场论
场论课件
x
f (r ) y f ( r ) z f (r ) , f (r ) y r z r f (r ) f (r ) f (r ) grad f (r ) j k i z P y z x r 1 f (r ) ( x i y j z k ) o r y 1 x f (r ) r f (r ) r 0 r
由于
div r div( x i y j z k ) 3 xyz xyz grad grad e e ( yz i xz j xy k )
所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
u 所以 n
M
u u u ( cos cos cos ) x y z
在任一点M(x, y, z)的散度为
证明： 由奥-高公式 A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
P Q R ( )dv x y z
又由中值定理得
P Q R P Q R V ( ) dV x y z x y z M *
指向数量场 在点 M 处的法向量，
M
u(M) 增大的一方.
u C
矢量场 grad u 称为由数量场u产生的梯度场. 注：
运算公式
(2) (Cu) Cu
(4) (uv) uv vu
u vu uv (5) ( ) v v2
例3.
处矢径 r 的模 , 试证
场论名词解释传播学
场论名词解释传播学
传播学是一门研究人类信息传播过程、传播媒介与传播效果的综
合性学科。
其主要研究内容包括：信息传播的过程、渠道和方式；传
播对象、受众及其反应；传播媒介的特点和影响；传播效果的评估等。
在传播学的研究范畴中，常涉及到以下概念：
1.传播过程：指信息在传播渠道中的传递和交互过程，包括信息源、媒介、受众、语境等环节。
2.受众：指接受信息的人群或个体，是传播的最终目标和关键环节，其特点和反应对传播效果具有重要影响。
3.媒介：指传播信息的载体，包括口头交流、书籍、报刊、广播
电视、互联网等。
4.语境：指信息传播所处的背景、环境和历史条件，对信息的产生、传播和接受产生重要影响。
除此之外，传播学还涉及到相关的理论模型、方法论、策略设计等方面，可以为社会、企业、政府等各类组织提供决策参考和管理依据。
场论
，称之为数量场 u( M ) 在
u u u u cos cos cos l x y z ˆ (cos ,cos ,cos ) l
例题
例1 求函数 u
x y z 在点M (1,0,1)处沿
2 2 2
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
当div A 0，表示该点为无源场。
散度(Divergence)的表达式 定理 设矢量场A(x, y, z )
重 点
则 A ( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
将s分成许多足够小的面元ds ，
于是
θ
v
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
定义 向量场
v ds
s
A沿选定方向的曲面S的面积分
称为
S ( 定侧 )
A dS
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
推论2
若处处散度为0，则通量为0.
推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点 （或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常 数。
电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量， 等于其内各点电荷的代数和。
高斯定理
s
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
场论知识点整理
*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。
场论和宏观场论-概述说明以及解释
场论和宏观场论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下信息：场论是物理学和数学中的一个重要分支，它研究的是各种物理量的时空分布，并描述它们随时间和空间的变化规律。
场论的引入使我们能够更好地理解自然界中的各种现象，并为我们提供了解释和预测宏观世界的新方法。
本文将重点介绍场论以及它在宏观领域的应用，即宏观场论。
场论作为一种研究方法，可以广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学等多个领域。
它的核心思想是将物质和能量视为场的传播和相互作用，从而揭示了宏观世界中复杂现象背后的规律。
在场论中，我们将物理量视为场，即空间中的标量场、矢量场或张量场。
这些场可以是连续的、定态的，也可以是随时间和位置变化的动态场。
而场的性质和特点则决定了它们所描述的物理现象的行为和规律。
宏观场论则是将场论的方法应用于大尺度、大体积的系统中，以研究其宏观性质和行为。
宏观场的概念引入了统计物理的思想，通过对大量微观粒子的平均行为进行描述，从而揭示宏观系统的宏观行为和宏观规律。
宏观场论在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用。
在物理学中，它被用来描述电磁场、引力场、量子场等各种场的相互作用和传播规律。
在化学中，它被用来研究物质的相变、反应动力学等宏观性质。
在生物学中，它被用来分析生物体内的电信号传导、化学信号传递等过程。
通过本文的研究，我们将深入探讨场论和宏观场论的重要性，并展望未来的发展方向。
希望通过对场论和宏观场论的探索，我们能够更好地理解和解释自然界中的各种现象，为人类社会的发展提供新的思路和方法。
文章结构部分的内容可以描述文章的整体框架和各个章节的内容安排。
可以参考以下内容：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述场论和宏观场论的相关内容：第一部分：引言在引言中，我们将首先概述场论和宏观场论的背景和发展，介绍它们在物理学、社会科学和生物学等领域的应用。
然后，我们将简要叙述本文的结构，概括各个章节的内容，以便读者对全文有一个整体的了解。
第一章 场论和张量初步
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
麦克斯韦方程组 场论
麦克斯韦方程组场论
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础方程，它描述了电磁场的运动规律和相互作用。
麦克斯韦方程组一共包含四个方程，分别是：
1. 高斯定律（电场通量定律）：它描述了电场与电荷之间的相互作用关系，即电场通过一个闭合曲面的总通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数。
2. 高斯定律（磁场通量定律）：它描述了磁场与磁荷之间的相互作用关系，即磁场通过一个闭合曲面的总通量为零。
3. 法拉第电磁感应定律：它描述了磁场变化引起的感应电场，即磁场的变化率与感应电场的关系。
4. 安培环路定律：它描述了电流和磁场之间的相互作用关系，即沿着一条闭合回路的磁场总和等于该回路内的电流总和乘以真空磁导率。
这四个方程可以同时描述电磁场的静态和动态行为，从而提供了对电磁现象的完整描述。
场论则是基于麦克斯韦方程组发展起来的一种物理学理论，它将电磁场看作是一个实体，具有能量和动量等性质，通过场方程描述其运动和相互作用。
场论在粒子物理学、相对论和量子力学等领域都有广泛的应用。
场论的发展史
场论的发展史场论是一种认知和思维方法，根据不同的环境和背景来理解和处理问题。
它的出现使得世界变得更加复杂，也更加完美。
场论从古代演变至今，在不同的历史阶段发展出自己独特的思维模式，它的发展史也就是如此。
古代场论起源于中国，最先出现在先秦时期，早在“墨子”和“管子”这些古代思想家的作品中就有一些概念。
在古代中国，场论的任务是思索人的关系，试图从社会结构出发，明确人与社会间的关系，或者用来解释执政者与被统治者之间的关系。
古代场论在中国有着长期的发展历史，从先秦的墨子到明代的王国维，以及近代的马克思主义场论，都有不同的支持者和发展者。
从中世纪起，场论拓展到了欧洲，特别是由斯宾诺莎提出的“表象学”和“本体论”，在当时引起了巨大的反响。
斯宾诺莎将古典哲学中“本体论”的思想引入欧洲文化，并在此基础上建立了自己的学说，从而使得欧洲的学术文化融合了古典和中国的思想，成为现代文化的基础。
从19世纪到20世纪初，场论在西方发展迅猛，重要人物包括爱默生、沃尔夫、哈贝马斯等，它们将“表象”和“本体”的思想引入了西方哲学，也催生了20世纪数学和物理学的发展，成为现代科学的基础。
20世纪初，在爱因斯坦的努力下，相对论和量子力学极大拓展了场论的领域，令人们对宇宙的认识更加深入。
20世纪50年代，“场论的新视角”随着爱因斯坦的思想不断发展，使得场论发展到了一个新的阶段。
而从20世纪50年代到现在，科学家们不断追求更深入的理论，以此来解释自然界运行的规律，这也是场论发展的基础。
由此可见，从古代到现在，场论的发展史一直在发展，从不同的历史阶段演变而来的思维模式不断完善，让我们更好地理解自然界。
场论的发展对于我们当今的社会来说无可替代，我们受它影响的程度无可置疑。
场论在很高的程度上改变了我们的认知方式，促进了复杂的问题的解决，从而帮助我们进步和进化。
场论的发展让人们对世界有更有深入理解，也让我们可以跳出自我，站在宇宙的更高一层视角，从而实现个人更大的意义。
勒温场论的主要内容
勒温场论的主要内容
答案
美国心理学家勒温在大量研究的基础上提出了个人绩效与本人能力素质、工作环境的函数关系，即员工个人的工作绩效不仅受员工个人的职业素质与能力影响，还受员工个人所处的工作环境，也就是员工个人所处的“场”的密切影响，而且，这个“场”对员工工作绩效的影响作用更大，影响着员工职业素质与能力的发挥。
当员工所处的“场”不能令满意时，员工会想办法改变这个“场”对他的影响。
勒温的场论告诉我们：要减少员工（尤其是核心员工）的流动，提高员工的工作绩效，就要在组织的工作环境改善上下工夫，增强组织的“场”对员工（尤其是核心员工）的吸引力和凝聚力。
场论的相关数学理论
1 / 27场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
名词解释 勒温的场论
名词解释勒温的场论勒温的场论是一种物理学中常用的理论框架，用于描述粒子与场的相互作用。
它是量子场论的一种具体形式，由法国物理学家雅克·勒温于1940年提出，被广泛应用于粒子物理学、凝聚态物理学、宇宙学等领域。
勒温的场论基于量子力学和相对论的原理，将粒子视为场的激发态。
根据量子力学的波粒二象性，所有物质粒子都可以看作是场的激发，而这个场则是由相应的粒子场算符所描述的。
粒子的属性，如质量、自旋以及电荷等，通过场算符的性质来确定。
场的演化遵循勒温的场方程，这是一个偏微分方程，描述了场的动力学行为。
这个方程是通过将经典场方程（如麦克斯韦方程）量子化得到的。
在勒温的场论中，场算符在时间和空间上的演化是由哈密顿量决定的，它包含了场的动能和势能。
通过勒温的场论，我们可以计算场的激发态之间的相互作用，以及与外界场的相互作用。
这些相互作用的过程可以用费曼图表示，其中不同的线代表不同类型的粒子，而顶点则表示相互作用。
勒温的场论在粒子物理学中起着重要的作用。
它可以解释基本粒子的行为，例如电子、质子等，以及它们之间的相互作用。
它还可以描述强相互作用，即核子内部发生的粒子相互作用。
由于勒温的场论具有量子性质，并结合了相对论的效应，因此它在高能物理领域具有重要的地位。
除了粒子物理学外，勒温的场论还在凝聚态物理学和宇宙学中有广泛应用。
在凝聚态物理学中，它可以描述晶格振动和电磁辐射等现象。
在宇宙学中，它被用来研究宇宙早期的演化和宇宙微波背景辐射等。
尽管勒温的场论是一种非常成功的理论框架，但它仍然存在一些问题和挑战。
例如，场的量子化引入了无穷多的激发态，导致无限大的量子涨落。
为了解决这个问题，人们引入了重整化方法，用来处理这些发散。
此外，场论中的相互作用问题也是一个重要的研究方向。
总之，勒温的场论是一种重要的物理学理论，用于描述粒子与场的相互作用。
它在粒子物理学、凝聚态物理学和宇宙学中具有广泛的应用。
尽管存在一些挑战，但勒温的场论为我们理解自然界的基本规律提供了重要的工具。
复变函数与场论
复变函数与场论复变函数与场论是两个数学分支的交叉领域。
复变函数是研究复数域上的函数，而场论是研究场的性质与行为，两者都与物理学有密切关联。
复变函数的研究主要探讨复平面上的函数性质。
复数域的引入扩展了实数域，使得许多看似复杂的计算问题得以简化。
复变函数包括实部和虚部，同时也满足柯西-黎曼方程，这些性质被广泛应用于不同领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
与之相对应的是场论，它研究的是在空间上运动的场。
这些场可能是电场、磁场、重力、声波等。
场波及空间的不同角落，可能受到物体的影响，因此，通过场的性质可以研究不同物体的行为与相互作用。
复变函数和场论两者的研究突出了不同数学思维的异同。
在复变函数中，我们特别注重数学的抽象思维能力，将现实中的问题转化为数学模型进行研究；而在场论中，则更加注重物理学实验和数据指导，以实验和观测结果为基础进行研究和探究。
这两个数学分支有许多交叉点。
在物理学中，场波动和光线传播都采用了这些数学工具。
例如光是一种电磁波，电磁波可以表示为复数解析函数的实部和虚部。
在许多研究领域，复变函数和场论被用于建立数学模型和解决实际问题。
例如在电力工程、机械工程、航空航天等领域中，通过场论研究物体的力学、振动、流体力学等问题；在计算机科学中，复变函数常常用于图像处理、编码和数据压缩等方面。
总之，复变函数和场论都是非常重要的数学分支，在许多领域中发挥着重要作用。
两者的结合为我们提供了更加详尽和全面的数学工具和方法，使我们可以更好地理解和解决实际问题。
场论三定理
场论三定理
场论三定理是场论中的三个重要定理，它们分别是场的唯一性定理、场的存在性定理和场的分解定理。
这三个定理为我们理解和应用场论提供了重要的理论基础。
首先是场的唯一性定理。
这个定理表明，对于给定的边界条件和源项，存在唯一的场解。
也就是说，任何一组给定的边界条件和源项，都对应着唯一的场。
这个定理的意义在于，它保证了场问题的解的存在性和唯一性，为我们进行场问题的建模和求解提供了理论保证。
其次是场的存在性定理。
这个定理说明，对于给定的边界条件和源项，存在一个场解。
也就是说，无论给定的边界条件和源项如何，总是存在一个场解。
这个定理的意义在于，它保证了场问题的解的存在，为我们进行场问题的建模和求解提供了理论依据。
最后是场的分解定理。
这个定理指出，任何一个场都可以表示为一组基场的线性组合。
也就是说，任何一个场都可以表示为一组基场的叠加。
这个定理的意义在于，它将任意场的表示问题转化为基场的表示问题，简化了场问题的求解过程。
场论三定理为我们理解和应用场论提供了重要的理论基础。
场的唯一性定理保证了场问题的解的存在性和唯一性，场的存在性定理保证了场问题的解的存在，场的分解定理简化了场问题的求解过程。
这些定理为我们研究和解决各种场问题提供了有力的工具和方法。
通过深入理解和应用这些定理，我们可以更好地理解和掌握场论的基本概念和理论，进而应用到实际问题中。
场论三大定理
场论三大定理三大定理是数学领域中的重要理论，包括费马大定理、哥德巴赫猜想和四色定理。
下面将以人类的视角为题，通过叙述的方式向读者介绍这三大定理，并展示它们的重要性和影响力。
我们来看费马大定理。
这个定理最早由法国数学家费马提出，他在边注中写道：“我有一种非常美妙的证明方法，可惜这个边注的空间太小，无法容纳。
”这个定理的表述是：当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n在正整数范围内没有解。
费马大定理一度成为数学史上最有名的未解之谜，无数数学家为之奋斗，但直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功证明了这个定理。
费马大定理的证明具有极高的难度和复杂性，它的解决引起了全球范围内的轰动，被誉为“数学界的伟大胜利”。
接下来是哥德巴赫猜想。
这个猜想最早由德国数学家哥德巴赫在1742年提出，他认为任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
这个猜想看似简单，但却一直没有被证明。
直到20世纪末，数学家们才通过计算机的帮助，逐一验证了哥德巴赫猜想直到数百亿的范围，几乎可以确定这个猜想是成立的。
虽然哥德巴赫猜想没有像费马大定理那样引起全球轰动，但它的解决也给数学界带来了巨大的进步。
最后是四色定理。
这个定理是关于地图着色的问题，即任何平面地图可以用四种颜色进行着色，使得任意相邻的地区颜色不同。
这个问题最早由数学家弗朗西斯·加斯顿·爱德华·贝洛克提出，并在1976年由数学家汤姆·阿普尔森和威廉·哈肯成功证明。
四色定理的证明过程相当复杂，涉及到图论和计算机算法等多个数学领域，它的解决使得地图着色问题得到了完美解决，对于计算机科学等领域的发展也产生了重要影响。
三大定理的解决不仅仅在数学领域具有重要意义，它们的背后也反映了人类对于数学的追求和智慧的结晶。
这些定理的证明过程，不仅需要数学家们的才智和毅力，也需要他们对于数学美的感悟和深入思考。
这些定理的解决不仅仅是数学的胜利，更是人类智慧的胜利。
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§2 场论初步
一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域
D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置用矢
径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值R(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数R(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：
R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k
例如流速场(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.
与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad＝(，，)==i＋j＋k
式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中
记作del.
grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向
增加的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于.
梯度具有性质：
grad(＋)＝grad＋grad(、为常数)
grad()＝grad＋grad
grad F()＝
[方向导数]
＝l·grad＝cos＋cos＋cos
式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角. 方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影. [散度]
div R＝＋＋=·R=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质：
div(a＋b)＝div a＋div b(、为常数)
div(a)＝div a＋a grad
div(a×b)＝b·rot a－a·rot b
[旋度]
rot R＝()i＋()j＋()k=×R=
式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R有的书刊中记作curl R.
旋度具有性质：
rot(a＋b)＝rot a＋rot b(、为常数)
rot(a)＝rot a＋a×grad
rot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，
运算div作用到一个矢量场R产生标量场div R，运算rot作用到一个矢量场R 产生新的矢量场
rot R.这三种运算的混合运算公式如下：
div rot R＝０
rot grad＝０
div grad＝＋＋=
grad div R＝(R)
rot rot R＝×(×R)
div grad(+)=div grad+div grad(、为常数)
div grad()=div grad＋div grad ＋２grad·grad
grad div R－rot rot R＝R
式中为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场R(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即
R＝grad或X＝，Y＝，Z＝
则R称为势量场，标函数称为R的势函数.
矢量场R为势量场的充分必要条件是：rot R＝０，或
=,=,=
势函数计算公式
(x，y，z)＝(x
，y0，z0)＋＋
＋
[无散场(管形场)] 若矢量场R的散度为零，即div R＝0，则R称为无散场.这时必存在一个无散场T，使R＝rot T，对任意点M有
T＝
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场R的旋度为零，即rot R＝0，则R称为无旋场.势量场
总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使R＝grad，而对任意点M有
＝－
式中r为d V到M的距离，积分是对整个空间进行的.。