场论
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§2 场论初步
一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z),它在此空间区域
D上就构成一个标量场,用点M(x,y,z)的标函数(x,y,z)表示.若M的位置用矢
径r确定,则标量可以看作变矢r的函数=(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个矢量值R(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个矢量场,用点M(x,y,z)的矢量函数R(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r):
R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k
例如流速场(x,y,z),电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)都是矢量场.
与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad=(,,)==i+j+k
式中=i+j+k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中
记作del.
grad的方向与过点(x,y,z)的等量面=C的法线方向N重合,并指向
增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于.
梯度具有性质:
grad(+)=grad+grad(、为常数)
grad()=grad+grad
grad F()=
[方向导数]
=l·grad=cos+cos+cos
式中l=(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角. 方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影. [散度]
div R=++=·R=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质:
div(a+b)=div a+div b(、为常数)
div(a)=div a+a grad
div(a×b)=b·rot a-a·rot b
[旋度]
rot R=()i+()j+()k=×R=
式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot R有的书刊中记作curl R.
旋度具有性质:
rot(a+b)=rot a+rot b(、为常数)
rot(a)=rot a+a×grad
rot(a×b)=(b·)a-(a·)b+(div b)a-(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad,
运算div作用到一个矢量场R产生标量场div R,运算rot作用到一个矢量场R 产生新的矢量场
rot R.这三种运算的混合运算公式如下:
div rot R=0
rot grad=0
div grad=++=
grad div R=(R)
rot rot R=×(×R)
div grad(+)=div grad+div grad(、为常数)
div grad()=div grad+div grad +2grad·grad
grad div R-rot rot R=R
式中为哈密顿算子,=·=2为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场R(x,y,z)是某一标函数(x,y,z)的梯度,即
R=grad或X=,Y=,Z=
则R称为势量场,标函数称为R的势函数.
矢量场R为势量场的充分必要条件是:rot R=0,或
=,=,=
势函数计算公式
(x,y,z)=(x
,y0,z0)++
+
[无散场(管形场)] 若矢量场R的散度为零,即div R=0,则R称为无散场.这时必存在一个无散场T,使R=rot T,对任意点M有
T=
式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场R的旋度为零,即rot R=0,则R称为无旋场.势量场
总是一个无旋场,这时必存在一个标函数,使R=grad,而对任意点M有
=-
式中r为d V到M的距离,积分是对整个空间进行的.