精编湖北省枣阳市白水高中2019-2020学年高二数学3月月考试题_理(1)
2019-2020学年度最新高二数学上学期第三次月考试题 理(含解析)
【答案】8
【解析】由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于0或者大于0，
故得到 符号相反，故，故数列中前8项大于0，从第九项开始小于0，故得到前8项的和最大。
故答案为：8.
14. 在中，内角所对应的边分别为，已知，若，则的值为__________．
（1）证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
（2）求的面积最大时直线的方程.
【答案】（1）直线的斜率为定值，其值为；（2），或.
【解析】试题分析：（1）联立直线和椭圆，解出两个的交点坐标，用两点坐标解出直线斜率；（2）联立直线和椭圆根据弦长公式得到.
再根据点到直线的距离得到，此时面积为，进而得到结果。
【答案】
【解析】由正弦定理得到，，因为三角形内角的正弦值都是大于0的，故得到 ，，代入表达式得到。
故答案为：。
15. 是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是__________．
【答案】
【解析】设椭圆中的基本量为，双曲线中的基本量为
由圆锥曲线中焦三角形的面积公式得到
.
9. 钝角三角形的三边为，其最大角不超过，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴，解得，故选B．
点睛：在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点.
考点：本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系
点评：解题时要认真审题，注意抛物线定义及点到直线距离公式的灵活运用．
2019-2020年高二3月月考数学理试题 含答案
2019-2020年高二3月月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC .BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 20°C. 35°D. 10°3．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．极坐标方程表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆5．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝，则DB ＝（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若且满足，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．9．直线被圆截得的弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形ABCD 中，，若的面积等于，则 的面积等于（ ）． A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题中的横线上） 11．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
12．参数方程的普通方程为__________________。
2019-2020学年高二数学3月月考试题理(含解析)
2019-2020学年高二数学3月月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝( )A. 2B. 3C. 2D. 3【答案】A【解析】由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故选A.2.为研究两变量和的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线和，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A. 与重合B. 与平行C. 与交于点（，）D. 无法判定与是否相交【答案】C【解析】解：由线性回归方程的概念可知方程必定过样本中心点，因此相交于点，选C3.已知为平面，为直线，下列命题正确的是( )A. ，若，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.4.下列命题中真命题的个数有( )①,；②，；③若命题是真命题，则是假命题；④是奇函数A. 个B. 个C. 个D. 个【解析】【分析】根据复合命题真假关系和奇函数定义等知识，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于①，恒成立，故①正确；对于②，当时，，可得成立，故②正确；对于③，若命题是真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误；对于④，令，则，可得是奇函数，故④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假判断，考查了全称､特称命题的真假判断及复合命题的真假关系，还考查了函数奇偶性判断，属于基础题．5.正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算.【详解】容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标故正方体外接球半径为故故选：A.【点睛】本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题.6.已知向量，，，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为，，，可得，即可求出的值，然后根据的范围，利用同角三角函数间的关系求出得到的值，即可求得答案.【详解】，，，即故：．又，，，故选：B【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握向量数量积公式和三角函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为8.已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】【分析】由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正周期为,所以,则平移后的图像的解析式为,此时函数是奇函数,所以,则,因为,当时,,所以,令,则,即对称点为；令,则对称轴为,当时,，故选：D【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性9.若正数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．【详解】解:，,当且仅当,又,解得时取等号.所以D选项是正确的.【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型：，，10.如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则点到平面的距离（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用线面角，解得长度，利用等体积法求解即可.【详解】根据题意因为，所以平面BCD故因为，可得平面，则在平面上的射影与在一条直线上，故直线与平面所成角度即为在中：，故可得故，设点到平面的距离即整理得：解得故选：B.【点睛】本题考查线面垂直的判定，以及等体积法求点到面的距离，属综合题.11.已知点，，若圆上存在不同的两点，，使得，且，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，即可求得答案.【详解】，，圆圆的方程可以表示为故：圆心，半径．，点，点在以线段为直径的圆上，圆心坐标是,即，半径圆上存在不同的两点使得，，两圆相交，则两圆的圆心距为：，即解得：的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系求参数范围，解题关键是掌握圆的基础知识和向量的垂直表示，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.已知双曲线的左焦点为F，虚轴的上端点为B，P为双曲线右支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由确定周长的最小值，然后根据题意列出等式，即可求出本题答案.【详解】设双曲线的右焦点为E，由题可得，，因为，当且仅当在同一直线上取等号，则有，所以周长的最小值为，由题意得，，解得.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，数形结合是解决本题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数和复数，则__________.【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出的值，即可求得答案.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查复数乘法运算和两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.若，，，则___________．【答案】3.【解析】【分析】先算出的坐标，然后就可算出答案【详解】因，，所以所以故答案为：3【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.15.某班学生，在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生的平均成绩与学生的成绩的众数相等，则__________．【答案】5【解析】由题意，得，解得.16.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，且顶点在平面上的射影为的外心，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，即可求得答案.【详解】根据题意画出图象：是为的正三角形又顶点在平面上的射影为的外心正三棱锥，，又，分别、中点，，，又，平面，平面，为正方体一部分，，即故答案为：【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）16；（2）.【解析】 【分析】（1）根据复数乘方运算，即可求得答案； （2）根据复数乘方运算，即可求得答案. 【详解】（1）（2）【点睛】本题主要考查了复数乘方运算，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年1月某日起连续天监测空气质量指数()，数据统计如下：空气质量指数()10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的众数和中位数；（3）在空气质量指数分别属于和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，再从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3).【解析】分析：（1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数；（3）气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为的天分别记为，，，；将空气质量指数为的天记为，从中任取天，利用列举法能求出事件“两天空气都为良”发生的概率.解析：（1）∵，∴，∵，∴，；；；.（2）众数为120.中位数为.（3）在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天，在所抽取的天中，将空气质量指数为的天分别记为，，，；将空气质量指数为的天记为，从中任取天的基本事件分别为：，，，，，，，，，共种，其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，共种，所以事件“两天都为良”发生的概率是.点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.19.椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）假设椭圆的方程，根据离心率以及，可得，代点计算，可得结果.（2）先计算直线的方程，然后假设角平分线上任意一点，根据角平分线的点到直线距离相等，简单计算，可得结果.【详解】（I）设椭圆E的方程为由得将代入，有，所以椭圆的方程为.（II）由（I）知所以直线的方程为即直线的方程为由椭圆的图形知的角平分线所在直线的斜率为正数.设为的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去.于是即所以的角平分线所在直线的方程为【点睛】本题考查椭圆的方程以及点到直线的距离，考验分析能力，属中档题.20.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．（Ⅰ）求sin∠DAC；（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得，再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长．△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求．【详解】解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，所以=；因为，0＜∠C＜π，所以；所以；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB，所以，所以 AD2+6AD﹣160=0，即（AD+16）（AD﹣10）=0，解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以 AD=10；在中，由正弦定理得，即，解得CD=15；所以，即．【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理．⑴已知三边，可用余弦定理求角；⑵已知两边一角，可用余弦定理求第三边；⑶已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；⑷已知两角一边，应用正弦定理求边．21.如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图②所示的几何体.（1）求证：平面；（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证平面，只需证明和，即可求得答案；（2）根据已知求得，，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的法向量，即可求得答案.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面，又折叠前后均有，平面（2）（1）知平面，二面角的平面角为又平面，平面，依题意，所以，设则依题意，即解得，故，，如图所示，建立空间直角坐标系则，，，，，由（1）知平面的一个法向量设平面的法向量为由，得令，得，，为平面的一个法向量由图可知二面角的平面角为锐角二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判定定理和向量法求二面角的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22.已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心对称点为，点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.①求证：不可能是钝角；②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标：否则，说明理由.【答案】（1）；（2）①证明见详解；②存在，.【解析】【分析】（1）设出E点的坐标，根据EF中点为M，MF的距离等于M 点纵坐标的绝对值，整理化简即可求得；（2）①将证明钝角的问题，转化为是否可以成立的问题，从而进行证明；②假设存在这样的点，则C点到AB中点的距离等于，据此求解.【详解】（1）设，由在圆上，且点关于圆心的对称点为.故所以，则化简得，所以曲线的方程为（2）①设直线：，，，，所以，，，，+1故不可能为钝角②假设存在这样的点，设中点为由①知由，故得所以又由，得所以存在点满足题意.【点睛】本题考查曲线方程的求解，涉及证明角度为钝角的转换，弦长的求解，属抛物线综合经典题型.2019-2020学年高二数学3月月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝( )A. 2B. 3C. 2D. 3【答案】A【解析】由题图可知，z1＝－2－i，z2＝i，则z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故选A.2.为研究两变量和的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线和，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A. 与重合B. 与平行C. 与交于点（，）D. 无法判定与是否相交【答案】C【解析】解：由线性回归方程的概念可知方程必定过样本中心点，因此相交于点，选C3.已知为平面，为直线，下列命题正确的是( )A. ，若，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.4.下列命题中真命题的个数有( )①,；②，；③若命题是真命题，则是假命题；④是奇函数A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据复合命题真假关系和奇函数定义等知识，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于①，恒成立，故①正确；对于②，当时，，可得成立，故②正确；对于③，若命题是真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误；对于④，令，则，可得是奇函数，故④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假判断，考查了全称､特称命题的真假判断及复合命题的真假关系，还考查了函数奇偶性判断，属于基础题．5.正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算.【详解】容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标故正方体外接球半径为故故选：A.【点睛】本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题.6.已知向量，，，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为，，，可得，即可求出的值，然后根据的范围，利用同角三角函数间的关系求出得到的值，即可求得答案.【详解】，，，即故：．又，，，故选：B【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握向量数量积公式和三角函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为8.已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】【分析】由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正周期为,所以,则平移后的图像的解析式为,此时函数是奇函数,所以,则,因为,当时,,所以,令,则,即对称点为；令,则对称轴为,当时,，故选：D【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性9.若正数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．【详解】解:，,当且仅当,又,解得时取等号.所以D选项是正确的.【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型：，，10.如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则点到平面的距离（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用线面角，解得长度，利用等体积法求解即可.【详解】根据题意因为，所以平面BCD故因为，可得平面，则在平面上的射影与在一条直线上，故直线与平面所成角度即为在中：，故可得故，设点到平面的距离即整理得：解得故选：B.【点睛】本题考查线面垂直的判定，以及等体积法求点到面的距离，属综合题.11.已知点，，若圆上存在不同的两点，，使得，且，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，即可求得答案.【详解】，，圆圆的方程可以表示为故：圆心，半径．，点，点在以线段为直径的圆上，圆心坐标是,即，半径圆上存在不同的两点使得，，两圆相交，则两圆的圆心距为：，即解得：的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系求参数范围，解题关键是掌握圆的基础知识和向量的垂直表示，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.已知双曲线的左焦点为F，虚轴的上端点为B，P为双曲线右支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由确定周长的最小值，然后根据题意列出等式，即可求出本题答案.【详解】设双曲线的右焦点为E，由题可得，，因为，当且仅当在同一直线上取等号，则有，所以周长的最小值为，由题意得，，解得.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，数形结合是解决本题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数和复数，则__________.【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出的值，即可求得答案.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查复数乘法运算和两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.若，，，则___________．【答案】3.【解析】【分析】先算出的坐标，然后就可算出答案【详解】因，，所以所以故答案为：3【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.15.某班学生，在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生的平均成绩与学生的成绩的众数相等，则__________．【答案】5【解析】由题意，得，解得.16.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，且顶点在平面上的射影为的外心，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，即可求得答案.【详解】根据题意画出图象：是为的正三角形又顶点在平面上的射影为的外心正三棱锥，，又，分别、中点，，，又，平面，平面，为正方体一部分，，即故答案为：【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）16；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数乘方运算，即可求得答案；（2）根据复数乘方运算，即可求得答案.【详解】（1）（2）【点睛】本题主要考查了复数乘方运算，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年1月某日起连续天监测空气质量指数()，数据统计如下：空气质量指数()10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的众数和中位数；（3）在空气质量指数分别属于和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，再从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3).【解析】分析：（1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数；（3）气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为的天分别记为，，，；将空气质量指数为的天记为，从中任取天，利用列举法能求出事件“两天空气都为良”发生的概率.解析：（1）∵，∴，∵，∴，；；；.（2）众数为120.中位数为.（3）在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天，在所抽取的天中，将空气质量指数为的天分别记为，，，；将空气质量指数为的天记为，从中任取天的基本事件分别为：，，，，，，，，，共种，其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，共种，所以事件“两天都为良”发生的概率是.点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.19.椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）假设椭圆的方程，根据离心率以及，可得，代点计算，可得结果.（2）先计算直线的方程，然后假设角平分线上任意一点，根据角平分线的点到直线距离相等，简单计算，可得结果.【详解】（I）设椭圆E的方程为由得将代入，有，所以椭圆的方程为.（II）由（I）知所以直线的方程为即直线的方程为由椭圆的图形知的角平分线所在直线的斜率为正数.设为的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去.于是即所以的角平分线所在直线的方程为【点睛】本题考查椭圆的方程以及点到直线的距离，考验分析能力，属中档题. 20.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB=14，BD=6，∠ADC=，．（Ⅰ）求sin∠DAC；（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）在中，已知∠ADC=，，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得，再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长．△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求的面积即可得所求．【详解】解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠DAC=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=，所以=；因为，0＜∠C＜π，所以；所以；（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB，所以，所以 AD2+6AD﹣160=0，即（AD+16）（AD﹣10）=0，解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以 AD=10；在中，由正弦定理得，即，解得CD=15；所以，即．【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理．⑴已知三边，可用余弦定理求角；⑵已知两边一角，可用余弦定理求第三边；⑶已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；⑷已知两角一边，应用正弦定理求边．21.如图①，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图②所示的几何体.。
2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题理(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列中，若，则的值等于（）A. 45B. 75C. 300D. 180【答案】D【解析】试题分析：由已知得，故选D．考点：等差数列的性质．2.在中，若，则角A为（）A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，求得，进而求得角的值，得到答案.【详解】在中，因为，由正弦定理可得，又由，则，所以，又因为，所以或.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.3.a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )A a2＞－a3＞－a B. －a＞a2＞－a3C. －a3＞a2＞－aD. a2＞－a＞－a3【答案】B【解析】试题分析：由已知中a2+a＜0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a3，a2，-a，-的大小关系．解：因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以-1＜a＜0，根据不等式的性质可知－a＞a2＞－a3，故选B.考点：不等式比较大小点评：本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a的范围是解答的关键4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．5.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．6.在中，角所对的边分．若，则（）A. -B.C. -1D. 1【答案】D【解析】试题分析：由得考点：正弦定理及同角间的三角函数关系点评：正弦定理可实现三角形边与角的互相转化，同角间三角函数关系7.若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )A. 102B. 101C. 100D. 99【答案】A【解析】由，得，所以数列是公比为的等比数列，又，所以，所以，故选A．8.若实数x、y满足，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由满足的约束条件画出可行域，如图：目标函数表示区域内的动点与定点连线的斜率由图可知是最小值，故的取值范围是故答案选点睛：线性规划转化为几何意义，转化为可行域内的点到点连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．9.满足约束条件，若目标函数最大值为12，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】分析】利用线性规划求得，从而，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分（包含边界），由直线，可得，由，可得，当直线过点时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，此时目标函数取得最大值12，即，即，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为4.故选：C.【点睛】本题主要考查了线性规划问题和基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中准确画出不等式组所表示的平面区域，求得的关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.10.定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得出对任意实数都成立，由判别式小于0求解即可.【详解】不等式可化为，即对任意实数都成立，，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.11.钝角三角形的三边为，，，其最大角不超过，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴，解得，故选B．点睛：在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点.12.已知函数，若任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的的单调性求出是单调递减函数，利用导数判断为增函数，再根据题意的最小值大于等于的最小值即可求解.【详解】由于是单调递减函数，故是单调递减函数，由于，故的最小值为，对求导得，令，可得，且时，为增函数，故最小值为，要使得，则有，解得.故选：A【点睛】本题考查了指数函数的单调性、利用导数求函数的最值、含有一个量词的不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.在△ABC中，若a＝，cosC＝，S△ABC＝，则b＝________．【答案】【解析】由cosC=，得sinC=，所以S△ABC=absinC=××b×=4，所以b=.14.已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．【答案】110【解析】【详解】由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10= =80+80+25d=160﹣50=110故答案为110点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．15.设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．【答案】18【解析】试题分析：根据题意，由于点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，，则可知2x+y=4，由于9x＋3y，故可知当y=2,x=1时取得等号，故答案为18.考点：均值不等式点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题．16.设为正数，，则的最大值是___________【答案】【解析】【分析】根据柯西不等式直接求最值.【详解】当且仅当时取等号，即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题(本大题共6小题，共70分.)17.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．【答案】（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k 的值．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18.在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc.求∠A的大小及的值．【答案】∠A＝60°，【解析】试题分析：由题意得代入原式，求得，进而根据余弦定理，求得的值，进而得到角，再把和的值代入正弦定理，即可求解的值．试题解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴∠A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得sin B＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴＝＝sin 60°＝.19.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.【答案】见解析【解析】【分析】将不等式化为(ax－1)(x－1)<0，再对的取值范围讨论，分类解不等式.【详解】原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0当a＝0时，原不等式解为x>1.当a<0时，不等式可化为，∵，∴或x>1.当a>0时，原不等式可化为若，即a>1，则；若，即a＝1，则；若，即0<a<1，则.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为或；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式解集为；当a＝1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围讨论，分类解不等式，属于中档题.20.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，求其并集得结果；（2）先讨论为零的情况，再对不为零的情况分离变量，利用绝对值三角不等式求最小值，解得结果.【详解】（1）或或或或，或或，即解集为或（2）当时，当时，因为，所以综上，【点睛】本题考查分类讨论法解含绝对值不等式、利用绝对值三角不等式求最值，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.21.已知不等式的解集为（1）求实数的值；（2）若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，根据韦达定理解得实数的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】（1）由题意得为方程的根，所以，（2）因为函数在区间上递增，所以，因此由得,,,即.【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.22.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B处追上渔船.（1）试问舰艇应按照怎样的航向前进？（2）求出舰艇靠近渔船所用的时间？(参考数据：)【答案】（1）舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进（2）舰艇靠近渔船所用的时间为小时【解析】【分析】（1）设舰艇靠近渔船所用的时间为小时，则，根据渔船在方位角为45°，渔船正沿方位角105°的方向行驶，得到，利用正弦定理求得即可.（2）在中，结合（1）的结论，利用余弦定理求解即可.【详解】设舰艇靠近渔船所用的时间为小时，则，结合图形可知，，则.（1）由正弦定理得，，即，，，，舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进.（2）在中，，即，解得或(不合题意，舍去)，舰艇靠近渔船所用的时间为小时.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期第三次月考试题理（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列中，若，则的值等于（）A. 45B. 75C. 300D. 180【答案】D【解析】试题分析：由已知得，故选D．考点：等差数列的性质．2.在中，若，则角A为（）A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，求得，进而求得角的值，得到答案.【详解】在中，因为，由正弦定理可得，又由，则，所以，又因为，所以或.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.3.a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )A a2＞－a3＞－a B. －a＞a2＞－a3C. －a3＞a2＞－aD. a2＞－a＞－a3【答案】B【解析】试题分析：由已知中a2+a＜0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a3，a2，-a，-的大小关系．解：因为a2+a＜0，即a（a+1）＜0，所以-1＜a＜0，根据不等式的性质可知－a＞a2＞－a3，故选B.考点：不等式比较大小点评：本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a的范围是解答的关键4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．5.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B．考点：余弦定理；三角形的面积公式．6.在中，角所对的边分．若，则（）A. -B.C. -1D. 1【答案】D【解析】试题分析：由得考点：正弦定理及同角间的三角函数关系点评：正弦定理可实现三角形边与角的互相转化，同角间三角函数关系7.若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为( )A. 102B. 101C. 100D. 99【答案】A【解析】由，得，所以数列是公比为的等比数列，又，所以，所以，故选A．8.若实数x、y满足，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由满足的约束条件画出可行域，如图：目标函数表示区域内的动点与定点连线的斜率由图可知是最小值，故的取值范围是故答案选点睛：线性规划转化为几何意义，转化为可行域内的点到点连线的斜率，先画出可行域，然后计算出斜率范围．9.满足约束条件，若目标函数最大值为12，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】C【解析】分析】利用线性规划求得，从而，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示的阴影部分（包含边界），由直线，可得，由，可得，当直线过点时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，此时目标函数取得最大值12，即，即，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为4.故选：C.【点睛】本题主要考查了线性规划问题和基本不等式求解函数的最值问题，其中解答中准确画出不等式组所表示的平面区域，求得的关系式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.10.定义在上的运算：.若不等式对任意实数都成立，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得出对任意实数都成立，由判别式小于0求解即可.【详解】不等式可化为，即对任意实数都成立，，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.11.钝角三角形的三边为，，，其最大角不超过，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】钝角三角形的三边分别是a，a+1，a+2，其最大内角不超过120°，∴，解得，故选B．点睛：在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点.12.已知函数，若任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的的单调性求出是单调递减函数，利用导数判断为增函数，再根据题意的最小值大于等于的最小值即可求解.【详解】由于是单调递减函数，故是单调递减函数，由于，故的最小值为，对求导得，令，可得，且时，为增函数，故最小值为，要使得，则有，解得.故选：A【点睛】本题考查了指数函数的单调性、利用导数求函数的最值、含有一个量词的不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.在△ABC中，若a＝，cosC＝，S△ABC＝，则b＝________．【答案】【解析】由cosC=，得sinC=，所以S△ABC=absinC=××b×=4，所以b=.14.已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．【答案】110【解析】【详解】由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10= =80+80+25d=160﹣50=110故答案为110点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．15.设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．【答案】18【解析】试题分析：根据题意，由于点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，，则可知2x+y=4，由于9x＋3y，故可知当y=2,x=1时取得等号，故答案为18.考点：均值不等式点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题．16.设为正数，，则的最大值是___________【答案】【解析】【分析】根据柯西不等式直接求最值.【详解】当且仅当时取等号，即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题(本大题共6小题，共70分.)17.已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．【答案】（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18.在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc.求∠A的大小及的值．【答案】∠A＝60°，【解析】试题分析：由题意得代入原式，求得，进而根据余弦定理，求得的值，进而得到角，再把和的值代入正弦定理，即可求解的值．试题解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴∠A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得sin B＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴＝＝sin 60°＝.19.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.【答案】见解析【解析】将不等式化为(ax－1)(x－1)<0，再对的取值范围讨论，分类解不等式.【详解】原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0当a＝0时，原不等式解为x>1.当a<0时，不等式可化为，∵，∴或x>1.当a>0时，原不等式可化为若，即a>1，则；若，即a＝1，则；若，即0<a<1，则.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为或；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式解集为；当a＝1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围讨论，分类解不等式，属于中档题.20.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，求其并集得结果；（2）先讨论为零的情况，再对不为零的情况分离变量，利用绝对值三角不等式求最小值，解得结果.【详解】（1）或或或或，或或，即解集为或（2）当时，当时，因为，所以综上，【点睛】本题考查分类讨论法解含绝对值不等式、利用绝对值三角不等式求最值，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.21.已知不等式的解集为（1）求实数的值；（2）若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，根据韦达定理解得实数的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】（1）由题意得为方程的根，所以，（2）因为函数在区间上递增，所以，因此由得,,,即.【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.22.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角105°的方向，以9海里/时的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，恰在小岛B处追上渔船.（1）试问舰艇应按照怎样的航向前进？（2）求出舰艇靠近渔船所用的时间？(参考数据：)【答案】（1）舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进（2）舰艇靠近渔船所用的时间为小时【解析】【分析】（1）设舰艇靠近渔船所用的时间为小时，则，根据渔船在方位角为45°，渔船正沿方位角105°的方向行驶，得到，利用正弦定理求得即可.（2）在中，结合（1）的结论，利用余弦定理求解即可.【详解】设舰艇靠近渔船所用的时间为小时，则，结合图形可知，，则.（1）由正弦定理得，，即，，，，舰艇应按照北偏东66.8°的航向前进.（2）在中，，即，解得或(不合题意，舍去)，舰艇靠近渔船所用的时间为小时.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
湖北省枣阳市白水高级中学高二数学3月月考试题 理(无答案)
湖北省枣阳市白水高中2015年高二月考数学试题高二数学（理）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：1.已知集合22{|20},{|l g (1)}A x x x B x y o x =-≤==-,则AB = （ ） A ．{|12}x x ≤< B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤2.双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 3.在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A .12B .14C .16D .184．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） X|KC ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π8.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ）（A ）3x –4y =0, 且x ＞0 （B ）4x –3y =0, 且0≤y ≤4（C ）4y –3x =0,且0≤x ≤3 （D ）3y –4x =0,且y ＞09.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3 10.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：任意(,),22x y D x y ∈+≥-，2p ：存在(,),22x y D x y ∈+≥,3P ：任意(,),23x y D x y ∈+≤，4p ：存在(,),21x y D x y ∈+≤-.其中真命题是（ ） A .2p ，3P B .1p ， 4p C .1p ，2p D .1p ，3P11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的每条棱中，最长的棱的长度为（ ）A .B .C .6D .412.我们把离心率为e =的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>称为黄金双曲线，如图，12,A A 是双曲线的实轴端点，12,B B 是虚轴的端点，12,F F 是焦点，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于,M N 两点，给出以下几个说法： ①双曲线221x =是黄金双曲线；②若2b ac =（c 是双曲线的半焦距），则该双曲线是黄金双曲线；③若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线；④若90MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线.其中所有正确的说法是（ ）.A ①②④ .B ①②③ .C ②③④ .D ①②③④二、填空题13.已知θ∈(0, π2), 方程x 2sin θ + y 2cos θ=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则θ的取值范围是 .14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为______________15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取值范围是______________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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湖北省枣阳市白水高中2019-2020学年度下学期高二年级3月月考数学（理科）试题本试卷两大题22个小题，满分150分，考试时间120分钟★ 祝考试顺利 ★第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ”B ．若q p ∨为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：R ∈∀x ，012≠++x x ，则p ⌝：R ∈∃x ，012=++x x D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件2．用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a 、b 、c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ） A ．a 、b 、c 三个实数中最多有一个不大于零 B ．a 、b 、c 三个实数中最多有两个小于零 C ．a 、b 、c 三个实数中至少有两个小于零 D ．a 、b 、c 三个实数中至少有一个不大于零3．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 是棱1DD 的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11B A 中点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为（ ） A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 5．抛物线28x y =的焦点F 的坐标是（ ）A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2) 6．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,1-上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．48．数学归纳法证明(1)(2)()213(21n n n n n n ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-*()n N ∈成立时，从n k =到1n k =+左边需增加的乘积因式是（ ）A ．2(21)k +B ．211k k ++ C ．21k + D ．231k k ++ 9．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =（ ） A ．43 B. 73 C. 83 D. 183 10．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2-D ．9211．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（ ）．A B ．23D 12．已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，∆PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是（ ） （A ）（19，+∞） （B ）（15，+∞） （C ）（13，+∞） （D ）（0，+∞）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．数列｛n a ｝中，5,2,2121==-=++a a a a a n n n ，则5a 为___________.14．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于 ． 15．如图，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP ，AE，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．16．平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 ．三、解答题（70分）17．（本题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到准线l 的距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点，求线段FP 的中点M 的轨迹方程. 18．（本题12分）已知等差数列{}n a 首项11a =，公差为d ，且数列{}2na 是公比为4的等比数列，（1）求d ；（2）求数列{}n a 的通项公式na 及前n 项和nS ；（3）求数列11{}n n a a +⋅的前n 项和n T．19．（本题12分）（本题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，O 为AC 与BD 的交点， E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角B AE C --的大小为45，求:PD AD 的值． 20．（本题12分）已知数列{}n a 中，*111,()3nn n a a a n N a +==∈+ （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足(31)2n n n nn b a =-⋅⋅，求数列{}nb 的前n 项和为nT ． 21．（本题12分）在直三棱柱111C B A ABC -中， AB BC ⊥， D 为棱1CC 上任一点．（1）求证：直线11A B ∥平面ABD ；（2）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B ．22．（本题12分）如图，已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫P ⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）AB 是经过椭圆右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案1．B【解析】对于A 选项，根据逆否命题的定义知，命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ”，所以A 选项正确；对于B 选项，若q p ∨为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，所以B 选项错误；对于C 选项，根据含有量词的命题的否定可知p ⌝：x ∃∈R ，012=++x x ，所以C 选项正确； 对于D 选项，由0232>+-x x 得2>x 或1<x ，所以“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件，所以D 选项正确． 故选B ．【命题意图】本题考查命题的概念、充分条件与必要条件、含有一个量词的命题的否定等基础知识，意在考查基本运算能力及逻辑推理能力． 2．C 【解析】试题分析：本题中运用反证法：首先要假设结论的反面；如结论出现“三个最多有一个”，反设应为“三个至少有两个”．即：“补集思想” 考点：反证法中的设． 3．C 【解析】试题分析：如图，设N 是AD 中点，由正方体易知1A N 是OP 在平面11ADD A 上的射影，且1//A N OP ，在正方形11ADD A ，由于M 是1DD 中点，可证1AM A N ⊥，所以AM OP ⊥，因此所求角为90°．故选C ．N M POB 1C 1D 1A 1CBD A考点：异面直线所成的角． 4．D 【解析】试题分析：由条件：735S =，1777()35,2a a S +==1710a a +=． 3812913a a a d +=+=，1712610a a a d +=+=，解得：172,18a d a ==∴=考点：等差数列由条件求某一项注意把握基本量． 5．D 【解析】试题分析：本题已知：28x y =，则:28,4,22pp p ===，又焦点在y 轴的正半轴上得：(0,2) 考点：已知抛物线方程求焦点坐标． 6．A 【解析】试题分析：由零点判定定理可得：(1)(1)0f f -⋅≤，即：(3)(3)0,a a -+⋅+≤33a a ≤-≥得或． 由4(1)(1)0a f f <-⇒-⋅≤，反之推不出．为充分不必要条件 考点：零点判定定理及充要条件的判断． 7．B 【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y .则因为AB 的中点的横坐标为 3.即12123.62x x x x +=∴+=.又因为12AB x x p =++.因为p=2.所以AB =2+6=8.故选B.本题关键是利用抛物线的定义.把过焦点弦长的转化为两端的坐标表示形式.考点：1.梯形的中位线定理.2.抛物线的焦点弦公式.3.抛物线的定义. 8．A 【解析】试题分析：本题中主要涉及数学归纳法的第二步中从n k =到1n k =+时；项数的变化， 由n=k 时 ：(1)(2)()213(21)k k k k k k ++⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-11,(1)(2)()(22)213(21)(21)k n k k k k k k k k +=+++⋅⋅++=⨯⨯⨯⨯-+时：增加因式为2(21)k +考点：数学归纳法． 9．C 【解析】试题分析：依题意2AB BC c ==，22AC a c =-，在ABC △中，由余弦定理得222(22)824a c c c -=-⨯7()18⨯-，故2161890e e +-=，解得38e =. 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、椭圆的定义；3、余弦定理. 10．A 【解析】 试题分析：由题：1331,,a a a 成等比数列，得：223113a a a ,(12d)112d,d 0d 2=⋅+=+≠∴=22n n 2S 16n 8(n 1)2(n 1)9a 3n 1n 19(n 1)224n 1+++-++==+++=++-≥=+当911n n +=+时2n =，时成立，得最小值为4． 考点：等差与等比数列及均值不等式的综合运用． 11．C 【解析】试题分析：本题建立如图所示的空间直角坐标系； 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C 1（0，1，2），设点P 的坐标为（0，λ，2λ），λ∈[0，1]，点Q 的坐标为（1－μ，μ，0），μ∈[0，1]，∴PQ ＝＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ 的长度取得最小值．考点：运用空间坐标化为代数的最值问题用配方法解决． 12．C 【解析】试题分析：椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为根据题意：，因为在等腰三角形中，，所以，所以，，得：1213e e ⋅>考点：椭圆与双曲线的方程及几何性质的综合运用． 13．19 【解析】试题分析：由已知可得21n n n a a a ++=+，所以3217a a a =+=，43212a a a =+=，54319a a a =+=。