第三讲 第3课时 分段函数的应用

第3课时 分段函数的应用(60分)1．(15分)[2017·安徽]某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y (kg)与每千克售价x (元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W (元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；(3)试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)根据题意，设y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定的常数，由表中的数据得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200，∴y ＝－2x ＋200(40≤x ≤80)；(2)根据题意得W ＝y ·(x －40)＝(－2x ＋200)(x －40)＝－2x 2＋280x － 8 000(40≤x ≤80)；(3)由(2)可知：W ＝－2(x －70)2＋1 800，∴当售价x 在满足 40≤x ≤70的范围内，利润W 随着x 的增大而增大；当售价在满足 70＜x ≤80的范围内，利润W 随着x 的增大而减小．∴当x ＝70时，利润W 取得最大值，最大值为1 800元．2．(15分)[2016·襄阳]襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y (万件)关于售价x (元/件)的函数表达式为：y ＝⎩⎨⎧－2x ＋140（40≤x <60），－x ＋80（60≤x ≤70）.(1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元)，请直接写出年利润关于售价x (元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价x (元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x (元/件)的取值范围．解：(1)W ＝⎩⎨⎧－2x 2＋200x －4 200（40≤x <60），－x 2＋110x －2 400（60≤x ≤70）； (2)由(1)知，当40≤x <60时，W ＝－2(x －50)2＋800.∵－2<0，∴当x ＝50时，W 有最大值800.当60≤x ≤70时，W ＝－(x －55)2＋625.∵－1＜0，∴当60≤x ≤70时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 有最大值为600.∵800>600，∴W 最大值为800万元．答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40≤x ＜60时，令W ＝750，得－2(x －50)2＋800＝750，解得x 1＝45，x 2＝55.由函数W ＝－2(x －50)2＋800的性质可知，当45≤x ≤55时，W ≥750，当60≤x ≤70时，W 最大值为600＜750.答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x (元/件)的取值范围为45≤x ≤55.3．(15分)[2017·荆州]荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p (元/kg)与时间第t 天之间的函数关系为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋16（1≤t ≤40，t 为整数），－12t ＋46（41≤t ≤80，t 为整数），日销售量y (kg)与时间第t 天之间的函数关系如图3－3－1所示．(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg 小龙虾，就捐赠m (m ＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；(2)设日销售利润为W ，分1≤t ≤40和41≤t ≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出W ＝2 400时x 的值，结合函数图象即可得出答案；(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t ≤40且销售利润随时间t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．解：(1)设函数表达式为y ＝kt ＋b ，将(1，198)，(80，40)代入，得⎩⎨⎧198＝k ＋b ，40＝80k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200， ∴y ＝－2t ＋200(1≤t ≤80，t 为整数)；(2)设日销售利润为W ，则W ＝(p －6)y ，①当1≤t ≤40时，W ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋16－6(－2t ＋200)＝－12(t －30)2＋2 450， ∴当t ＝30时，W 最大＝2 450；②当41≤t ≤80时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋46－6(－2t ＋200)＝(t －90)2－100， ∴当t ＝41时，W 最大＝2 301，∵2 450＞2 301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；(3)由(2)得当1≤t ≤40时，W ＝－12(t －30)2＋2 450，令W ＝2 400，即－12(t －30)2＋2 450＝2 400，解得t 1＝20，t 2＝40，由函数W ＝－12(t －30)2＋2 450的图象(如答图)可知，当20≤t ≤40时，日销售利润不低于2 400元，图3－3－1第3题答图而当41≤t ≤80时，W 最大＝2 301＜2 400，∴t 的取值范围是20≤t ≤40，∴共有21天符合条件；(4)设日销售利润为W ，根据题意，得 W ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋16－6－m (－2t ＋200)＝－12 t 2＋(30＋2m )t ＋2 000－200m ，其函数图象的对称轴为t ＝2m ＋30，∵W 随t 的增大而增大，且1≤t ≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m ＋30≥40，解得m ≥5，又∵m ＜7，∴5≤m ＜7.4．(15分)小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h 的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h ，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s (km)与时间t (h)的函数关系．试结合图中信息回答：图3－3－2(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB ，GH 的交点B 的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？解：(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)，∵小聪上午10：00到达宾馆，∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：30.答：小聪早上7：30从飞瀑出发；(2)设直线GH 的函数表达式为s ＝kt ＋b ，由于点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，50，点H 的坐标为(3，0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧50＝12k ＋b ，0＝3k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝60， ∴直线GH 的函数表达式为s ＝－20t ＋60，又∵点B 的纵坐标为30，∴当s ＝30时，得－20t ＋60＝30，解得t ＝32，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，30. 答：点B 的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30 km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线DF 的函数表达式为s ＝k 1t ＋b 1，该直线过点D 和F (5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝53(h)，∴小慧从飞瀑准备返回时t ＝5－53＝103(h)，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，50.则有⎩⎨⎧103k 1＋b 1＝50，5k 1＋b 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝－30，b 1＝150. ∴直线DF 的函数表达式为s ＝－30t ＋150，∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30 km/h 的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝53(h)．如答图，HM 为小聪返回时s 关于t 的函数图象， 第4题答图∴点M 的横坐标为3＋53＝143，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，50， 设直线HM 的函数表达式为s ＝k 2t ＋b 2，该直线过点H (3，0)和M ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，50， 则有⎩⎪⎨⎪⎧50＝143k 2＋b 2，0＝3k 2＋b 2，⎩⎨⎧解得k 2＝30，b 2＝－90. ∴直线HM 的函数表达式为s ＝30t －90，由30t －90＝－30t ＋150，解得t ＝4，即11：00.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧；方法二：如答图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ，由题意，可得点E 的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又∵两人速度均为30 km/h ，∴该路段两人所花时间相同，即HQ ＝QF ，∴点E 的横坐标为4.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧．(20分)5．(20分)[2017·黄冈]月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y (万件)与销售价格x (元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W (万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)图3－3－3(1)请求出y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式．(2)求出第一年这种电子产品的年利润W (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W (万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x (元)定在8元以上(x ＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W (万元)与销售价格x (元/件)的函数示意图，求销售价格x (元/件)的取值范围．【解析】 (1)求y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；(2)根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本(160万元)”，可求出年利润W (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W ≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W (万元)与销售价格x (元/件)的函数示意图，从而得出结果．解：(1)当4≤x ≤8时，设 y ＝k x，将A (4，40)代入，得 k ＝4×40＝160.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x .当8＜x ≤28时，设y ＝kx ＋b ，将B (8，20)，C (28，0)代入，得⎩⎨⎧8k ＋b ＝20，28k ＋b ＝0. 解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝28.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋28.∴综上所述，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （4≤x ≤8），－x ＋28（8＜x ≤28）；(2)当4≤x ≤8时，W ＝(x －4)×y －160＝(x －4)×160x －160＝－640x .∵W 随着x 的增大而增大，∴当x ＝8时，W max ＝－6408 ＝－80.当8＜x ≤28时，W ＝(x －4)×y －160 ＝(x －4)×(－x ＋28)－160＝－x 2＋32x －272＝－(x －16) 2－16.∴当x ＝16时，W max ＝－16.∵－16＞－80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．(3)∵第一年的年利润为－16万元．∴16万元应作为第二年的成本．又∵x ＞8，∴第二年的年利润W ＝(x －4)(－x ＋28)－16＝－x 2＋32x －128，令W ＝103，则－x 2＋32x －128＝103，解得x 1＝11，x 2＝21. 在平面直角坐标系中，画出W 与x 的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W ≥103时，11≤x ≤21.∴当11≤x ≤21时，第二年的年利润W 不低于103万元．(20分)6．(20分)[2017·随州]某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？第5题答图(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为10(1－x )，第二次降价后的价格为10(1－x )2，进而可得方程；(2)分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，利用不等关系“(2)中最大利润－[(8.1－a －4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得10(1－x )2＝8.1，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2)第一次降价后的销售价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，当1≤x ＜9时，y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352；当9≤x ＜15时，y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80， 综上所述，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧－17.7x ＋352（1≤x ＜9，x 为整数），－3x 2＋60x ＋80（9≤x ＜15，x 为整数）.当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352，∴当x ＝1时，y 最大＝334.3(元)；当9≤x ＜15时，y ＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380，∴当x ＝10时，y 最大＝380(元)．∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a 元，依题意，得380－[(8.1－a －4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，解得a ≤0.5， 则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．。