圆锥曲线知识点汇总 ppt课件
圆锥曲线PPT优秀课件
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2
A1
.F . . O M . F
2
0
A2
x
F1
其中 a2 b2 c2 , a 0, b c 0 ， F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 B1 （1）若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
b （2）若 A1 A B1 B ，求 的取值范围； a
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
1 1 1 1 a 2 16 将 2 和 2 看着整体，解得 ， a b 1 1 b2 9
2 a y 2 x2 16 ∴ 2 即双曲线的标准方程为 1 。 16 9 b 9
点评：本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程，没有 必要求出 a , b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
x2 y2 1 有共同渐近线， (4) 与双曲线 9 16
且过点 (3,2 3) 。
高考圆锥曲线知识点汇总(精选)课件.doc
高考圆锥曲线知识点汇总知识摘要：1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．一、椭圆方程 .1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之和等于常数2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 其中两个定点 F 1，F 2 为椭圆的两个焦点， 两焦点间的距离 焦距.F F 叫做椭圆的1 2第一定义：当 P FPFaF F ，无轨迹122 1 2当 P FPFa F F ，轨迹是以 122 1 2F ， 1F 为端点的线段2当 P FPFa F F ，轨迹为椭圆1221 2第二定义：椭圆上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的比等于离心率 e . 切记：“ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e . 如图：P Fc 1eda1或P Fc2e da22、椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22xy221( 0)a ba b（2）中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22yx221( 0) a ba b3、椭圆的一般方程：221( 0, 0) Ax ByA B22x y 4、焦点在 x轴上的椭圆的标准方程：122a b的参数方程为x y a b cos sin（其中 为参数） 5、椭圆 22xy221(a b 0)的几何性质：a b（1）顶点：( a,0) 和0, b ，其中长轴长为 2 a，短轴长为2b（2）焦点：两个焦点( c,0) ，焦距： 2 2F 1F 2c, c a b2（3）范围： a x a, b y b（4）对称性：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ）2a（5）准线：两条准线xc（6）离心率： e ca（0 e 1），其中e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
（7）焦点半径：“左加右减”I 、设P(x0 ,y0 ) 为椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b上的一点， F 1,F 2 为左、右焦点，则PF 1 a e0x,P F2 a e0 xⅡ、设P(x0, y0 ) 为椭圆2 2y x2 2 1(a b 0)a b上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则PF 1 a ey0 , PF 2 a ey0（8）通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经： d2 2b2 a2 2x y注：若P 是椭圆： 12 2a b上的点. F 1,F 2 为焦点，若 F 1PF 2 ，则PF 1F 2 的面积为2b （用余弦定理与PF1 PF 2 2a 可得）tan2二、双曲线方程.1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a （且的点的轨迹叫做双曲线. 02a F F ）1 2当PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为双曲线当PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以F1 ，F2 为端点的射线当PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹第二定义：平面内到定点 F 的距离与它到定直线的距离的比为常数e（e 1）的点的轨迹叫做双曲线.MF如图：，d 为点M 到定直线的距离.ed切记：“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e.2、双曲线的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：2 2x y2 2 1(a 0,b 0)a b（2）中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程：2 2y x2 2 1( 0, 0)a ba b3、双曲线的一般方程： 2 2 1( 0)Ax By A B4、双曲线2 2x y2 2 1( 0, 0)a ba b的几何性质：（1）顶点：( a,0) ，其中实轴长为 2 a，虚轴长为2b（2）焦点：两个焦点( c,0) ，焦距： 2 2F1F2 2c, c a b （3）范围：x a, y R（4）对称性：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ）（5）准线方程：两条准线x2 a c（6）离心率： e ca（e 1）（7）渐近线方程：b y xa（8）焦点半径：“长加短减”原则：2 2x y焦点半径公式：对于双曲线方程1（F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双2 2a b曲线的上下焦点）MF MF 12exexaa构成满足MF1MF22aMMFF12exexaa（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）▲y▲yM' MF1MxxF 1 F2M'F2MF 1 eyaMF 2 eyaM F 1 eyaM F 2 eya5、等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x ，离心率 e 2 .三、抛物线方程.3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：2 y 2 2 px x 2 2 py x2 2 pyy 2px图形▲y▲y ▲y ▲yx x xxOO OO焦点p p p pF ( ,0) F ( ,0) F (0, ) F (0, )2 2 2 2准线x p2xp2yp2yp2范围x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称轴x轴y 轴顶点（0，0）离心率 e 1半焦距p p p p PF 1x PF yPF x PF y1 112 2 2 224ac b b注：①ay2 by c x 顶点)(4a 2a.2 px p②y 2 ( 0) 则焦点半径P2 py pPF ; x 2 ( 0) 则焦点半径为x2Py.PF2③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.2④y 2px2（或x 2py ）的参数方程为2x 2 ptx 2pt（或y 2 pt y 2 pt2）（t 为参数）.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2 的距离1．到两定点F1,F2 的距之和为定值 2 a (2离之差的绝对值为定值a>|F1F2|)的点的轨迹2 a (0<2 a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离2．与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等之比为定值 e 的点的轨之比为定值 e 的点的轨的点的轨迹.迹.（0<e<1）迹.（e>1）图形略略略方标准2 2 2 2x y x y方程1( a b >0) 12 2 2 2a b a b(a>0,b>0) 2 2y px参数方程xy(参数a cosb sin为离心角）xyasecb tan(参数为离心角）xy2 pt2pt2程(t 为参数) 范围x 0a x a,b y b x a, y R中心原点O (0,0) 原点O(0,0)顶点( a,0),(0, b) (a ,0) ，( a ,0) (0,0)对称轴x轴，y 轴；x轴，y 轴 ; x轴长轴长 2 a,短轴长2b 实轴长 2 a, 虚轴长2b.焦点pF1 ( c,0), F2 (c,0) F1( c,0), F2 (c,0) ,0)F (2 焦距2c （c= 2 b2a ）2c （c=2 b2a ）离心率 c ce (0 e 1) e (e 1)e=1a a准线x=2acx=2acxp2渐近线y=±ba x焦半径r a exr (ex a) r x p 2通径22b 2b22pa a焦参数a 2 2aPc c。
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M F 1M F 2 2a2c
6 4
定义
不 图形 同 点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
x2
y2 +
=1a>b>0
b2 a2
1
3.抛物线只有一个顶点、一个
焦点、y一2=条2准x线
;
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
4.抛物线的离心率是-3 确定的,为1;
-4
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
31
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
13
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
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即 e2 2e 1 0 ，解得 e 2 1
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 1。 所以，椭圆的标准方程为 8 2
2 2 y a b 5 ，且过点 ( 2,0) ； （4）焦点在 轴上，
y 2 x2 解析： （4）设椭圆方程为 2 2 1 ， a b
2 ∴ 2 1 ，∴ b2 2 ， b
又∵ a 2 b 2 5 ，∴ a 2 3 ，
y 2 x2 所以，椭圆方程为 1 ． 10 6
圆中一些几何要素 与椭圆方程间的关 系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
x2 y 2 解一：设椭圆方程为 2 2 1 ，依题意， a b
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
MF1 a ex0
焦半径
MF1 a ey0 MF2 a ey0
MF2 a ex0
2．双曲线
3．抛物线
第三部份：典型例题
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
圆锥曲线复习ppt课件
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆
圆锥曲线定义(适合公开课) PPT
第三章Biblioteka 2019/09/301 圆锥曲线 前世今生
•圆锥面
•定义
两直线相交，其中一条直线
以另外一条直线为旋转轴进
行旋转所形成的曲面，称为
圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
•圆锥曲线
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
•圆
•椭圆
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
•抛物线
•双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
•圆锥曲线
•圆
平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集
合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
•椭圆
•抛物线
•双曲线
3 圆锥曲线 光学性质
•椭圆
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另一个焦点。
•抛物线
焦点处出发的光， 经反射后变成平 行光。
•双曲线
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
其实，这哪里是什么悲伤的双曲线？ •悲伤的双曲线 渐近线，越走越近，又给了彼此空间！
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
《高中数学课件：圆锥曲线》
双曲线：标准方程
学习双曲线的标准方程形式，了解如何将一个双曲线的方程转换为标准形式。标准方程可以反映双曲线的几何 特征。
双曲线：图像和实例
通过图像和实例来观察双曲线的形状和性质。了解双曲线在数学和物理学中 的应用，培养对双曲线的直观理解。
抛物线：定义和性质
深入研究抛物线的定义、特点和数学性质。抛物线是圆锥曲线中的一种特殊 类型，具有独特的对称性和几何特征。
《高中数学课件：圆锥曲 线》
探索圆锥曲线的奥秘，从一元二次方程到椭圆、双曲线、抛物线。学习定义、 性质、标准方程和图像，提供实例加深理解。
什么是圆锥曲线？
圆锥曲线是由切割一个圆锥而得到的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。它们在数学和自然界中广泛存在，具 有丰富的几何性质。
一元二次方程：从二次方程到 圆锥曲线
椭圆：长短轴与半径
学习如何确定椭圆的长短轴以及如何计算椭圆的半径。这些量可以帮助我们对椭圆的大小和形状有一个直观的 了解。
椭圆：标准方程
探索椭圆的标准方程形式，了解如何将一个椭圆的方程转换为标准形式。标 准方程提供了对椭圆的几何特征更清晰的描述。
Hale Waihona Puke 椭圆：图像和实例通过图像和实例来观察椭圆的形状和性质。了解椭圆在现实生活和科学领域 中的应用，培养对椭圆的直观理解。
抛物线：焦点和直线方程
揭示抛物线的焦点和直线方程。理解焦点在抛物线上的重要性，并掌握如何 通过直线方程与抛物线进行联系。
抛物线：标准方程
学习抛物线的标准方程形式，了解如何将一个抛物线的方程转换为标准形式。 标准方程提供了对抛物线的基本特征更清晰的描述。
抛物线：图像和实例
通过图像和实例来观察抛物线的形状和性质。了解抛物线在物理学、工程学 和天文学中的应用，加深对抛物线的认识。
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= 1.
？ : 45
思考一个问题 把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程.
待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”.
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
M
y M
不
典例分析
求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型，
（2）用待定系数法求 a, b
a2=b2+c2
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
∵ 2a=10, 2c=8
a b 2
2
由椭圆的定义知
2a =
5 2
2
+
2
+
-
3 2
2
+
5 2
-
2
2
+
-
3 2
2
=2
10
所以a = 10. 又因为c = 2,所以b2 = a2 - c2 = 10 - 4 = 6.
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1. 102 62
变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A(1 , 1)、B(0,- 1)的
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
§2.2 双曲线
1、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
圆锥曲线与方程知识点汇总
§2.1 椭圆
1、椭圆的定义：
M
F1
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
MF1 MF2 2a
椭圆形成演示 椭圆定义.gsp
F1F2 2c 2a 2c 0时,为椭圆
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
❖ (1)平面上----这是大前提 ❖ (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和
是常数 2a ❖ (3)常数 2a 要大于焦距 2c
MF1 MF2 2a 2c
4
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
ya
或
y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
17
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
图形
同
F1 O F2 x
F x
2O
F
点
1
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
c2=a2+b2
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
2、双曲线的简单几何性质：
性 双质 曲 线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
2、椭圆的简单几何性质：
标准方程 图象
范围
x2 a2
y2 b2
1(a yP
b
0)
F1 OF2 x
-a≤x≤a,
x2 b2
y2 a2
1(a
b 0)
y
F2 P
O
F1
x
-b≤x≤b,
-b≤y≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
F1 o
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
x2 25
y2 9
1
M
F2 x
例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（- 2，0）， （2，0）并且经过点（5 ，- 3 ），求它的标准方程.
22
解 :因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 + y2 =1(a > b > 0).
33
2
椭圆的标准方程.
解：设所求椭圆的方程为 y 2 + x 2 = 1,
a2
b2
将A( 1 , 1 ), B(0, - 1 )代入得：
33
2
1 2 3 a2
+
1 2 3 b2
-
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
a2
=1
=1 ,
解得：a2 b2
= =
1 4 1
, .
5
故所求椭圆的标准方程为
y2 1
+
x2 1