场论

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§2 场论初步

一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度

[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z),它在此空间区域

D上就构成一个标量场,用点M(x,y,z)的标函数(x,y,z)表示.若M的位置用矢

径r确定,则标量可以看作变矢r的函数=(r).

例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.

[矢量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个矢量值R(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个矢量场,用点M(x,y,z)的矢量函数R(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r):

R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k

例如流速场(x,y,z),电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)都是矢量场.

与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.

[梯度]

grad=(,,)==i+j+k

式中=i+j+k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中

记作del.

grad的方向与过点(x,y,z)的等量面=C的法线方向N重合,并指向

增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于.

梯度具有性质:

grad(+)=grad+grad(、为常数)

grad()=grad+grad

grad F()=

[方向导数]

=l·grad=cos+cos+cos

式中l=(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角. 方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影. [散度]

div R=++=·R=div(X , Y , Z)

式中为哈密顿算子.

散度具有性质:

div(a+b)=div a+div b(、为常数)

div(a)=div a+a grad

div(a×b)=b·rot a-a·rot b

[旋度]

rot R=()i+()j+()k=×R=

式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot R有的书刊中记作curl R.

旋度具有性质:

rot(a+b)=rot a+rot b(、为常数)

rot(a)=rot a+a×grad

rot(a×b)=(b·)a-(a·)b+(div b)a-(div a)b

[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad,

运算div作用到一个矢量场R产生标量场div R,运算rot作用到一个矢量场R 产生新的矢量场

rot R.这三种运算的混合运算公式如下:

div rot R=0

rot grad=0

div grad=++=

grad div R=(R)

rot rot R=×(×R)

div grad(+)=div grad+div grad(、为常数)

div grad()=div grad+div grad +2grad·grad

grad div R-rot rot R=R

式中为哈密顿算子,=·=2为拉普拉斯算子.

[势量场(守恒场)] 若矢量场R(x,y,z)是某一标函数(x,y,z)的梯度,即

R=grad或X=,Y=,Z=

则R称为势量场,标函数称为R的势函数.

矢量场R为势量场的充分必要条件是:rot R=0,或

=,=,=

势函数计算公式

(x,y,z)=(x

,y0,z0)++

[无散场(管形场)] 若矢量场R的散度为零,即div R=0,则R称为无散场.这时必存在一个无散场T,使R=rot T,对任意点M有

T=

式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的.

[无旋场] 若矢量场R的旋度为零,即rot R=0,则R称为无旋场.势量场

总是一个无旋场,这时必存在一个标函数,使R=grad,而对任意点M有

=-

式中r为d V到M的距离,积分是对整个空间进行的.

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