函数的表示法

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函数的表达方法

表达函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.结合其意义,优点与不足,分别说明如下. (1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法.用解析式表示函数的优点是简明扼要,规范准确.已学利用函数的解析式,求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表,描点,画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性,增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算,有时比较繁杂. (2)通过列表给出y与x的对应数值,表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生. (3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法.用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化,点的对称,最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的,局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确. 由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用,扬长避短,优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.

函数关系的三种表示方法

一、解析法：

用函数自变量X的代数式表示函数Y的方法。y=f（x）。

二、列表法：

把与自变量X一系列值对应的函数Y的值列成表格来表示函数关系的方法。

三、图象法：

用图象来表示函数的方法。自变量X的值作点的横坐标，对应的函数Y的值作纵坐标，描出点，绘成图象。

函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法

令)(12R t t x ∈=+，则21-=

t x ，从而)(9552

6)21(

4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2

R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法

因为9)12(5)12(410)12(564)12(2

++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2

R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法

因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2

)(，从而由564)12(2

+-=+x x x f 可

求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2

R x x x x f ∈+-=

函数的概念及其表示方法

教学内容

知识梳理

知识点一、函数的概念

1．函数的定义

设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数.

记作：y=f(x)，x A ．

其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；

与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关.

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；无穷区间；

(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示．区间表示：区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a ，b]；

；；

. 知识点二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.

函数的表示方法及图像画法

y=f(|x|)的图象可将函数y=f(x)的图象在x≥0 的部分作出,再用 13 偶函数的图象. 关于y轴对称 ,作出x<0的图象.
CHENLI
27
(3)伸缩变换:y=kf(x)(k>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点14 纵坐标变为原来的 .
k倍，横坐标不变的而得到 .y=f(ωx)(ω>0) 的
a＝2 , k＝5
CHENLI
2
一、复习：
1.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
2．表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种.
图象可将函数 y=f(x) 的图象上所有点的 15横1 坐标变为原来的 ,纵坐标不变.得到.
(4) 函数 y=f(a+x) 与 y=f(a-x) 的图象关
于15 x=0 .对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关
于 15 x b a 2
.对称.
CHENLI
28
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
CHENLI
10

函数的表示方法

1．函数的表示方法：列表法，图象法，解析法；

2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则

3．函数图象的一类基本变换

①：将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像；

②：将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像；

③：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；

④：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像．

4．函数值域的求法

观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；

配方法：若函数是二次函数形式，可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上的二次函数最值的求法；

分离常数法：形如的函数值域为；

反函数法：如求函数的值域，解出，，解得；

判别式法：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式

1．关于分段函数的叙述,正确的有( )

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；

分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；

若分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，那么

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

2．已知，则（）

A． B． C． D．

3．函数的图象是（）

A．关于直线对称 B．关于直线对称

C．关于直线对称 D．不是对称图形

函数的表示方法 ppt课件

学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩
测试
序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次
姓名
王伟
98 87 91 92 88 95
张成
90 76 88 75 86 80
赵磊
68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情
对应值。
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4
3.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如：我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点：
能直观形象的表示出函数的变化情况。
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5
• 函数的图像从“形”的方面揭示了函数的变化规律，是数学的图形语言，图像法是解决函数问题的常用方法，利用函数的图像既有利于掌握各类函数的性质，又能运用“数形结合”的方法去解决某些问题。
况做一个分析。
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10
y
100
王伟
90 班
80
的平
均
70 分
60 赵磊
张城
12 3 4 5 6x
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11
例3 请画出函数 y | x | 的图像:

函数的表示法及分段函数

要点二
单调性
函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上单调增加或减少。如果对于任意两个数$x_1, x_2 in D$且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称函数在区间$D$上单调增加；如果对于任意两个数$x_1, x_2 in D$且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函数在区间$D$上单调减少。
下降。
02 分段函数的概念与性质
分段函数的定义与表示方法
分段函数的定义
分段函数是一种在自变量的不同取值范围内，对应不同的函数表达式的函数。
分段函数的表示方法
通常使用大括号将各段的函数表达式括起来，并在每一段前面标明自变量的取值范围。
分段函数的性质
分段连续性
01
分段函数在其定义域内的每一段上都是连续的，但在某些点处
生物反应动力学
在生物化学和生物物理学中，生物反应动力学的研究经常涉及到分段函数。例如，酶促反应中的米氏方程就是一个典型的分段函数，描述了反应速率与底物浓度之间的非线性关系。
生物统计学
在生物统计学中，分段函数可用于拟合生物数据的分布规律。例如，生存分析中的生存函数就可以用分段函数来表示，以描述生物个体的生存时间分布。
分段多项式函数
分段多项式函数是由多个多项式组成的分段函数，常用于描述复杂的实际问题。

函数的概念及其表示法

优点
精确、简单明了，能够直接表达函数关系。
缺点
对于一些复杂或难以用数学表达式表示的函数，解析法可能无法准确描述。
图象法
图象法
通过绘制函数的图象来表示函数。在坐标系中，将自变量和因变量的对应关系用图形的方式表示出来。
优点
直观、易于理解，能够清晰地展示函数的形态和变化趋势。
缺点
对于复杂函数或高维函数，图象法可能难以绘制或难以准确表达函数关系。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。
03
缺点
精度有限，无法准确描述函数的全貌和变化规律。
03 函数的定义域和值域
定义域的概念
定义域
自变量x的取值范围，即函数f(x)中x可以取到的所有值的集合。
函数的特性
单值性
函数将每一个自变量映射到一个唯一的因变量，即对于自变量x的每一个取值，因变量y都有唯一的值与之对应。
01
有界性
函数的取值范围是有限的，即因变量y 的值域是确定的。
02
03
连续性
函数在自变量x的某个区间内，因变量 y的变化是连续的，没有间断点。
函数的分类

函数的表示方法

3）图象：（3）图象：
15
10
5
0
1
2
3
4
5
x
三种表示法
优点：优点：
解析法
图表法
(一) 是简明、全面地概括了变量间的关系；(二)是可一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。优点：直观形象地表示自变量的变化，优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质。在生产和生活中有广泛的应用。数的某些性质。在生产和生活中有广泛的应用。优点：优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。在生产和生活中有广泛的应用。相对应的函数值。在生产和生活中有广泛的应用。
o
1
−1 −2
x
−1≤ x < 0 2x f (x) = −2x + 2 0 ≤ x ≤1
y
2.已知的图象如图在[0,4] 已知f(x)的图象如图的图象如图,在已知上是抛物线的一段,写出写出f(x) 上是抛物线的一段写出的函数解析式. 的函数解析式
3 x <0 2 f (x) = x − 4x + 3 0 ≤ x < 4 −3x +15 x≥4
(4)已知f ( x )是一次函数 , 且f (1) = 1, f [ f (2)] = f (4), 求f ( x )

函数表示方法

函数是数学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。函数的表示方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的函数表示方法。

1. 公式表示法。

最常见的函数表示方法就是公式表示法。在这种表示方法中，我们用一个数学表达式来表示函数。例如，我们可以用f(x) = x^2来表示一个将自变量x映射到其平方的函数。公式表示法简洁明了，能够清晰地表达函数的计算规则，因此在数学和物理问题中被广泛使用。

2. 图形表示法。

另一种常见的函数表示方法是图形表示法。通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质。例如，对于f(x) = x^2这个函数，我们可以绘制出抛物线的图像，从而直观地了解函数的增减性、极值点、凹凸性等信息。图形表示法能够帮助我们直观地理解函数，因此在教学和科研中被广泛应用。

3. 表格表示法。

除了公式和图形表示法，我们还可以用表格表示法来表示函数。通过列出自变量和函数值的对应关系，我们可以清晰地展现函数的取值情况。表格表示法在实际问题中非常实用，特别是在计算机程序设计和数据分析中经常使用。

4. 文字描述法。

除了以上几种常见的表示方法外，有时候我们还可以用文字来描述函数。通过文字的方式，我们可以对函数的性质、定义域、值域等进行详细的描述。文字描述法能够帮助我们对函数进行深入的分析和理解。

5. 符号表示法。

在一些高级的数学理论中，为了简化表示和分析，人们还会使用符号表示法来表示函数。例如，利用极限、导数、积分等符号来表示函数的性质和变化规律。符号表示法通常用于高等数学、物理学等领域的专业研究中。

函数的表示方法

A．S＝60t
B．S＝60t＋50t
C．S＝
D．S＝
答案：D
练习2：某市区住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每分钟0.10元(不足3 min按3 min计，以后不足1 min按1 min计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6 min内(不包括0 min，包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域．
S△ABP＝ ×4×4＝8，
当点P在DA上，即8<x≤12时，S△ABP＝ ×4×(12－x)＝24－2x，
∴y＝ .
Biblioteka Baidu答案：y＝
练习1：(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地；在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离S表示为时间t(h)的函数表达式为( )
函数的表示方法
1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；
2、了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介：
1、解析法
如果函数中，是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如， =60 ， = ， , 等等都是用解析式表示函数关系的。
解析：f(3)＝32－3－3＝3，

函数的基本概念和表示方法

函数的概念及其表示方法

【知识点一】函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x)，x A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]；

；；

【知识点二】函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．

优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

优点：不需计算就可看出函数值.

2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

【知识点三】映射与函数

1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.

函数的几种表示方法

1.2.2 函数的表示方法

第一课时函数的几种表示方法

【教学目标】

1．掌握函数的三种主要表示方法

2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系

3．会画简单函数的图像

【教学重难点】

教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数

【教学过程】

一、复习引入：

1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？

2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？

3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？

二、讲解新课：函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，s=60

t，A=π2r，S=2rl

π,y=a2x+bx+c(a≠0),y=2

x(x≥2)等等都是用解析

式表示函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本

中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用

图象法表示函数关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的

趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.

函数的三种表示方法

解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：甲车为：20x 乙车为：25x 两车行驶路程差为：25x-20x=5x 两车之间距离为：500-5x 所以：y随x变化的函数关系式为： y=500-5x （0≤x≤100）
用描点法画图：Biblioteka Baidu
函数的三种表示方法
1、列表法：
X ┅ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┅ y ┅ -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ┅
2、解析式法：y=x+0.5
3、图象法：
函数的几种表示方法的优缺点：
列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系。解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系。至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系。
２．再过2小时的水位高度，就是 t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：
y=0．05×7+10=10.35 2小时后，预计水位高10.35米．
巩固练习
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
解析：因为n表示的是多边形的边数，所以，n是大于等于3的自然数．
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？

函数的概念及表示法

描述电磁波
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价格与市场需求量之间的关系，以及市场供求关系的变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成本与产量之间的关系，以及生产效率的变化。
举例
$y = 2^x$，$y = log_2(x)$。
03 函数的图像表示法
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的解析表达式，包括自变量和因变量的关系。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如直角坐标系或极坐标系，以便绘制函数图像。
描点
根据函数的解析表达式，在坐标系上描出对应的点。
连线
将描出的点用平滑的曲线或直线连接起来，形成函数的图像。
0$。
性质
02
图像是一条直线，斜率为 $a$，截距为 $b$。
举例
03
$y = x + 1$，$y = -2x + 4$。
二次函数
01
02
03
定义
形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a neq 0$。