福建省厦门市2012届高三3月质量检查数学(文)试题(扫描版)
福州市2012届第一学期高三期末质量检查数学(理科)试卷
福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =x 为样本平均数.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知集合{|3}A x x =>，{}24B x x =<<，那么集合()R A B ð等于 A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x <≤C ．{|34}x x <<D ．{|4}x x <2．复数21i i +（i 为虚数单位）等于A ．1122i +B ．1122i -C ．1122i --D ．1122i -+ 3．“3c o s 5α=”是 “7cos 225α=-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，若输入x =0.1，则输出m 的值是A ．0B ．0.1C ．1D ．1-5．将函数()x x f 2sin =（x ∈R ）的图象向右平移4π个单位，则所得到的图象对应的函数在下列区间中单调递增的是A ．(,0)4π-B ．(0,)2πC ．3(,)24ππD ．3(,)4ππ 6．已知||1a = ，||2b = ，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ． 30︒7．已知()g x 为三次函数32()3a f x x ax cx =++的导函数，则它们的图象可能是 第4题图图甲图乙A ．B.C.D.8．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为 A ．14B ．34C ．964D ．27649．直线y =与椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）交于A B 、两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为ABC1 D．4-10．设Q 为有理数集，函数1(),R Q Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩，,-1，ð()11x xe g x e -=+，则函数 ()()()h xf xg x =⋅A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11．计算1213x dx -⎰的值等于 ★★★ ．12．在24(1(1-+的展开式中，x 的系数等于★★★ .(用数字作答)13．在圆224x y +=所围成的区域内随机取一个点(,)P x y ，则2x y +≤的概率为 ★★★ ．14．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．15．如图的倒三角形数阵满足：⑴ 第1行的n 个数，分别是1，3，5，…，21n -；⑵ 从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶ 数阵共有n 行．问：当2012n =时，第32行的第17个数是 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）第14题图第15题图16．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（*Νn ∈，常数0c ≠），且1a ，2a ，3a 成等比数列． （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．17．（本小题满分13分）某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（ 健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[](](]0,5,5,10,,25,30⋅⋅⋅，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.（Ⅰ）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（Ⅱ）现从这40名的学生中任取2名，设Y 为健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及其数学期望E （Y ）．18．（本小题满分13分） 如图，在△ABC 中，已知3B π=，34=AC ,D 为BC 边上一点．（Ⅰ）若2AD =，DAC S ∆=，求DC 的长；（Ⅱ）若AB AD =，试求ADC ∆的周长的最大值．19．（本小题满分13分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；第18题图第17题图（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（Ⅰ）若函数()1()1x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间； （Ⅱ）设直线l 为函数()f x 的图象上一点00(,())A x f x 处的切线．证明：在区间1,+∞（）上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．福州市2012届第一学期期末高三数学(理科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．2 12．3- 13．2π14．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 15．372 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知，12a =，22a c =+，323a c =+， ………2分 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， ………4分 解得0c =或2c =，又0c ≠，故2c =． ………6分 （Ⅱ）当2n ≥时，由1n n a a cn +=+得21a a c -=， 322a a c -=，…1(1)n n a a n c --=-，以上各式相加，得1(1)[12...(1)]2n n n a a n c c --=+++-=， ………9分 又12a =，2c =，故22(2)n a n n n =-+≥， ………11分 当1n =时，上式也成立， ………12分 所以数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-+（*Νn ∈）． ………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75+++⨯=⨯=， ………2分∴ 健康上网天数超过20天的学生人数是第20题图40(10.75)400.2510⨯-=⨯=．………4分（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2．………5分P(Y=0)=2302402952CC=, P(Y=1)=111030240513C CC=, P(Y=2)=210240352CC=．……8分所以Y的分布列为11分∴E（Y）=0×2952+1×513+2×352=12．………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）DACS∆=1sin2AD AC DAC∴⋅⋅⋅∠=，∴1sin2DAC∠=．………2分∵233DAC BACπππ∠<∠<-=,∴6DACπ∠=．………3分在△ADC中，由余弦定理，得6cos2222πACADACADDC⋅-+=, ……4分24482228DC∴=+-⨯⨯=,DC∴=………6分（Ⅱ）∵AB AD=，3Bπ=，∴ABD∆为正三角形，在ADC∆中，根据正弦定理，可得，⎪⎭⎫⎝⎛-==CDCCAD3sin32sin34sinππ, ………7分8sinAD C∴=，8sin3DC Cπ⎛⎫=-⎪⎝⎭, ………8分∴ADC∆的周长为8sin8sin3AD DC AC C Cπ⎛⎫++=+-+⎪⎝⎭34cos 23sin 21834sin 21cos 23sin 8+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C C C C C …9分 343sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πC , …………………………………10分22033333ADC C C πππππ∠=∴<<∴<+<，，， ………11分 () 3.326C C f A πππ∴+=当，即＝时，有最大值16+8 ADC∆的周长最大值为348+． ……13分 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每件定价为x 元， 依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， ………3分 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤． ………5分 ∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． ………6分 （Ⅱ）依题意，25>x 时，不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+有解, ………8分 等价于25>x 时，1501165a x x ≥++有解, ………9分()150110306x x x +≥==当且仅当时，等号成立 , ………11分 10.2a ∴≥. ………12分． ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． ………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得，1111y y x x -+=-+， 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-）. ………4分 （Ⅱ）方法一、设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， ………6分 由O M P 、、三点共线可知， 00(,)OM x y = 与211(,)OP x x =共线， ∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =， ………8分同理，由00(1,1)AM x y =+- 与222(1,1)AQ x x =+- 共线，∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， ………10分 将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=， 整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-， ………12分由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分方法二、设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， ………6分 ∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+--， ② …10分 联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ……………12分 由2PQA PAM S S ∆∆=，得到2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =，由2PO OM =，得11x =，∴P 的坐标为(1,1)． ………14分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ， ()()()22211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ．……………………2分∵0x >且1x ≠， ∴()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和11,0． ……………………4分（Ⅱ）∵1()f x x'=，∴001()f x x '=，∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=-， 即001ln 1y x x x =+-， ① ……………………6分设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)xx e ，∵()x g x e '=，∴101xe x =，∴10ln x x =-． ……………………8分∴直线l 的方程为()00011ln y x x x x -=+， 即0000ln 11x y x x x x =++， ② ……………………9分由①②得 0000ln 1ln 1x x x x -=+， ∴0001ln 1x x x +=-． …………………11分 下证：在区间1,+∞（）上0x 存在且唯一： 由（Ⅰ）可知，()x ϕ11ln -+-=x x x 在在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011e e e e e ϕ+-=-=<--，22222213()ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， ……………13分 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x ．故结论成立．………………14分。
福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
【恒心】【好卷速递】福建省福州市2012届高中毕业班质量检查试卷(word版)_数学文
2012年福州市高中毕业班质量检查数学(文科)试卷(完卷时间：1 20分钟；满分：1 50分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．)1．抛物线y 2=4x 的焦点坐标为A ．(1，0)B ．(－l ，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 2．命题“$x ∈R ，x 3>0”的否定是RA ．$x ∈R ，x 3≤0B ．"x ∈R ，x 3≤0C ．$x ∈R ，x 3＜0D ．"x ∈R ，x 3＞0 3．集合M={ x ∈N *| x (x －3)< 0}的子集个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于140克的苹果数约占苹果总数的A ．10％B ．30％C ．70％D ．80％ 5．执行如下程序框图后，若输出结果为－1，则输入x 的值不可能．．．是 A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－26．如图，水平放置的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，其正视图是边长为a 的正方形．俯视图是边长为a 的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为A ．a 2B ．12a 2C ．2a 2 D 2 7．在区间(0，2p)上随机取一个数x ，使得0<tan x <1成立的概率是 A ．18 B ．13 C ．12 D ．2p8．若x 、y ∈R ，且1,,230,x y x x y ì³ïï³íï-+ ïî，则k=y x 的最大值等于A ．3B ．2C ．1D ．129．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO =x AB+(1－x ) AC ，则实数x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，+∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)10．若双曲线2222x y a b-=1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x -2)2+y 2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．(2，+∞)B ．(1，2)C ．(1D ．+∞)11．函数f （x ）=2cos(ωx+φ)( ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A 、B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且|ABf （x ）图象的一条对称轴的方程为A ．x =2B ．x =2πC ．x =12 D ．x =2p 12．已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ＇（x ）的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R ( x 1≠x 2)，下列结论正确的是 ①f （x ）< 0恒成立；②(x 1－x 2)[ f （x 1）－f （x 2）] < 0； ③(x 1－x 2)[ f （x 1）－f （x 2）] > 0；④122x x f 骣+琪琪桫> 12()()2f x f x +； ⑤122x x f 骣+琪琪桫 < 12()()2f x f x +．A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②⑤ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．) 13．已知i 是虚数单位，则复数11ii+-=___________ 14．已知函数f （x ）=2x 满足f （m ）·f （n ）=2，则m n 的最大值为_________15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a =2，B=60°，则sinC=____________．16．对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1=59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积59nn S 骣琪=琪桫．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n =____________．三、解答题(本大题共6小题，共79分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．) 17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1=12，点(a n ，a n+1)(n ∈N *)在直线y=x +12上 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)记b n =11n n a a +×,求数列{b n }的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)某教室有4扇编号为a 、,b 、c 、d 的窗户和2扇编号为x 、y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇． (Ⅰ)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A ，请列出A 包含的基本事件；(Ⅱ)求至少有1扇门被班长敞开的概率．19．(本小题满分12分)已知函数f （x ）=cos 2sin()4xp . (Ⅰ)求函数f （12p）的值； (Ⅱ)求函数f （x ）的单调递减区间． 20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22219x y a +=(a >0)与x 轴的正半轴交于点P ．点Q 的坐标为(3，3)，OP OQ ×=6．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点Q且斜率为32的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．21．(本小题满分12分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．(Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；(Ⅱ)记三棱锥P- ABD体积为V1，四棱锥P—BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．22．(本小题满分14分)已知函数f（x）=－x2+2ln x．(Ⅰ)求函数f（x）的最大值；(Ⅱ)若函数f（x）与g(x)=x+ax有相同极值点，(i)求实数a的值；’(ii)若对于"x1 ，x2∈[1e，3 ]，不等式12()()1f xg xk--≤1恒成立，求实数k的取值范围．找家教，可以找柯南东升，可以关注824135830空间，更多精彩请加8214358302012年福州市高中毕业班质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.）1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．i14．1415．116．1()3n三、解答题（本大题共6小题，共74分．） 17．解：（Ⅰ）由已知得112n n a a +=+，即112n n a a +-=． ········································· 1分 ∴ 数列{}n a 是以12为首项，以12d =为公差的等差数列． ···································· 2分∵ 1(1),n a a n d =+- ·································································································· 3分 ∴ 11(1)222n na n =+-=（*n N ∈）． ········································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得141(1)22n b n n n n ==++⋅， ·························································· 7分 ∴ 114()1n b n n =-+． ···························································································· 9分 ∴ 111114[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+ 14(1)1n =-+41n n =+． ······················· 12分 18．解：（Ⅰ）事件A 包含的基本事件为：{,}a b 、{,}a c 、{,}a x 、{,}a y 、{,}b c 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共10个． ······································································· 6分注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件B ．∵ 事件B 包含的基本事件有{,}a x 、{,}a y 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共7个． ······························································································································ 9分∴ 7()10P B =． ······································································································· 12分 方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有{,}a b 、{,}a c 、{,}b c ，共3个． ··············································································· 8分∴ 2个门都没被班长敞开的概率1310P =， ··························································· 10分 ∴ 至少有1个门被班长敞开的概率23711010P =-=．·········································· 12分 19．方法一：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠（k ∈Z ），即4x k ππ≠+（k ∈Z ），∴ 函数()f x 定义域为{|,}4x x k k ππ≠+∈Z ． ······················································· 2分∵cos 2(),)4x f x x π=-22cos sin ()cos sin )cos sin 4x x f x x x x x x π-∴==+=+-， ·············································· 5分 注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.（Ⅰ）()sin()121243fππππ=+=== ·····································8分（Ⅱ）令322(242Z)k x k kπππππ+<+<+∈，·················································10分得522(44Z),k x k kππππ+<<+∈ ······································································11分∴函数()f x的单调递减区间为5(2,2)44k kππππ++(Z)k∈． ······················12分注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分．方法二：由sin()04xπ-≠，得4x kππ-≠（k∈Z），即4x kππ≠+（k∈Z），∴函数()f x定义域为{|,}4x x k kππ≠+∈Z． ·····················································2分∵cos2(),)4xf xxπ=-sin2()2sin()cos()444())4sin()sin()44x x xf x xx xππππππ---∴===---， ····························5分（Ⅰ）()cos())121246fππππ=-=-==；································8分（Ⅱ）令22()4k x k k Zππππ<-<+∈， ···························································10分得522(44Z)k x k kππππ+<<+∈，····································································11分∴函数()f x的单调递减区间为5(2,2)44k kππππ++(Z)k∈． ······················12分方法三：（Ⅰ）∵cos(2)cos126ππ⨯==，1sin()sin41262πππ-==，∴2()1122fπ=·······················································································3分下同方法一、二．20．解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为(,0)a． ·························································1分∵6OP OQ⋅=，点Q坐标为(3,3)，∴ 3306a +⨯=，解得2a =． ················································································ 3分∴ 椭圆C 的方程为22149x y +=．············································································ 4分 （Ⅱ）过点Q (3,3)且斜率为32的直线AB 方程为33(3)2y x -=-，即3230x y --=． ······································································································ 5分 方法一：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 并整理得，2812270y y +-=． ········································ 6分 ∴ 1212327,28y y y y +=-=-， ················································································· 7分∴ 2212121295463()()4444y y y y y y -=+-=+=， ∴12||y y -=． ································································································ 9分 ∵ 直线AB 与x 轴的交点为(1,0)M ， ∴ AOB ∆的面积AOB OMA OMBS S S ∆∆∆=+121211||(||||)1||22OM y y y y =⋅+=⨯⨯-=． ·············· 12分 方法二：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············· 6分 ∴12,x x == ·················································· 7分 ∴12||||AB x x =-== ·· 9分∵ 点O 到直线AB的距离d ===， ·········································· 10分 ∴ AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅== ······························ 12分 方法三：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············· 6分∴12,x x == ·················································· 8分 ∵ 直线AB 与y 轴的交点为3(0,)2M -，∴ AOB ∆的面积 AOB OMA OMB S S S ∆∆∆=+12113||(||||)222OM x x =⋅+=⨯⨯=．…12分 方法四：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ··············································· 6分 ∴ 121231,2x x x x +=⋅=-， ······················································································ 7分∴12||AB x x =-=，····································································································································· 9分 ∵ 点O 到直线AB的距离d ==········································ 10分 ∴ AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅== ······························ 12分 21．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，∵ BD AC ⊥，∴ BD AO ⊥. ··········································································································· 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥,∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ， ∴ PO ⊥平面ABFED , ························································································· 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥. ··········································································································· 3分 ∵ AO PO O = ，所以BD ⊥平面POA . ································································ 4分 （Ⅱ）连结OB ，设AO BD H = . 由（Ⅰ）知，AC BD ⊥． ∵ 60DAB ∠=︒，4BC =，∴ 2BH =，CH = ························································································ 5分 设OH x =（0x <<．由（Ⅰ）知，PO ⊥平面ABFED ,故POB ∆为直角三角形．∴ 222222()PB OB PO BH OH PO =+=++，∴222224)2162(10PB x x x x =++=-+=+． ·························· 7分当x =PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ··············································· 8分 ∴ 14CEF BCD S S ∆∆=， ·································································································· 9分∴ 3344BCD ABD BFED S S S ∆∆==梯形， ············································································ 10分∴ 1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形． ························································· 11分∴ 1243ABD BFED V S V S ∆==梯形．∴ 当PB 取得最小值时，12:V V 的值为4:3． ······················································· 12分 22．解：（Ⅰ）22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-（0x >）， ····································· 1分 由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,f x x '<⎧⎨>⎩得，1x >.∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ············································ 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ······································································· 4分 （Ⅱ）∵ ()a g x x x =+， ∴ 2()1ag x x'=-． （ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ············································································· 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ········································ 8分 （ⅱ）∵ 211()2f e e=--，(1)1f =-，(3)92ln3f =-+，∵ 2192ln321e -+<--<-， 即 1(3)()(1)f f f e<<， ∴ 11[,3]x e∀∈，1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ························ 9分由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-. 当1[,1)x e∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数．。
2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案
绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。
2012届高三第三次月考 数学(文)试题(A卷)
2012届高三第三次月考数学试题（文科）（A 卷）第Ⅰ卷一、选择题． 本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．o660sin 等于（ ）A ． 23-B ． 21-C ．21D ．23 2．设πln =a ，2ln =b ，)2ln(ln =c ，则（ ）A ． b c a <<B ． c b a <<C ． c b a >>D ． b c a >>3． 函数x x y 22)23lg(-+-=的定义域是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,32C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,324．已知20πβα<<<，则)2cos(βα-的取值范围是（ ）A ． ()1,0B ． (]1,0C ． ()1,1-D ． (]1,1-5．某商店拟对店中A ，B 两种商品进行调价销售．A 种商品拟降价%20，B 种商品拟提价%20，调价后两种商品的单价都是360元．假设这两种商品的销量相同，则与调价前相比，该商店销售这两种商品的总利润 （ ） A ．增加 B ．不变 C ．减少 D ．与进货价格有关 6．已知βα,()π,0∈，51)sin(=+βα，75sin =β，则αcos 等于 （ ）A ． 3529-B ． 3519-C ．3529 D ．3529或3519- 7．为了得到函数)42sin(π-=x y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ）A ．向右平移83π个长度单位 B ．向右平移43π个长度单位 C ．向左平移83π个长度单位D ．向左平移43π个长度单位8． 已知ABC ∆的三边边长a ，b ，c 满足 ab cc a b a -=++，则ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．以上三种情况都有可能9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(1)23(x f x f -=+π．若2)2(=πf ，则)11(πf 等于（ ）A ．2-B ．2C ．21D ． 21-10．已知函数x y 2=图像上四个不同点的纵坐标分别为d c b a ,,,，这四个点在x 轴上的投影点分别为D C B A ,,,．假设AB AC λ=，BA BD λ=（λ为实数），若||||d c b a ->-，则（ ） A ．0=λB ． 0<λC ． )1,0(∈λD ．1>λ第II 卷本卷包括填空题和解答题两部分，共100分．二、填空题． 本大题共5小题,每小题5分，共25分． 11． 如果函数)2cos()(φπ+=x x f )20(πφ<<当3=x 时取得最大值，那么=φ_____．12．=+-12tan31312tanπ_____．13． 若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是_____． 14．已知函数1sin cos sin )(++=x b x x a x f ，且3)4(=πf ，则=-)4(πf _____．15．函数)3()(2++=ax x e x f x在区间()1,1-内存在零点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题． 本大题共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）化简：++++θθθθ2cos cos 12sin sin θθθθ2cos sin 12sin cos -++．17．（本题满分12分）已知向量 )sin ,sin 2(x x -=，)sin 2,cos 3(x x =，（R x ∈）．函数x f ∙=)(．（1）求函数)(x f 的最小正周期及最大值；（2）用“五点法”做出函数)(x f 在一个周期内的图像，并根据图像写出满足不等式0)(≥x f （R x ∈）的所有x 的集合．18．（本题满分12分）已知2627)4sin(=+πx ，（),2(ππ∈x ）．（1）求x 2sin 的值； （2）求)42tan(π-x 的值．19． （本题满分12分 ）在△ABC 中，内角C B A ,,所对边的边长分别是c b a ,,．已知13=c ,3π=C ，3=∆ABC S ，且b a >．（1）求b a ,；（2）设D 是边AB 的中点，求ADC sin ．20．（本题满分12分）某建材商店经销某种品牌的防盗门，每年预计销量为1600套．分n 次从厂家进货，且每次进货量相同．如果每次进货不超过200套，一次进货手续费为3000元；如果超过200套，一次进货手续费要再增加1500元．对购进而未销售的防盗门每套每年要付20元的库存费，可以认为平均库存量是每次进货量的一半．问每年进几次货费用（进货手续费和库存费）最小． 21．（本题满分15分）已知函数xxx f 2cos 3sin )(+=，（[]π,0∈x ）．（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若)()(sin x f x g =（[]π,0∈x ），求证：对于区间[]1,0上任意的数m ，n 不等式)2(2)()(nm g n g m g +≥+恒成立．。
福建省厦门市(新版)2024高考数学部编版质量检测(评估卷)完整试卷
福建省厦门市（新版）2024高考数学部编版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题双曲线的顶点到渐近线的距离为（）A．2B．C．D．1第(3)题已知直线与圆相交于A，B两点，当取得最大值时，则m=（）A．B．C．1D．3第(4)题执行下面的程序框图，如果输入三个实数、、，要求输出这三个数中最小的数，那么空白的判断框中应填入（）A．B．C．D．第(5)题若，则（）A．B．C．D．第(6)题2020年1月17日，国家统计局发布了2019年全国居民人均消费支出及其构成的情况，并绘制了如图的饼图.根据饼图判断，下列说法不正确的是（）A．2019年居民在“生活用品及服务”上人均消费支出的占比为6%B．2019年居民人均消费支出为21350元C．2019年居民在“教育文化娱乐”上人均消费支出小于这8项人均消费支出的平均数D．2019年居民在“教育文化娱乐”、“生活用品及服务”、“衣着”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．无解第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，且，，，则（）A．的取值范围为B．存在，，使得C．当时，D．t的取值范围为第(2)题盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件表示“第次首次取出红球”，用事件表示“第次取出编号为1的红球”，用事件表示“第次取出编号为1的白球”，则（）A．B．C．D．第(3)题设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A．直线l过定点（2，3）B．当取得最大值时，C．当∠ACB最小时，其余弦值为D．的最大值为24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________.第(2)题若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是___．第(3)题设复数，若复数对应的点在直线上，则的最小值为___________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.(1)求的方程；(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.第(2)题已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.（1）求f(x)的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：.第(3)题记的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)若，求的面积；(2)若，求.如图，为圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，，是底面圆弧的三等分点，，分别为，的中点．(1)证明：点在平面内．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．第(5)题已知函数，且．(1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点．(2)讨论函数的单调性．。
福建省泉州市2012届高三数学3月质量检查试题 理(2012泉州质检)
某某号某某（在此卷上答题无效）某某★启用前2012年某某市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 复数()1i i +等于 A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2. 已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则AB 等于A.{}03x x << B.{}23x x << C.{}13x x << D.{}14x x <<3. 已知(2,1),(1,3)a b ==--，则||a b -等于 ABC ．5D ．254. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的S 值为12012，那么判断框中实数a 的取值X 围是 A ．20112012a ≤<B ．20112012a <≤ C ．20112012a ≤≤D ．20122013a ≤<5. 下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y yz x z ⊥⇒⊥”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知实数,x y 满足2220,0,4,x y x y x y ⎧-+≥⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值是 A ．5 B ．-1 C ．2 D.7. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为A ．49B ．23 C ．59D 9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88%B. 90%C. 92%D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是A ．30B ．45C ．60D ．90某某号某某（在此卷上答题无效）某某★启用前2012年某某市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列}{n a 中,51a =,322a a =+,则11S =.12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .13. 在ABC中，60,B AC ==ABC 周长的最大值为 .14. 已知{}()(),min ,a b a a b a b b ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，设()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .15.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有个.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程.（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？17.（本小题满分13分）将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的倾斜角为θ，已知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）试用θ表示BC 的坐标（要求将结果化简为形如(cos ,sin )αα的形式）；123侧视图正视图（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，称1212x x y y -+-为P 、Q 两点间的“taxi 距离”，并用符号PQ 表示.试求BC 的最大值.18.（本小题满分13分） 已知12310,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12. （Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分13分）如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.C 11C（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11A C ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值； （Ⅲ）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10，试某某数t 的值. 20.（本小题满分14分）已知()0xf x x e =⋅，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）.(Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）；(Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ；(Ⅲ)设()()22188n g x x n x n =--+-+，()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,,a b c n p q 满足222222a b c n p q m ++=++=.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q a b c++≥．2012届某某市普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C6． D7．C8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．3312．113.．5415．90000三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线， ………………2分 其方程为24y x =. ………………5分（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分①当直线m 的斜率不存在时，不合题意. ………………7分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为2(4)y k x -=-，………8分联立方程组22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222(844)(24)0k x k k x k --++-=，（*） ………………9分∴21228448k k x x k-++==，解得1k =. ………………10分 此时，方程（*）为2840x x -+=，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分易判断直线m 不可能垂直y 轴， ………………7分 ∴设直线m 的方程为4(2)x a y -=-，………8分 联立方程组24(2)4x a y y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得248160y ay a -+-=， ………………9分∵216(1)480a ∆=-+>,∴直线与轨迹C 必相交. ………………10分又1244y y a +==，∴1a =. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上，∴有2112224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩（）（），将(1)(2)-，得2212124()y y x x -=-. ………8分当12x x =时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ………9分 ∴12121241y y x x y y -==-+，即直线AB 的斜率1k =, ………10分注意到点N 在曲线C 的X 口内（或：经检验，直线m 与轨迹C 相交）…11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分 17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）解法一：因为()cos ,sin B θθ，cos ,sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分 所以cos cos ,sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………3分 22cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分 解法二：平移BC 到AD （B 移到A ，C 移到D ），………2分由BC 的坐标与AD 的坐标相等，都等于点D 的坐标. ………3分 由平几知识易得直线AD 的倾斜角为23πθ+， ∵||1AD =，∴根据三角函数的定义可得22cos ,sin 33D ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22cos ,sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分（Ⅱ）解法一：22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22[,]33ππθπ+∈， ………9分 ∴22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………11分512πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………12分所以当12πθ=时，BC. ………13分解法二：cos cos sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵03πθ≤≤，∴2333πππθπ≤+≤<，即03πθθπ≤<+<， ∴cos cos cos cos()33ππθθθθ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭. ………9分 ∵03πθ≤≤，∴()232πππθθ-≥+-，∴sin sin sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………10分 ||||BC =cos cos()3πθθ-++sin sin 3πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭Ks5u5sin()cos())6612πππθθθ=+++=+, ………12分所以当12πθ=时，BC. ………13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为2821011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭451024=. ………4分（Ⅱ）设该同学共参加了i 次考试的概率为i P （110,i i Z ≤≤∈）.∵91,19,21,102ii i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：ξ a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10aP12212 312 412 512 612 712 812 912 912………7分所以2991111(12910)2222E a ξ=⨯+⨯++⨯+⨯， ………8分 令29111129222S =⨯+⨯++⨯, …（1） 则2391011111128922222S =⨯+⨯++⨯+⨯, …（2） 由（1）-（2）得291011111922222S =+++-⨯，所以2891111192222S =++++-⨯， ………11分所以289911111191022222E a ξ⎛⎫=++++-⨯+⨯ ⎪⎝⎭911122a ⎛⎫=+++⎪⎝⎭10112112a -=-101212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1023512a =(元). ………13分Ks5u 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC A C ⊥. ………1分∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=平面，∴11AB AAC C ⊥平面. ………2分又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥. ………3分 ∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面,∴11A C ABC ⊥平面. ………4分证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==，Ks5u∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=， …2分 ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥. …3分 又∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面∴11A C ABC ⊥平面. …4分证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则100n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩.令1z =，则(0,1,1)n =-， ……3分∵1AC n =-, ∴11A C ABC ⊥平面. ……4分 （Ⅱ）∵111AA BB C C 平面，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴1112231113(32)(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, …5分 '(1)V t t =--，令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，列表，得(0,1)1 3(1,)2'V + 0 － V递增极大值递减∴当1t =时，max 16V =. …8分 （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,11(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=，Ks5u 1(0,0,32)CC t =-，(,,0)BC t t =-. ……9分Ks5u设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =，则111111(32)00n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1z t =，则1(0,23,)n t t =-. …10分 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222120(32)0n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩. 由于302t <<，所以解得2220x y z =⎧⎨=⎩.令21y =，则2(1,1,0)n =. …11分 设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有1212|||cos |||||2n n n n θ⋅===⋅.化简得2516120t t -+=,解得2t =（舍去）或65t =.所以当65t =时，二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10. …13分20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．解：(Ⅰ)()()x n f x x n e =+⋅ （n N *∈）. ……4分(Ⅱ)∵()()1xn f x x n e '=++⋅，∴当()1x n >-+时，()0n f x '>；当()1x n <-+时，()0n f x '<. ∴当()1x n =-+时，()n f x 取得极小值()()()11n n f n e -+-+=-，即()1n n y e -+=-（n N *∈）. ……8分Ks5u (Ⅲ) 解法一：∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e-+-=-+，令()()()()2130x h x x ex -+=-+≥，则()()()123x h x x e -+'=--. ……10分∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴()()106h x h e -''≥=--， ∵()430h e-'=-<，()5420h e -'=->，∴存在()03,4x ∈使得()00h x '=. ……12分 ∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴当00x x ≤<时，()00h x '<；当0x x >时，()00h x '>， 即()h x 在[)0,x +∞单调递增，在[)00,x 单调递减，∴()()()0minh x h x =，又∵()43h e -=，()541h e -=+，()()43h h >， ∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e -+-=-+，令()()213n n c n e-+=-+，则1211125n n n n c c n ee+++-=-+-，……10分当3n ≥时，1211125n n n n c c n e e +++-=-+-，又因为3n ≥，所以251n -≥，210n e +>，1101n e +<<，所以2111250n n n e e ++-+->，所以1n n c c +>.……12分Ks5u又1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>，∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y'=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩， ……5分又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=. ……1分①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……3分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……4分联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >.……5分又22121222812,,11t t x x x x t t +=-=++……6分 故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t . ……7分 （3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩，……2分 可得函数的最小值为2.故2m =. ……3分Ks5u法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， ……2分 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =. ……3分（Ⅱ） 222222222[()()()]()n p q a b c a b c++⋅++2222()n p q a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅……5分即：444222()2n p q a b c ++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q a b c++≥. ……7分。
2012届高三第二次月考试题(数学文)+
2012届高三年级第二次月考数学试题（文科）（考试范围：集合与简易逻辑、不等式（含绝对值不等式）、函数、导数、三角函数及解三角形、数列、平面向量、立体几何、直线和圆）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷 （选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合}21|{},|{<<=<=x x B a x x A 且R =B C A R ,则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤aB ．1<aC ．2≥aD ．2>a2．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）A ．1B ．13-C ．23- D ．2-3．设平面向量(1,2),(1,)a b m ==-，若//a b ，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．24．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④5．已知x ，y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，+，，则z=13y x -+的最大值 （ ）A ．3B ．76 C ．13D ．-236．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x x y 2⋅=的图象（部分）如下，则按照从左到右图像对应的函数序号安排正确的一组是 （ ） A ．①④③② B ．④①②③ C ．①④②③． D ．③④②①7．已知f （x ）=(3)4,1log ,1a x a x x x a--≥⎧⎨⎩ 是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（-∞,3）C ．（ 35,3） D ．（1,3）8．已知三条不重合的直线m 、n 、l 与两个不重合的平面α、β，有下列命题：[ ] ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；②若l ⊥α，m ⊥β且l ∥m ，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α．其中正确的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积是 （ ）A． B． C ．50πD ．200π10．若点P在曲线上移动，经过点P 的切线的倾斜角为，x则角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．12．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知数列1-,1a ,2a ,4-成等差数列,1-,1b ,2b ,3b ,4-成等比数列，则212b a a -的值为14．若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相离，则m 的取值范围是 ．15．在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），11B A B C B A B C B D+=，则四边形ABCD 的面积是16．下面四个命题：①函数sin ||y x =的最小正周期为π；②在△ABC 中，若0>⋅，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数2log (2)(01)a y x a a =+->≠且的图象必经过点（3，2）；④cos sin y x x =-的图象向左平移4π个单位，所得图象关于y 轴对称； ⑤若命题“2,0x R x x a ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围为1[,)4+∞；其中所有正确命题的序号是 。
福建省2012届高考数学文二轮专题总复习课件： 函数的图像与性质(2)
第t天 Q(万股)
4 36
10 30
16 24
22 18
20
(1) 根据提供的图象，写出该股票交易价格P(元)所满足
的函数关系式；
( 2 ) 根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t (天)的一
次函数关系式；
( 3)问30天内，该股票日交易金额哪天最大？最大日交易
金额是多少？
21
1 ( 0 < t ≤ 20，t ∈ N*) 5 t + 2 【解析】1) P = . ( − 1 t + 8 ( 20 < t ≤ 30，t ∈ N*) 10 ( 2 ) 设Q = at + b(a，b为常数)，将 ( 4,36 ) 与 (10,30 )的坐 标代入， 4a + b = 36 a = −1 得 ，解得 . 10a + b = 30 b = 40 所以日交易量Q(万股)与时间t (天)的一次函数关系式为 Q = 40 − t (0 < t ≤ 30，t ∈ N* )．
23
②当20 < t ≤ 30，t ∈ N*时， 1 1 2 P Q = (− t + 8) ( 40 − t ) = ( t − 60 ) − 40， 10 10 所以，当t = 21时， Q) max = 112.1 < 125； (P 当t = 15时， Q) max = 125(万元)． (P 故该股票日交易额15号最大，最大交易金额是125万元．
福州市2012届第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷
福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差为s =其中x 为样本平均数第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．复数(1)i i +（i 为虚数单位）等于 A ．0 B ．1i +C ．1i -D ．1i -+ 2．已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则()U M N 等于ðA ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e3．如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A ．83B ．84C ．85D ．864．“2x <”是“220x x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0.20.20.62,0.4,0.4a b c ===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若变量,x y满足约束条件,,y x y x x ≤-⎧⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩则y x z 2-=的最小值等于A ．2-B．2-C ．22-D ．0第3题图7．已知2cos()43πα+=，则sin()4πα-的值等于 A ．23B ．23- C D ．8．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为AB C19．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>）的部分图象如图所示，则在下列区间中函数()f x 单调递增的是A ．75[,]1212ππ- B ．7[,]1212ππ-- C ．[,]36ππ-D ．1117[,]1212ππ10．若直线2x my m +=+与圆222210x y x y +--+=相交，则实数m 的取值范围为 A ．(),-∞+∞ B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()(),00,-∞+∞11．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于A ．19B ．19-C ．16D ．16- 12．已知数列{}n a 中，145a =，112,0,2121,1,2n n n nn a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则2012a 等于A ． 45B ．35C ．25D ．15B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 ★ ★★ ．14．如图所示，程序框图的输出值s 等于★★★ ．15．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．16．已知集合M 是满足下列条件的函数()f x 的全体：⑴ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数；⑵ 函数()f x 有零点．那么在函数 ①()1f x x =+，②()21x f x =-，③2,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩④2()1ln f x x x x =--+中，属于M 的有 ★★★ ．（写出所有符合的函数序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，12a =，且134,1,a a a +成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．第15题图图甲 图乙已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．（Ⅰ）若用数组(,,)x y z 中的,,x y z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号 码，请写出数组(,,)x y z 的所有情形，并回答一共有多少种；（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．19．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．已知3a =，3B π=，ABC S ∆=（Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求sin2A 的值．20．（本小题满分12分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到150.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （Ⅱ）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA 的三边所 在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ= ，直线OP 与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值？并说明理由．22．（本小题满分14分）已知,m t ∈R ，函数3()()f x x t m =-+． （Ⅰ）当1t =时，（ⅰ）若(1)1f =，求函数()f x 的单调区间；（ⅱ）若关于x 的不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，求m 的取值范围； （Ⅱ）已知曲线()y f x =在其图象上的两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）处 的切线分别为12,l l ．若直线1l 与2l 平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．43y x =±；14．1320；15．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；16．②④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则22312a a q q =⋅=，33412a a q q =⋅=， ……………………………… 2分∵ 134,1,a a a +成等差数列，∴ 1432(1)a a a +=+，即32222(21)q q +=+， ……………………………… 4分整理得2(2)0q q -=，∵ 0q ≠，∴ 2q =， …………………………6分 ∴ 1222n n n a -=⨯=（*N n ∈）． …………………………8分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n b a n ===， ………………………10分 ∴ 12(1)122n n n n S b b b n +=+++=+++= ． ………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数组(,,)x y z 的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1）， （1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种．………………………5分注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分． （Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件i A （i =3，4，5，6）， ………6分易知，事件3A 包含1个基本事件，事件4A 包含3个基本事件，事件5A 包含3个基本事件，事件6A 包含1个基本事件，所以，31()8P A =，43()8P A =，53()8P A =，61()8P A =．……………………10分故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．答：猜4或5获奖的可能性最大． ……………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ ABC S ∆=∴11sin 322ac B =⨯= ∴ 8c =，………………………………2分由余弦定理得，2222212cos 38238492b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ 7b =， ………………………………5分 ∴ ABC ∆的周长为38718a b c ++=++=． ………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，a b=，∴ 3sin sin 7a A B b ===， ………………………………8分 ∵ a b <，∴ A B <，故角A 为锐角， ………………………………9分∴ 13cos 14A =， ………………………………10分∴ 13sin 22sin cos 214A A A ==． ………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005-⨯=万套，此时每套供货价格为1030325+=元， ………………………3分书商所获得的总利润为5(10032)340⨯-=万元．……………………4分（Ⅱ）每套丛书售价定为x 元时，由150.10,0x x ->⎧⎨>⎩得，0150x <<， ……5分依题意，单套丛书利润10100(30)30150.1150P x x x x=-+=----， ………7分∴100[(150)]120150P x x=--++-，∵ 0150x <<，∴ 1500x ->，由 100(150)21020150x x -+≥⨯=-， …………10分当且仅当100150150x x-=-，即140x =时等号成立，此时，max 20120100P =-+=．答：每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；每套售价丛书定为140元时，单套利润取得最大值100元．…………12分（说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得1111y y x x -+=-+， …………2分 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-），（Ⅱ）设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， …………6分 由O M P 、、三点共线可知，00(,)OM x y = 与211(,)OP x x =共线，∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =，…………8分同理，由00(1,1)AM x y =+- 与222(1,1)AQ x x =+- 共线， ∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， …………10分将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=，整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-，即点M 的横坐标为定值12-．………………………12分（方法二）设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， …………6分 ∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+-- ②；……10分联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ………………………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(i)因为(1)1f =，所以1m =，……………………1分则()33211()33f x x x x x -+==+-， 而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞． ……………………4分（ii ）不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解， 即 不等式2330x x m --≤在区间[1,2]上有解， 即 不等式233m x x ≥-在区间[1,2]上有解，等价于m 不小于233x x -在区间[1,2]上的最小值． ……………………6分 因为[1,2]x ∈时，[]2213333()0,624x x x -=--∈，所以m 的取值范围是[0,)+∞．……………………9分（Ⅱ）因为3()f x x =的对称中心为(0,0)， 而3()()f x x t m =-+可以由3()f x x =经平移得到，所以3()()f x x t m =-+的对称中心为(,)t m ,故合情猜测，若直线1l 与2l 平行，则点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………10分对猜想证明如下：因为()33223()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+， 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-，所以1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-． 又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-， 因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ……………………12分从而3312()()x t x t -=--，所以3333121222()()()()()()2f x f x x t m x t m x t m x t m m +=-++-+=--++-+=． 又由上 122x x t +=，所以点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）关于点(,)t m 对称． 故当直线1l 与2l 平行时，点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………14分。
人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)
性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立， 我们就找到了用 f ( x) 的原函数 （即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理 如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．已知复数z 满足()20231i i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i2-D 【正确答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得2023i ，再利用复数的四则运算求得z ，从而得解.【详解】因为()50520235054343i i i i i ⨯+==⨯=-，所以()20231ii i z +==-，故()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -----====--+-+，所以z 的虚部为12-.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，132a a +=，则“356a a +=”是“数列{}n a 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132a a +=，356a a +=，得235133a a q a a +==+，则q =由132a a +=，q =()235136a a a a q +=+=．故“356a a +=”是“数列{}n a 的必要不充分条件．故选：B4．尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以ACB ∠的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线，与圆弧AB 交于点E ，连接CE ，则3ACB BCE ∠=∠．若图中CE 交AB 于点P ，56AP PB =，则cos ∠=ACP （）A ．2425-B ．1225-C ．725-D ．1225【正确答案】C【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得BCE ∠的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出cos ACP ∠.【详解】设BCE α∠=，则33ACB BCE α∠=∠=，2ACP α∠=.在ACP △中，由正弦定理，得sin 2sin AP CAAPCα=∠；在BCP 中，由正弦定理，得sin sin BP CBBPCα=∠.又因为CA CB =，APC BPC π∠+∠=，所以sin sin CA CBAPC BPC=∠∠，所以sin 2sin AP BP αα=，即sin 22cos sin AP BP ααα==.又因为56AP PB = ，所以62cos 5AP BP α==，故3cos 5α=.所以cos ∠=ACP cos 2=α2972cos 1212525α-=⨯-=-.故选：C.5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（）A ．112B ．5108C ．172D ．1216【正确答案】B【分析】所有实验结果有666216⨯⨯=种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为3133A A 1++，即可求出概率.【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有666216⨯⨯=种不同的结果，其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A 种，数字1、1、4组成的结果有13A 种，数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133A A 15216108P ++==.故选：B.6．已知F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 的直线l 交地物线C 于,A B 两点，若AF BF λλ==，则λ=（）A ．1B ．32C ．3D ．4【正确答案】C【分析】由抛物线的定义求得B 点的横坐标，代入抛物线得B 点坐标，从而求得直线AB 的方程，联立抛物线与直线即可得A 点的横坐标，求得AF ，从而可得λ的值.【详解】如图，过A 作1AA 准线于1A ，过B 作1BB 准线于1B ，由抛物线2:3C y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34x =-，由抛物线的定义可得1314B BF BB x ==+=，所以14B x =，代入抛物线方程得2B y =±若14B ⎛ ⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k ==-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即y =联立23y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；若1,42B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k -=-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即4y =-联立23y y x⎧=⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；综上，3λ=.故选：C.7．已知奇函数()f x 在R 上是减函数，()()g x xf x =，若()2log 5.1a g =-，()3b g =，()0.82c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】由题可知()g x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，利用函数的单调性可比较出b a c <<.【详解】因()f x 为奇函数且在R 上是减函数，所以()()f x f x -=-，且0x >，时()0f x <.因()()g x xf x =，所以()()()g x xf x xf x -=--=，故()g x 为偶函数.当0x >时，()()()0g x f x xf x =+'<'，因()0f x <，()0f x '<，所以()0g x '<.即()g x 在()0,∞+上单调递减.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因0.82223log 9log 5.1log 422=>>=>，所以()()()0.823log 5.12g g g <<，即b a c <<.故选：D.8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABO O 的体积的最大值为（）A ．BC D 【正确答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABO O 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅12AB O M O M ⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12O M O M ==由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径22i 23s πn R OM ===从而23AB MB ==，1243339V M O M ∴=⋅≤=.故选：C 二、多选题9．随机变量()2~,X N μσ且()20.5P X ≤=，随机变量()~3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D X σ=C ．23p =D ．()32D Y =【正确答案】AC【分析】对AB ，根据正态分布的期望方差性质可判断；对C ，根据()()E Y E X =及二项分布期望公式可求出p ；对D ，根据二项分布方差的计算公式可求出()D Y ，进而求得()3D Y .【详解】对AB ，因为()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，所以2μ=，故()2E X μ==，()2D x σ=，选项A 正确，选项B 错误；对C ，因为()3,Y B p ，所以()()3E Y p E X ==，所以32p =，解得23p =，选项C 正确；对D ，()()2239931633D Y D Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，选项D 错误.故选：AC.10．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （）A ．是奇函数B ．图象关于直线π2x =对称C ．在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用辅助角公式得出()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，则该函数的最小正周期为π，0ω> ，则2π2πω==，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()y g x =为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，π2sin π02g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()y g x =的图象不关于直线π2x =对称，B 选项错误；对于C 选项，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π3π222x ≤≤，则函数()y g x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项正确；对于D 选项，当π2π63x ≤≤时，π4π233x ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间π2π,63⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦，D 选项正确.故选：ACD11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==，1BC =，13AA =，点M 在线段1BB 上，且12B M MB =，N 为线段1C M 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．当N 为1C M 的中点时，直线AN 与平面ABC 所成角的正切值为4B ．当12MN NC =时，1B N //平面ACM C ．ACN △的周长的最小值为D ．存在点N ，使得三棱锥N AMC -【正确答案】BD【分析】取BC 的中点P ,证明PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，求解可判断A ；延长1B N 交1CC 于点Q ，可得四边形1CQB M 是平行四边形，从而可判断B ；当点N 与M 重合时，求出ACN △的周长可判断C ；取BC 的中点P ,连接AP ，若三棱锥N AMC -的体积为6，则1CMN S =△，根据1CMC CMN S S >△△可判断D.【详解】对于A ，当N 为1C M 的中点时，取BC 的中点P ,连接,PN AP ，易知1//PN CC ,1CC ⊥平面ABC ，则PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，则()112tan MB CC PN PAN AP +∠=故A错误；对于B ，当12MN NC =时，延长1B N 交1CC 于点Q ，此时11112C Q C N B M MN ==，所以11,2C Q CQ ==，所以1CQ B M =.又1//CQ B M ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以1//CM B Q ，即1//CM B N .因为1B N ⊄平面ACM ，CM ⊂平面ACM ，所以1B N //平面ACM ，故B 正确；对于C ，当点N 与M重合时，易知2,AN CN ==此时ACN △的周长为2+2<，故C 错误；对于D ，取BC 的中点P ,连接AP ，易知AP ⊥平面11BCC B,2AP =,若三棱锥N AMC -即6N AMC V -=，所以136CMN S AP ⋅⋅=△,所以1CMN S =△.因为113311,22CMC CMN S S =⨯⨯=>=△△所以存在点N ，使得三棱锥N AMC -的体积为6，故D 正确.故选:BD.12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)0f x f x ++=，(22)f x +是偶函数，(1)1f =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑【正确答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项A ，∵(22)f x +是偶函数，∴(22)(22)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，∴()()4f x f x -=+，∵()(4)0f x f x ++=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数，则A 正确；对于选项B ，∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=,∴()f x 的周期为8，∴()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，则B 正确；对于选项C ，若()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()31f f =-，但是()()111f f -=-=-，()()311f f ==，即()()31f f ≠-，这与假设条件矛盾，则选项C 错误；对于选项D ，将12x =代入(22)(22)f x f x -=+，得()()311f f ==，将1x =，代入()(4)0f x f x ++=，得()()511f f =-=-，同理可知()()731f f =-=-，又∵()f x 的周期为8，∴()f x 正奇数项的周期为4，∴1001(21)k k f k =-=∑()()()()12335100199f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()123354759611713815f f f f f f f f =+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅()()()()971939819599197100199f f f f ⎡⎤++++⎣⎦()254100=⨯-=-，则D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知向量,a b 满足()1,3,3,1a b a b ==-= ，则⋅=a b __________．【正确答案】0【分析】对a b - 进行平方，然后代入,a b ，即可进行求解.【详解】因为()1,3,3,1a b a b ==-=，则()2222210a ba ab b -=-⋅+==，所以0a b ⋅= .故014．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67S S <，78S S =，89S S >，则符合题意的等差数列{}n a 的一个通项公式为n a =________．【正确答案】8n -（答案不唯一）【分析】由条件可得70a >，80a =，90a <，由此确定0d <，由此确定数列{}n a 的一个通项公式.【详解】因为67S S <，78S S =，89S S >，所以70a >，80a =，90a <，设数列{}n a 的公差为d ，则0d <，取1d =-，又80a =，可得17a =，故数列{}n a 的一个通项公式为8n a n =-，故8n -（答案不唯一）.15．若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线，则a 的范围是____________．【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，然后利用导数研究()f x 单调性，画出()f x 大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为0(x ,0)y ，又ln 1y x '=+，所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =，所以切线方程为：()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-．又切线过()1,a ，则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-，即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，由()1110x f x x x-=-=>'得01x <<，由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又max ()(1)0f x f ==，又0x →，()f x →-∞，x →+∞，()f x →-∞．据此可得()f x 大致图象如下．则由图可得，当(,0)a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线．故答案为.(,0)-∞16．已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF △的周长的最大值为__________.【正确答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=-+=-，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜，即11tan tan 3αβ-=-，4tan tan 3αβ=，设()00,P x y ，由题意：((12,0,B B ，则tan tan αβ=，20204tan tan 33x y αβ∴==-，即2200143x y +=，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=，2,1a b c ===；设左焦点为F ，右焦点为2F，如下图：则PFQ △的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=--+,22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤=，l 的得最大值为8；故8.四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知ABC的外接圆半径R =tan tan B C +=.(1)求B 和b 的值；(2)求AC 边上高的最大值.【正确答案】(1)π4B =，4b =；(2)2+.【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B ，利用正弦定理求出b 作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac 的最大值，借助面积三角形求出AC 边上高的最大值作答.【详解】（1）由tan tan B C +=，得sin sin cos cos B C B C +sin cos cos sin cos B C B C A B +，因此sin()cos B C A B +，在ABC中，sin(π)cos A A B -，即sin cos A A B ，而0πA <<，即sin 0A >，于是cos 2B =，又0πB <<，解得π4B =，因为ABC的外接圆半径R =，由正弦定理得2sin 42b R B ==，所以π4B =，4b =.（2）由（1）知，π4B =，4b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π162cos (24a c ac =+-≥-，于是8(2ac ≤+，当且仅当a c =时取等号，令ABC 的边AC 上的高为h ，则由11sin 22ABC bh S ac B ==，得πsin sin 48(22488B h ac ac ac b ==⨯=+所以AC边上高的最大值是2+.18．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)证明见解析，121n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得{}n a 的通项公式；（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得n T .【详解】（1）证明：因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()112121n n n a =+-=-，所以121n a n =-；（2）()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +-+⎛⎫=====+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭12311111112335212121n n n T c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+-+-++-=+ ⎪-++⎝⎭ .19．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6，如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n 种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X ，求n 的值使得()1P X =取得最大值.【正确答案】(1)0.7(2)9或10【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；（2）由超几何分布可得()()()()()1511543n n P X n n n -==+++，构造数列()()()()151543n n n a n n n -=+++，易知该数列为递增数列，所以1n n a a +≥，解得9n ≤，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591.【详解】（1）设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6P A A =∣，()210.8P A B =∣，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣，所以，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0,1,2,3，由超几何分布可知()()()()()125351511543n n n n C C P X C n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，又 N n ∈，所以1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，解得9n ≤，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.20．如图，在圆台1OO 中，11A B ，AB 分别为上、下底面直径，1124AB A B ==，C 为 AB 的中点，M 为线段BC 的中点，1CC 为圆台的母线，1C M 与圆台下底面所成的角为45︒．(1)证明：1C C ⊥平面1OBC ；(2)求平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）证明线面垂直，先证线线垂直，根据题中线面位置关系，不难发现证明11C C C O ⊥，1C C AB ⊥容易证明.（2）因题中线面位置较为特殊，考虑用空间向量，建立空间直角坐标系后，直接按照求平面与平面夹角的公式，按步骤求解即可.【详解】（1）证明：连接1OO ，11C O ，则1OO ⊥平面ABC ．因为1CC 为母线，所以11CC O O 四点共面，且11O C OC ∥．取CO 中点N ，连接1C N ，MN ．因为1124AB A B ==，则111ON C O ==，所以四边形11ONC O 为平行四边形．所以11C N O O ∥，所以1C N ⊥平面ABC ．所以1C MN ∠为1C M 与底面所成角，即145C MN ∠=︒．在1Rt C NO 中，11C N NO ==，所以1C O =同理1C C ．在1C CO △中，22211CO C O C C =+，所以11C C C O ⊥．因为1OO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1OO AB ⊥．因为C 为 AB 的中点，所以AB CO ⊥，又1OC O O O = ，OC ⊂平面11C O OC ，1O O ⊂平面11C O OC ,所以AB ⊥平面11C O OC ，又1CC ⊂平面11C O OC ，所以1C C AB ⊥．又因为11C C C O ⊥，1AB C O O = ，AB ⊂平面1BOC ，1C O ⊂平面1BOC ，所以1C C ⊥平面1BOC ；（2）以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 所在的方向为x ，y ，z 的正方向，建立空间直角坐标系-O xyz ，则(2,0,0)C ，(0,0,0)O ，(0,2,0)B ，1(1,0,1)C ，(1,1,0)M .所以(1,1,0)BM =- ，1(1,2,1)BC =- ，(1,1,0)OM = ，1(1,0,1)OC = .设平面1BMC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由11100n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11111020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，得111y z ==，所以1(1,1,1)n = ．设平面1OMC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由22100n OM n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则222200x y x z +=⎧⎨+=⎩．令21x =，得221,1y z =-=-，所以2(1,1,1)n =-- ，设平面1OMC ，与平面1BMC 夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ== ．所以平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值为13．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点())12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=，求直线BC 的斜率.【正确答案】(1)221(0)4x y x -=>(2)±1.【分析】（1）由题意，点M 的轨迹为双曲线的右支，2,a c ==1b =，可得E 的方程；（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D ，设BC 的方程为y kx m =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得m ，得到直线BC 的方程，由题意写出直线AD 的方程，求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得103t =，进一步可得到直线BC 方程以及恒过定点.求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立曲线方程，由韦达定理可求出点C 坐标，用1k-替换k 得点B 坐标，可得直线BC 方程进一步得到直线BC 恒过定点.下同解法一.解法四：由平移知识得到双曲线E 的方程，新坐标系下直线BC 的方程，代入双曲线方程，由121k k ×=-求得m ，进一步得到直线BC 的方程，从而得到直线BC 恒过定点，再利用过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程结合xy 的系数为0，即可得到直线BC 的斜率.解法五：设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，连理曲线方程结合由121k k ×=-解得m ，进一步得到直线BC 的方程以及BC 恒过定点.下同解法一.【详解】（1）因为点M 满足124MF MF -=，所以点M的轨迹为双曲线的右支，故2,a c ==1b =，所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D.显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103m k =-或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k=--，联立()10312y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩，解得()()22210631431k x k k y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以1222122244 4tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立()1032x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-+--，即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.解法四：将坐标系原点平移到()2,0A ，则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=，即()2214440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，所以34m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：由直线BC 不过点()2,0，故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，设2y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.方法点睛：定点问题的解题策略（1）直线过定点．将直线方程化为00()y y k x x -=-的形式，当00x x -=时与k 无关，即00()y y k x x -=-恒成立，故直线过定点00(,)x y ．（2）曲线过定点．利用方程0(),f x y =对任意参数恒成立得出关于,x y 的方程组，以方程组的解为坐标的点即为所求的定点．22．已知函数()e ,ax f x a =∈R ．(1)令()()1f xg x x =+，讨论()g x 在()0,∞+的单调性；(2)证明：23*111N 462n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)若1a =，对于任意的,m n ∈R ，不等式()()()()22ln 20f m bf n f m f n +⋅+≥恒成立，求实数b 的取值范围．【正确答案】(1)答案见详解.(2)证明见详解.(3)02e b ≤≤.【分析】（1）求导后，分0a =、a<0、01a <<、1a ≥讨论即可；（2）由（1）得e 1xx ≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到1121e 2n n >，从而有112112e n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12112e n n n -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的前n 项和公式即可证明.（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥.当0b <，可验证不满足题意；当0b =，显然成立；当0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，求导后判断单调性求得最小值为min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，求导后判断单调性求得最小值为()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可解.【详解】（1）()()()e 111ax f x g x x x x ==≠-++，而()()2e 11(1)ax a x g x x +-⎡⎤⎣⎦=+'，①当0a =时，()210(1)g x x =-<+'恒成立，所以()g x 在()0,∞+上递减；②当0a >时，令()0g x '<，得1x <-或111x a -<<-；令()0g x '>，得11x a >-.所以当110a -≤，即1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增，当110a ->，即01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；③当a<0时，令()0g x '<，得111x a-<<-或1x >-；令()0g x '>，得11x a <-.所以()g x 在()0,∞+上递减.综上所述，当0a ≤时，()g x 在()0,∞+上递减；当1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增；当01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；（2）由（1）得：当1a =且1x ≥-时，()(0)11f x f x ≥=+，此时e 1x x ≥+，又当1,e 1x x x ≤->+，e 1x x ∴≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到111212111e ,22e n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭，12112e n n n -⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123232*********e 1462e e e e 1e n n n n -⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴++⋯+<++⋯+=⨯⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦-1121111e e e e n n --⎫--⎪⎝⎭==-（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥，①0b <，当,0n m ∞→+→时，显然22e e 20m n m bn -++<，所以此时不成立；②0b =，不等式显然成立.③0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，则()22e e e m n m g n b -=-+'，令()0g n '=，则2e 2e 2e e e ln m m m n nb n b b -=⋅⇒=⇒=.当2e ln mn b<时，()()0,g n g n '<单调递减；当2e ln mn b>时，()()0,g n g n '>单调递增.所以min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，则()()1ln ln 2b h t b b t b '=++-，令()0h t '=，即11ln ln02b t ++-=，则22e b t =，当202e b t <<，()()0,h t h t '<单调递减；当22e b t >，()()0,h t h t '>单调递增，则()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2e b ≤.综上所述，02e b ≤≤.方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案
厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案满分150分考试时间120分钟参考公式：S圆柱侧2 rl S圆锥侧rl S圆台侧(r r )l S球表4 R2114V柱体Sh V锥体Sh V台体h(S SS S ) V球R3333第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知x 2 ,cosx 1，则sinx （）2A．11 B．C．D．22222．过点(3, 1)且与直线平行的直线方程是（）A．x 2y 5 0 B．x 2y 5 0 C．2x y 5 0 D．x 2y 1 0 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm333334．已知(2,1), ( 1, 3)，则| |等于（）A．5 B．C．5 D．255．对于a R，直线(x y 1) a(x 1) 0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x y 2x 4y 0 B．x y 2x 4y 0 C．x y 2x 4y 0 D．x y 2x 4y 0 6．设A为ABC的一个内角且sin(AA．222222221正视图侧视图俯视图6) cosA，则A （）6B．4C．3D．27．已知函数f(x) sin(2x4)，则下列命题正确的是（）A．函数y f(x)的图象关于点( C．函数y f(x 4,0)对称B．函数y f(x)在区间(2,0)上是增函数8)是偶函数D．将函数y sin2x的图像向左平移4个单位得到函数y f(x)的图象8．已知圆O:x2 y2 9，直线l与圆O交于M,N两点，且|MN| 4，则（）A．2 B．3 C．4 D．89．设m,n是不同的直线，, , 是不同的平面，有以下四个命题：①// m m//② ③ ④ // m m n m//n// m n// n其中错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④10．若圆x y ax by c 0与圆x y 1关于直线y 2x 1对称，则a b （）A．1 B．2221212 C．1 D．55第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．已知圆锥的母线长尾5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为（结果保留）12．已知cos(x2)1，则cos2x 22213．直线l:y x与圆x y 2x 4y 0相交于A,B两点，则|AB| 14．已知sinx 2cosx，则1x1 tan21x1 tan2215．若圆O1:x y 5与圆O2:(x m) y 20(m R)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是16．已知a,b,c分别是ABC的角A,B,C所对的边且a 5,b 12,c 13，点I是ABC的内心，若22AI ，则三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA 底面ABCD,FD//EA，且EA 2FD．E（Ⅰ）求证：CB 平面ABE；（Ⅱ）连接AC,BD交于点O，取EC中点G，证明：FG//平面ABCD．FGOBDC18．（本小题满分12分）已知函数f(x) 23sinx cosx 2cos2x 1．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若sin cos19．（本小题满分12分）已知动圆C的经过点A(2, 3)和B( 2, 5)．（Ⅰ）当圆C面积最小时，求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C圆心在直线3x y 5 0上，求圆C的方程．20．（本小题满分12分）设a (x1,y1),b (x2,y2)，定义一种运算：a b (x1x2,y1y2)．已知15，求f( )的值．21281 1(,2), (,1), (, )．242（Ⅰ）证明：( ) ；（Ⅱ）点P(x0,y0)在函数g(x) sinx的图象上运动，点Q(x,y)在函数y f(x)的图象上运动，且满足，求函数f(x)的单调递减区间．（其中O为坐标原点）21．（本小题满分14分）如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的摄影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与地面的夹角落在区间[符合施工要求？,]内，如何设计可使得侧面钢板用料最省且63PCOEBA22．（本小题满分14分）如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，xOP轴于N．（Ⅰ）比较|OM|与3，作PM x轴于M，PN y6的大小，并说明理由；（Ⅱ）AOB的两边交矩形OMPN的边于A,B两点，且AOB 4，求OA OB的取值范围．厦门市2022年-2022年学年（下）高一质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5：BAACB 6-10：CCDDB二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.12 12.126 13. 14. 2 15 4 16. 25三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）EA 底面ABCD ，且BC 面ABCD，∴EA BC．--------------------------------------------2分正方形ABCD 中，AB BC，---------------------3分EA AB A，CB 平面ABE. -----------------------------------------5分（Ⅱ ）连接线段OG．在三角形AEC中，中位线OG//AE，且AE 2OG------------------------7分已知EA 2FD，OG//DF且OG DF，-------------------------------------------------------9分即平面四边形DOGF为平行四边形，----------------------------------------------------------------------10分FG//OD,又FG ABCD,OD ABCD，-------------------------------------------------------11分FG//面ABCD. --------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）f(x) x cosx 2cos2x 12x cos2x---------------------------------2分2sin(2x6) ---------------------------------------------------------------------------------4分2-----------------------------------------------------------------------6分2113（Ⅱ）sin cos ，sin2 1 -------------------------------------------------------9分2445 3f( ) 2sin(2 ) 2sin2 -----------------------------------------------------------12分122f(x)的最小正周期为T19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，----------------------------------------------------2分圆心C 0, 4 ,半径r1AB -----------------------------------------------------------------------4分222所以所求圆C的方程为：x y 4 5. --------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）法一：因为kAB1，AB中点为0, 4 ，2所以AB中垂线方程为y 4 2x，即2x y 4 0 --------------------------------------------8分解方程组2x y 4 0 x 1得：，所以圆心C为( 1, 2)．-------------------------------10分3x y 5 0 y 2根据两点间的距离公式，得半径r ------------------------------------------------------------11分因此，所求的圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10. ------------------------------------------------12分法二：设所求圆C的方程为(x a)2 (yb)2 r2，根据已知条件得(2 a)2 ( 3 b)2 r2222( 2 a) ( 5 b) r -------------------------------------------------------------------------------6分3a b 5 0a 1b 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11分r2 10所以所求圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10 . ---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）8 1 4 1解：（Ⅰ）p (,2)，m (,1)，依题意得p m (,2)，又n (, )，2 42 4 1∴(p m) n 2 ( ) 0，------------------------------------------------------------------2分42∴(p m) n．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ ）OP (x0,sinx0)，OQ (x,y)，1 1由OQ m OP n得(x,y) (x0 ,sinx0 )，-----------------------------------------6分2421 x x 0 24即，----------------------------------------------------------------------------------------7分y sinx 12111消去x0，得y sin(2x ) cos2x ，即f(x) cos2x ------------------10分2222令2k 2x 2k (k Z)得k x k (k Z)------------------------------------11分2函数f(x)的单调递减区间是[k ,k ](k Z) ------------------------------------------12分221. （本题满分14分）解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角PBO ．∴OP 10sin，--------------------------------------------------2分则OE，BC ------------4分在RT POE中，PE---6分∴S侧面4A1PE BC 200cos分2------------------------------------------10分1又, ，则sin ----------------------------11分2 63时，S侧面取最小值是-----------------------13分1此时相应cos，ABOP AB OP 米2当且仅当sin时，侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）法一：记C(0,1)，连接PC，则PC236-------------------------------------------2分依题意OM PN cos60 PC PC------------------------------------------------------------3分OM6- ----------------------------------------------------------------------------------------------4分法二：∵ xOP 显然3即则OM3，∴OM |OP|cos313，------------------------------------------2分26 3，-----------------------------------------------------------------------------------------3分66 ．-------------------------------------------------------------------------------------------------4分6（Ⅱ）设∠AOx ，[0,1]，P(, 422记f( ) OA OB1111⑴当[0,]时，A(,tan ),B(,tan( ))-----------5分__-__ 11f( ) OA OB tan tan( )-----------------------6分44411 tan 11 tan2(1 tan ) 41 tan 41 tan114cos (cos sin )1111 24cos cos sin 21 cos2sin212(1 )4⑵当(-------------------------8分11,]时，A(,tan ),B---------------9分__tan( )41f( ) OA OB tan )-------------------------------10分tan( )41 tan 1 tan2tan ) 1 tan 1tan11cos (cos sin )1 cos2sin21----------------------------------------------------------------------12分1 )4综上，f( ) OA OB f( )在[0,1121 )411 )4( [0,12])( (,])124]增函数，在(,]是减函数，在(,]是增函数，---------13分__-__1 1 ,f() f()f(0) ,f()__-__1 f( ) OA OB [-----------------------------------------------------------------------------14分。
厦门市思明区2012届初中毕业班质量检查数学试题及答案
厦门市思明区2012届初中毕业班质量检查数学试题及答案一、选择题（本题共12小题，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0分.）1.下列计算正确的是（）.A．-|-3|=-3 B．30=0 C．3-1=-3 D．2.据潍坊新闻网报道，为期四天的中国(潍坊)第三届文化艺术展示交易会，到场观众与客商累计21.4万人次，交易额共计3.2亿元.其中21.4万用科学计数法表示为（）.A. B.C. D.3.在平面直角坐标系中，将点P（-2，3）沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q 的坐标是（）.A.(-2，6)B.(-2，0)C.(-5，3)D.(1，3)4.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）.A. B.C. D.5.如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）.A．AB＝BE B．AD＝DCC．AD＝DE D．AD＝EC6.某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（）.A. 22°C，26°CB. 22°C，2 0°CC. 21°C，26°CD. 21°C，20°C7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）.8.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）.A．cm B．cmC．cm D．3 cm9.如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得到△ .已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则点的坐标为( ).A. B.C. D.10.如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE；②AE=BE,；③OD=DE；④∠AEO=∠C；⑤⌒AE= ⌒AEB.正确结论的个数是( ).A.2B.3C.4D.511.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）. A．38 B．52 C．66 D．7412.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）.二、填空题（本题共6小题，共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需要添加一个条件，这个条件可以是.14. 已知ab=1，a+b=-2，则式子.15.因式分解：= .16.如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD= ，则该四边形的面积是.17.在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下.已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为.18.如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．阴影部分面积为(结果保留π)．三、解答题（本题共6个小题，共计66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分10分）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：△AGE≌△ECF；（2）求△AEF的面积．20.（本题满分10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：(1) 将该条形统计图补充完整.(2)求该校平均每班有多少名留守儿童？(3)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．21.（本题满分11分）如图，一次函数的图象与反比例函数（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），A点的横坐标为-1.（1）求一次函数的解析式；（2）设函数（x＞0）的图象与（x＜0）的图象关于y轴对称，在（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．22.（本题满分11分）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是弧AB的中点，交于点，若，求的值．23.（本题满分12分）某商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少?24.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC ，CD是⊙的切线，AD⊥CD于点D，tan ∠CAD= ，抛物线过A、B、C三点.（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）求抛物线的解析式；（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由.由AB=a，BE= a，知AE = a，∴S△AEF= a2．…………………………………………………10分20. 解：(1)该校班级个数为：4÷20﹪＝20(个)，只有2名留守儿童的个数为：20－2－3－4－5－4＝2(个).补充图如下：…………………………2分⑵∵的图象与的图象关于y轴对称，∴.………………………………………5分∵B点是直线与y轴的交点，∴B（0,2）.∵C(2，0),∴.…………………………………7分∵,∴=4.设P（x，y）则， .∴，，∴，又是的直径，弧AM=弧BM，．，∴．（11分）23.解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得x+y=53(x+1)+2(2y-1)=19 解得x=2y=3答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．…………………5分（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s=(1-m)(600+100×m0.1)+(5-3-m)(400+100×m0.1) …………………………8分即s= -2000m2+2000m+1400 =-2000(m-0.5) 2+1900.∴当m=0.5时，s有最大值，最大值为1900. ………………………………11分答：当m定为0.5时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是19 00元. ………………………………………12分∴∠ACB=90°，∵OC⊥AB，∴∠CAB=∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴,即OC2=OA•OB，∵tan∠CAO=tan∠CAD= ，∴AO=2CO，又∵AB=10，∴OC2=2CO（10-2CO），∵CO＞0，∴CO=4，AO=8，BO=2，∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），………………………………………6分∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，∴c=4，由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；………………………………………8分②设直线DC交x轴于点F，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=8，∵C∥AD，。
福建省厦门市
福建省厦门市2007年高三年级质量检测数 学（文） 试 题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．考生将自己的姓名、准考证号及第Ⅱ卷的所有答案均填写在答题卷上；2．第Ⅰ卷的答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径.球的体积公式：334R V π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M=},,2|{},0|{2R x x x N R x x x x ∈<=∈<-和集合则（ ）A ．N ⊂MB ．M ∩N=MC ．M ∪N=MD ．M ∪N=R2．已知函数)21,21)10()(（的图象经过点且P a a a x f x≠>=，则常数a 的值为（ ）A ．2B ．4C ．21 D ．413．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在等比数列{a n }中，a n ＞0（n ≥1且n ∈N ）.若===⋅5451,8,4a a a a 则（ ）A ．4B ．16C ．32D ．645．若平面向量()==︒-=则，且的夹角是与向量,53||1802,1（ ）A ．（－3，6）B ．（3，－6）C ．（6，－3）D ．（－6，3）6．条件q p x q x p ⌝⌝-<=>是则条件,2,1|:|的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在8)2(x -的展开式中，第七项是（ ）A ．－112x 3B ．112x 3C ．x x316- D ．xx3168．有6名同学参加两个不同的课外活动小组，每位同学只能参加一个活动小组，每个小组各有3名同学，则不同的分配方案种数为 （ ）A ．40B ．30C ．20D ．109．已知函数4)(),,0(,)(<+∞∈+=x f x xmx x f 若不等式的解集是空集，则 （ ）A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m ≤4D ．m ≤210．如图，二面角βα--l 的度数为45°，α⊂AB且AB=2，点A 在棱l 上，AB 与棱l 成45°的角，则点B 到平面β的距离是 （ ）A ．21 B ．22C ．1D ．211．函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则函数f （x ）的一个表达式为（ ）A ．)438sin(4)(ππ-=x x fB ．)438sin(4)(ππ+=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x fD ．)48sin(4)(ππ+=x x f12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（)21,1+D ．（21,2+）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.13．椭圆的短轴长2b=2，长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的中心到其准线的距离是.14．函数xx x f x x ax x f -+=-≠+-=-13)(),1(13)(1若它的反函数是，则实数a= .15．设x 、y 满足约束条件：y x z y x y y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+3,01则的最大值是 .16．某次数学考试共有12道选择题，每题都给出四个选择支，其中有且只有一个选择支是正确的.考生每题只准选一个选择支（多选即为废题）.评分标准规定：答对一题得5分，不答或答错得0分.某考生可以确定其中的8道题的选择是正确的.剩下的4道题中，有3道题的各四个选择支中可以确定有1个选择支不正确，该考生从余下的三个选择支中随机猜选；有1道题从四个选择支中随机猜选.该考生这次考试中选择题得50分的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17．（本小题满分12分）已知函数.,32cos32)2cos()(2R x xx x f ∈-+-=π试求：（1）函数)(x f 的最大值；（2）函数)(x f 的图象与直线y=1交点的横坐标.18．（本小题满分12分）已知数列{a n }是等差数列，且.186,1121=-=S a（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足n an b )21(=，记数列{b n }的前n 项和T n ，试证明：716<n T 对*N n ∈恒成立.19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 是棱AB 上的动点.（1）证明D 1E ⊥A 1D（2）若二面角D 1—EC —D 为45°时，求EB 的长.20．（本小题满分12分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为)10(<<x x ，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）.（1）写出y 与x 的函数关系式;（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.21．（本小题满分12分）设点A 、B 是直线02=-y x 与抛物线23x y -=的两个交点，抛物线上的动点M 在A 、B 两点间移动，如图所示。
2012年数学三真题答案解析
1
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
P
1
1
0
，则
Q 1
1
1
0
P
1
，
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 0 0 1 0 01
1 0 0 1
故
Q 1
AQ
1
1
0
P
1
AP
1
1
0
1
1
0
0 0 1
【答案】：-27
【解析】：由于 B E12 A ，故 BA* E12 A A* | A | E12 3E12 ，
所以， | BA* || 3E12 | 33 | E12 | 27 * (1) 27 .
（14）设
A,
B, C
是随机事件，
A, C
互不相容，
P( AB)
1
,
P(C )
1
,则
P(AB C)
【答案】： 4
dy
【解析】：
f ' f (x) f '(x)
f ' f (0) f '(0) f ' 1 f '(0)
dx x0
x0
由 f (x) 的表达式可知 f '0 f '(1) 2 ，可知 dy 4
dx x0
（11）
函数 z
f (x, y) 满足 lim x0 y 1
f (x, y) 2x y 2 x2 ( y 1)2