2016届内蒙古包头市高三学业水平测试与评估(二) 数学(文)试题 解析版

2016年包头市高中毕业年级学业水平测试与评估（二）文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合()(){}{}|420,3,1,1,3,5A x x x B =-+<=--，则A B = （ ）A ．{}1,1,3-B ．{}3,1,1,3--C ．{}1,1,3,5-D ．{}3,5- 【答案】A 【解析】试题分析：因为()(){}{}{}|420|-24,3,1,1,3,5A x x x x x B =-+<=<<=--， 所以A B = {}1,1,3-，故选A.考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.若实数b 满足：()()312bi i ++-是纯虚数，则实数b =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】C考点：1、复数的运算；2、纯虚数的性质. 3.已知1sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ） A ．13- B ．13C ．79-D ．79【答案】C 【解析】试题分析：因为1sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以1cos 3x =，cos 2x =222cos 119x -=-=79-，故选C. 考点：1、诱导公式；2、余弦的二倍角公式.4.对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）个 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分； ③该同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：根据折线图得：①折线图从左向右是上升的，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，正确；②该同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最高分小于90分极差超过40分,正确；③该同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关, 正确； 综上，正确的命题是①②③, 共3个,故选D. 考点：1、折线图的应用；2、相关关系的应用.5.已知向量()()1,0,0,1a b == ，若()()3ka b a b +⊥-，则实数k =（ ）A ．-3B ．3C ．13- D ．13【答案】D考点：1、向量垂直的应用；2、平面向量的数量积公式.6.已知函数()3134f x x ax =-+，若函数()y f x =的极小值为0，则a 的值为（ ） A ．14 B ．12- C ．34 D ．34-【答案】A 【解析】试题分析：因为 ()3134f x x ax =-+,所以()2'33f x x a =-，因为()y f x =必有极值点，所以0a >，令()2'330f x x a =-=得x =) 在()y f x =上，将点)代入()3134f x x ax =-+，解得14a =，故选A. 考点：1、利用导数求函数的极值；2、函数的求导法则.7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则这个几何体的体积为（ ）A ．316cmB ．320cmC ．324cmD ．330cm 【答案】C考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A 【解析】试题分析：因为 第一次执行循环体后，11,,124S m n ===；第二次执行循环体后，11,,248S m n ===；...，第六次执行循环体后，11,,664128S m n ===；满足退出循环的条件，故输出的6n =，故选A. 考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在球O 的球面上，且11,AB AC BC CC ===⊥平面ABC ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．16 B ．13 C ．12D ．1 【答案】C考点：1、棱柱外接球的性质；2、球的表面积公式及棱柱的体积公式.10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 【答案】A 【解析】试题分析：因为圆22:650C x y x +-+=的圆心(3,0)，半径为 2，所以双曲线的右焦点为(3,0)，3c =，229a b +=，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，点到直线距离公式得，2,=解得225,4a b ==，双曲线的方程为22154x y -=，故选A. 考点：1、待定系数法求双曲线的方程；2、圆的方程、双曲线的渐近线及点到直线的距离公式. 11.设11240.6,0.5,lg 0.4a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】D考点：1、指数函数的性质、对数函数的性质；2、多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1,1-为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将个数按顺序排列.12.函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】考点：1、指数函数对数函数的图象和性质；2、数形结合思想的应用.【方法点睛】本题主要考查指数函数对数函数的图象和性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.过三点()()()0,0,1,1,4,2O M N 的圆的方程为 ___________． 【答案】()()224325x y -++= 【解析】试题分析：设圆的方程是：()()222x a y b r -+-=其中0r >,将,,O M N 坐标分别代入222a b r +=①，()()22211a b r -+-=②，()()22242a b r -+-=③，分别将①代入②，③得12120,168440a b a b -+-=-+-=,化简1,25a b a b +=+=,所以2224,3,25a b r a b ==-=+=,所以圆的方程是()()224325x y -++=,故答案为()()224325x y -++=. 考点：1、点和圆的位置关系；2、待定系数法求圆的方程.14.设实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则 32x y -的最小值是 ___________．【答案】53- 【解析】试题分析：画出约束条件10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，平移32z x y =-经过点14,33⎛⎫⎪⎝⎭时，32x y-的最小值是53-，故答案为53-.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.15.三角形ABC中，02,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为_________．【答案】考点：1、正弦定理的应用； 2、三角形面积公式.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式111sin ,,(),2224abcab C ah a b c r R++.16.一条斜率为1的直线l 与曲线1:x C y e =和曲线22:4C y x =分别相切于不同的两点，则这两点 间的距离等于__________．考点：1、利用导数求切点坐标；2、两点间距离公式.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、两点间距离公式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2)己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：13a =，且1413,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）()()3234212n n n n +T =-++. 【解析】试题分析：（1）根据1413,,a a a 成等比数列求出公差，进而求数列{}n a 的通项公式；（2）先由等差数列前n 项和公式求得 ()2n S n n =+，可得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而用“裂项相消”法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题可知21134a a a = ，即()()2331233d d +=+，解得2d =， 则()31221n a n n =+-⨯=+．考点：1、等差数列的通项公式及前n 项和公式；2、“裂项相消”法求数列的前n 项和. 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布 表：（1）作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要 占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）频率分布直方图见解析；（2）100，104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品0080”的规定. 【解析】试题分析：（1）根据频数算出频率，得纵坐标，即可可做直方图；（2）每组数据中间值乘以该组的频率求和即可得这种产品质量指标值的平均数 ，再根据方差公式求其方差；（3）不低于95的各组频率求和与0080进行比较即可. 试题解析：（1）．考点：1、频率分布直方图的画法；2、样本的平均数及方差、互斥事件的概率. 19.（本小题满分12分）如图1，已知矩形ABCD 中，2,AB AD ==,E F 分别是,AD BC 的中点，对角线BD 与EF 交 于O 点，沿EF 将矩形ABFE 折起，使平面ABFE 与平面EFCD 所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO DO ⊥；（2）求平面DOB 分割三棱柱AED BFC -所得上部分的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）222OD OB BD +=，由勾股定理的逆定理可知OD OB ⊥；（2）先证DH 为四棱锥D ABOE -的高并求出DH ==，再算出梯形ABOE 的面积，根据棱锥体积公式求得13D ABOE ABOE V S DH -== 梯形.试题解析：（1）由题设知，OD ===，OB ===，OB ===，连接BD ，在Rt BCD ∆中，BD ===所以2226OD OB BD +==，由勾股定理的逆定理可知OD OB ⊥．考点：1、勾股定理的应用；2、棱锥的体积公式.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为．（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若C 点到直线y x =，求圆C 的方程． 【答案】（1）221y x -=；（2）()2213x y ++=或()2213x y +-=.【解析】试题分析：（1）设(),C x y ，圆C 的半径为r ，则22222,3y r x r +=+=，可得圆心C 的轨迹方程；（2）设()00,C x y ，则 22001y x -= ，解出()00,x y ，进而可得圆的半径，求得圆C 的方程.试题解析：（1）设(),C x y ，圆C 的半径为r ，由题设22222,3y r x r +=+=，从而2223y x +=+，故C 的轨迹方程为221y x -=．考点：1、勾股定理及点到直线的距离公式；2轨迹方程及待定系数法求圆的方程.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题（1）就是利用方法①求C 的轨迹方程的. 21.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性并求最大值；（2）设()()212ln x g x xe a x x x =----，若()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减, ()f x 的最大值为()11f =-；（2）1a ≤.试题解析：（1）由题设有()2220,x x f x x-'>=，可知，()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减；()f x 的最大值为()11f =-．（2）由题有()()2x f x g x xe ax x +=--， 令()2x h x xe ax x =--，则()21x xh x e xe ax '=+--． 设()21x x q x e xe ax =+--，则()22x xq x e xe a '=+-， 当0x >时，可知2x x e xe +为增函数，且22x x e xe +>，当22a ≤，即1a ≤时，当0x >时，()0q x '>，则()h x '单调递增，()()00h x h ''>=，则()h x 单调递增，则()()00h x h >=，即()()0f x g x +≥恒成立，故1a ≤．当22a >即1a >时，则唯一存在0t >，使得()0q t '=，则当()()0,,0x t q x '∈<，则()h x '单调递减，()()00h x h ''<=，则()h x 单调递减，则()()00h x h <=，则()()0f x g x +≥，不能在()0,+∞上恒成立，综上：实数a 的取值范围是1a ≤．考点：1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值，闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,A B 是圆O 上两点，延长AB 至点C ，满足22AB BC ==，过C 作直线CD 与圆O 相切于点D ， ADB ∠的平分线交AB 于点E ．（1）证明：CD CE =；（2）求AD BD的值．【答案】（1）证明见解析；（2）AD BD =试题解析：（1）由题可知,CDB DAB EDA EDB ∠=∠∠=∠，又,CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠+∠∠=∠+∠，故CED EDC ∠=∠，故CD CE =．（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线，所以23CD CB CA == ，得CD =．又因为直线CD 与圆O 相切于点D ，则CDB DAC ∠=∠，则CDB CAD ∆∆ ，则BD CD AD AC ==，故AD BD=． 考点：1、相似三角形的性质；2、切割线定理的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为11x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）．【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ---=；（2）371,,1,44ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）先由平方法消去参数得普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可得到1C 的极坐标方程；（2）先由1C 与2C 的直角坐标方程联立求出交点的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标即可.考点：1、参数方程化为普通方程；2、直角坐标方程化为极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）设0a b ≥>，证明：22223232a b a b ab +≥+；（2）已知1,1a b <<，证明：1ab a b ->-．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）做差比较法只需证()()()()3322223232320a b a b ab a a b b b a +-+=-+-≥即可；（2）分析法证明，原不等式等价于()()22110b a -->， 因为1,1a b <<，所以()()22110b a -->成立， 所以1ab a b ->-成立.试题解析：证明：（1） ()()()()()()()()()()()33222232222223232332232322a b a b ab a a b b ab a a b b b a a b a b a b a a b a b +-+=-+-=-+-=--⎡⎤=-+-+⎣⎦因为0a b ≥>，所以0,0a b a b -≥+>，所以()()()220a b a a b a b ⎡⎤-+-+≥⎣⎦，所以33223232a b a b ab +≥+．考点：1、比较法证明不等式；2、分析法证明不等式.。