坐标平移
数学用坐标表示平移
函数图像的平移
函数图像的平移
在函数图像中，平移可以改变图 像的位置，但不会改变图像的形 状和大小。通过平移，我们可以 更好地理解函数的性质和变化趋
势。
函数图像的对称性
平移可以与函数的对称性相结合， 例如通过平移奇函数或偶函数的 图像，可以更好地理解函数的对
称性质。
函数图像的周期性
在周期函数中，平移可以用于研 究函数的周期性和振幅变化，帮 助我们更好地理解函数的周期性。
平移解释物理现象
在物理现象的解释中，平移可以用来解释物体的运动轨迹 和速度变化的原因，例如在流体动力学中，平移可以用来 解释流体运动的轨迹和速度。
总结与展望
06
平移在数学中的重要地位
基础概念
平移是几何学中的基本概念，是研究图形变换和运动的基础。通过 坐标表示平移，可以更精确地描述图形的位置和方向变化。
数学用坐标表示平移
目录
• 引言 • 平移在坐标系中的表示 • 平移的数学表示 • 平移的性质和定理 • 平移的应用 • 总结与展望
引言
01
平移的定义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，而不发生旋转 或翻转。
02
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变其位置。
坐标系简介
坐标系是用来确定点 在平面上的位置的一 组数轴。
物理学
在物理学中，平移可以用于描述物体的位置和速度，特别 是在经典力学和电磁学中，平移是研究物体运动规律和相 互作用的基础。
计算机图形学
在计算机图形学中，平移是计算机图形处理的基础技术之 一，可以用于实现图像的平移、缩放、旋转等变换操作。
经济学
在经济学中，平移可以用于描述经济现象的变化趋势，如 市场供需关系的变化、经济增长率的变动等。
坐标平移知识点视频总结
坐标平移知识点视频总结一、坐标平移的基本概念1.1 坐标平移的定义坐标平移是指平面内的点沿着平行于x轴或y轴方向移动一定的距离，保持与原点的距离不变，从而得到新的坐标。
在平移过程中，点的位置发生变化，但其性质和特征并未改变。
1.2 平移的表示方法平移可以用向量来表示，假设平移向量为(a, b)，则表示平移后的点P(x, y)的坐标为P'(x+a, y+b)，其中P'表示平移后的点。
这个过程也可以用数学式子来表示：(x, y)→(x+a, y+b)。
1.3 坐标平移的性质在平移过程中，点的距离和方向保持不变。
假设原点为O，平移向量为(a, b)，则所有的点P(x, y)都沿向量(a, b)平移，保持其与O点的距离和方向不变。
二、坐标平移的基本形式2.1 向右平移向右平移意味着点在x轴的正方向上移动，平移向量的a值为正数。
通过这种平移，我们可以得到新的点的坐标为P'(x+a, y)。
在坐标平移时，原点的位置不变。
2.2 向左平移向左平移意味着点在x轴的负方向上移动，平移向量的a值为负数。
通过这种平移，我们可以得到新的点的坐标为P'(x-a, y)。
同样，在坐标平移时，原点的位置不变。
2.3 向上平移向上平移意味着点在y轴的正方向上移动，平移向量的b值为正数。
通过这种平移，我们可以得到新的点的坐标为P'(x, y+b)。
在坐标平移时，原点的位置不变。
2.4 向下平移向下平移意味着点在y轴的负方向上移动，平移向量的b值为负数。
通过这种平移，我们可以得到新的点的坐标为P'(x, y-b)。
同样，在坐标平移时，原点的位置不变。
三、坐标平移的实际应用3.1 几何图形的平移在几何图形变换中，平移是常见的操作。
例如，我们可以通过平移将一个正方形转变为另外一个位置的正方形，或者将一个三角形移动到平面上的其他位置。
通过坐标平移，我们可以方便地描述和计算几何图形的位置和变换。
坐标平移变换
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
06
总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。
坐标平移与旋转
坐标平移与旋转坐标平移和旋转是二维坐标系统中常用的操作，无论是在数学、几何还是计算机图形学领域，它们都占据着重要地位。
本文将详细介绍坐标平移和旋转的概念、原理以及实际应用。
一、坐标平移坐标平移是指在二维坐标系中将所有点的坐标向某个方向移动固定的距离，以达到整体平移的效果。
这个过程可以简单地理解为，将整个坐标系沿着某个方向平行移动。
1.1 平移的概念平移可以用向量表示。
设有平面上一点P(x,y)，平移向量为V(a,b)，则平移后的点P'的坐标为P'(x', y')。
平移操作的计算公式如下：x' = x + ay' = y + b其中，x和y是原来点P的坐标，a和b是平移向量的分量。
1.2 平移的原理平移的原理很简单，即将每个点的坐标分别加上平移向量的分量，即可得到平移后的坐标。
通过改变平移向量的数值，可以实现不同方向和距离的平移效果。
1.3 平移的应用平移在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在计算机图形学中，平移可以用于实现对象的移动效果，比如将一个图形从一个位置平移到另一个位置；在地图导航系统中，平移可以用于地图的拖动功能，使得用户可以自由地浏览地图。
二、坐标旋转坐标旋转是指围绕某个固定点将二维坐标系中的点按照一定角度进行旋转，以改变它们的位置和方向。
旋转是一种常见的几何变换，有着重要的理论和实际应用。
2.1 旋转的概念旋转可以用矩阵运算来表示。
设有平面上一点P(x,y)，以原点为中心进行旋转，旋转角度为θ，则旋转后的点P'的坐标为P'(x', y')。
旋转操作的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，x和y是原来点P的坐标，θ是旋转的角度。
2.2 旋转的原理旋转的原理是利用三角函数的性质，通过改变旋转角度θ的数值，可以实现不同角度和方向的旋转效果。
1用坐标表示平移
7.2.2 用坐标表示平移
-
教学新知
点平移与坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得 到对应点的坐标是（x+a ，y） 或（x-a ，y）；将点（x，y）向上（或下） 平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y+b）或（x，y-b）.
知识梳理
答案：解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移 后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4） 平移后点的坐标为：（-1，1）；（5）平移后点的坐标为：（3，-4）．
中考在线 考点：坐标与图形变化——平移。
【例1】（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2） 向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ D ）.
【例2】（2015•济南）如图7-2-51，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的 对应点A1的坐标为（ D ）.
A.（4，3） B.（2，4） C.（3，1） D.（2，5）
知识梳理
图7-2-51
课堂练习
6.点P（a，b）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到点（3，-4），则a=__4__，b=___-_5__.
讲评：本题考查了图形的平移变换.根据点的坐标的平移规律可得a-1=3， b+1=-4，再解可得a、b的值.
课堂练习
图7-2-54
课堂练习
讲评：考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移.（1）根据长方形 形状求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后写出点B、C、D的坐标即 可；（2）根据图形写出平移方法即可.
坐标平移法
坐标平移法
坐标平移法是一种数学方法，用于在坐标平面上将图形沿指定的方向平移一定的距离。
平移是指将一个图形在平面上按照指定的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。
坐标平移法是通过将图形上每个点的坐标按照平移方向和平移距离进行变换来完成平移操作。
平移法的基本思想是首先确定平移矢量，即平移的方向和距离。
然后通过坐标变换的方法将图形上每个点的坐标进行平移，从而得到平移后的新图形。
平移矢量通常用一个坐标向量表示，如(v1, v2)，其中v1表示
在x轴方向的平移距离，v2表示在y轴方向的平移距离。
对于任意一个点的坐标（x，y），经过平移操作后的新坐标可以通过以下公式计算得出：
新坐标的x值 = 原坐标的x值 + 平移矢量的v1
新坐标的y值 = 原坐标的y值 + 平移矢量的v2
通过依次对图形上每个点的坐标进行上述计算，即可完成图形的平移操作。
坐标平移法在计算机图形学、几何学、物理学等领域中都有应用。
它是进行平移变换的基本方法之一，可以用于平移图形、对象或其他几何结构。
用坐标表示平移
平移变换是变换的一种，它通过将图 形沿某个方向移动一定的距离来实现 变换。
03
用坐标表示平移的方法
矩阵变换
矩阵变换的基本原理
矩阵变换是将一个向量或点通过一定的数学运算，转换成另一个向量或点的过程。在二维平面上，矩 阵变换通常由一个2x2的矩阵与一个向量相乘来实现。这个矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵 。
整。
空间几何与物理学
空间几何
在空间几何中，平移变换被广泛应用于点、线、面等基本元素的移动和变换，可以帮助我们更好地理解空间几 何的性质和规律。
物理学
在物理学中，平移变换被广泛应用于物体的运动和力的分析，如牛顿力学中，平移变换可以帮助我们更好地理 解物体的运动状态和规律。
05
平移变换的数学表达
二维平移变换
机器人学
在机器人学中，平移变换被广泛应用于机 器人的运动控制。通过将机器人的末端执 行器沿着x轴、y轴和z轴的方向移动，可以 实现机器人的定位和操作。例如，在工业 自动化生产线上，机器人可以运用平移变 换来抓取和放置物品。
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THANKS
平移操作的齐次坐标表示
在进行平移操作时，可以在齐次坐标上直接进行加法运算来实现。例如，将点(x,y,w)向右移动x单位，向上移 动y单位，可以得到新的点(x+x',y+y',w)。
欧拉角与旋转矩阵
欧拉角的基本概念
欧拉角是用来描述一个三维空间中向量相 对于某个基底旋转的角度。具体来说，欧 拉角有三个值，分别表示绕着x轴旋转的角 度、绕着y轴旋转的角度和绕着z轴旋转的 角度。
机器人学
路径规划
机器人学中，平移变换是实现 机器人路径规划的重要基础之 一，可以通过平移变换实现机 器人在空间中的移动和姿态调
坐标平移的知识点总结
坐标平移的知识点总结一、坐标平移的定义在数学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来表示平面上的点，其中x轴和y轴分别是水平方向和垂直方向。
对于平面上的任意一点P(x,y)，我们可以将它的坐标表示为一个有序数对(x,y)，其中x表示点P在x轴上的投影距离，y表示点P在y轴上的投影距离。
坐标平移是指将平面上的所有点按照相同的向量进行移动，即将点P(x,y)平移至P'(x',y')，其中x' = x + a，y' = y + b，(a,b)为平移向量。
通过坐标平移，所有的点都将按照相同的方向和距离进行移动，从而改变它们的位置。
坐标平移可以通过向量的加法来实现，即将每个点的坐标向量加上平移向量，从而得到平移后的新坐标。
二、坐标平移的性质1. 平移不改变点之间的距离和方向。
即经过平移变换后的点之间的距离和方向关系不变。
2. 平移不改变点的相对位置关系。
即对于平面上的任意两个点A和B，它们之间的距离、倾斜角等关系在进行平移变换后不改变。
3. 平移是可逆的。
即对于任意一个点P(x,y)，经过平移变换得到P'(x',y')，那么可以通过反向平移变换将P'(x',y')还原为P(x,y)。
4. 平移满足向量加法的性质。
即平移变换可以通过向量的加法来表示，满足结合律、交换律、单位元等性质。
5. 平移不改变点的轨迹。
即平面上的曲线、图形经过平移变换后，它们的轨迹关系不改变。
三、坐标平移的表示方法1. 向量表示法在向量表示法中，我们可以用向量来表示平移变换。
即平移向量(a,b)可以表示为一个有向线段，它的起点为原点O(0,0)，终点为点T(a,b)。
这样，对于任意一个点P(x,y)，它的平移后的新坐标可以表示为P'(x',y') = P(x,y) + (a,b)。
2. 矩阵表示法在矩阵表示法中，我们可以用矩阵来表示平移变换。
《用坐标表示平移》
总结
坐标系的概念
坐标系是数学中用来确定点 在空间中的位置的工具。常 见的坐标系有直角坐标系、 极坐标系和球面坐标系等。
平移的定义
平移是指将图形沿某个方向 移动一定距离，而不改变其 形状和大小。平移操作可以 用向量表示，其中向量的每 个分量对应于移动的方向和 距离。
用坐标表示平移
平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图 形的位置。
平移前后两个图形的周长和面积保持不变。
02
用坐标表示平移的原因
坐标系的重要性
描述物体的位置
坐标系可以准确地描述物体在 空间中的位置，包括其大小、
形状和方向。
建立空间关系
坐标系可以用来建立物体之间的空 间关系，例如距离、角度、相对位 置等。
预测运动轨迹
对于直角坐标系中的点 P(x,y)，经过平移后，点 P' 的坐标可以表示为 P'(x+a,y+b)，其中 a 和 b 分别表示在 x 轴和 y 轴上的 移动距离。
平移的性质
平移不改变图形的形状和大 小，只改变其位置。平移操 作可以用矩阵表示，其中矩 阵的每个元素对应于移动的 方向和距离。
展望
平移的应用
VS
详细描述
设线段两端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。如果要将线段AB沿x轴正向平移a个 单位，则平移后的线段两端点坐标为 (x1+a, y1)和(x2+a, y2)。如果要将线段 AB沿y轴正向平移b个单位，则平移后的 线段两端点坐标为(x1, y1+b)和(x2, y2+b)。同时进行x轴和y轴的平移，平移 后的线段两端点坐标为(x1+a, y1+b)和 (x2+a, y2+b)。
坐标系的平移
∴ 实轴长为 4, 中心 (3,1)
∴ 焦点坐标 (3 + 6 ,1), ( 6 + 3,1)
2 渐近线： y ′ = ± x′ 2 2 ∴ 原坐标系下的渐近线： y 1 = ± ( x 3) 2 (x h)2 ( y k )2 可以证明： = 1渐近线为令右边为 0的 2 2 a b 两条直线
无论 2 a 3的正负，都可设 ( x a ) 2 = 4 ( 2 a 3)( y 1 + a )
( y 2) 2 ∴ 双曲线方程 : ( x 3) 2 =1 4
例：已知双曲线4 x 2 9 y 2 8 x 18 y 5 m = 0的右焦点 为( 13 + 1,1), 求m的值
将原方程配方，得： 4 ( x 1) 2 9 ( y + 1) 2 = m ( m > 0 )
( x 1) 2 ( y + 1) 2 即： =1 m m 4 9
另解：由题意设双曲线 方程为 ( 2 x + y 8 )( 2 x y 4 ) = k
把点 ( 0, 4 2 + 2 ) 代入，得： k = 4
∴ 双曲线方程为 ( 2 x + y 8 )( 2 x y 4 ) = 4 , 整理得： 4 x 2 y 2 24 x + 4 y + 28 = 0
∴ 中心 (1, 1) 半焦距 c = 13
m m ∴ + = 13 m = 36 4 9
例：已知双曲线16 x 2 9 y 2 + 64 x + 18 y 89 = 0, 求顶点 在2 x 5 y 16 = 0上，对称轴为双曲线的虚轴所在的直 线且过双曲线两个焦点的抛物线方程
将原方程配方，得：16 ( x + 2 ) 2 9 ( y 1) 2 = 144
坐标平移的性质
坐标平移与图形 变换的关系
图形变换的基本概念
图形变换是指通 过平移、旋转、 缩放等操作，改 变图形的大小、 形状和位置。
图形变换广泛应 用于计算机图形 学、动画制作、 游戏开发等领域。
三维坐标平移
三维坐标平移的定义
定义：将三维空间中的点按照给定的向量进行平移，得到新的点。 性质：平移不改变点的坐标值，只改变点的位置。 应用：在几何、物理、工程等领域中广泛使用，例如机器人移动、机械零件装配等。 注意事项：平移时需要确保方向和距离的正确性，否则会产生误差。
三维坐标平移的性质
定义：将一个点在三维空间中沿着某一方向移动一定的距离 性质：平移不改变点的坐标，只改变点的位置 方向：可以沿着x轴、y轴或z轴平移，也可以沿着任意方向平移 距离：平移的距离可以是任意的实数
三维坐标平移的应用
机器人的移动控制：通过三维坐标平移，可以精确控制机器人的移动轨迹和位置。
建筑建模：在建筑行业中，利用三维坐标平移技术可以建立精确的建筑模型，提高施工效率和精 度。
地球科学：在地球科学领域，通过三维坐标平移，可以对地球表面进行精确测量和建模，为地质 调查、矿产资源勘探等领域提供有力支持。
坐标平移是图形变 换中最基本的一种 ，是理解其他变换 的基础。
图形变换的应用
图形变换在计算机图形学中的应用，如动画、游戏、虚拟现实等。 图形变换在图像处理中的应用，如图像缩放、旋转、平移等。 图形变换在建筑设计中的应用，如建筑模型的三维建模、景观设计等。 图形变换在机械设计中的应用，如零件的建模、装配等。
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汇报人：XX
一点沿某一条直线的方向平移后的坐标
一、概述在数学中，我们经常遇到需要对坐标进行平移的问题。
而坐标的平移是指沿着某一条直线的方向上移动坐标点的位置。
本文将详细探讨一点沿某一条直线的方向平移后的坐标。
二、坐标平移的概念1. 坐标平移是指在平面直角坐标系中，将所有点的坐标沿着某一条直线方向移动相同的距离。
这个移动的方向可以是任意的直线方向，而移动的距离可以是任意的数值。
2. 我们用(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。
当我们对一个点进行平移时，其坐标会发生相应的变化。
三、一点沿直线平移后的坐标计算方法1. 我们需要确定平移的方向和距离。
假设我们要将点P(x₁, y₁)沿着直线L平移d个单位长度，那么我们需要知道直线L的方程和点P到直线L的垂直距离d。
2. 接下来，我们可以利用直线的斜率和距离的计算公式来求解平移后的坐标。
如果直线L的方程为ax + by + c = 0，点P到直线L的距离为d，则平移后的点P'的坐标可以通过以下公式计算：x' = x - (d/sqrt(a^2 + b^2)) * a/by' = y - (d/sqrt(a^2 + b^2)) * b/a其中，(x', y')即为平移后点P'的坐标，sqrt表示开方运算。
四、示例计算1. 假设点P(3, 4)需要沿直线2x - 3y + 5 = 0的方向平移5个单位长度。
2. 我们需要求解点P到直线2x - 3y + 5 = 0的距离d。
根据点到直线的距离公式d = |ax₁ + by₁ + c| / sqrt(a^2 +b^2)，代入点P的坐标和直线的系数，计算得到d = 3。
3. 根据平移公式计算平移后的坐标：x' = 3 - (5/sqrt(2^2 + (-3)^2)) * 2/(-3) = 3 - 5 * 2/3 = 0y' = 4 - (5/sqrt(2^2 + (-3)^2)) * (-3)/2 = 4 + 5 * 3/2 = 11.5 4. 点P(3, 4)沿直线2x - 3y + 5 = 0的方向平移5个单位长度后，坐标变为P'(0, 11.5)。
用坐标表示平移(全)
（3，-6）
（-7，0）
（-2-a，-3+b）
如图，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出它们的坐标。
^
y
>
x
0
1
1
2
3
4
3
2
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
30秒后，飞机P飞到P`位置，飞机Q、R飞到了什么位置？你能写出这三架飞机新位置的坐标吗?
（4,3）
(-1,1）
例1.如图,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)、B(3,1)、C(1,2).
(1) 若将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标不变,分别得到点A1、B1、C1,依次连接得到三角形A1B1C1 ,它与原三角形ABC的大小、位置有什么关系?
A
B
C
A1
C1
B1
x
y
O
1
2
A´
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4
A
B
D
C
(3，-2)
(4，1)
p78练习：.将平行四边形的向左平移２个单位长度, 再向上平移3个单位长度，画出平移后图形，指出顶点坐标
（1，5）
3、如果A，B的坐标分别为A（-4,5）B（-4，2）,将点A向___平移___个单位长度得到点B；将点B向___平移___个单位长度得到点A 。
4、如果P、Q的坐标分别为P（-3，-5），Q（2，-5），,将点P向___平移___个单位长度得到点Q；将点Q向___平移___个单位长度得到点P。
坐标系平移
§6 平面直角坐标变换一 平移坐标变换定义：若二平面直角坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足i=i ′，j=j ′，则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由{O ；i ，j }经过平移得到的，称由坐标系{O ；i ，j}到坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为平移坐标变换。
平移变换公式设平面上一点M 在新系{O ′；i ′，j ′}与旧系{O ；i ，j}下的坐标分别为 （x ′，y ′），（x,y ），而O ′在旧系下的坐标为（a,b ），则 xi+yj= OP = O O +P O '=ai+bj+x ′i ′+y ′j ′=ai+bj+x ′i+y ′j=（a+x ′）i+（b+y ′）j∴⎩⎨⎧+'=+'=b y y a x x ——平移坐标变换公式 二 旋转坐标变换：定义：若二坐标系{O ；i ，j}和{O ′；i ′，j ′}满足O ≡O ′，另∠（i ，j ′）=θ 则坐标系{O ′；i ′，j ′}可看成是由坐标系{O ；i ，j}绕O 旋转θ角得到的，称由{O ；i ，j}到{O ′；i ′，j ′}的变换为旋转坐标变换。
旋转变换公式由于∠（i ，i ′）=0，∴∠（i ，j ′）=2π+θ ∴i ′=cos θi+sin θj ，j ′=cos （2π+θ）i+sin （2π+θ）j=-sin θi+cos θj ∴xi+yj=OP =P O '=x ′i ′+y ′j ′=x ′（cos θi+sin θj ）+y ′（-sin θi+cosθj ）=（x ′cos θ-y ′sin θ）i+（x ′sin θ+y ′cos θ）j即⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x 用x,y 表示x ′，y ′，有⎩⎨⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos y x y y x x 三 一般坐标变换：称由坐标系{O ；i ，j}得坐标系{O ′；i ′，j ′}的变换为一般坐标变换。
数学坐标平移知识点总结
数学坐标平移知识点总结一、基本概念1.1 坐标平移的定义在二维平面直角坐标系中，假设有一个点P(x,y)，若将点P沿着x轴方向平移a个单位，y轴方向平移b个单位，则新坐标为P'(x+a, y+b)。
这个过程就是坐标平移，其中(a, b)称为平移向量，通常记作T(a, b)。
坐标平移可以表述为：P'(x+a, y+b) = T(a, b) (x, y)1.2 坐标平移的表示坐标平移的表示方法有很多种，最常见的有向量表示和矩阵表示。
以向量表示为例，对于二维平面中的点P(x, y)，其平移向量为T(a, b)，则P' = P + T = (x+a, y+b)。
1.3 平移方向坐标平移的方向通常有水平方向和垂直方向平移两种。
水平方向平移是指点P沿着x轴平移，垂直方向平移是指点P沿着y轴平移。
1.4 平移距离坐标平移的距离由平移向量的两个分量a和b来确定，分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通常可以通过计算平移向量的模来确定平移的距离，即d = √(a^2 + b^2)。
1.5 坐标平移的例子下面以一个简单的例子来说明坐标平移的过程。
假设有点P(3,4)，要对其进行平移，平移向量为T(2,-1)。
那么根据坐标平移的定义，点P'的坐标为P'(3+2, 4-1) = (5, 3)。
这就是对点P进行平移后得到的新点P'的坐标。
二、性质2.1 坐标平移的性质坐标平移有一些基本的性质，其中最重要的是平移不改变图形的形状和大小。
这个性质直接来自于平移的定义，即只是将点在坐标系中的位置移动了，而没有改变其原来的位置关系。
2.2 平移向量的性质平移向量也有一些重要的性质，如平移向量的加法和数量乘法。
两个平移向量相加即是将两个平移向量的分量分别相加，数量乘法即是将平移向量的每个分量分别乘以一个常数。
这些性质使得平移向量在坐标平移中有着重要的作用。
2.3 平移和向量的关系平移向量和向量有着密切的关系。
坐标平移公式
坐标平移公式坐标平移公式是一种常用的数学工具，它可以帮助我们将一个点或一组点在平面上进行移动。
坐标平移公式的原理是通过加减法来对点的坐标进行变换，从而实现平移的效果。
在平面直角坐标系中，我们可以用向量的概念来表示坐标的平移。
具体来说，对于一个点P(x,y)，如果我们想将它沿着向量v(a,b)平移，那么新的点P'(x',y')的坐标可以通过如下公式计算：x' = x + ay' = y + b其中，x和y是点P的原坐标，a和b分别是向量v的x分量和y 分量。
这个公式的意义是，我们将向量v的起点放在点P上，然后将它的终点移到新的位置，这样点P也随之移动，最终到达新的位置P'。
需要注意的是，坐标平移公式适用于任何平面上的点，而不仅仅是二维平面。
在三维空间中，我们同样可以利用向量的概念来进行坐标的平移。
假设点P(x,y,z)需要沿着向量v(a,b,c)平移，那么新的点P'(x',y',z')的坐标可以通过如下公式计算：x' = x + ay' = y + bz' = z + c同样的，这个公式的意义是，将向量v的起点放在点P上，然后将它的终点移到新的位置，从而实现点P的平移。
需要注意的是，坐标平移公式只能对点进行平移，而不能对图形进行平移。
如果我们想将一个图形平移，需要对其中的每个点都进行平移，从而实现整个图形的平移效果。
坐标平移公式是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们对平面上的点进行移动，从而实现各种各样的效果。
熟练掌握坐标平移公式，可以让我们更加灵活地运用数学知识，从而解决各种实际问题。
坐标平移规律
坐标平移规律坐标平移规律是指在几何中，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行位置的变换。
它利用了原来位置的坐标信息，以及新位置的坐标信息，来推导出变换规律。
一般来讲，坐标平移规律有三种形式：一、直角坐标系下的平移（以水平和竖直方向平移为例）：对于水平方向而言，新的x坐标 = 传入的x坐标 + 水平平移量；而对于竖直方向而言，新的y坐标 = 传入的y坐标 + 竖直平移量；二、极坐标系下的平移：新的极坐标半径r = 传入的极坐标半径r；新的极坐标角度α = 传入的极坐标角度α + 极坐标平移量；三、椭圆坐标系下的平移：新的椭圆坐标u = 传入的椭圆坐标u + 椭圆坐标平移量；新的椭圆坐标v = 传入的椭圆坐标v + 椭圆坐标平移量；无论是直角坐标系、极坐标系还是椭圆坐标系，坐标平移规律都是一样的，都是以原来位置的坐标信息，加上一定的平移量，来确定新位置的坐标信息。
坐标平移是几何变换的一种，也是一种常见的图形变换方法。
它可以用来将一个图形从某一位置移动到另一位置，或者将一个图形的某一部分移动到另一位置。
坐标平移的基本思想是，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行平移，使得图形的外观不变，只是位置改变了。
坐标平移也可以用来实现多边形的旋转，其思想是，将一个多边形的各个顶点按照一定的规律进行平移，使得多边形的内角不变，只是位置改变了，因此可以实现多边形的旋转。
坐标平移还可以用来实现缩放，其思想是，将一个图形的各个点按照一定的规律进行平移，使得图形的外观不变，但是坐标之间的距离发生变化，从而实现缩放效果。
坐标平移规律可以用来实现各种形状的变换，这在计算机图形学中有重要意义，是计算机图形学中一种重要的算法。
它可以用来实现平移、旋转、缩放等几何变换，也可以用来求解各种形状的外观参数。
坐标平移规律的应用可谓无处不在，它可以作为一种简单而高效的变换方法，用于处理复杂的几何图形。
坐标系平移公式口诀
坐标系平移公式口诀咱们在学习数学的时候，经常会碰到坐标系平移这个知识点。
那要怎么才能轻松记住坐标系平移的公式呢？这里有个小口诀能帮上大忙！“左右横变，右加左减；上下纵变，上加下减。
”这十六个字看似简单，实则暗藏玄机。
先来说说“左右横变，右加左减”。
咱们假设在平面直角坐标系中有一个点 A(x,y)，如果这个点要向右平移 a 个单位，那么新的坐标就变成了(x + a,y)；要是向左平移 a 个单位呢，新坐标就成了(x - a,y)。
这就好比你在一条笔直的马路上走路，往右走，你的横坐标就增加；往左走，横坐标就减少。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个学生叫小明，他在做作业的时候，总是把平移的方向弄反。
我就给他打了个比方，说：“小明啊，你就把坐标系想象成你的作业本，点就是作业本上的字。
如果字要向右移动，是不是得在原来的位置上加上移动的距离呀？向左移动就得减去移动的距离。
”小明听了之后，恍然大悟，之后再做这类题目就很少出错啦。
再讲讲“上下纵变，上加下减”。
如果点A(x,y)要向上平移b 个单位，新坐标就是(x,y + b)；向下平移 b 个单位，新坐标就是(x,y - b)。
这就好像你在坐电梯，往上走，纵坐标增加；往下走，纵坐标减少。
咱们在实际应用中，坐标系平移可是用处多多。
比如说，在解决几何图形的平移问题时，通过这个口诀就能准确地找到平移后的顶点坐标，从而画出平移后的图形。
做题的时候，大家一定要认真分析题目中给出的平移方向和距离，千万别马虎。
只要把这个口诀牢记在心，多做几道练习题，相信大家都能轻松搞定坐标系平移的问题！总之，“左右横变，右加左减；上下纵变，上加下减”这个口诀就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开坐标系平移的知识大门。
希望同学们在学习的过程中，能够灵活运用，让数学变得不再那么难！。
第五册坐标轴的平移
第五册坐标轴的平移简介在数学中，坐标轴的平移是指将坐标轴上的点沿着指定的方向和距离移动到新的位置。
平移是一种常见的坐标变换操作，常用于几何学、物理学和工程学等领域。
平移的定义平移是指将点或物体沿着指定方向移动固定的距离，而不改变其形状和大小。
在二维平面坐标系中，平移是通过将每个点的横轴和纵轴坐标值加上相应的平移量来实现的。
假设原始坐标轴上某点的坐标是(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后该点的坐标为(x + a, y + b)。
平移的性质平移具有以下性质：•平移不改变点的形状和大小，只改变其位置。
•平移是一种向量运算，平移向量的起点和终点分别对应原始点和平移后的点。
•平移是可逆的，即可以通过将平移向量反向使用来还原原始位置。
平移的示例下面通过示例来说明平移的过程和效果。
假设有一个二维平面坐标系，并给定一个点A(2, 3)，现要将该点向右平移3个单位，向上平移2个单位。
平移向量为(3, 2)，将其加在点A的坐标上得到新的坐标(2 + 3, 3 + 2)，即(5, 5)。
如下图所示：原始坐标系：|| A(2, 3)|+-----------------x平移后的坐标系：||| A'(5, 5)|+-----------------x平移的应用平移在几何学和物理学中有广泛应用。
下面列举一些常见的应用场景：几何学中的平移•平移用于构造图形的副本，生成对称图形，例如正方形的四个顶点通过平移可以得到一个新的正方形。
•平移也可用于解决几何中的问题，如两个图形是否重合、两个图形之间的关系等。
物理学中的平移•平移被应用于描述物体的运动，根据物体的位置和速度来计算下一时刻的位置。
•平移可以用于描述光线的传播方向和路径的改变。
工程学中的平移•平移可用于机器人和自动化系统中的路径规划与调整。
•平移也被应用于计算机图形学中的物体变换与动画效果的制作。
总结平移是将坐标轴上的点沿指定方向和距离移动到新位置的操作。
坐标平移学习
( y k)2 a2
( x h)2 b2
1,(a
b
0)
( x h)2 ( y k )2 a2 b2 1
若焦点在平行于y轴的直线上;则方程为: (3)抛物线顶点(h,k)
( y k )2 ( x h)2
a2
b2
1
焦点在平行于x轴的直线上,开口向右,则方程为: 焦点在平行于x轴的直线上,开口向左,则方程为: 焦点在平行于y轴的直线上,开口向上,则方程为:
解: b=1, c=2 a2=5
故椭圆方程为: ( y 3)2 ( x 2)2 1 5
y F(.2,5) O. .(3,3)
(2,3)
o
x
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例2: 求焦点为F(3,-3),对称轴在平行于x轴的直线上,且焦点到顶点的 距离为 2 的抛物线方程.
解; y
o
由 p 2, p 4,顶点o’(1,-3) 或(5,-3)
y 解: ∵中心o’(1,-1) , 焦点在平行于 y 轴的直线上,
∴设椭圆方程:
( y 1)2 ( x 1)2 a2 b2 1
F1.
∵2c= F1F2 6∴ c=3
o O’
x
又2a=10∴a=5 从而 b=4 .
F2.
故椭圆方程为:
( y 1)2 (x 1)2
1
25 16
(2) 求中心为(2,3) , 一个顶点(3,3),一个焦点(2,5)的椭圆方程.
16 9
解(1)将x=x’-2, y=y’+3.代入曲线C1:y2-4x-6y+1=0,得 (y’+3)2-4x’-6(y’+3)+1=0
化简得: y’2=4x’.
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(2)将x=x’-2, y=y’+3.代入曲线 2得: 将 代入曲线C 代入曲线
( x + 2 ) 2 ( y − 3) 2 + =1 16 9
平移坐标系,化简方程 并作出方程的曲线. 例2:平移坐标系 化简方程 2-2y2-6x+4y+3=0;并作出方程的曲线 平移坐标系 化简方程:x 并作出方程的曲线
二,应用 应用
坐标系的平移公式
1.平移坐标系化简方程 平移坐标系化简方程. 平移坐标系化简方程
x = x'+h x' = x − h ⇒ y = y'+k y' = y − k
平移坐标系,把坐标原点 移动到o’(-2,3). 例1.平移坐标系 把坐标原点 移动到 平移坐标系 把坐标原点O移动到 (1)求原坐标系中的曲线 1:y2-4x-6y+1=0 在 新坐标系中的方程 求原坐标系中的曲线C 新坐标系中的方程; 求原坐标系中的曲线
求方程4x 所表示的曲线的中心坐标,焦点坐 例3:求方程 2+9y2-16x+18y-11=0所表示的曲线的中心坐标 焦点坐 求方程 所表示的曲线的中心坐标 并作出它的图形. 标;并作出它的图形 并作出它的图形 2 2 解:将原方程配方得 将原方程配方得. 将原方程配方得 令x’=x-2,,y’=y+1, 则得椭圆 在坐标系 则得椭圆C在坐标系 在坐标系x’o’y’中的方程是 中的方程是: 中的方程是 y Y’ 系下： 在x' o' y' 系下：中心 o' (0,0), 焦点F1 ( − 5 ,0), F2 ( 5 ,0);
同号,则方程 一般表示椭圆. 若ac>0,且a,c与f’同号 则方程 ③ 一般表示椭圆 且 与 同号 特殊情况:当 表示圆;当 表示一个点;当 与 的符号相反时 无轨迹. 的符号相反时,无轨迹 特殊情况 当a=c时,表示圆 当f’=0时,表示一个点 当a,c与f’的符号相反时 无轨迹 时 表示圆 时 表示一个点 我们把 时的二次方程叫做椭圆型方程. 我们把ac>0时的二次方程叫做椭圆型方程 时的二次方程叫做椭圆型方程
2 O
o’ 1
x’ x
如图,点 在坐标系 在坐标系xoy中的坐标为 中的坐标为(1,2).在坐标系 在坐标系x’o’y’中的坐标为 中的坐标为(0,0). 如图 点 o’在坐标系 中的坐标为 在坐标系 中的坐标为 而以点o’为顶点的抛物线的方程 在坐标系xoy中的方程为 而以点 为顶点的抛物线的方程,在坐标系 中的方程为: 为顶点的抛物线的方程 在坐标系 中的方程为 在坐标系x’o’y’中就是 中就是: 在坐标系 中就是
课题： 课题： 坐标系的平移 教学目的： 教学目的： 1 正确理解坐标系平移的概念，初步掌握平移公式解决有关的 正确理解坐标系平移的概念， 问题； 问题； 2 通过学习坐标系的平移，使学生深刻认识到变换思想、化归 通过学习坐标系的平移，使学生深刻认识到变换思想、 思想 和数形结合思想在解决问题中的重要性； 和数形结合思想在解决问题中的重要性； 3 在问题解决过程中，培养学生勇于探索和敢于创新精神，并 在问题解决过程中，培养学生勇于探索和敢于创新精神， 逐步提高学生解决问题的能力。 逐步提高学生解决问题的能力。 教学重点：坐标系的平移。 教学重点：坐标系的平移。 教学难点：平移公式的运用. 教学难点：平移公式的运用 教学方法：启发探究式。 教学方法：启发探究式。 教学过程: 教学过程 引入:我们知道 一,引入 我们知道 点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标 引入 我们知道,点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标 系来说的.同一个点 在不同的坐标系中有不同的坐标,同一条曲线 同一个点,在不同的坐标系中有不同的坐标 系来说的 同一个点 在不同的坐标系中有不同的坐标 同一条曲线 在不同的坐标系中有不同的方程.如图 如图,点 在坐标系xoy中的坐 在不同的坐标系中有不同的方程 如图 点 O’在坐标系 在坐标系 中的坐 标为(1,2).在坐标系 在坐标系x’o’y’中的坐标为 中的坐标为(0,0).而以点 为顶点的抛物 而以点O’为顶点的抛物 标为 在坐标系 中的坐标为 而以点 线的方程,在坐标系 在坐标系xoy中的方程为 中的方程为: 线的方程 在坐标系 中的方程为 2 x. − 2 x − y + 3 = 0 .在坐标系 在坐标系x’o’y’中就是 中就是: 在坐标系 中就是 x'2 − y ' 0 可以看出:虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线,但是由于坐标 虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线 可以看出 虽然点还是同一个点=曲线还是同一曲线 但是由于坐标 系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了. 系改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了
2 2 d e d e a x+ +c y + = + − f L ② L 2a 2c 4a 4c 2 2
令 x' = x +
d e ,则方程②可化为 则方程② 则方程 , y' = y + 2a 2c d 2 e2 ax’2+cy’2=f’ (其中f ' = + − f )LL ③ 其中 4a 4c
F
p =2 2
O’ p = 2 -3 2
1 o
X’ x
2.方程 2+cy2+dx+ey+f=0的讨论 方程ax 的讨论. 方程 的讨论 对于缺xy项的二元二次方程 不全为零) 对于缺 项的二元二次方程ax2+cy2+dx+ey+f=0(a,c不全为零 ① 项的二元二次方程 不全为零 一般可以通过配方将①化为标准方程的形式 一般可以通过配方将①化为标准方程的形式. 将方程① ⑴当ac≠0时,将方程①配方 得 时 将方程 配方,得
如图, 坐标系x’o’y’是坐标系 是坐标系xoy经过平移向量 OO' 如图 坐标系 是坐标系 经过平移向量 得到的,设点 在坐标系 中的坐标是(h,k), 得到的 设点O’在坐标系 设点 在坐标系xoy中的坐标是 中的坐标是 中的坐标分别是(x,y)和 点 A 在坐标系 xoy 和x’o’y’中的坐标分别是 中的坐标分别是 和 (x’,y’); 问: (x,y) 和 (x’,y’) 之间有什么关系 之间有什么关系? 由图知; 由图知 y A (x,y) (x’,y’) O’(h,k) x’ x
OA = OO' + O' A
o
⇒ ( x , y ) = ( h, k ) + ( x' , y' ) ⇒ ( x'+ h, y'+ k )
x = x'+ h x' = x − h L① ⇒ y = y'+ k y' = y − k
坐标系的平移公式
为新坐标系的原点o’在原坐标系下的坐标 注:(h,k)为新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标 为新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标. 原坐标系中的原点o在新坐标系下的坐标是 问:原坐标系中的原点 在新坐标系下的坐标是 原坐标系中的原点 在新坐标系下的坐标是?
坐标系的平移公式 x' = x − h 代入方程得. 解: 法1(公式法 ) 把x=x’+h, y=y’+k 代入方程得 x = x'+h 公式法 ⇒ y = y'+k y' = y − k (x’+h)2-2(y’+k)2-6(x’+h)+4(y’+k)+3=0 即.
求出其中心,焦点 顶点坐标 求出其中心 焦点,顶点坐标 渐近线方程 焦点 顶点坐标,渐近线方程 X’2-2y’2+(2h-6)x’-(4k-4)y’+h2-2k2-6h+4k+3=0…① ① 令
(x−2) (y+1) + =1 9 4
x'2 y'2 + = 1. 9 4
5 ,−1)
系下： ∴ 在xoy系下：
o
F1
cห้องสมุดไป่ตู้
c O’
x X’
中心(2,-1), 焦点 2 − 5 ,−1) 和 ( 2 + 焦点( 中心
F2
x2 3 17 + x+ 的顶点,焦点坐标 准线方程. 焦点坐标,准线方程 例4;求抛物线 y = 求抛物线 的顶点 焦点坐标 准线方程 8 4 8
x2 −2x − y +3= 0 x'2 −y' = 0
可以看出:虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线 可以看出 虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线 虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线, 但是由于坐标系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了. 但是由于坐标系改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了
配方得: 解:配方得 (x+3)2=8(y-1) 配方得
x' = x + 3 x = x '− 3 令 ⇒ y' = y − 1
y = y '+ 1
Y’ y
在新坐标系下.x’ ∴o’(-3,1) 在新坐标系下 2=8y’ 在新坐标系下:顶点 准线:y’=-2 在新坐标系下 顶点o’(0,0) F(0,2),准线 顶点 准线 在原坐标系下:顶点 焦点F(-3,3), 在原坐标系下 顶点o’(-3,1),焦点 顶点 焦点 准线y=-1 准线
有意义的是:如果把坐标系作适当的变换 有意义的是 如果把坐标系作适当的变换, 如果把坐标系作适当的变换 那么曲线的方程就可以简化,这对于研究曲 那么曲线的方程就可以简化 这对于研究曲 线的性质将带来方便. 线的性质将带来方便