漫谈“几何直观”
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用几何直观是一种重要的解决问题方法，在各个领域都有着广泛的应用。
在数学、物理、工程等领域，几何直观都是解决问题的重要手段之一。
在这篇文章中，我们将浅析几何直观在解决问题中的应用，并介绍一些具体的例子。
几何直观在数学中的应用是非常广泛的。
在初中、高中数学中，我们就经常会遇到几何问题，比如求解几何图形的面积、体积、求解三角形的边长、角度等。
这时候，我们可以通过几何图形的直观特征，来帮助我们解决问题。
当我们要计算一个不规则图形的面积时，我们可以将它分割成几个规则的图形，然后分别计算每个规则图形的面积，最后将它们相加就是整个不规则图形的面积。
这个过程就是通过对几何形状的直观认识，来帮助我们解决问题。
在物理学中，几何直观也是非常重要的。
物理学中经常涉及到空间的变化、运动、以及场的变化等问题。
在这些问题中，我们经常需要通过几何图形来进行定性分析，比如通过力的合成原理来解决静力平衡问题，通过光的成像原理来解决成像问题等。
在这些问题中，几何直观可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的关键点。
在工程、计算机科学等领域中，几何直观也是非常重要的。
比如在机械设计、建筑设计中，我们经常需要通过几何图形来进行布局、构图、畅通等设计。
在计算机图形学中，几何直观也是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和设计图形算法、图像处理等方面的问题。
接下来，我们将通过具体的例子来展示几何直观在解决问题中的应用。
我们来看一个关于力的合成的例子。
在物理学中，通过力的合成原理可以很好地解决一些静力平衡问题。
要求一个物体的受力情况，我们可以通过将各个力的大小、方向用箭头表示在同一个平面上，再通过几何方法来进行合成，最终找到合力的大小和方向。
这个过程中可以通过几何直观来更好地理解力的规律，从而更好地解决问题。
我们来看一个关于建筑设计的例子。
在建筑设计中，要进行空间布局时，我们经常需要通过几何直观来进行构图、视觉效果等设计。
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用
1. 图形分解
当我们遇到较为复杂的图形时，我们可以通过几何直观将其分解成若干个简单的图形，从而更好地理解和分析问题。
例如，在计算一个三角形面积时，我们可以将其分解成若干
个平行四边形或三角形的组合，以便于进行计算。
2. 图形变形
有时，我们需要通过对图形进行变形来简化问题。
几何直观可以帮助我们找到适当的
变形方式，使得问题变得更加简单明了。
例如，在计算一个圆的面积时，我们可以将其变
形成一个正方形或长方形，然后再求解面积。
3. 构造图形
在一些问题中，我们需要根据给定的条件构造出一个符合要求的图形。
几何直观可以
帮助我们理解问题的条件，从而更好地构造出符合要求的图形。
例如，在一道平面几何题中，我们需要根据给定的条件构造出一个相似三角形，那么我们可以通过几何直观，找到
一些相似三角形的特点和性质，然后根据这些性质来构造。
4. 推导公式
在解决某些问题时，我们需要利用已知的几何关系来推导出一个公式。
几何直观可以
帮助我们理解几何关系，并更好地进行推导。
例如，在推导勾股定理时，我们可以基于几
何直观来理解直角三角形的性质，然后从而推导出勾股定理。
综上所述，几何直观在解决问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们更好地理解和分
析问题，从而得出更加准确、简便的解决方案。
因此，在学习几何知识时，我们应该注重
培养几何直观，提高几何思维能力。
漫谈几何直观的内涵
二、课标怎么说
课程内容：在数学课程中，应当注重发展学生的 数感、符号意识、空间观念、几何直 观、数据分析观念、运算能力、推理 能力和模型思想。为了适应时代发展 对人才培养的需要，数学课程还要特 别注重发展学生的应用意识和创新意 识。 ——“几何直观”是重要的核心能力之一。
课程内容：主要指利用图形描述和分析问题。借 助几何直观可以把复杂的数学问题变 得简明、形象，有助于探索解决问题 的思路，预测结果。几何直观可以帮 助学生直接的理解数学，在整个数学 学习过程中都发挥着重要作用。
漫谈“几何直观”
武进区星韵学校 许 强
简洁明了的 表情达意。
形象直观的 解决问题。
一、几何直观的提出
1952年，大纲提出小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维能 力”，中学数学应该“发展学生生动的空间想象力，发展学生逻辑的思维 力和判断力”。 1963年，中小学数学教学的能力培养任务修改为培养“计算能力、逻 辑推理能力和空间想象力”（即传统的三大能力）。 1988年，中小学大纲将能力培养任务改为“培养运算能力、发展逻辑 思维能力和空间观念”。 2001年课标提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观 念，发展形象思维”。 2003年《普通高中数学课程标准》指出：“几何学是研究现实世界中 物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作 确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空 间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能 力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是 高中阶段数学课程的基本要求。” 2011年版课标把几何直观作为十个核心概念之一，并明确指出几何直 观的含义，阐明其教育价值。
三、专家怎么说
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用几何直观在解决问题中是至关重要的。
无论是在初中数学、高中数学还是大学数学中，几何直观都是解决问题的一个重要工具，也是对抽象概念进行直观理解和描述的重要手段。
本文将从三个方面分析几何直观在解决问题中的应用。
一、对几何图形的理解几何直观通过几何图形的形状、大小、位置、朝向等可视化的特点，帮助我们更清晰地理解几何图形在运动、旋转、平移等操作中的性质，有利于我们更快速地解决问题。
例如，在初中数学中，当我们讨论三角形的中线时，几何直观可以帮助我们想象该中线对三角形中心的作用，尤其是当我们在解决求三角形面积或证明中线等分底边时。
在讨论平行四边形中，特别是需要求对角线的性质时，我们也可以通过几何直观来理解其对应角的和是180度，而对于中垂线问题，我们可以帮助理解正交线段与三角形中线重合，以及它们的相交点是三角形的外心。
二、问题化解过程中的辅助在解决问题时，几何直观可以作为我们的思考工具，帮助我们化解问题中的复杂性。
例如，当我们在解决三角函数题目时，根据题目信息，可构造对应的几何图形，从而理解三角形内角、余弦、正弦、正切等概念，进而确定三角函数值。
上述过程中，以三角形为例，我们不仅可以想象三角函数的极限性质和周期性质，也可以通过对几何图形的改变来发现等式的对应变化。
另一方面，几何直观还可以解决某些特定情况下的问题。
例如，当我们在解决三角形外接圆半径与边长关系时，切向垂线可以帮助我们推导出半径与边长一条等式，从而进行计算。
三、对复杂问题的简化几何直观可以使我们化繁为简，通过图形化展示，将抽象概念具体化、几何化，有利于我们分析、把握、掌握问题本质，以及切入问题的重点。
例如，在初中时，我们学习到了二次函数的图像特征，其中离心率、顶点等都是几个比较抽象的概念。
但是，如果我们通过几何直观来展示二次函数的图像特征，比如在坐标系中画出其对称轴，或者将三种情况都画成图像，那么对这些概念的理解和记忆都会更加直观和深入。
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用
几何直观是指对于空间中的几何问题，通过对几何形状、空间关系和运动规律的观察和理解，形成的一种直观的认识和感知。
在解决问题中，几何直观可以起到指导思路、简化问题和验证答案的作用。
几何直观可以指导思路。
通过对几何形状和空间关系的观察和理解，能够启发我们对问题的思考。
在解决几何问题中，我们可以利用几何直观来确定问题的关键点、线、面，从而帮助我们找到问题的解决方法。
几何直观可以通过具体的实例和图形来帮助我们形成对问题的整体认识，使我们能够有条理地思考和解决问题。
几何直观可以简化问题。
几何直观可以将抽象的数学问题转化为具体的几何图形，从而简化问题的复杂度。
通过几何直观，我们可以将问题转化为几何图形的性质和运动规律的问题，从而通过几何推理和几何方法来解决问题。
几何直观使问题更加直观和具体，减少了抽象思维的负担，使我们能够更容易地理解和解决问题。
几何直观可以验证答案。
在解决几何问题中，我们通常可以通过几何直观来验证我们的答案是否合理。
当我们得到一个几何问题的解答时，我们可以通过几何直观来判断这个解答是否符合问题的要求和条件。
如果解答符合几何直观，那么我们可以认为这个解答是正确的；如果解答与几何直观相悖，那么我们需要重新思考问题并找出正确的解答。
漫谈“几何直观” ppt课件
朴素的、直接的
最重要的是： 数学抽象 数学推理 数学模型
最上位的是： 演绎思想 归纳思想
常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想 方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、 集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换 思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学 模型思想方法、整体思想方法等等。
教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴 趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造 性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰 当的数学学习方法。
变化四：“双基”变“四基”
基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验
（掌握）
（训练）
（领悟）
（积累）
奠基的
初步的
关键、核心的
【直观】一种能透过现象（或通过形象）看到本质、
一眼看出不同事物之间关联的洞察能力。
【几何学】研究现实世界中物体的形状、
大小和位置关系的数学学科。
——《普通高中数学课程标准（实验）》 2003年
【徐利治】几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形 象关系产生对数量关系的直接感知 。
【弗莱登塔尔】几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能 有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠 之中免于陷入歧途之苦。
变化九：主要的关键词
数感 符号感 空间观念
统计观念
应用意识 推理能力
数感 符号意识（调整） 空间观念 几何直观（新增） 数据分析观念（调整） 运算能力（新增） 应用意识 推理能力 模型思想（新增）
创新意识（新增）
一、什么是“直观” ？ 二、什么是“几何直观” ？
浅谈几何直观在数学中的作用
漫谈初中几何直观
笔 者 起初 也 有 一 些迟疑
,
。
因为 直 观 更多地 给人
。
直 观 由于其简 洁 性
、
、
直 观性
,
,
可 以 有效地调 动 学 生 的 思 维参 与 到 几 何
。
其与 学 生 的 想象能 力 倍养 又 有 什 么关 系 呢 ? 可 是 又不断 地 让笔 者 产 生 这样 的 感觉 后 来一
在 教学 实践 中 的 一 些 事 例
,
几何 直 观 具 有 数与形的双重 特 征
;
通过几 何直
;
因 为 在 他们 的 印 象 中
,
应 当 看 到 数学知 识 建 构背后的普遍意义
想象 能 力
后 来笔 者 就 思 考
,
如 果 在 初 中 阶段 就渗 透 这样 的 认识
。
那学 生
【 关 键 词 】 初 中几何 ; 几何 直 观
;
思 维能 力
比如 角 等 概念
学术争鸣
漫谈初 中几何直 观
江 苏 省 如 皋 市 吴 窑镇 吴 窑 初 级 中 学 石 明 建
【 摘
解;
要 】 几何 是 初 中数学的重要组 成 部分
。 ,
,
建 立几何 直 观 是
,
算规 则 等 )
。
事 实上
,
,
如 果 在 初 中 阶段 的 几 何 知 识学 习中 建 立 全 面 的
。
几何教学的重要指 向 几何 直 观 建 立的 关 键 观的 建 立 教学
,
如现 行数学教 材 中强 调 让 图 其实 就 已经 蕴含 了
。
意义
。
几 何 直 观有 两 个 关 键 词
《漫谈几何直观》课件
平面几何
研究平面上的形状和图形之间的关系，例如线段、 角度和多边形。
立体几何
研究空间中的形状和物体之间的关系，例如立方体、 球体和圆柱体。
几何公式与定理
几何中有许多重要的公式和定理，它们帮助我们计算形状的属性和关系。
1 勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜 边的平方。
2 等腰三角形的性质
《漫谈几何直观》PPT课 件
数学与几何的关系。几何作为数学的一个分支领域，探索了形状、大小和相 对位置之间的关系。通过直观的几何图像，我们可以更深入地理解数学概念。
直观几何图像
使用实际的图形和图像来表达几何概念，能够让观众更容易理解抽象的概念。通过几何图像，我们可以直观地 感受到形状、角度和长度之间的关系。
点
几何中最基本的概念，没有大小和形状。
线
由无数个点组成，没有宽度，延伸到无穷远。
角
由两条线段或线相交而形成，用于测量两条线 的相对方向。
多边形
由直线段组成的封闭图形，例如三角形、四边 形等。
平面几何和立体几何的区别
几何可以分为平面几何和立体几何两个分支。尽管它们都研究形状和关系，但它们的重点和应用场景略有不同。
具有两边相等和两角相等的三角形。
3 相似三角形的性质
具有相等角度但边长成比例的三角形。
4 圆的周长和面积公式
计算圆的周长和面积的公式。
几何问题的解法
解决几何问题需要一定的思维和方法。以下是几种常见的几何问题解法。
1
图形分析
通过观察几何图形的性质和关系，找到
代数求解
2
问题的线索。
使用代数方法将几何问题转化为方程或
不等式，并求解。
3
浅析几何直观在解决问题中的应用
浅析几何直观在解决问题中的应用几何直观是一种利用几何图形和空间关系来解决问题的思维方式。
在解决问题中，几何直观可以帮助我们更好地理解问题的本质，找到解决问题的途径和方法。
几何直观在物理、工程、计算机科学、金融等领域都有重要的应用，下面就针对不同领域的问题，浅析几何直观在解决问题中的应用。
一、物理学中的应用在物理学中，几何直观经常被用来解释和理解各种自然现象。
在光学中，我们可以通过画出光线的传播路径、折射和反射的规律，来解释为什么天空是蓝色的、为什么水里的东西看起来变形了等现象。
在力学、电磁学等领域，我们也可以通过画出受力分析的图来解释物体的运动规律、电场的分布等问题。
几何直观可以帮助我们更好地理解物理学中的原理和规律，帮助我们更好地理解和预测自然界的现象。
二、工程学中的应用在工程学中，几何直观通常被用来设计和优化工程结构。
在建筑设计中，我们需要考虑建筑的稳定性、材料的使用和构造的合理性等问题。
通过利用几何直观，我们可以更好地理解结构的受力情况、构造的合理性，从而设计出更加安全、经济、美观的建筑。
在机械设计中，我们也可以利用几何直观来分析零件的结构、运动轨迹等问题，从而设计出更加稳定、高效的机械结构。
几何直观在工程学中的应用，可以帮助工程师更好地理解问题，更高效地设计和优化工程结构。
三、计算机科学中的应用在计算机科学中，几何直观经常被用来解决图形图像处理、计算机视觉等问题。
在图形图像处理中，我们可以通过几何直观来理解图像的变换、旋转、缩放等操作的原理，从而设计出更高效的图形处理算法。
在计算机视觉中，几何直观也可以帮助我们理解图像中的深度、形状等信息，从而更好地实现目标识别、运动跟踪等功能。
几何直观在计算机科学中的应用，可以帮助我们更好地理解和利用图形图像的信息，从而设计出更加智能、高效的计算机算法。
四、金融学中的应用在金融学中，几何直观常常被用来解释和分析投资的风险和回报。
在投资组合理论中，我们可以通过画出资产收益率和风险的关系图来理解不同投资组合的优劣势，从而选择出更加合理的投资组合。
浅谈几何直观的含义
浅谈几何直观的含义数学是研究数量关系与空间形式的科学。
空间形式最主要的表现就是图形。
在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学――几何――图形”这样的一个关系链中让我们体会到它带来的最大好处。
《课程标准（2011版）》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
几何直观所指有两点：一是几何，这是主要是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西，以前看到的东西进行思考、想象、综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。
它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。
用最通俗的话说几何直观，就是看图想事，看图说理，也包括想图、画图、表达想法。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
培养学生的几何直观（1）使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。
在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。
（2）重视变换----让图形动起来几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。
在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。
变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。
浅谈小学生几何直观的培养
浅谈小学生几何直观的培养前言几何学是学生数学学科中的重要组成部分，也是学习数学必不可少的一个环节。
在小学生阶段，数学老师需要通过多种方式来培养学生的几何感觉，激发他们的求知欲，加深他们对几何学的理解和认识。
何谓几何直观？几何直观是学生在接触几何学的过程中形成的一种直观感知，是指学生在进行几何学习时，能够根据平面图形或立体图形的形状、大小、角度、位置等特点，形成对图形的直观感觉和理解力，从而进行几何判断、计算等操作。
如何培养小学生的几何直观？1. 注重感性认识在小学生的几何学习中，感性认识的作用是非常重要的，这是培养学生几何直观的基础。
在引导学生进行几何学习时，数学老师可以通过用水果、蔬菜等富有特色的图形来引导学生进行几何推理和计算，不仅能够增强学生的兴趣，还能渐渐培养学生的几何感觉。
2. 建立合适的教材系统学生的几何直观与所学教材有着紧密的联系，数学老师需要根据学生的年龄和学习能力，选择适合的几何教材，为学生提供有效的教学资源。
此外，教师还要将教材与生活实际相结合，让学生能够更加直观地理解几何问题。
3. 多视角观察在几何教学过程中，多视角观察是有效的帮助小学生培养几何直观的方法。
教师可以采取多样的视角，例如正面、侧面、顶面等，让学生总结图形的共性和变化，培养学生的几何直觉，提升学生对于几何的认识和应用能力。
4. 探索与发现学生的探索和发现是帮助他们培养几何直观的重要途径。
在教学过程中，数学老师应该引导学生思考图形中的几何关系，特别是让学生注重图形中的细节，逐渐形成扎实的几何基础，同时注重生动有趣的实例演示以及让学生自己发现出规律等方式，培养学生的思维能力和探索精神。
结语小学生的几何学习对于将来的数学学科发展具有重要的意义。
通过合理的教学方式、科学的教学方法和有效的教学手段，培养学生几何直观，使得学生能够对于几何学有更深刻的认识和理解，也为他们未来的学习打下坚实的基础。
浅谈“几何直观”
一、几何直观
• 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。
• 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
一、几何直观
几何直观就是利用图形进行思 维及展开想象的能力。
二、几何直观的表现形式
三、如何培养学生的几何直观能力
2.从“数”“形”两方面诠释数学问题
三、如何培养学生的几何直观能力
3.利用图形的变换，培养学生的想象能力
三、如何培养学生的几何直观能力
4.掌握一些利用图形解决生活中问题的方式方法
3.图形直观
数形结合与几何直观
数形结合，是一种 重要的数学思想方 法，也是解决数学 问题的有效策略。
数形结合是指解决数学问题时 ，可借助于“形”的直观来理 解抽象的“数”，或反过来运 用“数”与“式”的描述来刻 画“形”的特征。 数形结合
最基本的形式为“以形助数” 和“以数解形”。
以 形 助 数
1.实物直观 2.替代物直观（已经具备一定的抽象性） 3.图形直观
1.实物直观
2.替代物直观
圆圈、三角形 点子图 小棒（一根、一捆） 小方块（个、条、面、体）
3.图形直观
线段图 面积模型图（乘法分配律、小数的意义） 统计图 图形的变换（对称、平移、旋转） 函数图（正、反比例）Fra bibliotek 3.图形直观
以 数 解 形
从几何直观的概念可知，它是指“利用图 形描述和分析数学问题”。
几何直观就是用“形”来解决数学问题。 这个“数学问题”可能并不仅仅是“数” ，可以是“形”或者其他数学问题。
这个“形”，可以是眼睛看到的，可以是 画出的，也可以是大脑想到的。
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变化五：设计思路
学段划分保持不变； 对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变， 增加了目标动词的同义词； 对四个学习领域的名称作适当调整； 对学习内容中的若干关键词作适当调整对其意义 作更明确的阐释。
变化六：四个领域名称
数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用
数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践
变化七：关于课程目标
总目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力” 的改革方向和目标价值取向 。
课程目标提法上除了“四基”外，还有“四个能力”： 培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力
变化八：关于内容标准
增加常见的数量关系 加强体会数据的随机性 图形平移、画对称图形、平均数等上移第二学段
几何直观能力主要包括：
低
空间想像能力
直观洞察能力
用“图形语言”来思考问题能力
高
（“数”“形”结合思想）
小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直 观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观 能力。 通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多 的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可 以得出一些正确的结论。
有更深的意义和更广的内涵，落脚点是数学教 育而不是数学内容，有更强的时代精神和要求。
数学课程——数学——数学学习——数学教学——评价——信息技术 （前移） 数学课程——课程内容———教学活动——— 学习评价——信息技术 （新增）
（合并）
变化二：理念中新增加的提法
要处理好四个关系
过程和结果的关系；学生自主学习和教师讲
中位数、众数、可能性大小 上移第三学段
变化九：主要的关键词
数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 数感 符号意识（调整） 空间观念 几何直观（新增） 数据分析观念（调整） 运算能力（新增） 应用意识 推理能力 模型思想（新增） 创新意识（新增）
一、什么是“直观” ？
二、什么是“几何直观” ？ 三、小学数学教学中如何培养学生 的几何直观能力？
几何直观是数学中生动的、不断增长的 而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法 上远远超出对几何图形本身的研究意义。相 信对几何直观的研究能够成为数学教育的核 心问题。
——秦德生、孔凡哲 《关于几何直观的思考》， 刊《中学数学教学参考》2005年第10期
过去的8年可以看成一个以“课标”为中心的 时代。与日夜盼望修订后的《数学课程标准》早日 发表并能真正做到尽善尽美相比，我们应当更加重 视对过去8年课改实践的认真总结与深入反思，包 括清楚地界定我国数学教育当前所面临的主要问题， 以及如何能为未来的发展作好积极的准备。另外， 我们还应彻底改变那种“由上至下”的思维习惯与 工作模式，并由传统的“理论指导下的实践”转向 “反思性实践”，从而成为高度自觉的数学教育实 践者。
授的关系；合情推理和演绎推理的关系；生活情境和知识系统性的关系
有效的教学活动是什么 数学课程基本理念（两句话） 数学教学活动的本质要求 培养良好的数学学习习惯 注重启发式 正确看待教师的主导作用 处理好评价中的关系 注意信息技术与课程内容的整合
。 变化三：关于数学观 数学是人们对客观世界定性把握 和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法 和理论，并进行广泛应用的过程。 数学是研究数量关 系和空间形式的科学。
【直观】用感官直接接受的；直接观察的；
～教具∣～教学。
——《现代汉语词典》2002年增补本，商务印书馆
【克莱因】数学的直观就是对概念、证明的直接把握。 【心理学家】直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力 【徐利治】直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对
事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何 图形的形象关系产生对数量关系的直接感知 。
空间想像能力 识图 画图 制作模型 观察物体 ……
直观洞察能力 三点半,时针和分针的夹角是多少度? 两边之和大于第三边 用“图形语言”来思考问题能力
直 观 地 抽 象
两个长方形完全相同。第一个长方形的长 减少3分米,宽不变；第二个长方形的宽减少3分 米,长不变。变化后两个长方形的面积怎样?
教材的视角
教学的视角
0
1米
0
1米
0.1米
0.9米
0
1米
0
1米
0
1米
0
1米 0
1.3米
0
0
1
0 1米
2
2米
0
1
2
3 自然数 整数
0.1
0.5
1.2
1.7
2.3
2.9
小数
0
1
2
3 自然数 整数
三角形的 内角和
北师大版
北师大版
青岛版
人教版
苏教版
浙教版
1.结论已知，学生无学习兴趣。
苏霍姆林斯基：《给教师的建议》一书《谈谈直观性问题》
物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住 一个相当长的时间，但是运用直观的手段绝不是为了整节 课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是 为了在教学的某一个阶段上是儿童摆脱形象，在思维上过 渡到概括性的真理和规律上去。
乌申斯基说，儿童是“用形式、声音、色彩和感觉” 思维的。直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它 能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的 情绪记忆，就谈不上童年时期的完满的智力发展。
【直观】一种能透过现象（或通过形象）看到本质、
一眼看出不同事物之间关联的洞察能力。
【几何学】研究现实世界中物体的形状、
大小和位置关系的数学学科。
——《普通高中数学课程标准（实验）》 2003年
【徐利治】几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形 象关系产生对数量关系的直接感知 。 【弗莱登塔尔】几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能 有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠 之中免于陷入歧途之苦。
——郑毓信：《展望“后课标时代”——写在数学新课改实施8周年之际 》
2.误差的干扰。
3.科学性与严密性的问题。 （直观背后的数学理性）
长方形内角和是 90°×4=360°
每个三角形都可以分成 两个直角三角形
直角三角形的内角和是 360÷2=180°
每个三角形的内角和是
360°-90°-90° =180 °
旋转法（帕斯卡）
台湾教材
直观是前提
抽象是本质 适度是关键
课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间 有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程 设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高 中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单 位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划 的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直 观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。 可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。 因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关 系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时 也学会数学的一种思考方式和学习方式。
数学教育教授5人： 黄翔（重庆师大） 马复（南师大）
张丹（北京教育学院）
数学教研员1人：杨裕前（常州教研室） 数学教师2人：张思明（北大附中） 储瑞年（北师大附中）
义务教育数学课程标准（修订稿）
九大变化
变化一：基本理念“三句”变“两句”，“6条”改“5条”
人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 不同的人在数学上得到不同的发展 人人
“课标时代”
走进“后课标时代”
2005年6月，教育部成立《标准》修订组，由14人组成。 2007年10月完稿，2011年2月审定。 数学教授6人： 史宁中（东北师大） 王尚志（首都师大）
张英伯（北师大）
柳彬（北大）
顾沛（南开大学）
李文林（中科院） 马云鹏（东北师大） 刘晓枚（首都师大）
变化四：“双基”变“四基”
基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验
（掌握） 奠基的 （训练） 初步的 （领悟） 关键、核心的 （积累） 朴素的、直接的
最重要的是： 数学抽象
最上位的是： 演绎思想
数学推理
归纳思想
数学模型
常用的小学数学思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思 想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、 集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换 思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学 模型思想方法、整体思想方法等等。
关于教学观
树立正确的数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往 互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教 的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者 与合作者。 教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴 趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创 造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌 握恰当的数学学习方法。