三角形四大模型
三角形11个基本模型证明过程
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三角形11个基本模型证明过程
1、全等三角形:全等三角形的判定和性质是重点,需要数量掌握和灵活运用全等三角形的判定及全等的证明思路,掌握几种全等模型。
2、等腰三角形:等腰三角形的性质和判定是学习额重点,尤其是等腰三角形的三线合一性质,除此之外,在等腰三角形学习中还需要掌握一些常用的数学思路,像分类讨论思路、方程思路等,以及常见的等腰三角形的构造方法都需要了解。
3、等边三角形:等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形所有的性质,还具有一些特殊的性质,经常会结合在直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半来考查。
4、直角三角形:直角三角形的性质、判定以及等腰直角三角形和含有30度的直角三角形是学习的重点,性质定理较多,需要系统掌握和运用。
5、线段的垂直平分线,线段垂直平分线的性质是重点,难点将军饮马最值问题的解题思路及方法,需要掌握其特征、基本解题思路和方法。
6、角平分线,角平分线的性质是学习的重点,见到角平分线就需要想到相等的角和垂线段,角平分线虽然简单,但与角平分线相关的辅助线和模型比较多,考试中经常考查,需要熟悉常见的模型及应用方法。
奥数几何-三角形五大模型带解析
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三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、等分点结论(“鸟头定理”)如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”) ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=(S 1+S 2)︰(S 4+S 3) 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ;DC BAbas 2s 1③S 的对应份数为(a+b )2 模型四:相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念:两个三角形对应边城比例,对应角相等。
(2)判断相似的方法:①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;②两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五:燕尾定理S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △GEC =BE :EC ; S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △GFC =AF :FC ; S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ;【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】(难度等级 ※)如图,长方形ABCD 的面积是56平方厘米,点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点,H 为AD 边上的任意一点,求阴影部分的面积.【例2】(难度等级 ※)F ED CBA如右图,ABFE 和CDEF 都是矩形,AB 的长是4厘米,BC 的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是____平方厘米.【例3】(难度等级 ※)如图,在三角形ABC 中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E 、F 分别为AB 和AC 的中点,那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米?【例4】(难度等级 ※※※)如图,在面积为1的三角形ABC 中,DC=3BD,F 是AD 的中点,延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF的面积之和。
专题 中点四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)
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专题02 中点四大模型在三角形中应用(知识解读)【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念,和后面学习的中线,中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么,如果在题中遇到中点你会想到什么?等腰三角形三线合一;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;还是中位线定理?今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 :倍长中线法如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.当题中出现中线时,我们经常根据需要将AD延长,使延长部分和中线相等,这种方法叫做“倍长中线”.如下图:此时,易证△ACD≌EDB,进而得到AC=BE且AC//BE.模型2:平行线夹中点如图,AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3:中位线如图,在△ABC中,点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点,构造三角形中位线.如下图所示:由中位线的性质可得,DE//BC且DE=1/2BC.模型4:连接直角顶点,构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSS B.SAS C.AAS D.HL(2)求得AD的取值范围是.A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC =BF.【变式1-1】(1)在△ABC中,AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.(2)受到(1)启发,请你证明下面的问题:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF>EF.【变式1-2】如图,在△ABC中,已知:点D是BC中点,连接AD并延长到点E,连接BE.(1)请你添加一个条件使△ACD≌△EBD,并给出证明.(2)若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明.(1)延长DE到F,使得EF=DE;(2)作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F;(3)过点C作CF∥AB交DE的延长线于F.【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图,已知AB=12,AB⊥BC,垂足为点B,AB⊥AD,垂足为点A,AD=5,BC =10,点E是CD的中点,求AE的长.【变式2-1】如图,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=1,BC=4,CD=3,取AD的中点E,连结BE,则BE=.【变式2-2】如图,公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD,其中AB∥CD,在E、M、F 处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM、MF,请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等?说出你推断的理由.【变式2-3】如图:已知AB∥CD,BC⊥CD,且CD=2AB=12,BC=8,E是AD的中点,①请你用直尺(无刻度)作出一条线段与BE相等;并证明之;②求BE的长.【模型3 中位线】【典例3】如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC中点,AD⊥BD,AC=7,AB=4,则DE的值为()A.1B.2C.D.【变式3-1】如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为.【变式3-2】如图,等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,连接CD和EF.(1)求证:CD=EF;(2)四边形DEFC的面积为.【变式3-3】如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC的延长线上,CE=DE=2BC.CD 的中点为F,DE的中点为G,连接AF,FG.(1)求证:四边形AFGD为菱形;(2)连接AG,若BC=2,,求AG的长.【模型4 连接直角顶点,构造斜中定】【典例4】用三种方法证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知:如图,∠BCA =90°,AD=DB.求证:CD=AB.【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为()A.5B.10C.15D.20【变式4-2】如图,点E是△ABC内一点,∠AEB=90°,D是边AB的中点,延长线段DE 交边BC于点F,点F是边BC的中点.若AB=6,EF=1,则线段AC的长为()A.7B.C.8D.9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB.证法1:如图2,在∠ACB的内部作∠BCE=∠B,CE与AB相交于点E.∵∠BCE=∠B,∴.∵∠BCE+∠ACE=90°,∴∠B+∠ACE=90°.又∵,∴∠ACE=∠A.∴EA=EC.∴EA=EB=EC,即CE是斜边AB上的中线,且CE=AB.又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,∴CD=AB.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.专题02 中点四大模型在三角形中应用(知识解读)【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念,和后面学习的中线,中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么,如果在题中遇到中点你会想到什么?等腰三角形三线合一;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;还是中位线定理?今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
三角形的四大模型
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三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一,它具有许多重要的性质和特点。
在研究三角形时,我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。
下面将介绍三角形的四大模型:欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。
一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。
欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一,它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式,三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。
欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。
这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。
二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。
特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。
重心是三角形三条中线的交点,外心是三角形三条外接圆的交点,内心是三角形三条内切圆的交点。
特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。
例如,通过研究重心,我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质;通过研究外心,我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质;通过研究内心,我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。
三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。
边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。
在边-角模型中,我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。
例如,正弦定理可以用来计算三角形的边长,余弦定理可以用来计算三角形的角度,海伦公式可以用来计算三角形的面积。
四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。
向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。
在向量模型中,我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角,用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
三角形的四大模型培训课件
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三角形的四大模型一、三角形的重要概念和性质1、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°2、三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形角平分线(角分线)中线(分面积等)高(直角三角形两锐角互余)二、八字模型:证明结论:∠A+∠B=∠C+∠D三、飞镖模型:证明结论:1.∠BOC=∠A+∠B+∠C四、角分线模型:如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,试探索∠A与∠D之间的数量关系,并证明你的结论.如图,△ABC两个外角(∠CAD、∠ACE)的平分线相交于点P.探索∠P与∠B有怎样的数量关系,并证明你的结论.题型一、三角形性质等应用1.如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了米数是()A.120 B.150 C.240 D.3602.如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.3.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影= cm2.4.A、B、C是线段A1B,B1C,C1A的中点,S△ABC的面积是1,则S△A1B1C1的面积.5.一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形?画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况.6.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时,求证:∠APB=∠PAC+∠PBD;(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?(直接回答)(3)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.题型二、八字模型应用7.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如图2,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,①图2中共有个“8字形”;②若∠ABC=80°,∠ADC=38°,求∠P的度数;(提醒:解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法)③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由.8.(1)求五角星的五个角之和;(2)求这六个角之和题型三、飞镖模型应用9.如图,已知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F,探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系,并证明你的结论.10.如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.(1)探究猜想:①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.(2)拓展应用:如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证明).题型四、角分线模型应用11.如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数.12.如图,在△ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E,则∠BDC的度数是()A.67°B.84°C.88°D.110°第11题第12题第13题13.如图,若∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,∠ABC=50°,则∠BCD的大小为()A.50°B.100°C.130°D.150°14.如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n.设∠A=θ.则:(1)∠A1= ;(2)∠A2= ;(3)∠A n= .题型五、其他应用15.已知△ABC中,∠A=60°.(1)如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC= °.(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C= °.(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1(内部有n﹣1个点),求∠BO n﹣1C(用n的代数式表示).(4)如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1,若∠BO n﹣1C=90°,求n的值.16.我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E.(1)请你通过画图、度量,填写右上表(图画在草稿纸上,并尽量画准确)(2)从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系,写出并说明其中的道理.∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数(备用图)。
三角形计算四大模型
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三角形计算四大模型三角形是数学中的一种基本几何形状,拥有三边和三个内角。
在数学中,有四种常见的三角形计算模型:余弦定理、正弦定理、海伦公式和面积公式。
这些模型可以用于计算三角形的各种属性,例如边长、角度和面积。
下面将详细介绍这四个模型。
1.余弦定理:余弦定理表达了一个三角形的任意一条边的平方与其余两条边的平方之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c,内角对应的顶点分别为A、B、C,那么余弦定理可以表达为:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2.正弦定理:正弦定理利用了角度和边长之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c,内角对应的顶点分别为A、B、C,那么正弦定理可以表达为:a/sinA = b/sinB = c/sinC3.海伦公式:海伦公式可以用来计算三角形的面积。
设三角形的三边长度分别为a、b、c,令s为半周长(即s=(a+b+c)/2),那么海伦公式可以表达为:面积 = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))4.面积公式:面积公式也可以用来计算三角形的面积。
面积=(1/2)*b*h这四大模型都能够为我们提供计算三角形属性的方法。
余弦定理和正弦定理适用于计算三角形边长和角度的情况,而海伦公式和面积公式则适用于计算三角形的面积。
根据具体的问题,我们可以选择合适的模型来计算三角形的属性。
除了上述四大模型之外,三角形的属性还可以通过其他方法来计算,例如勾股定理、角平分线定理等。
每个模型在不同的问题中都有其特定的适用场景,因此了解并掌握这些模型可以帮助我们更好地解决各种三角形计算问题。
专题11 三角形常见模型(热考模型)(解析版)
![专题11 三角形常见模型(热考模型)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/d5004d51bb1aa8114431b90d6c85ec3a86c28b62.png)
专题11三角形常见模型(热考模型)模型一:飞镖模型模型二:8字模型模型三:角平分线模型模型四:裁剪模型模型五:翻折模型【典例分析】【模型一:飞镖模型】【典例1】探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数.【解答】解:(1)如图(1),∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB,∴∠ADC+∠AEC==45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【变式1-1】(2020春•沙坪坝区校级期中)如图,△ABC中,∠A=30°,D为CB延长线上的一点,DE⊥AB于点E,∠D=40°,则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解:∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠D=40°,∴∠ABD=180°﹣∠D﹣∠DEB=50°,∵∠ABD=∠A+∠C,∠A=30°,∴∠C=∠ABD﹣∠A=50°﹣30°=20°.故选:A.【变式1-2】(2017•东昌府区一模)如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,∠B的度数是()A.33°B.23°C.27°D.37°【答案】B【解答】解:如图,延长CD交AB于E,∵∠C=38°,∠A=37°,∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°,∵∠BDC=98°,∴∠B=∠BDC﹣∠1=98°﹣75°=23°.故选:B.【变式1-3】(2021春•工业园区校级月考)如图,点C是∠BAD内一点,连CB、CD,∠A=80°,∠B=10°,∠D=40°,则∠BCD的度数是()A.110°B.120°C.130°D.150°【答案】C【解答】解:延长BC交AD于E,∵∠BED是△ABE的一个外角,∠A=80°,∠B=10°,∴∠BED=∠A+∠B=90°,∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD=∠BED+∠D=130°,故选:C.【变式1-4】(2021•碑林区校级二模)如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD 的平分线,BE与CF交于G,如果∠BDC=140°,∠BGC=110°,则∠A =.【答案】80°【解答】解:连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣140°=40°,∵∠BGC=110°,∴∠GBC+∠GCB=180°﹣110°=70°,∴∠GBD+∠GCD=70°﹣40°=30°,∵BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°,在△ABC中,∠A=180°﹣40°﹣30°﹣30°=80°.故答案为:80°.【模型二:8字模型】【典例2】图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:;(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:个;(3)图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.(4)图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠C+∠B,故答案为:∠A+∠D=∠C+∠B;(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”;故“8字形”共有6个,故答案为:6;(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,①+②得:∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,即2∠P=∠D+∠B,又∵∠D=50度,∠B=40度,∴2∠P=50°+40°,∴∠P=45°;(4)关系:2∠P=∠D+∠B.∠D+∠1=∠P+∠3①∠B+∠4=∠P+∠2②①+②得:∠D+∠1+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P,∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P,∴∠1=∠2,∠3=∠4∴2∠P=∠D+∠B.【变式2-1】(2020•柯桥区模拟)如图所示,∠α的度数是()A.10°B.20°C.30°D.40°【答案】A【解答】解:∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD,∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D∴30°+20°=40°+α,∴α=10°故选:A.【变式2-2】如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,若∠A=45°,∠P=40°,则∠C的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°【答案】B【解答】解:∵∠A+∠ADG+∠AGD=180°,∠ABC+∠C+∠BGC=180°,∴∠A+∠ADG+∠AGD=∠ABC+∠C+∠BGC.又∵∠AGD=∠BGC,∴∠A+∠ADG=∠C+∠GBC.∴∠A﹣∠C=∠GBC﹣∠ADG.同理可得,∠A+∠ADE=∠P+∠PBE.∴∠A﹣∠P=∠PBE﹣∠ADE.∵BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB于点E,∴∠GBC=2∠PBE,∠ADG=2∠ADE.∴∠A﹣∠C=2(∠A﹣∠P).∴∠A+∠C=2∠P.又∵∠A=45°,∠P=40°,∴∠C=35°.故选:B【变式2-3】已知,如图,线段AD、CB相交于点O,连结AB、CD,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P.试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系,请说明理由.【答案】2∠P=∠B+∠D.【解答】解:2∠P=∠B+∠D,理由如下:如图,在△AOB和△COD中,∵∠AOB=∠COD,∴∠OAB+∠B=∠OCD+∠D,在△AEP和△CED中,∵∠AEP=∠CED,∴∠1+∠P=∠2+∠D,∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,∴∠OAB=2∠1,∠OCD=2∠2,∴2∠P﹣∠B=2∠D﹣∠D,整理得,2∠P=∠B+∠D.【变式2-4】在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后,数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明:三角形的内角和等于180°.小颖通过探究发现:可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决,也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明.请将下面(1)中的证明补充完整:(1)已知:如图1,三角形ABC,求证:∠BAC+∠B+∠C=180°,证明:过点A作EF∥BC.(2)如图2,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”.请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:;(3)在图2的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,得到图3,请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)∠A+∠D=∠C+∠B,证明见解析;(3)2∠P=∠D+∠B,证明见解析.【解答】(1)证明:过A作EF∥BC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C,又∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAC=180°;(2)解:根据(1)得∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°,又∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠C+∠B;故答案为:∠A+∠D=∠C+∠B;(3)解:2∠P=∠D+∠B.根据(2)∠D+∠DAP=∠P+∠DCP①,∠P AB+∠P=∠B+∠PCB②,∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,∴①﹣②得:∠D﹣∠P=∠P﹣∠B,∴2∠P=∠D+∠B.【典例3】如图,五角星的五个角之和,即:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=()A.180°B.90°C.270°D.240°【答案】A【解答】解:连接CD,设BD与CE交于点O,由∠BOE=∠COD得:∠B+∠E=∠OCD+∠ODC,在△ACD中,∠A+∠ACD+∠ADC=180°,即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB=180°,∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180°,即五角星的五个内角之和为180°.故选:A.【变式3-1】如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=度.【答案】360.【解答】解:∵∠B+∠C=∠1,∠A+∠F=∠2,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠D=360°.故答案为:360.【变式3-2】如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为【答案】见试题解答内容【解答】解:如图,∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,故答案为:360°.【模型三:角平分线模型】【典例4】在△ABC中,∠A=40°:(1)如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线,且相交于点O,求∠BOC;(2)如图(2)BO、CO是△ABC的外角角平分线,且相交于点O,求∠BOC;(3)如图(3)BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线,且相交于点O,求∠BOC;(4)根据上述三问的结果,当∠A=n时,分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只需写出结论).【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB,∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB,而BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,∴2∠BOC=360°﹣(∠ABC+∠ACB),∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∴2∠BOC=180°+∠A,∴∠BOC=90°+∠A.当∠A=40°,∠BOC=110°;(2)∠OBC=(∠A+∠ACB),∠OCB=(∠A+∠ABC),∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB,=180°﹣(∠A+∠ACB)﹣(∠A+∠ABC),=180°﹣∠A﹣(∠A+∠ABC+∠ACB),结论∠BOC=90°﹣∠A.∠BOC=90°﹣∠A.当∠A=40°,∠BOC=70°.(3)∵∠OCD=∠BOC+∠OBC,∠ACD=∠ABC+∠A,而BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,∴∠ACD=2∠OCD,∠ABC=2∠OBC,∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A,∴2∠BOC=∠A,即∠BOC=∠A.当∠A=40°,∠BOC=20°;(4)∠BOC=90°+n;∠BOC=90°﹣n;∠BOC=n.【变式4-1】(1)如图1,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求证:∠P=90°+∠A;(2)如图2,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE,猜想∠P 和∠A有何数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)证明过程见解答;(2)∠P=A.【解答】(1)证明:∵A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PCB=ACB,∠PBC=ABC,∴∠P=180°﹣(∠PCB+∠PBC)=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+A;(2)猜想:证明:∵∠ACE=∠A+∠ABC,∴∠A=∠ACE﹣∠ABC,∵∠PCE=∠P+∠PBC,∴∠P=∠PCE﹣∠PBC,又∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACE,∴,∴∠P=ACE﹣ABC=(∠ACE﹣∠ABC)=A.【变式4-2】在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如图①,若∠BPC=α,则∠A=;(用α的代数式表示,请直接写出结论)(2)如图②,作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q,试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)2α﹣180°;(2)∠BPC+∠Q=180°,证明见解析.【解答】(1)解:如图①∵BP,CP分别平分∠ABC与∠ACB,∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=ACB,∵∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)∴∠BPC=180°(∠ABC+∠ACB)∴∠BPC=180°(180°﹣∠A),∴∠BPC=90°∠A,∵∠BPC=α,∴∠A=2α﹣180°.故答案为2α﹣180°.(2)∠BPC+∠Q=180°.证明:如图②∵BQ,CQ分别平分∠MBC,∠NCB,∴∠QBC=∠CBM,∠BCQ=∠BCN,∴∠QBC+∠QCB=(∠CBM+∠BCN)∴∠QBC+∠QCB=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=(180°+∠A)∴∠QBC+∠QCB=90°∠A,∴∠Q=180°﹣(90°∠A)=90°∠A,∵∠BPC=90°∠A,∴∠BPC+∠Q=180°.【模型四:裁剪模型】【典例5】如图,将一个三角形剪去一个角后,∠1+∠2=240°,则∠A等于()A.45°B.60°C.75°D.80°【答案】B【解答】解:∵∠1+∠2=240°,∴∠B+∠C=360°﹣(∠1+∠2)=120°,∴∠A=180°﹣(∠B+∠C)=60°,故选:B.【变式5-1】如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=()°.A.90B.135C.180D.270【答案】D【解答】解:∠1+∠2=360°﹣(180°﹣90°)=270°,故选:D.【变式5-2】如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于()A.90°B.135°C.150°D.270°【答案】D【解答】解:∠CDE=180°﹣∠1,∠CED=180°﹣∠2,在△CDE中,∠CDE+∠CED+∠C=180°,所以,180°﹣∠1+180°﹣∠2+90°=180°,所以,∠1+∠2=270°.故选:D.【变式5-3】如图,在△ABC中,∠C=50°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵△ABC中,∠C=50°,∴∠A+∠B=180°﹣∠C=130°,∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°,∴∠1+∠2=360°﹣130°=230°,故答案为:230°.【模型五:翻折模型】【典例6】我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”.在三角形纸片中,点D,E分别在边AC,BC上,将∠C沿DE折叠,点C落在点C'的位置.(1)如图1,当点C落在边BC上时,若∠ADC'=58°,则∠C=,可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是;(2)如图2,当点C落在△ABC内部时,且∠BEC'=42°,∠ADC'=20°,求∠C的度数;(3)如图3,当点C落在△ABC外部时,若设∠BEC'的度数为x,∠ADC'的度数为y,请求出∠C与x,y之间的数量关系.【答案】(1)29°,∠ADC'=2∠C;(2)31°;(3)∠C=x﹣y.【解答】解:(1)∵∠ADC′=58°,∴∠CDC′=180°﹣∠ADC′=122°,由折叠得:∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=61°,∠DEC=∠DEC′=×180°=90°,∴∠C=180°﹣∠EDC﹣∠DEC=29°,∴∠ADC'与∠C的数量关系:∠ADC'=2∠C.故答案为:29°,∠ADC'=2∠C;(2)∵∠BEC′=42°,∠ADC′=20°,∴∠CEC′=180°﹣∠BEC′=138°,∠CDC′=180°﹣∠ADC′=160°,由折叠得:∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=80°,∠DEC=∠DEC′=∠CEC′=69°,∴∠C=180°﹣∠EDC﹣∠DEC=31°,∴∠C的度数为31°;(3)如图:∵∠BEC′=x,∠ADC′=y,∴∠CEC′=180°﹣x,∠1=180°+∠ADC′=180°+y,由折叠得:∠CDE=∠C′DE=∠1=90°+y,∠DEC=∠DEC′=∠CEC′=90°﹣x,∴∠C=180°﹣∠EDC﹣∠DEC=180°﹣(90°+y)﹣(90°﹣x)=x﹣y,∴∠C与x,y之间的数量关系:∠C=x﹣y.【变式6-1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上点E处,若∠B=65°,则∠ADE的大小为()A.40°B.50°C.65°D.75°【答案】A【解答】解:在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=65°,∴∠A=90°﹣65°=25°,根据折叠可得∠CED=∠B=65°,∴∠ADE=65°﹣25°=40°,故选:A.【变式6-2】如图,将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠,点A落在点A'处,若∠B=44°,则∠A'DB的度数是()A.108°B.104°C.96°D.92°【答案】D【解答】解:∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠,点A落到点A′,∴∠ADE=∠B=44°,∴∠A′DE=∠ADE=44°,∴∠A′DB=180°﹣44°﹣44°=92°,故选:D.【变式6-3】如图,将△ABC一角折叠,若∠1+∠2=80°,则∠B+∠C=()A.40°B.100°C.140°D.160°【答案】C【解答】解:连接AA′.∵∠1=∠3+∠4,∠2=∠5+∠6,∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠EAD+∠EA′D,∵∠EAD=∠EA′D,∴∠1+∠2=2∠EAD=160°,∴∠EAD=40°,∴∠B+∠C=180°﹣40°=140°,故选:C.【夯实基础】1.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=125°,则∠A的度数为()A.60°B.80°C.70°D.45°【答案】C【解答】解:在△FBC中,∠BFC=125°.∴∠FBC+∠FCB=180°﹣∠BFC=55°.∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB.∴∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB.∴∠ABC+∠ACB=2(∠FBC+∠FCB)=110°.∴在△ABC中,∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=70°.故选:C.2.如图,点B是△ADC的边AD的延长线上一点,DE平分∠CDB,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠A的度数等于()A.70°B.100°C.110°D.120°【答案】A【解答】解:∵DE平分∠CDB,∴∠CDE=∠BDE,∵∠BDE=60°,∴∠CDE=60°,∴∠ADC=180°﹣∠BDE﹣∠CDE=180°﹣60°﹣60°=60°,∵∠C=50°,∴∠A=180°﹣∠C﹣∠ADC=180°﹣50°﹣60°=70°,故选:A.3.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,∠A=40°,则∠BDC的度数是()A.110°B.120°C.130°D.140°第6题图【答案】A【解答】解:在△ABC中,∵∠A=40°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°,∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D,∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°,在△DBC中,∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°,∴∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=180°﹣70°=110°.故选:A.4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=24°,则∠EDC等于()A.69°B.67°C.66°D.42°【答案】A【解答】解:在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=24°,∴∠B=90°﹣∠A=66°.由折叠的性质可得:∠BCD=∠ACB=45°,∴∠BDC=∠EDC=180°﹣∠BCD﹣∠B=69°.故选:A.5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=22°,则∠EDA等于()A.46°B.56°C.36°D.77°【答案】A【解答】解:△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22°,∴∠B=90°﹣∠A=68°,由折叠的性质可得:∠CED=∠B=68°,∴∠EDA=∠CED﹣∠A=46°,故选:A.6.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形DEBC内部A',当∠A=30°时,∠1+∠2=()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】D【解答】解:在△ADE中,∠A=30°,∠ADE+∠AED=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°,由折叠可知:∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED,∴∠1+∠2=360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED=360°﹣2(∠ADE+∠AED)=360°﹣2×150°=60°.故选:D.7.在直角△ABC中,∠C=90°,沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2=.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°,∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°,∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°.故答案是:270°.8.如图,在△ABC中,∠C=40°,按图中虚线将∠C剪去后,∠1+∠2等于.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵△ABC中,∠C=40°,∴∠A+∠B=180°﹣∠C=140°,∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°,∴∠1+∠2=360°﹣140°=220°,故答案为:220°.9.有一张直角三角形纸片,记作△ABC,其中∠B=90°.按如图方式剪去它的一个角(虚线部分),在剩下的四边形ADEC中,若∠1=165°,则∠2的度数为°.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵∠B=90°,∴∠BDE+∠BED=180°﹣∠B=90°,又∵∠BDE+∠2=180°,∠BED+∠1=180°,∴∠1+∠2=360°﹣(∠BDE+∠BED)=270°.∵∠1=165°,∴∠2=105°.故答案为:105.10.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处,若∠1=80°,∠2=28°,则∠A的度数为.【答案】26°.【解答】解:如图,由折叠的性质可知∠A'=∠A,∵∠1=∠A+∠AFD,∠AFD=∠2+∠A',∴2∠A+∠2=∠1,∵∠1=80°,∠2=28°,∴∠A=26°,故答案为:26°.11.如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A′处,且BA′平分∠ABC,CA′平分∠ACB,若∠BA′C=115°,则∠1+∠2的度数为.【答案】100°.【解答】解:如图,连接AA',∵A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,∴∠A'BC=∠ABC,∠A'CB=∠ACB,∵∠BA'C=115°,∴∠A'BC+∠A'CB=180°﹣115°=65°,∴∠ABC+∠ACB=130°,∴∠BAC=180°﹣130°=50°,∵沿DE折叠,∴∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A,∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA',∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×50°=100°,故答案为:100°.12.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解:由图可知:∵∠2是三角形的外角,∴∠2=∠A+∠1,同理∠1也是三角形的外角,∴∠1=∠E+∠C,在△BDF中,∠B+∠D+∠2=180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.13.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:;(2)如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.请直接利用(1)中的结论,完成下列各题:①仔细观察,在图2中“8字形”的个数:个;②若∠D=40°,∠B=50°,试求∠P的度数;③若∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系?若存在,请写出推理过程;若不存在,请说明理由;④若∠D和∠B为任意角,∠DAB=3∠2,∠DCB=3∠4,试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系?若存在,请直接写出结论;若不存在,请说明理由.【答案】(1)∠A+∠D=∠B+∠C;(2)①6;②45°;③∠B+∠D=2∠P;④2∠B+∠D=3∠P.【解答】解:(1)∵∠A+∠D=180°﹣∠AOD,∠B+∠C=180°﹣∠COB,且∠AOD=∠COB,∴∠A+∠D=∠B+∠C;故答案为∠A+∠D=∠B+∠C;(2)①以M为交点的有1个,为△AMD和△CMP,以O为交点的有4个,为△AOD和△BOC,△AOD和△CON,△AOM和△BOC,△AOM和△CON,以N为交点的有1个,为△ANP和△BNC,故答案为6个;②∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD,∴2∠1=∠OAD,2∠3=∠OCB,由(1)中的结论得:∠1+∠D=∠3+∠P,2∠1+∠D=2∠3+∠B,整理得:∠B+∠D=2∠P,∴∠P==45°;③:∠B+∠D=2∠P,理由如下:∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD,∴2∠1=∠OAD,2∠3=∠OCB,由(1)中的结论得:∠1+∠D=∠3+∠P,2∠1+∠D=2∠3+∠B,整理得:∠B+∠D=2∠P;④2∠B+∠D=3∠P,理由如下:由(1)中结论得:∠2+∠P=∠4+∠B,3∠2+∠D=3∠4+∠B,整理得:2∠B+∠D=3∠P.14.“8字”的性质及应用:(1)如图①,AD、BC相交于点O,得到一个“8字”ABCD,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.(2)图②中共有多少个“8字”?(3)如图②,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论证明∠E=(∠A+∠C).【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,又∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D;(2)图②中有:ABCD、BECD、ABED,BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”;(3)∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴∠ABE=∠CBE=ABC,∠CDE=∠ADE=∠ADC,∵∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,∴∠E=(∠A+∠C).15.(1)如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F.直接写出线段EF与BE,CF之间的数量关系:.(2)如图2,若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O,过O点作OE∥BC交AB于点E,交AC于点F.则EF与BE,CF之间的数量关系又如何?说明你的理由.【答案】(1)EF=EB+FC;(2)EF=BE﹣CF.【解答】解:(1)∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴EB=EO,FC=FO,∵EF=EO+FO,∴EF=EB+FC,故答案为:EF=EB+FC;(2)EF=BE﹣CF,理由是:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠EBO=∠EOB,∴EB=EO,同理可得:FO=CF,∵EF=EO﹣FO,∴EF=BE﹣CF【能力提升】16.如图,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,则∠A1=.∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010,得∠A2010,则∠A2010=.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC,∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC,即∠A1CD=∠A+∠A1BC,∴∠A1==,由此可得∠A2010=.故答案为:,.17.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.(1)求证:∠A+∠C=∠B+∠D.利用以上结论解决下列问题:(2)如图2所示,∠1=130°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为.(3)如图3,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.①若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数.②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,试直接写出∠P与∠B,∠C之间存在的数量关系,并证明理由.【答案】(1)证明见解析过程;(2)260°;(3)①110°,②4∠P=∠B+3∠C,理由见解析过程.【解答】解:(1)证明:在图1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D =180°﹣∠BOD,∵∠AOC=∠BOD,∴∠A+∠C=∠B+∠D;(2)如图2所示,∵∠DME=∠A+∠E,∠3=∠DME+∠D,∴∠A+∠E+∠D=∠3,∵∠2=∠3+∠F,∠1=130°,∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°,∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°,∵∠B+∠C=∠1=130°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°.故答案为:260°.(3)①以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,∴2∠P=∠B+∠C,∵∠B=100°,∠C=120°,∴∠P=(∠B+∠C)=(100°+120°)=110°;②3∠P=∠B+2∠C,其理由是:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,∴∠BAP=∠CAB,∠BDP=∠CDB,以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=(∠CDB﹣∠CAB),∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=(∠CDB﹣∠CAB).∴3(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,∴4∠P=∠B+3∠C.18.如图①,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.(1)若∠A=40°,则∠BOC=.若∠A=60°,则∠BOC =.若∠BOC=3∠A,则∠BOC=.(2)如图②,在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′,∠A=40°,则∠B′O′C′=(3)上面(1)、(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系?这个结论你是怎样得到的?(4)如图③,△A″B″C″的内角∠ACB的外角平分线与∠ABC的内角平分线相交于点O″,∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系?这个结论你是怎样得到的?【答案】(1)110°,60°,108°;(2)70°;(3)∠BOC+∠B′O′C′=180°;(4)∠BOC﹣∠B″O″C″=90°.【解答】解:(1)∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°,∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=×140°=70°,∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=110°,∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°,∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=×120°=60°,∴∠BOC=180°﹣120°=60°;∵设∠A=x°,则∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=×(180°﹣x°)=90°﹣x°,∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣x°)=90°+x°,∵∠BOC=3∠A,∴3x=90+x,x=36,即∠BCO=3x°=108°;故答案为:110°,60°,108°;(2)如图2,∵∠A′=40°,∴∠A′B′C′+∠A′C′B′=180°﹣40°=140°,∴∠MB′C′+NC′B′=360°﹣140°=220°,∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′,∠NC′B′,∴∠1=∠MB′C′,∠2=∠NC′B′,∴∠1+∠2=110°,∴∠B′O′C′=180°﹣110°=70°,故答案为:70°;(3)图1和图2的∠BOC+∠B′O′′=180°(当∠A=∠A′时);图1中∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A,图2中∠B′O′′=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(∠MB′C′+∠NC′B′)=180°﹣[360°﹣(∠A′B′C′+∠A′C′B′)]=(180°﹣∠A′)=90°﹣∠A′,∵∠A=∠A′=n°,∴∠BOC+∠B′O′C′=180°(4)∵∠A″C″M=2∠2=∠A″+∠A″B″C″,∠2=∠O″+∠1,∵C″D″平分∠A″C″M,B″O″平分∠A″B″C″∴∠A″C″M=2∠2,∠A″B″C″=2∠1,∴∠A″=2∠O″=n°,∴∠B″O″C″=∠A″,∵∠BOC=90°+∠A,∠A=∠A′=n°∴∠BOC﹣∠B″O″C″=90°.19.已知△ABC中,∠A=x°(1)如图1,若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,则用x表示∠BOC =°(2)如图2,若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2,则用x表示∠BO1C=°(3)如图3,若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1,则用x表示∠BO1C=°【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O,∴2∠OBC=∠ABC,2∠OCB=∠ACB,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A,∵∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A,∵∠A=x°,∴∠BOC=(90+x)°;。
三角形常见模型
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三角形常见模型三角形,作为几何学中最基本且最常用的图形之一,以其独特的稳定性和多样的形状在各个领域都有广泛的应用。
在数学中,三角形有许多常见的模型,这些模型不仅简化了复杂的问题,还为我们提供了解决各种问题的新视角。
下面,我们将探讨几个常见的三角形模型。
等边三角形,顾名思义,是所有边都相等的三角形。
这种三角形的所有角都是60度,它具有高度的对称性和均衡性。
在几何学中,等边三角形经常被用来作为其他复杂图形的参照物。
在现实生活中,等边三角形的运用也很广泛,比如在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
等腰三角形是两边相等的三角形。
它的两个底角是相等的,顶角与底角的和等于180度。
这种三角形在现实生活中也很常见,比如衣帽架、梯子和平面设计等。
直角三角形是一个角为90度的三角形。
在这个三角形中,斜边是最大的边,两条直角边可以根据勾股定理进行计算。
直角三角形在数学、工程、建筑等领域都有广泛的应用。
例如,在建筑设计中,直角三角形经常被用来构建稳定的结构。
相似三角形是形状相同但大小不同的三角形。
它们的对应角相等,对应边的比也相等。
在解决一些复杂的问题时,相似三角形的运用可以大大简化计算过程。
例如,在物理学和工程学中,相似三角形被用来解决许多复杂的问题。
以上就是三角形的几种常见模型。
这些模型各有其独特的性质和应用领域,但它们都以各自的方式展示了三角形的魅力和价值。
无论是等边三角形等腰三角形、直角三角形还是相似三角形,它们都在各自的领域中发挥着重要的作用。
这些模型的运用不仅简化了问题的解决过程,也为我们提供了深入理解和探索三角形世界的工具。
全等三角形常用辅助线模型,常见的全等三角形的模型归纳在几何学中,全等三角形是一个重要的概念,它指的是两个或多个三角形,其边长和角大小均相等。
全等三角形的证明和应用在几何学中具有广泛的应用价值。
为了更有效地构造和证明全等三角形,下面将介绍几种常见的全等三角形辅助线模型,并对常见的全等三角形模型进行归纳。
微专题 三角形四大常考全等模型
![微专题 三角形四大常考全等模型](https://img.taocdn.com/s3/m/1d39ea96e009581b6bd9ebfe.png)
基本模型
图示
模型总结
有三个直角,常利用同角(等角)的余角相等证明角相等
针对训练 3.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. 求证:DE=AD+BE.
第3题图
证明:∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 又∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∴∠BCE=∠CAD. 在△ADC和△CEB中,
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第4题图
∠A=∠ACF AD=CF , ∠A DF =∠F ∴△ADE≌△CFE(ASA).
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例2题图
解:全等.
理由如下:∵∠1=∠2,∴DB=DC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,
∴∠ABD=∠ACD,
在△ABD和△ACD中, AB=AC ∠ABD=∠ACD, BD=CD ∴△ABD≌△ACD(SAS).
基本模型
图示
所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,重合的顶 模型总结 点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边
【思维教练】要证△ABC≌△DEC, 题干已知BC=CE,AB=DE,∠BAE =∠BCE=90°,只需证明∠B= ∠CED即可.
例4题图
证明:∵∠BAE=∠BCE=90°, ∴∠ABC+∠AEC=180°. ∵∠AEC+∠DEC=180°, ∴∠DEC=∠B. 在△ABC和△DEC中, AB=DE ∠B=∠DEC, BC=EC ∴△ABC≌△DEC(SAS).
微专题 四大常考全等模型
(必考,均在几何图形的证明与计算中涉及考查) 模型一 平移模型 例1 如图,已知BC∥EF,∠B=∠DGC,点D、C在AF上,且AB=DE. 求证:AD=CF. 【找一找】
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
![专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/e831aaae4793daef5ef7ba0d4a7302768e996fa9.png)
专题13全等三角形重难点模型(五大模型)模型一:一线三等角型模型二:手拉手模型模型三:半角模型模型四:对角互补模型模型五:平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一:一线三等角型】如图一,∠D=∠BCA=∠E=90°,BC=AC。
结论:Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二,∠D=∠BCA=∠E,BC=AC。
结论:△BEC≌△CDA图一图二应用:①通过证明全等实现边角关系的转化,便于解决对应的几何问题;②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图,平面直角坐标系中有点A(﹣1,0)和y轴上一动点B(0,a),其中a>0,以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC,设点C的坐标为(c,d).(1)当a=2时,则C点的坐标为;(2)动点B在运动的过程中,试判断c+d的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若发生变化,请说明理由.【解答】解:(1)如图1中,过点C作CE⊥y轴于E,则∠CEB=∠AOB.∵△ABC是等腰直角三角形,∴BC=BA,∠ABC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BAO+∠CBE,∴∠BCE=∠ABO,在△BCE和△BAO中,,∴△CBE≌△BAO(AAS),∵A(﹣1,0),B(0,2),∴AO=BE=1,OB=CE=2,∴OE=1+2=3,∴C(﹣2,3),故答案为:(﹣2,3);(2)动点A在运动的过程中,c+d的值不变.理由:过点C作CE⊥y轴于E,则∠CEA=∠AOB,∵△ABC是等腰直角三角形,∴BC=BA,∠ABC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠ABO+∠CBE,∴∠BCE=∠ABO,在△BCE和△BAO中,,∴△CBE≌△BAO(AAS),∵B(﹣1,0),A(0,a),∴BO=AE=1,AO=CE=a,∴OE=1+a,∴C(﹣a,1+a),又∵点C的坐标为(c,d),∴c+d=﹣a+1+a=1,即c+d的值不变.【变式1】点A的坐标为(4,0),点B为y轴负半轴上的一个动点,分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD.(1)如图一,若点B坐标为(0,﹣3),连接AC、OD.①求证:AC=OD;②求D点坐标.(2)如图二,连接CD,与y轴交于点E,试求BE长度.【解答】(1)①证明:∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形,∴OB=CB,BD=AB,∠ABD=∠OBC=90°,∴∠ABD+ABO=∠OBC+∠A∠O,∴∠OBD=∠CBA,∴△OBD≌△CBA(SAS),∴AC=OD;②如图一、∵A(4,0),B(0,﹣3),∴OA=4,OB=3,过点D作DF⊥y轴于F,∴∠BOA=∠DFB=90°,∴∠ABO+∠OAB=90°,∵∠ABD=90°,∴∠ABO+∠FBD=90°,∴∠OAB=∠FBD,∵AB=BD,∴△AOB≌△BFD(AAS),∴DF=OB=3,BF=OA=4,∴OF=OB+BF=7,∴D(3,﹣7);(2)如图二、过点D作DF⊥y轴于F,则∠DFB=90°=∠CBF,同(1)②的方法得,△AOB≌△BFD(AAS),∴DF=OB,BF=OA=4,∵OB=BC,∴BC=DF,∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB(AAS),∴BE=EF,∴BF=BE+EF=2BE=4,∴BE=2.【典例2】(1)猜想:如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系,请直接写出;(2)探究:如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角)如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;(3)解决问题:如图3,F是角平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点,D、E、A互不重合,在运动过程中线段DE的长度始终为n,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理由.【解答】解:(1)DE=BD+CE,理由如下:∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠CAE,在△ADB和△CEA中,,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE;(2)结论DE=BD+CE成立,理由如下:∵∠BAD+∠CAE=180°﹣∠BAC,∠BAD+∠ABD=180°﹣∠ADB,∠ADB=∠BAC,∴∠ABD=∠CAE,在△BAD和△ACE中,,∴△BAD≌△ACE(AAS),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE;(3)△DFE为等边三角形,理由如下:由(2)得,△BAD≌△ACE,∴BD=AE,∠ABD=∠CAE,∴∠ABD+∠FBA=∠CAE+FAC,即∠FBD=∠FAE,在△FBD和△FAE中,,∴△FBD≌△FAE(SAS),∴FD=FE,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,∴△DFE为等边三角形.【变式2】已知,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE =9cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC(1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,CE与AD 的数量关系为;(2)如图②,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系;(3)如图③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC,∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD,∴∠CAE=∠ABD,∵∠BDA=∠AEC,BA=CA,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,故答案为:BD=AE,CE=AD;(2)DE=BD+CE,由(1)同理可得△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=BD+CE;(3)存在,当△DAB≌△ECA时,∴AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,∴t=1,此时x=2;当△DAB≌△EAC时,∴AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=,x=7÷=,综上:t=1,x=2或t=,x=.【模型二:手拉手模型】应用:①利用手拉手模型证明三角形全等,便于解决对应的几何问题;②作辅助线构造手拉手模型,难度比较大。
初中所有几何模型
![初中所有几何模型](https://img.taocdn.com/s3/m/e5dea32cf4335a8102d276a20029bd64793e626a.png)
初中所有几何模型
初中几何中常见的模型包括但不限于以下几种:
1. 手拉手模型:这种模型通常涉及到两个三角形,其中一个三角形的顶点与另一个三角形的对应顶点相连。
根据角度和边的关系,可以证明这两个三角形是相似的或全等的。
2. 倍长中线模型:如果一个中线长度超过另一边的一半,则可以通过倍长中线来构造新的三角形,从而利用中线性质进行证明。
3. 平行线模型:通过平行线的性质,可以证明一些角的关系,或者利用平行线的传递性来证明一些线段的比例关系。
4. 角平分线模型:利用角平分线的性质,可以证明一些角或者线段的比例关系。
5. 直角三角形模型:通过直角三角形的性质,可以证明一些角或者线段的关系。
6. 对角线模型:利用对角线的性质,可以证明一些线段的比例关系,或者通过构造新的三角形来证明一些结论。
7. 旋转模型:通过旋转图形,可以证明一些结论或者找到一些新的等量关系。
8. 相似三角形模型:通过相似三角形的性质,可以证明一些角或者线段的比例关系。
9. 特殊四边形模型:对于一些特殊的四边形,如平行四边形、矩形、菱形等,可以利用它们的性质来证明一些结论。
以上是一些常见的初中几何模型,它们都是基于几何的基本性质和定理构建的。
掌握这些模型可以帮助学生在解决几何问题时更加高效和准确。
几何的五大模型
![几何的五大模型](https://img.taocdn.com/s3/m/2d6970226c85ec3a87c2c58d.png)
利用燕尾定理,连接FC,BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2,如果BFD面积为1份的话,BFC为2份;又DF=FG,所以BFG面积与BFD面积相等也是1份,故FGC面积是2-1=1份,那么BG=GC;再利用燕尾定理,DFC的面积与DFB相等也是1份,BDC的面积是4份=6,故一份面积是6/4=1.5,阴影部分是1+2/3=5/3份,面积是1.5×5/3=2关系是一样的。)
四、相似三角形模型
相似三角形:是形状相同,但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等,面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然,最大的三角形的面积为21公顷.
解析:
如图所示,设上底为a,则下底为2a,梯形的高为h,则EF= (a+2a)= ,所以,
。所以
阴影部分
= 即 ,梯形 ABCD的面积=
如下图所示,为了方便叙述,将某些点标上字母.
几何的五大模型
![几何的五大模型](https://img.taocdn.com/s3/m/e8be5c49763231126edb11b4.png)
几何的五大模型 一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等,面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型(说明:任意四边形与四边形、长方形、梯形,连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
)四、相似三角形模型相似三角形:是形状相同,但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型解析:在右图中,平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米,直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD 的面积。
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
解析:利用燕尾定理,连接FC,BFD面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2,如果BFD 面积为1份的话,BFC 为2份;又DF=FG,所以BFG面积与BFD面积相等也是1份,故FGC面积是2-1=1份,那么BG=GC;再利用燕尾定理,DFC的面积与DFB相等也是1份,BDC的面积是4份=6,故一份面积是6/4=1.5,阴影部分是1+2/3=5/3份,面积是1.5×5/3=2.5解析:如图所示,设上底为a,则下底为2a,梯形的高为h,则EF=(a+2a)=,所以,。
所以阴影部分如图,长方形ABCD的面积是12,CE = 2DE,F是DG的中点,那么图中阴影部分面积是________。
初中数学几何模型大汇总
![初中数学几何模型大汇总](https://img.taocdn.com/s3/m/c2b23c50f08583d049649b6648d7c1c708a10b96.png)
初中数学几何模型大汇总几何模型是数学中的重要内容之一,对于初中数学学习来说,掌握并熟练运用各种几何模型是非常重要的。
下面是几何模型的大汇总,供初中学生学习参考。
一、平面图形的模型:1.直角三角形模型:直角三角形由两个直角边和一个斜边构成,可以利用直角三角形模型解决与直角三角形有关的问题。
2.等腰三角形模型:等腰三角形的底边两侧边相等,可以利用等腰三角形模型解决与等腰三角形有关的问题。
3.等边三角形模型:等边三角形的三边相等,可以利用等边三角形模型解决与等边三角形有关的问题。
4.平行四边形模型:平行四边形的对边平行且相等,可以利用平行四边形模型解决与平行四边形有关的问题。
5.矩形模型:矩形的四个角都是直角,可以利用矩形模型解决与矩形有关的问题。
6.正方形模型:正方形的四个边相等且都是直角,可以利用正方形模型解决与正方形有关的问题。
7.菱形模型:菱形的两对对边相等,可以利用菱形模型解决与菱形有关的问题。
8.圆形模型:圆形由中心点和半径构成,可以利用圆形模型解决与圆有关的问题。
二、立体图形的模型:1.正方体模型:正方体的六个面都是正方形,可以利用正方体模型解决与正方体有关的问题。
2.长方体模型:长方体的六个面有两个相等的长方形,可以利用长方体模型解决与长方体有关的问题。
3.球体模型:球体是由无数个半径相等的圆构成,可以利用球体模型解决与球体有关的问题。
4.圆柱模型:圆柱的底面是圆,可以利用圆柱模型解决与圆柱有关的问题。
5.圆锥模型:圆锥的底面是圆,可以利用圆锥模型解决与圆锥有关的问题。
6.圆台模型:圆台的底面是圆,可以利用圆台模型解决与圆台有关的问题。
7.正棱柱模型:正棱柱的底面是正多边形,可以利用正棱柱模型解决与正棱柱有关的问题。
8.正棱锥模型:正棱锥的底面是正多边形,可以利用正棱锥模型解决与正棱锥有关的问题。
9.正多面体模型:正多面体的面都是相等的正多边形,可以利用正多面体模型解决与正多面体有关的问题。
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)
![专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)](https://img.taocdn.com/s3/m/37736178f011f18583d049649b6648d7c0c70848.png)
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)【题型一:标准“K”型图】【题型二:做辅助线构造“K”型图】【题型三:“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四:特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一,∠D=∠BCA=∠E=90°,BC=AC。
结论:Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二,∠D=∠BCA=∠E,BC=AC。
结论:△BEC≌△CDA图一图二应用:①通过证明全等实现边角关系的转化,便于解决对应的几何问题;②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一:标准“K”型图】【典例1】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD﹣BE;CD EBA(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,请直接写出DE,AD,BE 之间的等量关系.【变式1-1】如图,∠BAC=90°,AD是∠BAC内部一条射线,若AB=AC,BE ⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.求证:△ABE≌△CAF.【变式1-2】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,过点B、C分别作l的垂线,垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC=,分别求出线段BD、CE和DE的长;(2)规律探究:(Ⅰ)如图②,若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45°),请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;(Ⅱ)如图③,若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;(3)尝试应用:在图③中,延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE .=1,求S△BFC【类型二:做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,△ABD为等腰三角形,AD=AB=BC,E为DB延长线上一点,∠BAD=2∠CAE.(1)若∠CAE=20°,求∠CBE的度数;(2)求证:∠BEC=135°;(3)若AE=a,BE=b,CE=c.则△ABC的面积为.(用含a,b,c的式子表示)【变式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE,AB=AC,AD=AE.连接BD、CE,过点A作AH⊥CE于点H,反向延长线段AH交BD于点F.(1)如图1,当AB=AD时①请直接写出BF与DF的数量关系:BF=DF(填“>”、“<”、“=”)②求证:CE=2AF(2)如图2,当AB≠AD时,上述①②结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.【变式2-2】直线l经过点A,△ABC在直线l上方,AB=AC.(1)如图1,∠BAC=90°,过点B,C作直线l的垂线,垂足分别为D、E.求证:△ABD≌△CAE;(2)如图2,D,A,E三点在直线l上,若∠BAC=∠BDA=∠AEC=α(α为任意锐角或钝角),猜想线段DE、BD、CE有何数量关系?并给出证明;(3)如图3,∠BAC=90°过点B作直线l上的垂线,垂足为F,点D是BF 延长线上的一个动点,连结AD,作∠DAE=90°,使得AE=AD,连结DE,CE.直线l与CE交于点G.求证:G是CE的中点.【类型三:“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图,平面直角坐标系中有点A(﹣1,0)和y轴上一动点B(0,a),其中a>0,以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC,设点C的坐标为(c,d).(1)当a=2时,则C点的坐标为;(2)动点B在运动的过程中,试判断c+d的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若发生变化,请说明理由.【变式3-1】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(4,0),点B的坐标是(0,3),把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC,则点C的坐标是()A.(3,4)B.(4,3)C.(4,7)D.(3,7)【变式3-4】问题背景:(1)如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,请直接写出BD、CE、DE的数量关系.拓展延伸:(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系,并说明理由.实际应用:(3)如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(﹣2,0),点A的坐标为(﹣6,3),求B点的坐标.【变式3-5】(1)如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E,求证:△ADC≌△CEB;(2)如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE 的长;(3)如图3,在平面直角坐标系中,A(﹣1,0),C(1,3),△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,求点B坐标.【变式3-6】在直角坐标平面内,点A(3,0),点B是第二象限内任意一点(如图所示).线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC,连接BC.(1)当线段AB绕点A顺时针旋转时,①如果点B的坐标为(﹣1,2),过点B作BH⊥OA,垂足为点H,直接写出线段AH的长;②如果点B的横坐标为a,且BC∥OA,求点B的纵坐标;(用含a的代数式表示)(2)设点B的坐标为(m,n),直接写出点C的坐标.(用含m、n的代数式表示)【变式3-7】如图,已知A(3,0),B(0,﹣1),连接AB,过B点作AB的垂线段BC,使BA=BC,连接AC.(1)如图1,求C点坐标;(2)如图2,若P点从A点出发沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角△BPQ,连接CQ,当点P在线段OA上,P A与CQ有何位置和数量关系,猜想并证明;(3)在(2)的条件下若C、P,Q三点共线,求此时∠APB的度数及P点坐标.【变式3-8】点A的坐标为(4,0),点B为y轴负半轴上的一个动点,分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD.(1)如图一,若点B坐标为(0,﹣3),连接AC、OD.①求证:AC=OD;②求D点坐标.(2)如图二,连接CD,与y轴交于点E,试求BE长度.【类型四:特殊“K”型图】【典例4】(1)猜想:如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系,请直接写出;(2)探究:如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角)如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;(3)解决问题:如图3,F是角平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点,D、E、A互不重合,在运动过程中线段DE的长度始终为n,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理由.【变式4-1】如图,△ABC为等边三角形,点D为BC边上一点,先将三角板60°角的顶点与D点重合,平放三角板,再绕点D转动三角板,三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F,当DE=DF时,如图(2)所示.求证:△BDE≌△CFD.【变式4-2】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,点E在AC边上,连接AD,DE.已知∠1=∠2,AD=DE.(1)求证:△ABD≌△DCE;(2)若BD=3,CD=5,求AE的长.【变式4-3】已知,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC(1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为,CE与AD 的数量关系为;(2)如图②,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系;(3)如图③,若只保持∠BDA=∠AEC,BD=EF=7cm,点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t(s).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.。
初中数学几何模型系列之(三)三角形四大模型
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初中几何模型系列之(三)三角形四大模型
全面完整版+例题解析
第一部分模型展示
一、八字模型:二、飞镖模型:
证明的过程很简单,请同学们思考一下吧!
模型展示
三、角平分线模型
角平分线模型包含三种类型,1.两内角的角平分线相交于一点;2.两外角的角平分线相交于一点;3.一条内角和一个外
模型展示
四、角平分线&高线模型
注意:此模型要注意,在此结论三个角的关
系中,∠ B和∠ C之间永远是大角-小角。
第二部分例题解析
点评:此题既可用
8字模型又可用飞
镖模型,同学们一
定要仔细观察!
点评:此题既可用8字模型又可用飞镖模型,同学们
点评:此题用到8字模型的一种特殊情况,大家要体会这种情况!
点评:此题用到两次飞镖模型,大家在做题时要注意构造模型
点评:此题用到两次飞镖模型,大家在做题时要注意观察
点评:此题属于角平分线中两外角平分线相交于一点的情况
例题解析
点评:此题标准的角平分线
+高线模型,第一问的计算
过程实际上就是对第二问的
铺垫
Network Optimization Expert Team
第三部分课后练习
Network Optimization Expert Team。
三角形五大模型及证明过程
![三角形五大模型及证明过程](https://img.taocdn.com/s3/m/4df4e364b42acfc789eb172ded630b1c59ee9bc9.png)
三角形五大模型及证明过程嘿,咱今儿就来聊聊三角形的五大模型!这可都是几何世界里的宝贝呀!先来说说第一个模型,那就是等底等高模型。
就好像你有两个一模一样的大面包,底一样长,高也一样高,那它们的大小肯定是一样的呗!在三角形里也是这个道理呀,等底等高的三角形,面积肯定相等呀!这多简单易懂呀!再看看第二个模型,鸟头模型。
这名字是不是挺有意思?想象一下,三角形就像一只小鸟的头,有着特别的比例关系呢。
它可神奇了,通过一些角度和边长的关系,能让我们找到好多隐藏的规律。
接着是第三个模型,蝴蝶模型。
哇,是不是感觉像美丽的蝴蝶在三角形里翩翩起舞呀!这个模型里有着好多对称和相等的关系呢,就像蝴蝶的翅膀一样美妙。
然后是第四个模型,燕尾模型。
嘿,就像燕子的尾巴一样有着独特的形状和特点。
通过它,我们能发现好多线段之间的奇妙联系。
最后一个模型,沙漏模型。
时间就像沙漏一样慢慢流逝,而这个模型里也有着时间般的规律呢。
它能帮我们理解好多三角形里关于比例和相似的问题。
那怎么证明这些模型呢?咱就拿等底等高模型来说吧。
你看呀,假如有两个三角形,底都是那条直直的线,高呢,都从顶点直直地垂下来到那条底边上。
那我们可以通过把其中一个三角形剪下来,放到另一个上面,是不是严丝合缝呀!这不就证明了它们面积相等嘛!其他模型的证明也是各有各的巧妙之处呢。
这些三角形模型就像我们几何世界里的秘密武器,掌握了它们,我们就能在三角形的海洋里畅游啦!是不是很有趣呀?它们就像是一个个小宝藏,等着我们去发掘,去探索。
学习这些模型的过程就像是一场冒险,每一个模型都是一道关卡,我们要勇敢地去挑战,去理解,去证明。
当我们真正掌握了它们,那种成就感,哎呀,别提多棒啦!所以呀,别小看这小小的三角形,它里面蕴含着大大的智慧呢!大家都快来一起探索三角形的奥秘吧!让我们在几何的天空中自由翱翔!。
三角形中的几个重要几何模型(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版)24-25学年八年级数学上册
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专题11.12三角形中的几个重要几何模型(知识梳理与考点分类讲解)第一部分【模型归纳】【模型一】燕尾模型如图:这样的图形称之为“燕尾模型”结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如图:这样的图形称之为“8字模型”结论:∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分线(内分分模型)如图:这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”条件:BI、CI 为角平分线结论:01902BIC A ∠=+∠【模型四】三角形角平分线(内外分模型)如图:这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”条件:BP、CP 为角平分线结论:12P A ∠=∠【模型五】三角形角平分线(外外分模型)如图:这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”条件:BP、CP 为角平分线结论:01902P A ∠=-∠【模型六】角平分线+平行线模型条件:CP 平分∠ACB,DE 平行于BC结论:ED=EC第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】燕尾模型【例1】如图所示,已知四边形ABDC ,求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠.【变式1】(2021九年级·全国·专题练习)在社会实践手工课上,小茗同学设计了一个形状如图所示的零件,如果52,25A B ︒︒∠=∠=,30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=,那么F ∠的度数是().A .72︒B .70︒C .65︒D .60︒【变式2】如图,A B C DE ∠+∠+∠+∠+∠=.【题型2】8字模型【例2】如图,求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【变式1】如图,AB 和CD 相交于点O ,∠A =∠C ,则下列结论中不能完全确定正确的是()A .∠B =∠D B .∠1=∠A +∠DC .∠2>∠D D .∠C =∠D【变式2】下图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与BD 的交点为C ,且A ∠,B ∠,E ∠保持不变.为了舒适,需调整D ∠的大小,使110EFD ∠=︒,则图中D ∠应(填“增加”或“减少”)度.【题型3】三角形的角平分线(内内分模型)【例3】(22-23八年级上·江西赣州·期中)如图,在△ABC 中,(1)如果AB =4cm ,AC =3cm ,BC 是能被3整除的的偶数,求这个三角形的周长.(2)如果BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线.a 、当∠A =45°时,求∠BPC 的度数.b 、当∠A =x °时,求∠BPC 的度数.【变式1】如图,ABC 中,ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ,过点F 作//DE BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论:①BDF V 和CEF △都是等腰三角形②DE BD CE =+;③BF CF >;④若80A ∠=︒,则130BFC ∠=︒.其中正确的有()个A .1B .2C .3D .4【变式2】如图,在ABC 中,已知70A ∠=︒,ABC ∠、ACB ∠的平分线OB 、OC 相交于点O ,则BOC ∠的度数为.【题型4】三角形的角平分线(内外分模型)【例4】如图,在△ABD 中,∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ,∠A=80°,求∠E 的度数【变式1】如图,BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线,BA 2是∠A 1BD 的角平分线CA 2是∠A 1CD 的角平分线,BA 3是A 2BD ∠的角平分线,CA 3是∠A 2CD 的角平分线,若∠A 1=α,则∠A 2013为()A .2013αB .20132αC .2012αD .20122α【变式2】如图,1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线,2BA 是1A BD ∠的平分线,2CA 是1A CD ∠的平分线,3BA 是2A BD ∠的平分线,3CA 是2A CD ∠的平分线,……以此类推,若A α∠=,则2020A ∠=.【题型5】三角形的角平分线(外外分模型)【例5】如图,已知在ABC ∆中,B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ,若ABC m ∠=︒,ACB n ∠=︒,求BGC ∠的度数.【变式1】如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ,设∠A =m ,则∠BOC =()A .B .C .D .【变式2】如图,△ABC 中,分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ,∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律:(1)若∠A =60°,则∠P =°;(2)若∠A =40°,则∠P =°;(3)若∠A =100°,则∠P =°;(4)请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系.【题型6】角平分线+平行线模型【例6】(23-24八年级上·四川泸州·期末)如图,在ABC 中,84A BO ∠=︒,平分ABC CO ∠,平分ACB ∠,过点O 作BC 的平行线与,AB AC 分别相交于点M N ,.若6,8AB AC ==.(1)求BOC ∠的度数;(2)求AMN 的周长.【变式1】如图,△EFG 的三个顶点E ,G 和F 分别在平行线AB ,CD 上,FH 平分∠EFG ,交线段EG 于点H ,若∠AEF =36°,∠BEG =57°,则∠EHF 的大小为()A .105°B .75°C .90°D .95°【变式2】如图,EFG 的三个顶点E ,G 和F 分别在平行线AB ,CD 上,FH 平分EFG ∠,交线段EG 于点H ,若36AEF ∠=︒,57BEG ∠=︒,则EHF ∠的大小为.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·四川达州·中考真题)如图,在ABC 中,1AE ,1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线,且113E AD CAB ∠=∠,113E BD CBD ∠=∠,在1ABE 中,2AE ,2BE 分别是内角1E AB ∠,外角1E BD ∠的三等分线.且2113E AD E AB ∠=∠,2113E BD E BD ∠=∠,…,以此规律作下去.若C m ∠=︒.则n E ∠=度.【例2】(2019·辽宁铁岭·中考真题)如图,在CEF △中,80E ∠=︒,50F ∠=︒,AB CF ,AD CE ,连接BC ,CD ,则A ∠的度数是()A .45°B .50°C .55°D .80°【例3】(2020·北京·中考真题)如图,AB 和CD 相交于点O ,则下列结论正确的是()A .∠1=∠2B .∠2=∠3C .∠1>∠4+∠5D .∠2<∠52、拓展延伸【例1】如图1所示的图形,像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,请发挥你的聪明才智,解决以下问题:(1)观察“规形图”,试探究BDC ∠与A B C ∠∠∠、、之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:①如图2,把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上,使三角尺的两条直角边XY XZ 、恰好经过点B 、C ,若50A ∠=︒,直接写出ABX ACX ∠+∠的结果;②如图3,DC 平分ADB ∠,EC 平分AEB ∠,若50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒,求DCE ∠的度数;③如图4,,ABD ACD ∠∠的10等分线相交于点291G G G 、、、 ,若1140,77BDC BG C ∠=︒∠=︒,求A ∠的度数.【例2】如图①,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P .(1)如果∠A =70°,求∠BPC 的度数;(2)如图②,作△ABC 外角∠MBC ,∠NCB 的角平分线交于点Q ,试探索∠Q ,∠A 之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP ,QC 交于点E ,在△BQE 中,存在一个内角等于另一个内角的3倍,求∠A 的度数.。
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三角形的四大模型
一、三角形的重要概念和性质
1、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°
2、三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形角平分线(角分线)中线(分面积等)高(直角三角形两锐角互余)
二、八字模型:
证明结论:∠A+∠B=∠C+∠D
三、飞镖模型:
证明结论:1.∠BOC=∠A+∠B+∠C
四、角分线模型:
如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,
之间的数量关系,并证明你的结论.
试探索∠A与∠D
n 如图,△ABC 两个外角(∠CAD 、∠ACE )的平分线相交于点P .探索∠P 与∠B 有怎样的数量关系,并证明你的结论.
题型一、三角形性质等应用
1.如图,小亮从A 点出发前进10m ,向右转15°,再前进10m ,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A 时,一共走了米数是( )A .120 B .150 C .240 D .360
2.如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF .
如果AB=8cm ,BE=4cm ,DH=3cm ,则图中阴影部分面积为
cm 2
.
3.如图,在△ABC 中,已知点D ,E ,F 分别为边BC ,AD ,CE 的中点,
且S △ABC =4cm 2,则S 阴影=
cm 2.
4. A 、B 、C 是线段A 1B ,B 1C ,C 1A 的中点,S △ABC 的面积是1,则S △A 1B 1C 1的面积
.
5.一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形?画出所有可能的图形,并分别
说出内角和和外角和变化情况.
6.如图,直线AC ∥BD ,连接AB ,直线AC ,BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时,连接PA ,PB ,构成∠PAC ,∠APB ,∠PBD 三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P 落在第①部分时,求证:∠APB=∠PAC+∠PBD ;
(2)当动点P 落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立?(直接回答)(3)当动点P 在第③部分时,全面探究∠PAC ,∠APB ,∠PBD
之间的关系,并写出
n
动点P
的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
题型二、八字模型应用
7.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D ;(2)如图2,AB ∥CD ,AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD
,
①图2中共有 个“8字形”;
②若∠ABC=80°,∠ADC=38°,求∠P 的度数;
(提醒:解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法)
③猜想图2中∠P 与∠B+∠D 的数量关系,并说明理由.
8.(1)求五角星的五个角之和;(2)求这六个角之和
题型三、飞镖模型应用
9.如图,已知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F,探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系,并证明你的结论.
10.如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.
(1)探究猜想:①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.
(2)拓展应用:
如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④
分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证.
明)
题型四、角分线模型应用
11.如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数.12.如图,在△ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E,
则∠BDC的度数是( )A.67°B.84°C.88°D.110
°
第11题第12题第13题
13.如图,若∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,∠ABC=50°,则∠BCD的大小为( )A.50°B.100°C.130°D.150°
14.如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n.设∠A=θ.则:(1)∠A1= ;(2)∠A2= ;(3)∠A n=
.
题型五、其他应用
15.已知△ABC中,∠A=60°.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC= °.
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C= °.(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1(内部有n﹣1个点),求∠BO n﹣1C(用n的代数式表示).
t h
e
i
r
b
(4)如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1,若∠BO n﹣1C=90°,求n的值.
16.我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E.
(1)请你通过画图、度量,填写右上表(图画在草稿纸上,并尽量画准确)
(2)从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系,写出并说明其中的道理.∠BAC的度数40°60°90°120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
(备用图)。