初中数学竞赛中的反比例函数问题

竞赛中的反比例函数问题

赵远勤

纵观近年来的竞赛试题，寓于新情景的反比例函数题不断涌现。这些题目不落窠臼，有利于综合考查学生的素质和能力。现举例说明其解法，供大家参考。

一、考查定义

例1、（长沙市竞赛题）如果函数1k k

22kx y -+=的图象是双曲线，且在第二、四象限，那么k 的值是多少？ 解析：若函数的图象是双曲线，则此函数为反比例函数，形如x

'k y =

，其中0'k ≠。若图象在第二、四象限，则0'k <。 由反比例函数的定义，得⎩⎨⎧<-=-+0k 11k k 22，解得⎪⎩⎪⎨⎧<-==0

k 21k 0k 或 所以21k -=。这时函数为x

21y -=。 评注：若函数m kx y =是反比例函数，则0k ,1m ≠-=；若m x k y =

是反比例函数，则m=1，0k ≠。

二、考查图象

例2、（广东省竞赛题）函数)0k (x

k y kx y ≠==和在同一坐标系中的图象可能会是（ ）

解析：对于y=kx 来说，当k>0时，图象经过第一、三象限；当k<0时，图象经过第二、四象限。对于x

k y =

来说，当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限。所以应选C 。

评注：由于两个函数中的k 是相同的，所以可以把k 分为两类进行讨论。

三、考查面积

例3、（绍兴市竞赛题）如图1，正比例函数x 3y =的图象与反比例函数)0x ,0k (x

k y >>=的图象交于点A 。过A 作AB ⊥x 轴于B 点。若k 取1，2，3，…，20时，对应的Rt △AOB 的面积分别为20321S ,,S ,S ,S ，则=++++20321S S S S ______。

解析：过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线。X 轴、正比例函数图象及垂线所围成的三角形的面积是k 的一半。 则105220)201(21S S S S 20321=⨯+⨯=

++++ 。 评注：若k 为自然数1，2，3，…，n ，对应的AOB Rt ∆的面积分别为n 321S ,,S ,S ,S ，

则4

)1n (n S S S S n 321+=++++ 。

例4、（全国竞赛题（海南赛区））正比例函数x y -=与反比例函数x

1y -=的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图2），则四边形ABCD 的面积为______。

解析：易知四边形ABCD 是平行四边形，其面积为△AOB 的面积的4倍。

函数x

1y x y -

=-=与的图象的交点A 、C 的坐标分别为)1,1(-、)1,1(-，所以△AOB 的面积等于21。故四边形ABCD 的面积为22

14=⨯。 评注：理解反比例函数中的k 的几何意义是解题的关键。

例5、（广西自治区竞赛题）反比例函数)0k (x

k y >=在第一象限内的图象如图3所示，P 为该图象上任意一点。PQ 垂直于x 轴，垂足为Q 。设△POQ 的面积为S ，那么S 与k 是否存在某种关系？若有，请写出S 与k 之间的关系式；若没有，请说明理由。

解析：S 与k 之间的关系式为k 2

1S =。 设P 点的坐标为)y ,x (，则|y |PQ |,x |OQ ==。 ∵点P 在第一象限内，

∴x>0，y>0。OQ=x ，PQ=y 。 ∴xy 2

1PQ OQ 21S =⋅⋅=

。 又∵k xy = ∴k 21S =