a ≥10时方程有两个正根；当a ＝1时，方程化为3x －4＝0有一
个正根x ＝4
3
；方程有一正、一负根的充要条件是：
⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a ≠0，Δ>0，x 1x 2<0
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≠1，
a <2或a >10，4a －1<0
⇒a <1.
综上，方程(1－a )x 2
＋(a ＋2)x －4＝0至少有一正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.
12．[解答] (1)取数列{a n }的连续三项a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ≥1，n ∈N *
)， ∵a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(p n ＋1＋λq n ＋1)2－(p n ＋λq n )(p n ＋2＋λq n ＋2)＝－λp n q n (p －q )2
，
∵p >0，q >0，p ≠q ，λ≠0，∴－λp n q n (p －q )2
≠0，
即a 2
n ＋1≠a n a n ＋2，
∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列．
(2)当k ＝1时，3n ＋k n ＝3n ＋1<5n
，此时B ∩C ＝∅；
当k ＝3时，3n ＋k n ＝3n ＋3n ＝2·3n 为偶数，而5n
为奇数，此时B ∩C ＝∅；
当k ＝2时，由3n ＋2n ＝5n
，发现n ＝1符合要求，下面证明惟一性(即只有n ＝1符合要求)．
由3n ＋2n ＝5n
得⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25n ＝1，
设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25x
是R 上的减函数，∴f (x )＝1的解只有一个．
从而当且仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25n ＝1，即3n ＋2n ＝5n
，此时B ∩C ＝{(1,5)}．
综上，当k ＝1或k ＝3时，B ∩C ＝∅； 当k ＝2时，B ∩C ＝{(1,5)}．。