三角形四大模型

三角形的四大模型

一、三角形的重要概念和性质

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°

2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）

二、八字模型：

证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D

三、飞镖模型：

证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C

四、角分线模型：

如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，

之间的数量关系，并证明你的结论．

试探索∠A与∠D

n 如图，△ABC 两个外角（∠CAD 、∠ACE ）的平分线相交于点P ．探索∠P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论．

题型一、三角形性质等应用

1．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15°，再前进10m ，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了米数是（ ）A ．120 B ．150 C ．240 D ．360

2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF ．

如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为

cm 2

．

3．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，

且S △ABC =4cm 2，则S 阴影=

cm 2．

4． A 、B 、C 是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，S △ABC 的面积是1，则S △A 1B 1C 1的面积

．

5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别

说出内角和和外角和变化情况．

6．如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连接PA ，PB ，构成∠PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD ；

（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答）（3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC ，∠APB ，∠PBD

之间的关系，并写出

n

动点P

的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

题型二、八字模型应用

7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D ；（2）如图2，AB ∥CD ，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD

，

①图2中共有 个“8字形”；

②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P 的度数；

（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）

③猜想图2中∠P 与∠B+∠D 的数量关系，并说明理由．

8．（1）求五角星的五个角之和；（2）求这六个角之和

题型三、飞镖模型应用

9．如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系，并证明你的结论．

10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④

分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证．

明）

题型四、角分线模型应用

11．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．12．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，

则∠BDC的度数是（ ）A．67°B．84°C．88°D．110

°

第11题第12题第13题

13．如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（ ）A．50°B．100°C．130°D．150°

14．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1= ；（2）∠A2= ；（3）∠A n=

．

题型五、其他应用

15．已知△ABC中，∠A=60°．

（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC= °．

（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．

t h

e

i

r

b

（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．

16．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．

（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）

（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°

∠BIC的度数

∠BDI的度数

（备用图）