2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列配套作业 文

第一讲 等差数列与等比数列
配套作业
一、选择题
1.已知等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 3＋a 9＝6，则S 11＝（B ） A.12 B.33 C.66 D.99
解析：∵{a n }为等差数列且a 3＋a 9＝6， ∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝
a 1＋a 11
2
×11＝
a 6＋a 6
2
×11＝11a 6＝11×3＝33.
2.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝（B ） A.120 B.140 C.160 D.180
解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列.∴（a 3＋a 4）2
＝（a 1＋a 2）（a 5＋a 6）.
即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2
a 1＋a 2＝40
2
20
＝80.
∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.
3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－2n －1，则a 3＋a 17＝（C ） A.15 B.17 C.34 D.398
解析：∵S n ＝n 2
－2n －1，
∴a 1＝S 1＝12
－2－1＝－2. 当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1
＝n 2－2n －1－[（n －1）2
－2（n －1）－1]
＝n 2－（n －1）2
＋2（n －1）－2n －1＋1
＝n 2－n 2
＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.
∴a 3＋a 17＝（2×3－3）＋（2×17－3）＝3＋31＝34. 4.（2014·陕西卷）原命题为“若
a n ＋a n ＋1
2
＜a n ，n ∈N *
，则{a n }为递减数列”，关于逆
命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（A ）
A.真，真，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
解析：由
a n ＋a n ＋1
2
＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；
逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋1
2
＜a n ，n ∈N *
；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，
即
a n ＋a n ＋1
2
＜a n ，所以逆命题为真；
否命题：若
a n ＋a n ＋1
2
≥a n ，n ∈N *
，则{a n }不为递减数列；由
a n ＋a n ＋1
2
≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }
不为递减数列，所以否命题为真；
因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题.故选A.
5.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（C ）
A.5
B.7
C.9
D.11
解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.
二、填空题
6.（2015·安徽卷）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2（n ≥2），则数列{a n }的前9
项和等于 Ｗ.
解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12（n ≥2），可知数列{a n }是首项为1，公差为1
2的等差数列，
故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×1
2
＝9＋18＝27.
答案：27
7.设公比为q （q >0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝______________________________________.
解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即
⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3
＋2，
两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q （q 2－1），即：2q 2
－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1（舍去）.
答案：32
8.（2014·广东卷）等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3
＋log 2a 4＋log 2a 5＝ Ｗ.
解析：由题意知a 1a 5＝a 2
3＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2，∴a 1a 2a 3a 4a 5＝
（a 1a 5）·（a 2a 4）·a 3＝（a 23）2·a 3＝a 53＝25
，
∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2（a 1a 2a 3a 4a 5）＝log 225
＝5. 答案：5
三、解答题
9.已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝
a n ＋a n ＋1
2
，n ∈N *
.
（1）令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； （2）求{a n }的通项公式.
解析：（1）b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n
2－a n ＝－1
2
（a n －a n －1）＝
－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－1
2
为公比的等比数列. （2）由（1）知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
，
当n ≥2时，a n ＝a 1＋（a 2－a 1）＋（a 3－a 2）＋…＋（a n －a n －1）＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －2
＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫－12n －1
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1
＝1＝a 1.
所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1（n ∈N *
）.
10.（2015·安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：（1）由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8， 又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝1，a 4＝8
或⎩⎪⎨
⎪⎧a 1＝8，a 4＝1
（舍去）.
由a 4＝a 1q 3
得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1
＝2n －1
.
（2）S n ＝a 1（1－q n ）1－q
＝2n －1.
又b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝
b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1
＝1－12n ＋1
－1.。