坐标系与形的平移
直角坐标系中的平移
课前检测
在平面内，把一个图形的整体沿某一直 线方向移动一定的距离，会得到一个新图形。
图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2）图形平移的性质是什么？
新图形与原图形形状和大小完全相同。
对应点的连线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
仔细观察，点A、 A1、 A2的位置与 坐标之间的关系，你发现了什么？
-5
-4
-3
-2
-1 0 -1-1
1
2 3 4x
不变，
-2-2
-3 -3
则有A1 (-2,3) ,B1 (-3,1) ,C1 (-5,2) 。 猜想: △ A1B1C1与△ABC的大小、 形状
和位置上有什么关系，为什么？
1.例题探索
如图， △ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2)
（4）将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点
An´，则 点An ´点的坐标是 （-2-a ，-3） ；
在坐标系中描出点A（-2，-3）并进行如下平移：
（1）将点A向上平移5个单位长度得到点A1，
则 点A1点的坐标是 （-2，2） ；
（2）将点A向上平移6个单位长度得到点A2，
则 点A2点的坐标是 （-2，3） ；
应点Ｐ的坐标应为（＿＿4，＿＿2＿.2＿）＿；
y４
Ｐ
●
３
２
４y
３
Ｐ
●
２
１
１
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
Ｏ １２ ３４ ５ －１
ⅹ
－２
－２
－３
－３
图１
图２
8、在直角坐标系中描出以下各点：
直角坐标系中的形平移
直角坐标系中的形平移平移是指将图形沿着指定的方向和距离移动的操作。
在直角坐标系中，平移可以通过增加或减少图形的坐标值来实现。
本文将介绍直角坐标系中的形平移，并讨论与坐标变化相关的数学概念。
一、平移的定义和特点平移是指将一个图形在平面上沿着指定的方向和距离不改变其形状和大小地移动。
在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
平移的特点如下：1. 形状保持不变：平移不改变图形的形状，只是将图形整体移动到新的位置。
2. 大小保持不变：平移不改变图形的大小，只是改变图形的位置。
3. 方向和距离确定：平移的方向由指定的向量决定，平移的距离由向量的模长决定。
二、平移的数学表示在直角坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标值来实现。
设图形的原始坐标为(x, y)，平移向量为(a, b)，则平移后图形的新坐标为(x + a, y + b)。
三、平移的示例为了更好地理解平移的概念，我们来看一个简单的示例。
假设有一个三角形，其顶点坐标分别为A(2, 3)，B(4, 5)，C(6, 3)，现在需要将这个三角形向右平移3个单位，向上平移2个单位。
根据平移的数学表示，我们可以计算得到新的顶点坐标为：A' = (2 + 3, 3 - 2) = (5, 1)B' = (4 + 3, 5 - 2) = (7, 3)C' = (6 + 3, 3 - 2) = (9, 1)通过计算可知，原始的三角形ABC经过平移变为新的三角形A'B'C'，其各顶点的坐标分别为A'(5, 1)，B'(7, 3)，C'(9, 1)。
可以看出，新的三角形与原始三角形相比，保持了相同的形状和大小，只是整体移动到了新的位置。
四、形平移与坐标变化形平移是指将图形沿着指定的方向和距离平移的操作。
在直角坐标系中，形平移可以通过修改图形的坐标值来实现。
形平移的步骤如下：1. 确定平移向量：根据平移的指定方向和距离，确定平移向量的值。
直角坐标系中平移的规则是什么
直角坐标系中平移的规则是什么直角坐标系是数学中常用的一种表示空间中点的方式。
在直角坐标系中，平移是一种基本的几何变换操作。
平移操作可以将一个点或者图形在平面上沿着指定的方向移动一定的距离，而保持其形状和大小不变。
本文将介绍直角坐标系中平移的规则和操作步骤。
平移规则在直角坐标系中，平移操作需要指定平移的向量，即平移的方向和距离。
平移的规则如下：1.平移方向：平移向量确定了平移的方向。
平移向量通常用箭头表示，在直角坐标系中指向欲平移的方向。
2.平移距离：平移距离指平移的长度，可以是一个具体的数值或者表示距离的符号。
3.平移操作：将待平移的点或者图形沿平移向量的方向移动指定的距离。
平移操作可以用数学语言表示为：P' = P + T其中，P’是平移后得到的新点，P是待平移的点，T是平移向量。
平移的操作步骤平移操作的步骤如下：1.确定平移向量：根据需要平移的方向和距离确定平移向量。
平移向量是一个有向线段，其起点为原点，终点为平移的终点。
2.确定待平移的点：在直角坐标系中确定需要进行平移操作的点的坐标。
3.进行平移操作：将待平移的点沿平移向量的方向移动指定的距离。
平移的距离可以是正数、负数或零，分别对应向前、向后或不动。
4.计算平移后的新点坐标：通过将平移向量的起点和移动后的待平移点相连，确定平移后得到的新坐标。
5.绘制新的图形：根据得到的新点坐标，绘制平移后的图形。
平移的例子下面通过一个简单的例子来演示直角坐标系中的平移操作。
假设在直角坐标系中，有一个点P的坐标为(2, 3)，我们希望将点P沿向量(1, 1)平移3个单位长度。
按照上述步骤进行平移操作：1.确定平移向量：平移向量为(1, 1)。
2.确定待平移的点：待平移点P的坐标为(2, 3)。
3.进行平移操作：将点P沿向量(1, 1)方向移动3个单位长度。
根据规则，x坐标增加一个单位，y坐标也增加一个单位。
所以，新的坐标为(2 + 1,3 + 1)，即(3, 4)。
平面直角坐标系与平移
平面直角坐标系与平移平面直角坐标系是几何学中重要的概念之一。
它可以用来表示平面上的点的位置，方便我们进行几何分析和计算。
而平移是指在平面上将一个图形沿着某个方向进行移动的操作。
本文将介绍平面直角坐标系以及平移的概念、性质和应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条垂直的坐标轴构成的。
一般来说，我们将水平的轴称为x轴，垂直的轴称为y轴。
两个轴的交点称为原点，记作O。
平面上的每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来确定两点之间的距离、计算图形的面积等等。
例如，两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之间的距离可以用勾股定理表示为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
二、平移的概念及性质平移是指保持图形形状和大小不变，仅仅将其沿着某个方向进行移动的操作。
平移可以用于平面上的点、线段、线、图形等。
在平面直角坐标系中，平移可以通过改变点的坐标来实现。
平移的性质如下：1. 平移不改变图形的形状和大小，只改变它的位置。
2. 平移可以用向量表示。
平移向量是从原图形上的每个点指向平移后对应点的向量。
3. 平移具有可逆性，即可以平移回原来的位置。
三、平移的应用平移在几何学中有广泛的应用。
下面我们列举几个常见的应用场景：1. 图像处理：在计算机图像处理中，平移可以用于图像的移动、旋转等操作。
通过平移，我们可以调整图像的位置，使其适应不同的需求。
2. 地图导航：在地图导航软件中，平移可以用于地图的拖动操作。
通过平移地图，我们可以查看不同区域的详细信息，方便用户进行导航。
3. 机器人路径规划：在机器人路径规划中，平移可以用来计算机器人的位姿及移动方向。
通过平移，机器人可以沿着预定的路径进行移动，完成特定任务。
4. 三角函数应用：在三角函数中，平移可以用来表示函数图像的上下平移、左右平移等。
通过平移，我们可以对函数图像进行调整，使其适应不同情况的需求。
图形在坐标系中的平移课件
平移的性 质
平移前后，图形上对 应点的距离保持不变。
平移过程中，图形上 各点移动的距离和方 向相同。
平移不改变图形的形 状和大小，只改变其 位置。
平移的分 类
水平平移
图形在水平方向上移动。
竖直平移
图形在竖直方向上移动。
斜向平移
图形在任意方向上移动。
02 图形在坐标系中的平移
点的平移
总结词
点的平移是指一个点在坐标系中沿着某一方向移动一定的距离。
图形在坐标系中的平移 课件
目录
Contents
• 平移的定义与性质 • 图形在坐标系中的平移 • 平移变换的应用 • 平移变换的数学表达 • 平移变换的物理意义
01 平移的定义与性质
平移的定 义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 直线移动一定的距离，而不改变 图形的大小和形状。
02
平移不改变图形上点的坐标，只 是使图形在坐标系内移动。
05 平移变换的物理意义
力的作用效果
物体在力的作用下产生加速度， 在坐标系中表现为图形的平移。
力的方向决定了平移的方向， 力的大小决定了平移的距离。
当物体受到多个力的作用时， 其平移效果是各个力作用效果 的合成。
运动的合成与分解
平移变换是运动的一种形式，可 以通过运动的合成与分解来理解。
在平面坐标系中，平移变换可以 看作是物体在两个方向上的分运
详细描述
在二维坐标系中，如果一个点 $(x, y)$ 沿着 $x$ 轴正方向移动 $a$ 个单位，其 新坐标变为 $(x+a, y)$；如果沿着 $x$ 轴负方向移动 $a$ 个单位，其新坐标变 为 $(x-a, y)$。类似地，沿着 $y$ 轴移动的情况也类似。
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
图形在坐标中的平移知识讲解
图形在坐标中的平移(提高)知识讲解(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--图形在坐标中的平移（提高）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在用坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、点在用坐标中的平移1．（2016?藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得．【答案与解析】解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限，∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D．【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．【答案】（1,1）或（5，1）【解析】解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）照此规律计算可知平移后的点的坐标是（1，1）或（5,1）．故答案填：（1，1）或（5,1）．【总结升华】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式】将点M向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到M′（-2，-3），则点M的坐标是_______．【答案】（1，-1）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2014?钦州）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为．【思路点拨】根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．【答案】（a+5，﹣2）．【解析】解：由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，∵P（a，2），∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．故答案为：（a+5，﹣2）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．举一反三：【变式】（2015?济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）A.（4，3）B.（2，4）C.（3，1）D.（2，5）【答案】D．解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），即（2，5），故选：D．类型三、综合应用【高清课堂：第一讲平面直角坐标系2 369935练习3】4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响并画出示意图．【思路点拨】当台风中心移动到距B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．【答案与解析】解：∵台风影响范围半径为200km，∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．所用的时间为：50×（10-4）÷40=（小时）．所以经过小时后，B市将受到台风的影响．（注：图中的单位1表示50km）【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．举一反三：【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】解：如图，在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.。
坐标系中的平移操作教案
坐标系中的平移操作教案1.教学目标通过本教案的学习，学生将掌握坐标系中的平移操作，包括平移的概念、平移的方式、平移的规律及其基本性质。
同时，学生还将拓展对坐标系和平几何的认识，提高空间观念和图形处理能力。
2.教学重点(1) 平移的概念(2) 平移的方式(3) 平移的规律及其基本性质(4) 坐标系和平面几何的认识3.教学难点(1) 平移的规律及其基本性质的掌握(2) 如何运用平移方法对图形进行变换4.教学过程4.1.教学方法本课程采用“师生互动，学生主体”和“讲授、练习、实践”相结合的教学方式。
引导学生在教师的指导下，积极参与，主动思考，自主探索和合作学习。
通过讲解课堂练习、课外作业、实践演练等一系列活动，将平移操作的概念、方式、规律及其基本性质逐步深入地呈现给学生。
4.2.教学内容4.2.1.平移的概念平移是指将一个图形沿着一个方向移动一定的距离，而新图形仍然和原图形形状大小相同，位置不同，新旧图形之间存在着等量的对应关系。
平移的本质是求新坐标，即将原图形上每一点沿着平移方向移动相同的距离，即得到新图形上对应点的坐标。
4.2.2.平移的方式平移的方式有两种：向右平移和向上平移。
向右平移：向右平移会使该图形在坐标轴上向右移动x个单位。
向上平移：向上平移会使该图形在坐标轴上向上移动y个单位。
4.2.3.平移的规律及其基本性质(1) 平移是向量加法的一种表现形式。
(2) 平移是等量代换的一种形式。
(3) 平移是一种等距变换。
(4) 平移不改变图形的面积和形状，仅改变其位置。
4.2.4.坐标系和平面几何的认识平移是基于坐标系的平面几何学的一个重要概念。
学生在学习平移时，需要深入了解和掌握坐标系和平面几何的基本知识，包括直线、曲线、角度、面积等。
这将为学生后续学习几何学打下坚实的基础。
4.3.教学实践4.3.1.理论讲解教师可以通过详细介绍平移的概念、方式、规律、基本性质、坐标系和平面几何的关系等来引导学生逐步了解平移的本质和基本原理。
图形平移的方法与步骤图形平移与点的坐标变化之间的关系平移的两个要素
一、平移的要素是什么1.决定平移的基本要素是平移方向和平移距离。
平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
2.平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。
它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。
它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。
即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。
二、平移的要点1.原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2.平移的方向。
（东南西北，上下左右，东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3.平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）平移：1.把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。
2.平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
三、在平面直角坐标系内：1.如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；2.如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
3.在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
四、图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（xa,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,yb）。
坐标系与形的位置关系
坐标系与形的位置关系形状和坐标系之间的位置关系在数学和几何学中具有重要的意义。
通过坐标系，我们可以确定一个形状在平面或者空间中的位置和方向。
本文将探讨坐标系与形的位置关系，并介绍一些常见的示例。
一、二维坐标系中的形状位置关系在二维坐标系中，我们通常使用x轴和y轴来表示平面上的位置。
通过指定一个点的坐标(x, y)，我们可以唯一地确定该点在平面中的位置。
1. 平移位置关系在二维坐标系中，平移是指某个形状在平面上保持形态不变的前提下，沿着平面的某个方向移动一定距离。
对于平移而言，形状的大小和形态都不会发生改变。
举例来说，考虑一个矩形，其左上角顶点的坐标为(x1, y1)，右下角顶点的坐标为(x2, y2)。
如果我们将矩形沿x轴方向平移a个单位，沿y 轴方向平移b个单位，新的矩形的坐标可以表示为：左上角顶点的坐标为(x1 + a, y1 + b)，右下角顶点的坐标为(x2 + a,y2 + b)。
2. 旋转位置关系旋转是指某个形状在平面上绕一个点或者一条线进行旋转，从而改变形状的方向。
对于旋转而言，形状的大小不会发生改变，但形态会发生变化。
举例来说，考虑一个正方形，其中心点的坐标为(x, y)。
如果我们将正方形绕着中心点顺时针旋转θ度，新的正方形的坐标可以表示为：其中每个顶点(x1, y1)的新坐标可以通过下述公式计算得到：新的x坐标 = x + (x1 - x) * cos(θ) - (y1 - y) * sin(θ)，新的y坐标 = y + (x1 - x) * sin(θ) + (y1 - y) * cos(θ)。
二、三维坐标系中的形状位置关系在三维坐标系中，我们通常使用x轴、y轴和z轴来表示空间中的位置。
通过指定一个点的坐标(x, y, z)，我们可以唯一地确定该点在空间中的位置和方向。
1. 平移位置关系在三维坐标系中，平移与二维情况类似，指某个形状在空间中沿着某个方向移动一定距离，同时保持形态不变。
图形在坐标系中的平移(共12张PPT)
A1( 3,3 ),C1( 2,1 ) 1
1
( 4 )将点D( -1,2 )向下平移1个单位;
( 3 )写出图形中和坐标轴平行的线段;
在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).
4.在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A( 4,-1 ),B( 1,1 ).将 线段AB平移后得到线段A'B',若点A'的坐标为( -2,2 ),则点B'的坐标为 ( 5,4 ) .
第11章
图形在坐标系中的平移
-9-
12.一个三角形ABC的三个顶点坐标分别为A( 0,0 ),B( 3,0 ),C( 2,3 ). ( 1 )把三角形ABC向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到三角形A'B'C', 写出点A',B',C'的坐标.
( 2 )若三角形A″B″C″三个顶点坐标分别是A″( -2,-3 ),B″( 1,3 ),C″( 0,0 ),则三角形A″B″C″是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?
A1( (2
)3(,4-(2),,-C421)(.)2求,2 出) 此图形的面积.
( 2,5 )
B.
向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度
( 2 )将三角形ABC向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到三角形A″B″C″.
( 3 )( 4,9 ).
解:( 1 )如图. 如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为( -1,3 ),( -4,1 ),( -2,1 ),将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1,点B的对应点B1的坐标是( 1,2 ),则点A1,C1的坐标分别是 ( A )
坐标平移规律
坐标平移规律坐标平移规律是指在几何中，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行位置的变换。
它利用了原来位置的坐标信息，以及新位置的坐标信息，来推导出变换规律。
一般来讲，坐标平移规律有三种形式：一、直角坐标系下的平移（以水平和竖直方向平移为例）：对于水平方向而言，新的x坐标 = 传入的x坐标 + 水平平移量；而对于竖直方向而言，新的y坐标 = 传入的y坐标 + 竖直平移量；二、极坐标系下的平移：新的极坐标半径r = 传入的极坐标半径r；新的极坐标角度α = 传入的极坐标角度α + 极坐标平移量；三、椭圆坐标系下的平移：新的椭圆坐标u = 传入的椭圆坐标u + 椭圆坐标平移量；新的椭圆坐标v = 传入的椭圆坐标v + 椭圆坐标平移量；无论是直角坐标系、极坐标系还是椭圆坐标系，坐标平移规律都是一样的，都是以原来位置的坐标信息，加上一定的平移量，来确定新位置的坐标信息。
坐标平移是几何变换的一种，也是一种常见的图形变换方法。
它可以用来将一个图形从某一位置移动到另一位置，或者将一个图形的某一部分移动到另一位置。
坐标平移的基本思想是，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行平移，使得图形的外观不变，只是位置改变了。
坐标平移也可以用来实现多边形的旋转，其思想是，将一个多边形的各个顶点按照一定的规律进行平移，使得多边形的内角不变，只是位置改变了，因此可以实现多边形的旋转。
坐标平移还可以用来实现缩放，其思想是，将一个图形的各个点按照一定的规律进行平移，使得图形的外观不变，但是坐标之间的距离发生变化，从而实现缩放效果。
坐标平移规律可以用来实现各种形状的变换，这在计算机图形学中有重要意义，是计算机图形学中一种重要的算法。
它可以用来实现平移、旋转、缩放等几何变换，也可以用来求解各种形状的外观参数。
坐标平移规律的应用可谓无处不在，它可以作为一种简单而高效的变换方法，用于处理复杂的几何图形。
直角坐标系中的变换知识点归纳总结
直角坐标系中的变换知识点归纳总结1.平移变换：平移是直角坐标系中最简单的变换之一，它保持点的形状和大小不变，只改变其位置。
平移变换可以表示为(X',Y')=(X+a,Y+b)，其中(a,b)是平移的位移向量。
2.缩放变换：缩放是改变图形大小的变换，可以将图形按照比例放大或缩小。
缩放变换可以表示为(X',Y')=(sX,sY)，其中s是缩放的因子。
3. 旋转变换：旋转是将图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
旋转变换可以表示为(X', Y') = (Xcosθ - Ysinθ, Xsinθ + Ycosθ)，其中θ是旋转的角度。
4.矩阵变换：矩阵变换是直角坐标系中一种通用的线性变换方法，可以表示平移、缩放、旋转和剪切等复合变换。
矩阵变换可以用一个2×2的矩阵表示，对于一个点(X,Y)的变换，可以表示为(X',Y')=(a11X+a12Y,a21X+a22Y)，其中矩阵A=[a11a12;a21a22]表示变换的系数。
5.对称变换：对称变换是指将图形绕着一个直线对称成对称图形的变换。
常见的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、直线对称等，对称变换可以通过变换矩阵来表示。
6.剪切变换：剪切变换是指将图形按照一定比例沿着一些方向延伸或收缩的变换。
剪切变换可以表示为(X',Y')=(X+aY,Y+bX)，其中(a,b)是两个剪切因子。
7.一般线性变换：一般线性变换是指包括平移、旋转、缩放、剪切等多种变换同时进行的复合变换。
一般线性变换可以表示为(X',Y')=(aX+bY+c,dX+eY+f)，其中(a,b,c,d,e,f)是六个变换系数。
8.坐标轴变换：坐标轴变换是指将直角坐标系中的坐标轴按照一定角度旋转或者倾斜得到的新的坐标系。
在坐标轴变换中，点的坐标可以通过坐标轴旋转矩阵或者倾斜矩阵来进行变换。
高中数学中的坐标系与平移变换
高中数学中的坐标系与平移变换在高中数学中，坐标系和平移变换是两个非常重要的概念。
坐标系是一种表示点在平面上位置的方式，而平移变换则是一种改变点位置的操作。
本文将对这两个概念进行详细讨论。
一、坐标系的基本概念1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由两条垂直的直线（通常称为x轴和y轴）交叉而成。
通过定义一个原点和单位长度，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系使用径向距离和极角来描述点的位置。
其中，径向距离表示点到原点的距离，极角则表示点与正向x轴之间的夹角。
3. 其他坐标系此外，还有柱面坐标系、球面坐标系等其他不同形式的坐标系，它们在特定的数学领域和物理领域中具有重要的应用。
二、平移变换的基本原理在数学中，平移是一种将图形沿着指定方向移动的变换方式。
它通过将所有点的坐标值分别增加或减少一个常数来实现。
平移变换的基本原理如下：1. 平移向量平移变换通过一个平移向量来描述移动的方向和距离。
平移向量由两个分量组成，分别表示在x轴和y轴上的移动距离。
2. 平移的公式设点P(x, y)进行平移变换，平移向量为(a, b)，则点P'的坐标可以表示为：P'(x', y') = P(x+a, y+b)三、坐标系与平移变换的关系坐标系与平移变换密切相关，它们之间的关系主要体现在以下几个方面：1. 坐标系对平移变换的作用坐标系为平移变换提供了基础。
在直角坐标系中，通过改变点的坐标值，可以实现平移变换。
而在极坐标系中，则需要通过改变径向距离和极角来实现平移。
2. 平移变换对坐标系的作用平移变换改变了图形中每个点的位置，从而影响了坐标系的布局。
在平移变换之后，原有的坐标系会随之发生改变，因此我们需要根据新的图形位置重新确定坐标系。
3. 坐标系和平移变换的综合应用在几何图形的研究中，我们经常会用到坐标系和平移变换。
通过在坐标系中进行平移变换，我们可以研究图形的性质、计算图形的参数等。
坐标系和形的平移旋转和反射
坐标系和形的平移旋转和反射在数学中，坐标系和形的平移、旋转和反射是非常常见的概念和操作。
它们在各个领域被广泛应用，如几何学、物理学、计算机图形学等。
本文将深入探讨这些概念和操作，并通过示例来解释它们的应用。
1. 坐标系的平移在数学中，我们常常使用直角坐标系来描述点的位置。
坐标系的平移是指将整个坐标系在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
这种操作可以通过将每个点的横坐标和纵坐标都加上相同的值来实现。
例如，将坐标系沿x轴正方向平移3个单位和沿y轴负方向平移2个单位，可以表示为：(x, y) → (x + 3, y - 2)2. 坐标系的旋转坐标系的旋转是指将整个坐标系绕着某个点旋转一定的角度。
这种操作可以通过将每个点绕着旋转中心点按照逆时针方向旋转相同的角度来实现。
例如，将坐标系绕着原点顺时针旋转90度，可以表示为：(x, y) → (-y, x)3. 形的平移在几何学中，我们常常研究各种形状的性质和变换。
形的平移是指将整个形状在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
这种操作可以通过将形状中的每个点的横坐标和纵坐标都加上相同的值来实现。
例如，将一个矩形沿x轴正方向平移5个单位和沿y轴负方向平移3个单位，可以表示为：(x, y) → (x + 5, y - 3)4. 形的旋转形的旋转是指将整个形状绕着某个点旋转一定的角度。
这种操作可以通过将形状中的每个点绕着旋转中心点按照逆时针方向旋转相同的角度来实现。
例如，将一个三角形绕着顶点(0, 0)逆时针旋转45度，可以表示为：(x, y) → (x · cos45° - y · sin45°, x · sin45° + y · cos45°)5. 形的反射形的反射是指将整个形状关于某条直线进行对称。
这种操作可以通过将形状中的每个点关于对称轴进行对称来实现。
例如，将一个正方形关于y轴进行对称，可以表示为：(x, y) → (-x, y)通过以上示例，我们可以看出坐标系和形的平移、旋转和反射都是通过对每个点进行相应的操作来实现的。
平移与坐标
平移与坐标
（一）图形的平移
设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样的距离，得到图形F′。
我们把这一过程叫做图形的平移。
因此图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不变的情况下，图形的整体移动。
在平移变换下，图形形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置。
（二）点的平移公式
设P(x，y)是图形F上的任一点，而P′(x′，y′)是图形平移后P点的对应点。
若这个平移是先由点P向右平移h个单位(若h<0，则应向左平移。
|h|个单位)，再向上平移k
个单位(若k<0，则应向下平移|k|个单位)而得到点P′，的。
则有：
x x h y y k '=+⎧
⎨'
=+⎩
这就是点的平移公式，它反映了图形中每一点在平移前后的新坐标与原坐标间的关系。
在上述点的平移公式中，平移前点的坐标P(x、y)，平移后相对应点的坐标P′(x′，y′)及反应如何平移，三者中可实现知二求一。
公式中反应的平移可以分解为两步完成：
(1)沿x轴方向的平移：当h为正时，向右平移h个单位；当h为负时，向左平移|h|个单位。
(2)沿y轴方向的平移；当k为正时，向上平移k个单位；当k为负时，向下平移|k|个单位。
坐标系平移公式口诀
坐标系平移公式口诀咱们在学习数学的时候，经常会碰到坐标系平移这个知识点。
那要怎么才能轻松记住坐标系平移的公式呢？这里有个小口诀能帮上大忙！“左右横变，右加左减；上下纵变，上加下减。
”这十六个字看似简单，实则暗藏玄机。
先来说说“左右横变，右加左减”。
咱们假设在平面直角坐标系中有一个点 A(x,y)，如果这个点要向右平移 a 个单位，那么新的坐标就变成了(x + a,y)；要是向左平移 a 个单位呢，新坐标就成了(x - a,y)。
这就好比你在一条笔直的马路上走路，往右走，你的横坐标就增加；往左走，横坐标就减少。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个学生叫小明，他在做作业的时候，总是把平移的方向弄反。
我就给他打了个比方，说：“小明啊，你就把坐标系想象成你的作业本，点就是作业本上的字。
如果字要向右移动，是不是得在原来的位置上加上移动的距离呀？向左移动就得减去移动的距离。
”小明听了之后，恍然大悟，之后再做这类题目就很少出错啦。
再讲讲“上下纵变，上加下减”。
如果点A(x,y)要向上平移b 个单位，新坐标就是(x,y + b)；向下平移 b 个单位，新坐标就是(x,y - b)。
这就好像你在坐电梯，往上走，纵坐标增加；往下走，纵坐标减少。
咱们在实际应用中，坐标系平移可是用处多多。
比如说，在解决几何图形的平移问题时，通过这个口诀就能准确地找到平移后的顶点坐标，从而画出平移后的图形。
做题的时候，大家一定要认真分析题目中给出的平移方向和距离，千万别马虎。
只要把这个口诀牢记在心，多做几道练习题，相信大家都能轻松搞定坐标系平移的问题！总之，“左右横变，右加左减；上下纵变，上加下减”这个口诀就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开坐标系平移的知识大门。
希望同学们在学习的过程中，能够灵活运用，让数学变得不再那么难！。
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坐标系与形的平移
平移是几何学中常见的变换方式之一，它可以描述一个图形在平面
上沿着一定方向移动的过程。
与之密切相关的是坐标系，它是描述平
面上点位置的一种方式。
本文将重点讨论坐标系与形的平移之间的关系，以及如何进行平移操作。
一、坐标系的概念与表示方法
在平面几何中，为了确切描述点的位置，我们需要引入坐标系。
坐
标系由两条相互垂直的线，即x轴和y轴组成。
通过设定原点和单位
长度，我们可以根据点在x轴和y轴上的位置来确定其坐标。
以直角
坐标系为例，点的坐标通常表示为(x, y)的形式。
二、形的平移
形的平移是指图形按照一定距离和方向在平面上移动，保持图形内
部结构不变的过程。
平移的关键是平移向量，它描述了平移的方向和
距离。
设平移向量为(a, b)，若点P(x, y)平移后的位置为P'(x', y')，则有：x' = x + a
y' = y + b
三、平移的性质
1. 平移不改变图形的大小、形状和内部角度。
2. 平移前后的图形对应点之间的距离不变。
3. 平移具有可逆性，即一个图形经过平移后，可以再次回到原来的
位置。
四、常见平移方式
1. 水平平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, 0)，表示图形在x
轴方向上移动a个单位长度。
2. 垂直平移：在直角坐标系中，若平移向量为(0, b)，表示图形在y
轴方向上移动b个单位长度。
3. 斜线平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, b)，表示图形在斜
线方向上同时按照a和b的距离进行平移。
五、平移操作的步骤
进行图形平移操作时，可以按照以下步骤进行：
1. 确定平移向量，即平移的方向和距离。
2. 对于图形中的每个点，根据平移向量的坐标变换公式计算新位置。
3. 连接新位置的点，得到平移后的新图形。
六、应用举例
下面通过一个具体的例子来说明坐标系与形的平移的关系。
假设有一个正方形，其顶点坐标依次为A(1, 1)，B(1, 3)，C(3, 3)，
D(3, 1)。
现在我们希望将该正方形沿x轴方向平移4个单位长度，即(a, 0) = (4, 0)。
根据平移公式，我们可以得到正方形平移后的新坐标为：
A'(1 + 4, 1 + 0) = A'(5, 1)
B'(1 + 4, 3 + 0) = B'(5, 3)
C'(3 + 4, 3 + 0) = C'(7, 3)
D'(3 + 4, 1 + 0) = D'(7, 1)
连接A'、B'、C'、D'四个点，我们得到了平移后的新正方形。
总结：
本文主要介绍了坐标系与形的平移之间的关系，以及如何进行平移操作。
通过了解平移的性质和常见平移方式，我们可以有效地描述图形在平面上的移动过程。
平移操作的步骤和具体应用举例也对平移的理解与实践提供了帮助。
通过掌握坐标系与形的平移，我们可以更好地理解和解决与平移相关的几何问题。