2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={x|x <2}，B ={x|−1≤x ≤3}，则A ∪B =( ) A. {x|x ≤3} B. {x|x ≥−1} C. {x|−1≤x <2} D. {x|−1≤x ≤3}2. 若函数f(x)={(4−2a)x +3a,x <12x ,x ≥1的值域为R ，则a 的取值范围是( )A. [−2,2)B. (−2,2)C. [1,2)D. (0,2]3. 下面四个条件中，使b <a 成立的必要不充分条件是( ) A. a −1c 2>bB. a +1c 2>bC. |a|>|b|D. a 3>b 34. 命题“∀x >2，x 2+2≥6”的否定( ) A. ∀x >2，x 2+2<6 B. ∃x >2，x 2+2<6 C. ∀x ≤2，x 2+2≤6D. ∃x ≤2，x 2+2≤65. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是( ) A. y =3x B. y =−1xC. y =√xD. y =|x|6. 已知f(x)={(1−2a)x +5a,x <1log 7x,x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A. [−13,12)B. (−∞,12)C. [12,+∞)D. (−13,12)7. “知名雪糕31℃放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是( )A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x−2x+1，若对任意实数t ∈[12,2]，都有f(t +a)−f(t −1)>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−3)∪(0,+∞)B. (−1,0)C. (0,1)D. (−∞,1)∪(2,+∞) 9. 给出下列四个关系式，其中正确的是( ) A. 2022∈RB. N ∈QC. 0∈⌀D. ⌀⫋{0}10. 下列命题正确的是( ) A. √a √a √a =a 78(a >0)B. 函数f(x)=x 与g(t)=√t 33表示同一个函数 C. 若log 23=a ，则log 69=3aa+1D. 函数f(x)=x 3−x1+x 2+2在区间[−a,a](a >0)上的最大值与最小值之和为411. 已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}(a≠0)，若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤4}，则( )A. a<0B. bc>6a−3C. 关于x的不等式ax2−bx+c>0解集为{x|x<−4或x>1}D. 关于x的不等式ax2−bx+c>0解集为{x|−4<x<1}12. 已知函数f(x)=x2+1(x>0)，则( )xA. f(x)的图象与x轴有且仅有1个交点B. g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增C. f(x)的最小值为3√4D. f(−x)的图象在ℎ(x)=2(x<0)的图象的上方x13. 若函数y=ax3+2x2+1，x∈[−1,b]是偶函数，则a+b=______.14. 函数f(x)的定义域是(1,+∞)，则函数f(x2−2x−2)的定义域是______.15. 已知函数f(x)=√|x+2|+|x−m|−1的定义域为R，则实数m的取值范围是______.16. 已知函数f(x)=√a−x+√x(a∈N∗)，对定义域内任意x1，x2，满足|f(x1)−f(x2)|<1，则正整数a的取值个数是______.17. 设全集U=R，集合A={x|1−3<0},B={x|x≥0}，C={x|x2−2(m+1)x+x+1m(m+2)≤0}.(1)求∁U A和A∩B；(2)若A∪C=A，求实数m的取值范围．18. 已知集合A={x∈R|x2−3x−4=0}∪{−2,1,3},B={x∈R|x+1≤0}，C={x∈R|3−3−x2m≤x≤2+m,m∈R}，D={x∈R|−3≤x≤6}.(1)若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分条件，求m的取值范围；(2)若B∪C=R，且C⊆D，求m的取值范围．19. 设集合A={x|m≤x≤2m−2}，函数f(x)=√2x+4+lg(4−x)的定义域为B.(1)求集合B；(2)若p：x∈B，q：x∈A，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20. 已知函数f(x)=x−2b(−1≤x≤1)，且f(x)为奇函数．x2+1(1)求b，然后判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(2)若f(k−1)+f(2k−1)<0恒成立，求实数k的取值范围．21. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数(单位：pmk)表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y(单位：pmk)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711).22. 已知二次函数f(x)=x2−mx+m−1(m∈R).(1)若F(x)=xf(x)是奇函数，求m的值；(2)f(x)在区间[−1,1]上的最小值记为g(m)，求g(m)的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x|x <2}，B ={x|−1≤x ≤3}，则A ∪B =[x|x ≤3}, 故选：A.根据两个集合的并集的定义求出A ∪B 的结果．本题考查集合的表示方法，两个集合的并集的定义和求法，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：y =2x 在[1,+∞)递增，值域是[2,+∞), 若f(x)的值域是R ，则y =(4−2a)x +3a 是增函数， 故4−2a >0，且当x =1时，4−2a +3a ≥2， 即{4−2a >04−2a +3a ≥2，解得：−2≤a <2， 故选：A.根据常见函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，考查函数的值域，是一道基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A ，a −1c 2>b ，∴a −b >1c 2，能推出b <a ，但反之不成立， ∴a −1c 2>b 是b <a 的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，a +1c 2>b ，即a −b >−1c2，推不出a −b >0，即b <a ，反之，b <a ，即a −b >0可得a −b >−1c2，∴a +1c 2>b 是b <a 成立的必要不充分条件，故B 正确； 对于C ，|a|>|b|推不出b <a ，反之也不成立， ∴|a|>|b|是b <a 即不充分也不必要条件，故C 错误； 对于D ，a 3>b 3可得b <a ，反之也成立，∴a 3>b 3是b <a 成立的充分必要条件，故D 错误． 故选：B.根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断求解．本题考查必要不充分条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∀x >2，x 2+2≥6的否定为：∃x >2，x 2+2<6. 故选：B.改量词，否结论，即可求解．本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：对于A ，y =3x 是奇函数，在定义域上是增函数，故A 正确； 对于B ，y =−1x是奇函数，增区间为(−∞,0)，(0,+∞)，故B 错误； 对于C ，y =√x 是非奇非偶函数，故C 错误； 对于D ，y =|x|是偶函数，故D 错误． 故选：A.利用函数的奇偶性、单调性直接求解．本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：当x ≥1时，函数f(x)=log 7x 在[1,+∞)上单调递增，其取值集合为[0,+∞),而函数f(x)的值域为R ，因此函数f(x)在(−∞,1)上的取值集合包含(−∞,0)，当1−2a =0时，函数f(x)=(1−2a)x +5a 在(−∞,1)上的值为常数，不符合要求， 当1−2a <0时，函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，取值集合是(1+3a,+∞)，不符合要求， 于是得1−2a >0，函数f(x)在(−∞,1)上单调递增，取值集合是(−∞,1+3a)，则{1−2a >01+3a ≥0，解得−13≤a <12， 所以实数a 的取值范围是[−13,12). 故选：A.求出函数f(x)在[1,+∞)上的取值集合，再根据给定的值域确定函数f(x)在(−∞,1)上的取值集合，列式求解作答．本题主要考查了分段函数性质的应用，还考查了函数值域的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体； 个体：把组成总体的每个对象称为个体；样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；样本量：样本中个体的个数叫样本容量，其不带单位；在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查，在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量；故选：D.根据抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，即可判断．本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的概念，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵当x>0时，f(x)=x−2x+1=1−3x+1，∴f(x)在(0,+∞)单调递增．∵对任意实数t∈[12,2]，都有f(t+a)−f(t−1)>0即f(t+a)>f(t−1)恒成立，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴|t+a|>|t−1|，∴(2a+2)t+a2−1>0，∴{12(2a+2)+a2−1>0 2(2a+2)+a2−1>0，解得a>0或a<−3则实数a的取值范围是a>0或a<−3.故选：A.当x>0时，f(x)=x−2x+1=1−3x+1，可得f(x)在(0,+∞)单调递增．由于对任意实数t∈[12,2]，都有f(t+a)−f(t−1)>0即f(t+a)>f(t−1)恒成立，又f(x)是定义在R上的偶函数，可得|t+ a|>|t−1|，转化为(2a+2)t+a2−1>0，利用一次函数的单调性即可得出．本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的解法，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】AD【解析】解：根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得：A，D选项正确，B，C选项错误，故选：AD.根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可求解．本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属基础题．10.【答案】ABD【解析】解：对于A，√a√a√a=√a⋅√a⋅a12=√a⋅(a32)12=√a74=(a74)12=a78，(a>0)，故A正确；对于B，函数f(x)=x的定义域为R，g(t)=√t33=t，定义域为R，两函数的定义域、对应关系及值域都相同，所以两函数是同一函数，故正确；对于C，因为log23=a，log69=log29log26=2log231+log23=2a1+a，故错误；对于D，令g(x)=x 3−x1+x2，x∈R，所以g(−x)=−x3−x1+x2=−g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)在[−a,a]上的最值互为相反数，即有g(x)max+g(x)min=0，所以f(x)max+f(x)min=g(x)max+2+g(x)min+2=4，故正确．故选：ABD.由指数幂的运算判断A；由函数的定义判断B；由对数的运算及换底公式判断C；令g(x)=x 3−x1+x2，从而可得g(x)为奇函数，即可得f(x)max+f(x)min=g(x)max+2+g(x)min+2，从而判断D.本题考查了指数幂的运算、函数的概念、对数的运算及奇函数的性质，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：∵集合A={x|x2−2x−3>0}={x|x<−1或x>3}，A∪B=R，A∩B={x|3<x≤4}，∴方程ax2+bx+c=0的一个根为4，另一个根为−1，且a>0，故A错误，∴{−ba=3ca=−4，∴b=−3a，c=−4a，∴bc=12a2，∴bc−(6a−3)=12a2−6a+3，∵Δ=36−4×12×3<0，∴12a2−6a+3>0恒成立，即bc>6a−3，故B正确，关于x的不等式ax2−bx+c>0，可化为ax2+3ax−4a>0，又a>0，∴x2+3x−4>0，解得x<−4或x>1，即关于x的不等式ax2−bx+c>0解集为{x|x<−4或x>1}，故C正确，D错误，故选：BC.先求出集合A，结合A∪B=R，A∩B={x|3<x≤4}，可知方程ax2+bx+c=0的一个根为4，另一个根为−1，且a>0，可判断A，再利用韦达定理可得b=−3a，c=−4a，利用作差法可判断B ，把b =−3a ，c =−4a 代入不等式ax 2−bx +c >0化简求解，可判断CD. 本题主要考查了解一元二次不等式，以及集合的基本运算，属于基础题．12.【答案】BCD【解析】解：由题意可知，对于选项A ，因为x >0，所以x 2>0,1x >0，则f(x)>0，则函数f(x)的图象与x 轴沿有交点，故选项A 错误； 其图象如图所示：对于选项B ，g(x)=xf(x)=x 3+1，可知该函数在(0,+∞)上单调递增，故选项B 正确； 对于选项C ，由三元均值不等式值，f(x)=x 2+1x =x 2+12x +12x≥33x 2⋅12x ⋅12x=3√143=3√43，当且仅当x 2=12x ，即x =√123时取等号，故选项C 正确；对于选项D ，f(−x)=x 2−1x，设F(x)=f(−x)−ℎ(x)=x 2−1x−2x=x 2−3x(x <0)，可得x 2>0,−3x >0，则F(x)>0，即f(−x)的图象在ℎ(x)=2x (x <0)的图象的上方，故选项D 正确，两者图象如图所示，故选：BCD.对A 选项分析出f(x)>0即可判断，对B 选项利用g(x)=x 3+1的单调性即可，对C 选项利用三元均值不等式即可快速得到答案，对于D选项构造新函数F(x)=f(−x)−ℎ(x)=x2−1x −2x=x2−3x(x<0)，判断其恒正即可．本题结合了函数的图像及其基本性质，需要我们对常见的一些函数的单调性熟练，判别函数恒大于或恒小于0，分组判别是种常用的方法，三元基本不等式在一些求最值问题中往往有着出奇制胜的效果，整体构造新函数的方法在以后的函数学习中还会经常遇到，平时需多加训练．13.【答案】1【解析】解：因为函数y=ax3+2x2+1，x∈[−1,b]是偶函数，所以a=0，b=1，所以a+b=1.故答案为：1.由已知结合偶函数的定义即可求解．本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．14.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】解：由于函数f(x)的定义域是(1,+∞)，则对于函数f(x2−2x−2)，应有x2−2x−2>1，求得x<−1或x>3，可得函数f(x2−2x−2)的定义域是(−∞,−1)∪(3,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞).由题意可得，x2−2x−2>1，由此求得x的范围．本题主要考查求抽象函数的定义域，属于基础题．15.【答案】(−∞,−3]∪[−1,+∞)【解析】解：∵f(x)的定义域为R，∴|x+2|+|x−m|−1≥0在R上恒成立而|x+2|+|x−m|≥|m+2|∴|m+2|≥1，解得：m≤−3或m≥−1故答案为：(−∞,−3]∪[−1,+∞).题目中条件：“f(x)的定义域为R”转化为|x+2|+|x−m|−1≥0在R上恒成立，下面只要求出函数|x+2|+|x−m|的最小值，使最小值大于等于2，解之即可．本题考查函数的定义域及其求法，不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．16.【答案】5【解析】解：∵a −x ≥0，x ≥0，∴0≤x ≤a ，∴定义域为[0,a]对定义域内任意x 1，x 2，满足|f(x 1)−f(x 2)|<1，即表明f(x)的最大值与最小值的差小于1.(也就是值域区间的长度小于1)，求其最大最小值即可∵f(x)=√a −x +√x ≥0∴[f(x)]2=a +2√x(a −x)≥a ，当x =0或a 时，f(x)取最小值√a 又x(a −x)≤[x+(a−x)2]2=a 24，当x =a −x 即x =a 2时取等号即[f(x)]2≤a +a =2a ，f(x)≤√2a ，当x =a2时取最大值√2a ∴(√2−1)√a <1 ∴√a <√2−1=1+√2∴a <3+2√2∵a ∈N ∗，∴a =1、2、3、4、5∴正整数a 的取值个数是5个． 故答案为：5对定义域内任意x 1，x 2，满足|f(x 1)−f(x 2)|<1，即表明f(x)的最大值与最小值的差小于1.(也就是值域区间的长度小于1)，求其最大最小值即可．本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于1.17.【答案】解：(1)因为A ={x|1−3x+1<0}={x|x−2x+1<0}={x|−1<x <2}，所以∁U A ={x|x ≤−1或x ≥2}，又B ={x|x ≥0}， 所以A ∩B ={x|−1<x <2}∩{x|x ≥0}={x|0≤x <2}；(2)因为C ={x|x 2−2(m +1)x +m(m +2)≤0}={x|(x −m)(x −m −2)≤0}={x|m ≤x ≤m +2}，又A ∪C =A ，所以C ⊆A ，即{x|m ≤x ≤m +2}⊆{x|−1<x <2}， 则{m >−1m +2<2，解得−1<m <0， 所以实数m 的取值范围为(−1,0).【解析】(1)解分式不等式化简集合A ，再求出∁U A 和A ∩B 即可；(2)先解二次不等式化简集合B ，根据条件得到C ⊆A ，再求出m 的取值范围即可．本题主要考查了交、并、补集的混合运算和集合的包含关系，属于基础题．18.【答案】解：(1)由x 2−3x −4=0，可得x =−1或x =4，∴A ={−2,−1,1,3,4}，由x+13−x ≤0，可得x ≤−1或x >3，∴B ={x|x ≤−1或x >3}，∴A ∩B ={−2,−1,4}，∵“x ∈A ∩B ”是“x ∈C ”的充分条件，∴(A ∩B)⊆C ，又∵C ={x ∈R|3−2m ≤x ≤2+m,m ∈R}，∴{3−2m ≤−22+m ≥4，解得m ≥52， 即m 的取值范围为{m|m ≥52}.(2)∵B ∪C =R ，∴3−2m ≤−1且2+m ≥3，①，又∵C ⊆D ，D ={x ∈R|−3≤x ≤6}，∴3−2m ≥−3且2+m ≤6②由①②，可得2≤m ≤3，即m 的取值范围为{m|2≤m ≤3}.【解析】(1)先求出集合A ，B ，并计算出A ∩B ，由充分条件得集合的包含关系，由此可得参数范围；(2)由B ∪C =R ，得出参数满足的不等关系，再由C ⊆D 得出参数满足的不等关系，然后求出m 的取值范围．本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意得：{2x +4≥04−x >0，得：−2≤x <4，所以B ={x|−2≤x <4}； (2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，当A =⌀时，m >2m −2，解得：m <2，当A ≠⌀时，{m ≤2m −2m ≥−22m −2<4，，解得：2≤m <3综上：实数m 的取值范围是(−∞,3).【解析】(1)根据对数函数以及二次根式性质可解．(2)根据充分条件、必要条件相关知识可解．本题考查函数定义域求法以及充分条件、必要条件定义，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为函数f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，所以f(0)=0，b =0， 经检验b =0时f(x)=xx 2+1是奇函数，f(x)在[−1,1]上单调递增，理由如下：设∀x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，因为−1≤x1<x2≤1，所以x2−x1>0，x1x2−1<0，(x12+1)(x22+1)>0，所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[−1,1]上是增函数；(2)依题意f(x)为奇函数，又由(1)知f(x)在[−1,1]上是增函数，由f(k−1)+f(2k−1)<0，得f(k−1)<−f(2k−1)=f(1−2k)，所以{−1≤k−1≤1−1≤2k−1≤1k−1<1−2k，即{0≤k≤20≤k≤1k<23，解得0≤k<23，所以实数k的取值范围是[0,23).【解析】(1)由奇函数的性质求解，由单调性的定义证明；(2)由函数的单调性与奇偶性转化后求解．本题综合考查了函数的奇偶性及单调性的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，若选择函数模型y=ka x(k>0,a>1)，则{24=ka 236=ka3，解得a=32，k=323，所以y=323⋅(32)x；若选择函数模型y=px 12+k(p>0,k>0)，则{24=√2p+k36=√3p+k，解得k=−12√6<0，与k>0相矛盾，舍去，综上所述，选择函数模型y=ka x(k>0,a>1)更合适，该函数模型为y=323⋅(32)x，x∈[1,12]，且x∈N∗.(2)当x=0时，y=323，令y=323⋅(32)x>10⋅323，则(32)x>10，即x>log3210=lg10lg32=1lg3−lg2≈10.4711−0.3010≈5.88，因为x∈N∗，所以x≥6，故治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是6月份．【解析】(1)由题意知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，将这两组数据分别代入两个函数模型中，求得对应的系数，即可作出判断；(2)令y =323⋅(32)x >10⋅323，结合指数和对数的运算法则，解之即可． 本题考查函数的实际应用，选择合适的函数模型，熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为F(x)=xf(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数，即二次函数对称轴为x =−b 2a =m 2=0，即m =0；(2)f(x)的对称轴为x =m 2，当m 2∈(−1,1)时，即m ∈(−2,2)，f(x)min =f(m 2)=−m 24+m −1，即g(m)=−m 24+m −1； 当m 2∈(−∞,−1],即m ∈(−∞,−2]时，f(x)min =f(−1)=1+m +m −1=2m ，故g(m)=2m ； 当m 2∈[1,+∞)时，即m ∈[2,+∞)时，f(x)min =f(1)=1−m +m −1=0；综上，g(m)={2m,m ≤−2−m 24+m −1,−2<m <20,m ≥2， 故m ∈(−∞,−2]时，g(m)≤−4，m ∈[2,+∞)时，g(m)=0，m ∈(−2,2)，g(m)对称轴为m =2，g(m)<−44+2−1=0，所以g(m)的最大值为0.【解析】(1)易得f(x)为偶函数，进而求出m 的值；(2)对m 进行分类讨论，由二次函数特征确定g(m)表达式，进而得出g(m)的分段函数，结合g(m)的单调性和二次函数可求g(m)的最大值．本题考查二次函数的奇偶性与最值，属于基础题．。