第十三章13.2多元函数的极限和连续性
多元函数的极限与连续
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
高等数学系列教材目录表
高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限及连续性
例7 求 解:由于
sin( x 3 y 3 ) lim . 2 2 x 0 x y y 0
| sin(x 3 y 3 ) || x |3 | y |3 (| x | | y |)(x 2 y 2 ),
0
f ( x, y ) 不存 例3 设 证明 lim x0 y 0 在. 证: 当动点(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)时, 有
xy 2 f ( x, y) 2 , 4 x y
当(x,y)沿抛物线 y x 趋于(0,0)时, 有
( x , y ) ( 0 , 0 ) y x
( x , y )( 0, 0 ) yx
从而
sin(x 3 y 3 ) 0 | x | | y | . 2 2 x y
而 所以
故
lim(| x | | y |) 0,
x 0 y 0
sin(x 3 y 3 ) lim 0, 2 2 x 0 x y y 0
sin( x 3 y 3 ) lim 0. 2 2 x 0 x y y 0
lim
x f ( x, y) lim f ( x, x) lim 0. 2 x0 x 0 1 x
lim
x2 1 f ( x, y ) lim f ( x, x ) lim 2 0. x 0 x 0 x x 2 2
定义3 设 f ( x, y)在 P0 ( x0 , y0 )的某个空心邻域 内有定义. 若对任给 M 0, 存在 0, 使当 P( x, y) U ( P0 , )时, 有 f ( x, y) M , 则称 f 是当 P P0 时的正无穷大, 记为 lim f ( P ) , 或 lim f ( x, y ) . x x PP y y 仿此可类似定义 lim f ( P ) 与 lim f ( P) . PP PP
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
大学四年级多元函数的极限与连续性
大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。
多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。
一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。
与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。
在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。
对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。
常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。
这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。
与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。
具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。
如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。
连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。
首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。
通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。
其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。
例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
大学数学多元函数的极限与连续性
大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。
本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。
要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。
1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。
可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。
2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。
通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。
三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。
连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。
1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。
连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。
2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。
四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。
1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。
首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。
通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。
多元函数的极限与连续
可以将多元函数的极限与连续性应用于实际问题中，如 物理、工程、经济等领域的问题，以促进数学与实际应 用的结合。
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稳定性分析
在研究微分方程的解的稳定性时，需要用到多元函数的极限和连续 性，例如在分析解的收敛性和发散性时。
解的存在性和唯一性
在证明微分方程的解的存在性和唯一性时，需要用到多元函数的极 限和连续性。
在实变函数中的应用
测度论
在实变函数中，测度论是一个重 要的分支，而测度的定义和性质 与多元函数的极限和连续性紧密 相关。
如果函数在某点的极限值等于该点的 函数值，则称函数在该点连续。
02
多元函数的极限
极限的定义
极限的直观定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数。
极限的精确定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$||xa||<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，则称$f(x)$在点$a$处的极限为$L$。
多元函数的基本概念
多元函数
极限
连续
设$D$是$n$维欧几里得空间的一个 子集，对于每一个$x in D$，都对应 一个实数$f(x)$，则称$f$是一个定义 在$D$上的多元函数。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义， 如果存在一个确定的常数A，对于任意给定的 正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得 当$x$满足$0 < |x - x_0| < δ$时，对应的函数 值$f(x)$都满足$|f(x) - A| < ε$，那么常数A就 叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。
多元函数极限与连续性的性质及求解方法
多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。
了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。
一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。
1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。
(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。
(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。
1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。
(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。
具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。
(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。
具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学分析中，多元函数的极限与连续性是十分重要的概念，它们在研究函数性质和解决实际问题时起到了关键作用。
本文将对多元函数的极限与连续性进行详细探讨，并给出相应的定义和性质。
一、多元函数的极限对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量(x1, x2, ..., xn)接近某一点(a1, a2, ..., an)时，如果函数值f(x1, x2, ..., xn)趋于某个常数L，那么我们就说f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处收敛于L，记作：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L (当(x1, x2, ..., xn) → (a1, a2, ..., an))多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量同时趋于某个特定值。
在计算多元函数极限时，可以使用极限的定义、夹逼定理、两个变量夹逼定理等方法。
多元函数的极限性质包括唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的四则运算等。
这些性质的证明与一元函数类似，但需要注意多个变量同时进行推导。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在该点处的函数值相等。
具体而言，对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点(a1, a2, ..., an)处连续，需要满足以下条件：1. 函数在点(a1, a2, ..., an)存在；2. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限存在；3. 函数在点(a1, a2, ..., an)的极限等于函数在该点的函数值。
在多元函数中，我们可以使用分量函数的连续性来判断函数的连续性。
分量函数是将多元函数中的每个自变量固定，其他自变量视为参数得到的一元函数。
如果分量函数都连续，那么多元函数在该点处连续。
多元函数的连续性性质包括局部连续性、全局连续性、复合函数的连续性等。
这些性质的证明需要使用到一元函数连续性的基本性质，并进行适当的推导和运算。
【2019年整理】多元函数的极限与连续
z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
当x0 y0 2k (k 0,1,)时, f (x, y)间断.
例3 证明
f
(x,
y)
x2 y x4 y2
0
x4 y2 0 x4 y2 0
在点(0,0)处沿此点的每条射线
x t cos, y t sin ,0 t
连续,
即lim f (t cos,t sin ) f (0,0). t 0
要证
例2 设
f
(
x,
y)
exy 1, x y
1,
讨论 f(x, y)的连续性.
sin
x x
sin y
y
,
x y x y x y
解 当x y时, f (x, y)连续. 下面讨论在直线x y上的情形.
在直线x y上任取一点(x , y ), 00
f (x, y)在直线x y上任一点沿x y连续.
一切多元初等函数在定义区域内连续
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义 • 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
多元函数极限与连续性例题和知识点总结
多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。
理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。
一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。
设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。
如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。
三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。
第13章第2节多元函数的极限和连续性
（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。
例8
f
x,
y
x
sin
1 y
y
sin
1 x
,
当x 0, y 0时
f
0,
y
f
x,0
0
解 由于sin 1 和sin 1 在y 0和x 0的函数极限不存在，
y
x
故 0，0 点的两个二次极限都不存在，但因为
f
x, y 0
1 x sin
1 y sin
2
不存在，即关于双重变量不连续.
y0
14
§13.2. 多元函数的极限和连续性
四、有界闭区域上连续函数的性质 （1）有界性定理
若f ( x, y)在有界闭区域D上连续，则它在D上有界,
即存在常数M 0, 使得在D上恒有 f x, y M .
（2）一致连续性定理 若f ( x, y)在有界闭区域D上连续，则它在D上一致
第13章第2节多元函数的极限和连续性多元函数连续性多元函数的连续性利用函数连续性求极限函数极限和连续性多元函数求极限多元函数的极限多元函数极限多元函数的极限与连续求多元函数的极限
§13.2. 多元函数的极限和连续性
一、多元函数的概念 定义: 设E是平面点集, R是实数集, f 是一个规律,如果
对E中的每一点 x, y,通过规律f ,在R中存在唯一
设f x, y 在区域D内连续,并且在D内两点M1 a1, b1 , N1 1, 1 异号,也就是f a1, b1 f 1, 1 0.
那么, 用完全位于D内的任意的折线l联结M1和N1时,
在l上必有一点M x, y 满足f x, y 0.
17
§13.2. 多元函数的极限和连续性 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函 数经过 有限次的四则运算和复合步骤所构 成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元 初等函数.
第十三章多元函数的极限和连续性
第十三章 多元函数的极限和连续性§1、平面点集一 邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。
定义2 设(),nn n Mx y =，()000,Mx y =。
如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。
就称点列{}n M 收敛，并且收敛于M，记为0l i m nn MM→∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。
性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。
（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二 开集、闭集、区域设E 是一个平面点集。
1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就称0M 是E 的内点。
2． 外点：设1M E ∉，如果存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使得()1,O M E η⋂=Φ，就称1M 是E 的外点。
3． 边界点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。
E 的边界点全体叫做E 的边界。
4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。
5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。
性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。
6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。
7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。
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我们就称 A 是二元函数f x, y在 M0点的极限，记为
lim
M M0
f
M
A或f
M
AM , M 0
这一定义也可以用点的坐标表述，即：如果对任意
给定的 0 ，总存在 0 ，当0 x x0 2 y y0 2
时，恒有 f M A ，就称 f x, y 在x0, y0 点的极限，
§13.2多元函数的极限和连续性
一、多元函数的概念
不论在数学的理论还是实际问题中，许多量的变化，
不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平
行四边形的面积 由它A 的相邻两边的长 和 x 以及y 夹
角 所决 定。即
A xy，sin 是A由三个自变量（三个
变元） 和 x所, y 确定 的。圆柱体体积 由底半V 径 和
在点 M0连续。
例5 求函数 u tanx2 y2 的不连续点。
四、有界闭区域上连续函数的性质
定义 设多元函数 f M 在某个开区域 D 内有定义， 并且对 D 内任何一点 M0，f M 在 M0 连续，则称 f M
在 D 内连续。
有界性定理 若 f x, y在有界闭区域 D 上连续，则它
记为
lim f x, y A
xx0
y y0
定义 若对 0 ，存在 0 ，使当 x x0 , y y0
且 x, y 不与 x0, y0 重合，亦即 x x0 2 y y0 2 0 时，恒有 f x, y A 那么称 A 为 f x, y 在点 M0 的极限。
高 r所决定h ，即
V ， r2是h 由两V 个自变量所确定
的。这些都是多元函数的例子。
二元函数的定义
设 E 是平面点集，R 是实数集，f 是一个规律，如果对E
中的每一点 x, y ，通过规律 f ，在 R中存在唯一一 个实数 u 和此 x, y相对应，我们就称 f 是定义在 E上
的一个二元函数， x 和 y是函数 f 的两个相互独立的自
恒有 f ' x', y' f " x", y"
这里的 仅与 有关，而与 D 上的点 M ', M "无关。
最大值最小值定理 若 f x, y 在有界闭区域 D 上连
续，则它在 D 上必有最大值和最小值，亦即在 D 上存
在点 M1x1, y1和 M2x2, y2 ，使对 D 上任意的点 x, y ，
例1 自傲直流电路中，电流 I ，电压 U 与电阻 R 满足 关系 I U
R
例2 理想气体的状态方程
pV RTR是常数
二、二元函数的极限
二元函数极限的定义 设二元函数 f M f x, y 在点M0x0, y0 附近有定义。如果对人以给定的 0 ， 总存在 0 ，当 0 rM , M0 时恒有 f M A
的任意的折线 l 联结 M1 和 N1 时，在 l 上必有一点
M x, y满足 f x, y 0
五、二重极限和二次极限
前面所考虑的 f x, y 的极限也称为二重极限。此外， 我们还要讨论 x, y 先后相继地趋于各自的极限时 f x, y
的极限，称为二次极限。
定理 若 f x, y 在点 a,b 的二重极限为
例3
f
x,
y
x2
xy y2
,
x2
y2
0
例4
f
x,
y
1,当0 y x
0, 其他
2时
三、二元函数的连续性
二元函数连续性的定义 若 f M 在M0有定义，MlimM0 f M
存在，且二者相等，即
lim
M M0
f
M
f
M0
时，则称 f M
lim f x, y A有限或无限
xa
yb
且对任一靠近 b 的 y ，当 x a 时 ，f x, y 存在有限极
限
y lim f x, y
xa
则二次极限 limlim f x, y limy
yb xa
yb
存在且等于二重极限 A . Nhomakorabea恒有
f x1, y1 f x, y f x2, y2
也就是说，f x1, y1, f x2, y2 分别是 f x, y 在 D 上的最
小值和最大值
零点存在定理 设 f x, y 在区域 D （不一定是有界闭 区域）内连续，并且在 D 内两点 M1a1,b1, N11, 1 异 号，也就是 f a1,b1 f 1, 1 0 ，那么用完全位于 D 内
在 D 上有界，亦即存在正数 M ，使在 D 上恒有
f x, y M
一致连续性定理 若 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，
则它在 D 上也一致连续，即对任给的 0 ，存在
0 ，使 D 上任意两点 M 'x', y' , M "x", y" ，当
x' x" , y' y" 时
变量，f 在 x, y的函数值是 u ，并记此值为 f x, y ，即
u f x, y 。与一元函数相仿的，我们常常采用下面的记
号来记这个函数： f : E R
x, y u f x, y
并称 E 是 f 的定义域。在通常数学分析中为了省略，
我们也称 f x, y 是一个二元函数。