第五章：频域分析总复习cx
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第五章 频域分析法
8
Cm A( ) | G( j ) | 定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Rm 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时
的放大特性； 定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 ( ) G( j ) 为系统 的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
位移特性；
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G( j ), G( j ) A( )e j ( ) ，它也是 的函数。G ( j ) 称为频率特性。 还可将 G ( j )写成复数形式，即
G( j ) P( ) jQ( ) 这里 P( ) Re[G( j )] 和 Q( ) Im[G( j )] 分别称为系统的实 频特性和虚频特性。
6
拉氏反变换为：
c(t ) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
e p1t 0, e p2t 0,...,e pnt 0 cs (t ) kc1e jt kc 2e jt
7
而 G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( )
G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( ) Rm Rm j ( ) kc1 A( )e , kc 2 A( )e j ( ) 2j 2j j (t ( )) j (t ( )) e e cs (t ) kc1e jt kc 2e jt A( ) Rm 2j A( ) Rm sin(t ( )) Cm sin(t ( ))
Cm A( ) | G( j ) | 定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Rm 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时
的放大特性； 定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 ( ) G( j ) 为系统 的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相
位移特性；
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G( j ), G( j ) A( )e j ( ) ，它也是 的函数。G ( j ) 称为频率特性。 还可将 G ( j )写成复数形式，即
G( j ) P( ) jQ( ) 这里 P( ) Re[G( j )] 和 Q( ) Im[G( j )] 分别称为系统的实 频特性和虚频特性。
6
拉氏反变换为：
c(t ) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
e p1t 0, e p2t 0,...,e pnt 0 cs (t ) kc1e jt kc 2e jt
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而 G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( )
G( j ) G( s) |s j | G( j ) | e jG ( j ) A( )e j ( ) Rm Rm j ( ) kc1 A( )e , kc 2 A( )e j ( ) 2j 2j j (t ( )) j (t ( )) e e cs (t ) kc1e jt kc 2e jt A( ) Rm 2j A( ) Rm sin(t ( )) Cm sin(t ( ))
自动控制原理第五章频域分析
T
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
信号与系统第5章 连续系统的频域分析
求系统在 f（t）=2 cos2t作用下的零状态响应 yf（k）。
12
解 由微分方程得到系统的频率特性为
13
取傅里叶反变换，得到系统的零状态响应为
14
除了上述求解方法外，前面根据频率特性的物 理含义得到了如下结论，即
如果输入信号为任意的周期信号，则可以通过 傅里叶级数将其分解为上述基本周期信号分量的叠 加。
5
5.1.2 频率特性的性质 以上得到了系统频率特性的 3种不同定义。这 里再对其作几点说明。 ①系统的频率特性是建立在信号傅里叶变换的 基础上的。因此，与信号的频谱一样，一般情况下 系统的频率特性 H（jω）是以 ω 为自变量的复变 函数，并可表示为
6
②实际系统的频率特性一般满足共轭对称性，
即
式中，f（t）为连续信号，fs（t）为抽样信号 ，P（t）称为抽样脉冲。T为抽样周期，或者称为 抽样间隔，fs=1/T称为抽样频率，ωs=2πfs=2π /T 称为抽样角频率。
26
解 1）由微分方程得到系统的传输算子为
根据以上两式得到幅频特性和相频特性曲线如 图 5.3.4所示。
27
图 5.3.4 例 5.3.1图 1
28
2）已知输入信号 f（t）为周期信号，则根据 系统的频率特性可直接求得系统的零状态响应为
本例中输入输出信号的时域波形和幅度谱分别 如图 5.3.5（a）和图 5.3.5（b）所示。由图可知， 输入信号中的两个分量通过系统后，幅度上得到不 同程度的衰减。 29
33
图 5.4.1 幅度调制及其相干解调
34
图 5.4.2 调制信号和已调信号的频谱
35
图 5.4.3 解调器中相乘器输出信号的频谱和低通滤 波器的频率特性
五章线系统的频域分析
Gi(s) Ai()eji()
则系统开环频率特性为
n
Gk( j) [ Ai()]eji() i1
结论：闭环系统的开环传递函数和频率特性可以视为各种具有 不同数学模型和控制特性的各种基本环节－典型环节的串联
结束
(5-16)
系统开环幅频特性： 和开环相频特性：
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
L(ω)
称 / 转折频率
1
相频特 性1 不需能要用时近，对近似特 似性特转进折性行频校率正φ，(ω/通1)处过
3dB-点5.7画° 光滑10曲 线
1/
-20dB/dec
L(ω) 1
10
-45°
-84.3°
-90°
结束
(5-24)
（5）一阶微 分环节
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
L(ω)（dB） ≈ 0
-0.17 -0.97 -3
-7
-14 -20
L
-90o
结束
(5-22)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
惯性环节的对数幅频特性通常用渐进线近似:
A() 1 22 1
1 L()20lg10(低频幅频渐进线）
1 L ( ) 2 l 0 g 2 l 0 g 2 l 0 g
传递函G数 1(s) ： K S
结束
(5-20)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（3）微分 传递函数 G(s： )S
环节 频率特G性 (j)： j
20dB/dec
A ()
1
L ()2l0g
()90
传递函数与积分环节互为 倒数，它们的Bode图以 实轴相互对称；而一阶微 分环节则与惯性环节对称。
第五章 频域分析法
频率特性的求取
1、通过实验的方法直接测得。 2、根据传递函数求取。 即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
G( j ) G( s) |s j
微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：
d j dt
微分方程
d s dt
频率特性
s j
传递函数
二、 频率特性的几何表示法
写成一个式子 1 1 T
2 2
e
jarctgT
1 1 =G( j ) 1 jT 1 Ts s j
A() G( jw) ,() G( jw)
定义：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分 量与谐波输入的幅值之比A(ω)为系统的幅频特性，相位 之差φ(ω)为相频特性，并称其指数表达形式 G( j) A()e j () 为系统的频率特性。
二、典型环节的频率特性
⒈ 比例环节：
G( s ) K
;
G( j ) K
P( ) K ；虚频特性： Q( ) 0 ； 实频特性 ：
( ) 0 A( ) K ；相频特性： 幅频特性：
对数幅频特性L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK
j
(dB) 20lgK
0 (o) 1 10 ω
At A t / T u0 (t ) （u o0 ）e Sin(t arctgT ) 2 2 2 2 1 T 1 T
稳态分量 A 1 T
2 2
Sin(t arctgT )
定义A() 1/ 1 2T 2 , () arctgT
第五章 线性系统频域分析法
5-1 5-2 5-3
频 率 特 性
开环系统典型环节分解和开环频率特性曲线
第5部分频域分析法共133页文档
函数φ(ω)， 是G(jω)的幅角,
φ(ω)=argG(jω)=∠G(jω)
(5-3)
第5章 频域分析法
幅频特性描述了系统在稳态下响应不同频率正弦 输入信号时幅值衰减或放大的特性； 相频特性描述了 系统在稳态下响应不同频率正弦输入信号时在相位上 产生滞后或超前的特性。 因此， 如果已知系统（环节） 的微分方程或传递函数， 令s=jω便可得到相应的幅频 特性和相频特性， 并依此作出频率特性曲线。
L(ω)=20 lgA(ω)=20 lgω=20μ,
φ(ω)=90°
（5-1６）
可见， 微分环节的对数幅频特性L(ω)是μ（即lgω） 的一次线性函数， 其直线斜率为20 dB/dec， 直线在 ω=1时与横轴相交, φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于 横轴的直线， 如图5-９(ｂ)所示。
第5章 频域分析法
可见， 比例环节的幅频特性和相频特性都是与ω 无关的常量。 在极坐标频率特性图（Nyquist图）中其 频率特性曲线为正实轴上坐标为(K, j0)的一个点， 如 图5-７(a)所示。
第5章 频域分析法
2. 对数坐标频率特性（Bode图） L(ω)=20 lgK, φ(ω)=0° （5-１０）
可见， 比例环节的对数幅频特性L(ω)和对数相频 特性φ(ω)也都是与ω无关的水平直线。L(ω)是一条纵坐 标为20 lgK的、 平行于横轴的直线, φ(ω)是一条与0° 线重合的直线， 如图5-７(ｂ)所示。
［R(ω)-0.5］2+［I(ω)］2=0.52
第5章 频域分析法
2. 对数坐标频率特性（Bode图）
第5章 频域分析法
1) 对数幅频特性的坐标系 对数幅频特性的坐标系如图5-４所示。 (1) 横轴： μ=lgω。 ① ω轴为对数分度， 即采用相等的距离代表相等 的频率倍增， 在伯德图中横坐标按μ=lgω 均匀分度。 ω和lgω的关系如表5-２所示。
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ (1) f (t) 在一个周期内绝对可积； ❖ (2) f (t) 在一个周期内的断点数是有限的； ❖ (3) f (t) 在一个周期内的极值点数是有限的。由于一
般的周期信号都满足狄里赫利条件，所以以后不再 提及。 ❖ 由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开 成以下的傅里叶级数
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
n0tdt
T0 2
t0 T0 12 dt T0 t0
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 式中，和均为正整数；0 2/T0 。上式说明三角函数 集是正交函数集。由于三角函数集中的元素有无穷 多个，所以三角函数集是完备正交集。也就是说， 任意一个周期信号 f (t) 均可展开成傅里叶级数，但 前提是必须满足以下的狄里赫利条件：
❖
❖ 所以
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
(Cn e jn0t )*
Cn (e jn0t )*
C ejn0t n
(5-22)
❖
∞
f (t) C0 2 Re(Cn e jn0t )
(5-23)
n 1
❖ 2. 由指数函数集的正交性到指数形式的傅里叶级数
❖ 指数函数集 ejn0t n 0,1,2, 的元素为无数个不同角频率的虚
f
(t)
a0 2
N n 1
(ancos n0t
bnsin n0t)
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 【例5-1】 求图5.2所示标准方波信号的傅里叶级数展开式。
❖ 解：由图5.2可以看出，该方波信号的周期为 T0 。在一个
周期内，f (t) 的表达式为
f
(t t T0 2
般的周期信号都满足狄里赫利条件，所以以后不再 提及。 ❖ 由以上的讨论可知，任意一个周期信号均可以展开 成以下的傅里叶级数
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
n0tdt
T0 2
t0 T0 12 dt T0 t0
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 式中，和均为正整数；0 2/T0 。上式说明三角函数 集是正交函数集。由于三角函数集中的元素有无穷 多个，所以三角函数集是完备正交集。也就是说， 任意一个周期信号 f (t) 均可展开成傅里叶级数，但 前提是必须满足以下的狄里赫利条件：
❖
❖ 所以
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
(Cn e jn0t )*
Cn (e jn0t )*
C ejn0t n
(5-22)
❖
∞
f (t) C0 2 Re(Cn e jn0t )
(5-23)
n 1
❖ 2. 由指数函数集的正交性到指数形式的傅里叶级数
❖ 指数函数集 ejn0t n 0,1,2, 的元素为无数个不同角频率的虚
f
(t)
a0 2
N n 1
(ancos n0t
bnsin n0t)
信号与系统
第5章 连续时间信号与系统的频域分析
❖ 【例5-1】 求图5.2所示标准方波信号的傅里叶级数展开式。
❖ 解：由图5.2可以看出，该方波信号的周期为 T0 。在一个
周期内，f (t) 的表达式为
f
(t t T0 2
第五章频域分析法
惯性环节的幅相特性曲线
j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ， 并按对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 对数幅频特性定义为 L( ) 20lg M ( )
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到。 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法 从频率特性出发研究系统。
频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!
频率特性的定义: 稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 三种数学模型的关系如图 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
0
-78.7 -90
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅频和相频特性曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 1 2T 2 1
总复习(频域分析)
形状以抽样频率s为间隔地重复而得到，在重复的过程中幅度 被p(t )的傅立叶系数Pn所加权。因为Pn只是n(而不是 )的函数，所 以在重复的过程F ()中不会使形状发生变换。Pn取决于抽样脉冲
序列的形状。
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
矩形抽样
Fne jn0t
n
Fn
FT[e jn0t
]
FT[ fT (t)] 2 Fn ( n0) n
(3)抽样信号的傅立叶变换
Fs () PnF ( ns ) n 信号在被时域抽样后,它的频谱Fs ()是连续信号频谱的F ()
FT ej0t
e j(0 )tdt
2
(
0 )
FT e j0t
e j(0 )tdt
2
(
0)
cos0t
1 2
(e j0t
e j0t )
( 0) ( 0)
2
物理意义：f (t)可分解为一系列频率为，幅度为 F ( )的 2
正弦函数的积分和。
1. 常见非周期信号的频谱
(1)单边指数信号
eat (t 0) f (t)
0 (t 0)
(a 0)
F () f (t)e jtdt 1
a j
(2)双边指数信号ea t
sin0t
1 (e j0t 2j
e j0t )
j
( 0) ( 0)
序列的形状。
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
矩形抽样
Fne jn0t
n
Fn
FT[e jn0t
]
FT[ fT (t)] 2 Fn ( n0) n
(3)抽样信号的傅立叶变换
Fs () PnF ( ns ) n 信号在被时域抽样后,它的频谱Fs ()是连续信号频谱的F ()
FT ej0t
e j(0 )tdt
2
(
0 )
FT e j0t
e j(0 )tdt
2
(
0)
cos0t
1 2
(e j0t
e j0t )
( 0) ( 0)
2
物理意义：f (t)可分解为一系列频率为，幅度为 F ( )的 2
正弦函数的积分和。
1. 常见非周期信号的频谱
(1)单边指数信号
eat (t 0) f (t)
0 (t 0)
(a 0)
F () f (t)e jtdt 1
a j
(2)双边指数信号ea t
sin0t
1 (e j0t 2j
e j0t )
j
( 0) ( 0)
第五章 电路的频域分析
0
（ ） 90 tg RC
33 MHz
0
0
0
当 当
1 RC
相应地，
f0
1 2 RC
：截止频率
0 f f0
时，信号不能通过网络，衰减很多
时，信号能通过网络传递到输出端
f f0
所以称为高通滤波器 该网络的高通特性也可以通 过XC 和R的特性 定性分析
Ui
33 MHz
串联电路电流的频率特性曲线
I ( ) U R 2 ( L U R 1 Q2( 1 2 ) C 1 Q2( R2 R2 ( I0 U
0 L 0 1 2 ) 0 R 0 RC
I
I0 2
0 2 ) 0
0 2 ) 0
33 MHz
Z0
L RC
(当满足 0L R时)
(2)恒压源供电时，总电流最小。
I I0 U L U Z0
Z ,I
Z0
Z
I
RC 恒流源供电时，电路的端电压最大。
U IS Z0
I0
当 0L R时，
I1
33 MHz
ω0
U R (2π f 0 L)
2 2
U 2π f 0 L
33 MHz
Uo j U
i
1 Uo H j U
i
1 j C 1 1 j RC R j C tg R C
Ui
1
1 1 RC
2
A
R
C
UO
33 MHz
H j
1 1 RC
第五章：频域分析总复习cx
1
0
系统稳定，幅值裕度
h 1 Re[ G ( j x )]
1 . 312 2 . 36 dB
（请自己绘制对数相频特性曲线） K 4 20 lg K 12 . 04 dB
1 1 . 25 2 4
4
斜率改变 斜率改变
1
20 dB / dec 20 dB / dec
2
G (s)
3 16 ( 0 . 375 s 1 )
r 180 180
0
0
G ( j c )
0
180
0
tg
1
0 . 375 c tg
1
0 . 1 c
35 . 07
3. (2) 已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如 图，试求系统的开环传递函数，并计算系统的截至频率 和相角裕度。
0
1
1
[-2 0 ] 0 0 .2 4
( ra d / s )
4. 某I型系统开环幅相曲线如图，且P=1， 则系统有几个闭环极点在S右半平面？
j
3
2
0
3
N
3
2 N N N 0 .5 Z P 2 N 1 ( 1) 2
,N 1
5. 已知最小相位单位负反馈I型系统k=20 时开环幅相曲线如图，试求使系统稳定 的k值范围。
j
4
0
0 k 5
6.图中代表2个二阶振荡环节的闭环幅频 特性曲线，则哪个系统的超调量较大？
( j )
a
b
a较大
7.一阶系统闭环传递函数
(s)
1 0 .1s 1
第五章 频域分析法-2007
ω
0
积分环节的极坐标图
G(jω)=1/(jω)ν 类推 G(s)=1/sν L( ) 20 lg (dB) A(ω)=1/ων
( ) 90
对数幅频特性曲线是一条在ω=1处穿过0dB线、斜率为20νdB/dec的直线，每变化十倍频程而变化-20ν分贝；对数相频特 性曲线是一条通过-ν90°且平行于横轴的直线。
5.1 频率特性
1. 频率特性的概念
频率特性与传递函数具有十分相似的形式G(jω)=G(s)|s=jω。
s=p
微分方 程
jω=p
p d dt
传递函 数
系统
频率特 性
s=jω
5.1 频率特性
2. 频率特性的图示方法 1) 极坐标图
极坐标图，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 ，=奈奎斯特曲线 (简称 ) arct anT
1
0 45° ω=1/T ω=0
Re
1 1 当： 0 时，A( )： 1 0 T 2 ( )： 45 90 0
X ( ) 1 (T ) 2 1 Y ( ) T (T ) 2 1
ω
lgω
1 0
2 0.301
3 0.477
4 0.602
5 0.699
6 0.778
7 0.845
8 0.903
9 0.954
10 1
5.2 典型环节的频率特性
2. 积分环节 传递函数：G(s)=1/s
Im Re
频率特性：G(jω)=1/jω A(ω)=1/ω
L( ) 20 lg (dB) ( ) 90
第五章 频域分析法1
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定， 这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际 意义。
自动控制原理频域分析知识点总结
自动控制原理频域分析知识点总结自动控制原理是一门研究系统控制的学科，频域分析是其中重要的方法之一。
频域分析是通过将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）来研究系统的特性和性能。
以下是频域分析的一些知识点的总结：1. 傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是将周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的无穷级数。
而傅里叶变换则是将非周期信号分解成连续的频谱。
傅里叶级数和傅里叶变换是频域分析的基础。
2. 频谱频谱是频域分析中最重要的概念之一，它描述了信号在频率上的分布情况。
频谱可以通过傅里叶变换得到，可以分为幅度谱和相位谱两部分。
幅度谱表示信号在不同频率上的幅度大小，相位谱表示信号在不同频率上的相位差。
3. 系统的频率响应系统的频率响应是指系统对输入信号的频率的响应情况。
频率响应可以通过系统的传递函数或频率响应函数来描述。
传递函数是输出与输入之间的关系，频率响应函数则是将传递函数表示在频域上。
4. 滤波器滤波器是一种能够选择性地通过或抑制特定频率信号的设备或系统。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
滤波器可以通过频域分析来进行设计和分析。
5. 稳定性分析频域分析可以用于系统的稳定性分析。
通过分析系统的频率响应，可以判断系统在不同频率上是否稳定。
例如，当系统的传递函数的幅度谱在一定频率范围内小于1时，系统是稳定的。
6. 调幅和解调调幅是一种将低频信号调制到高频载波上的方法，解调则是将调制后的信号恢复为原始信号的方法。
调幅和解调也可以通过频域分析进行分析和设计。
7. 变换域分析除了傅里叶变换外，还有其他变换域分析方法，如拉普拉斯变换、Z变换等。
这些方法可以更方便地分析线性时不变系统的频率特性。
总结：频域分析是自动控制原理中的重要内容，通过将信号从时域转换到频域，可以更好地理解和分析系统的特性和性能。
傅里叶级数和傅里叶变换是频域分析的基础，频谱、频率响应和滤波器等是频域分析中的重要概念和方法。
第五章频域分析法
第五章 频率分析法
5.1频率特性 5.2频率特性的图示方法之一
幅相频率特性曲线（奈氏（Nyquist）曲线、极坐标曲线）
5.3频率特性的图示方法之二
对数频率特性曲线（伯德（Bode）图）
5.4最小相位系统
1
研究的问题仍然是系统的
稳定性、动态性能、稳态性能
但在时域分析中：独立 变量 t ,
1t 为基本输入信号 而在频域分析中：独立 变量 ，
频率特性与传递函数具有相似的形式
j
： G ( j ) G ( s) s j
p
p d dt
s
p
微分 方程
传递 函数
系统
频率 特性
s j
14
例 求
K G j j T1 j 1T2 j 1
K
j arctan T1 arctan T2 2
A s2 2
则系统输出为 （假设系统稳定）
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm A A n C ( s ) G ( s ) R( s ) G ( s ) 2 2 s a1s n 1 an 1s an s 2 2 s
（3）高阶系统，不易看出系统结构、参数对其动
态性能的影响；当动态性能不满足要求时，难以指
出改善系统性能的途径。
3
引言
频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典的
实用工程方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解
方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频域法用 于分析和设计系统有如下优点： （ 1 ）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法
5
§5.1 频率特性
5.1频率特性 5.2频率特性的图示方法之一
幅相频率特性曲线（奈氏（Nyquist）曲线、极坐标曲线）
5.3频率特性的图示方法之二
对数频率特性曲线（伯德（Bode）图）
5.4最小相位系统
1
研究的问题仍然是系统的
稳定性、动态性能、稳态性能
但在时域分析中：独立 变量 t ,
1t 为基本输入信号 而在频域分析中：独立 变量 ，
频率特性与传递函数具有相似的形式
j
： G ( j ) G ( s) s j
p
p d dt
s
p
微分 方程
传递 函数
系统
频率 特性
s j
14
例 求
K G j j T1 j 1T2 j 1
K
j arctan T1 arctan T2 2
A s2 2
则系统输出为 （假设系统稳定）
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm A A n C ( s ) G ( s ) R( s ) G ( s ) 2 2 s a1s n 1 an 1s an s 2 2 s
（3）高阶系统，不易看出系统结构、参数对其动
态性能的影响；当动态性能不满足要求时，难以指
出改善系统性能的途径。
3
引言
频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典的
实用工程方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解
方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频域法用 于分析和设计系统有如下优点： （ 1 ）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法
5
§5.1 频率特性
第5章 电路的频域分析
1 设： 0 ω RC 1
电工技术
相频特性：
ω ω0 ω0 ω ω arctan 3
ω ω 3 ω ω
2 0 0
2
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电工技术
(3) 频率特性曲线
T jω
T jω
0
0
1/3
0
1
90
0
- 90
+
1 3 0.707 3
0
U 1jω
–
R C + R C
U 2 jω
90
1 0 2
0
- 90
–
0
RC串并联电路具有带通滤波特性
总目录 章目录 返回 上一页 下一页
电工技术
由频率特性可知 在 =0 频率附近, |T(j )| 变化不大接近等 于1/3;当偏离0时,|T(j )|明显下降,信号衰减较 大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处， (|T(j )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率 之差即：
2
1
ω0 1 ω
2
ω0 1 arctan 相频特性： ω arctan ωRC ω
总目录 章目录 返回 上一页 下一页
(3) 频率特性曲线
T j
电工技术
T jω
0 1
90
0
0.707
45
0
0
1 0.707 0
90 45
T jω ω
总目录 章目录 返回 上一页 下一页
(2) 传递函数（转移函数） 电路输出电压与输入 电压的比值。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
图 5.1 RC 电路
iR + uo = ui i = c duo
dt
得
RC
duo dt
+ uo
=
ui
或
T
duo dt
+ uo
= ui
，T
=
RC
得到 RC 电路的传递函数为
Uo (s) = 1 Ui (s) Ts + 1
设输入信号为Ui (t)
=
A sin ω
t
，其拉氏变换为Ui (s)
=
Aω s2 + ω2
A(ω) = B = 1 = 1 A 1 + ω2T 2 1 + jωT
(4) ϕ(ω) 为输出稳态解与输入信号的相位差，也是ω 的函数，且为
ϕ(ω) = −arctanωT = ∠ 1 1 + jωT
上述结论同样适用于一般系统。设线性定常系统具有如下传递函数
G(s)
=
b0 sm + b1sm−1 + sn + a1sn−1 +
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
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0 1 1
20
60dB / dec
3. 已知最小相位系统开环对数幅频渐近特 性曲线如图，试求系统的开环传递函数， 并计算系统的截至频率和相角裕度。
L ( 1 ) 0
(1)
L ( )
lg 1 lg 6 L ( 1 ) 0 lg 1 lg 4
[-2 0 ]
1 4
20 dB / dec 40 dB / dec
[-4 0 ]
L ( 1 )
0dB
10
6
(rad / s )
[-4 0 ]
lg 1 lg 4
lg 1 lg 6 2 2 lg 1 2 lg 4 lg 1 lg 6 2 lg 1 lg 6 2 lg 4 6 1 4
0
1
1
[-2 0 ] 0 0 .2 4
( ra d / s )
4. 某I型系统开环幅相曲线如图，且P=1， 则系统有几个闭环极点在S右半平面？
j
3
2
0
3
N
3
2 N N N 0 .5 Z P 2 N 1 ( 1) 2
,N 1
5. 已知最小相位单位负反馈I型系统k=20 时开环幅相曲线如图，试求使系统稳定 的k值范围。
j
4
0
0 k 5
6.图中代表2个二阶振荡环节的闭环幅频 特性曲线，则哪个系统的超调量较大？
( j )
a
b
a较大
7.一阶系统闭环传递函数
(s)
1 0 .1s 1
则系统的带宽为 带宽频率 b
1
10
T 带宽 ( 0 ,10 )
L ( )(d B )
20dB / dec
c 0.8 c 20 c 2.236rad / s 1 2
180 G ( j c )
0
40 dB / dec
0 .1
1
1 0 .8
4 10
( ra d / s )
180 90 tg 0.8 c tg 0.25 c 0
1
0
系统稳定，幅值裕度
h 1 Re[ G ( j x )]
1 . 312 2 . 36 dB
（请自己绘制对数相频特性曲线） K 4 20 lg K 12 . 04 dB
1 1 . 25 2 4
4
斜率改变 斜率改变
1
20 dB / dec 20 dB / dec
G ( j 0 ) 90 G ( j ) 0 270
Re[ G ( j x )] 0 . 76
N N 0
0 0
Im[ G ( j x )] 0 x 2 . 24
j
P 0 Z P 2( N N ) 0
L ( ) ( d b )
[-2 0 ]
G (s)
18 s( 2 s 1)
0
r 90 arctg 6 9 . 46
1
3
2
18
1
3 [- 4 0 ]
18
(rad / s )
3. (3)已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲 线如图，试求系统的开环传递函数，并计算系统 的截至频率和相角裕度。
2
G (s)
3 16 ( 0 . 375 s 1 )
r 180 180
0
0
G ( j c )
0
180
0
tg
1
0 . 375 c tg
1
0 . 1 c
35 . 07
3. (2) 已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如 图，试求系统的开环传递函数，并计算系统的截至频率 和相角裕度。
M ( ) e
j ( )
G ( j )
截止频率： G ( j c ) H ( j c ) 1 相角裕度
180 G ( j c ) H ( j c )
0
穿越频率
x : G ( j x ) H ( j x ) ( 2k 1) ,
k 0,1, 幅值裕度： h 1 G ( j x ) H ( j x )
5 e ss ( t ) r ( t ) c ss ( t )
2. 系统结构如图，当输入r(t)=sin2t, n(t) =0时，系统的稳态输出css(t)=sin(2t-450) (1)试求k,T的值； (2)求r(t)=0,n(t)=1(t)时系统的稳态误差 ess 8 2
第五章：频域分析 基本概念
• 频率特性、幅频特性、相频特性、最小 相位环节、非最小相位环节、谐振频率、 谐振峰值、延迟环节、穿越频率、幅值 裕度、截至频率、相位裕度、带宽 • 幅角原理 • Nyquist稳定性判据 • 对数频率稳定性判据
基本技能
1. 利用频率特性的物理意义计算谐波信 号作用下系统的稳态输出和稳态误差。 2. 开环系统的幅相曲线的绘制与分析， 应用Nyquist稳定性判据判别系统的稳 定性，若稳定，计算系统的幅值裕度。 3. 开环系统的对数频率渐近特性曲线绘 制与分析，并应用对数频率稳定性判 据判别系统的稳定性，计算相角裕度。 4. 一、二阶系统带宽的计算及带宽与系 统响应速度关系的分析。
线性定常系统： 输入： r ( t ) Ai sin( t ) 稳态输出： c s ( t ) A o sin( t )
幅频特性 M ( ) 相频特性
A o ( 稳态输出幅值） Ai （输入幅值）
( ) ( t )
稳态输出相角
t
输入相角
频率特性
1
起始斜率-40dB/dec，v=2 在交接频率1处斜率增大20dB/dec，说明为一阶微分环 节的交接频率 在交接频率2处斜率减小20dB/dec，说明为惯性环节的 交接频率 则系统传递函数为：
K( G (s) s (
2
s
1
s
1) 1)
2
1
4
2
8
rad / s
6
s ( 0 .1 s 1 ) c 6 rad / s
20 lg k 20v lg 0.2 12 k 0.8 0.8( 5 s 1) G( s) s(0.25 s 1) 0.8 5 c 1 c 16rad / s c 0.25 c
L ( )( d B )
[-2 0 ] 12
r 180 tg 5 * 16 90 tg 0.25 * 16 103.32
k 8 ,T
N (s) R (s)
e ss 0
E (s) k s ( T s 1) C (s)
4
频率特性曲线绘制与分析
3. 已知单位负反馈系统开环传递函数
G (s) 16 s ( 0 . 8 s 1)( s 4 )
试绘制其幅相曲线和对数频率渐近特性 曲线，并应用Nyquist判据和对数频率稳 定性判据判别系统的稳定性，若稳定计 算其幅值裕度和相角裕度。
20 lg G ( j x ) H ( j x ) ( dB )
频率特性物理意义的应用
1. 系统结构如图，当输入r(t)=2sin2t时， 试计算系统的稳态输出css(t)和稳态误 差ess(t) 2 C (s) E (s ) R(s)
s( s 2)
c ss ( t ) 2 sin( 2 t 180 arctg 2 )
20
60dB / dec
3. 已知最小相位系统开环对数幅频渐近特 性曲线如图，试求系统的开环传递函数， 并计算系统的截至频率和相角裕度。
L ( 1 ) 0
(1)
L ( )
lg 1 lg 6 L ( 1 ) 0 lg 1 lg 4
[-2 0 ]
1 4
20 dB / dec 40 dB / dec
[-4 0 ]
L ( 1 )
0dB
10
6
(rad / s )
[-4 0 ]
lg 1 lg 4
lg 1 lg 6 2 2 lg 1 2 lg 4 lg 1 lg 6 2 lg 1 lg 6 2 lg 4 6 1 4
0
1
1
[-2 0 ] 0 0 .2 4
( ra d / s )
4. 某I型系统开环幅相曲线如图，且P=1， 则系统有几个闭环极点在S右半平面？
j
3
2
0
3
N
3
2 N N N 0 .5 Z P 2 N 1 ( 1) 2
,N 1
5. 已知最小相位单位负反馈I型系统k=20 时开环幅相曲线如图，试求使系统稳定 的k值范围。
j
4
0
0 k 5
6.图中代表2个二阶振荡环节的闭环幅频 特性曲线，则哪个系统的超调量较大？
( j )
a
b
a较大
7.一阶系统闭环传递函数
(s)
1 0 .1s 1
则系统的带宽为 带宽频率 b
1
10
T 带宽 ( 0 ,10 )
L ( )(d B )
20dB / dec
c 0.8 c 20 c 2.236rad / s 1 2
180 G ( j c )
0
40 dB / dec
0 .1
1
1 0 .8
4 10
( ra d / s )
180 90 tg 0.8 c tg 0.25 c 0
1
0
系统稳定，幅值裕度
h 1 Re[ G ( j x )]
1 . 312 2 . 36 dB
（请自己绘制对数相频特性曲线） K 4 20 lg K 12 . 04 dB
1 1 . 25 2 4
4
斜率改变 斜率改变
1
20 dB / dec 20 dB / dec
G ( j 0 ) 90 G ( j ) 0 270
Re[ G ( j x )] 0 . 76
N N 0
0 0
Im[ G ( j x )] 0 x 2 . 24
j
P 0 Z P 2( N N ) 0
L ( ) ( d b )
[-2 0 ]
G (s)
18 s( 2 s 1)
0
r 90 arctg 6 9 . 46
1
3
2
18
1
3 [- 4 0 ]
18
(rad / s )
3. (3)已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲 线如图，试求系统的开环传递函数，并计算系统 的截至频率和相角裕度。
2
G (s)
3 16 ( 0 . 375 s 1 )
r 180 180
0
0
G ( j c )
0
180
0
tg
1
0 . 375 c tg
1
0 . 1 c
35 . 07
3. (2) 已知最小相位系统开环对数幅频渐近特性曲线如 图，试求系统的开环传递函数，并计算系统的截至频率 和相角裕度。
M ( ) e
j ( )
G ( j )
截止频率： G ( j c ) H ( j c ) 1 相角裕度
180 G ( j c ) H ( j c )
0
穿越频率
x : G ( j x ) H ( j x ) ( 2k 1) ,
k 0,1, 幅值裕度： h 1 G ( j x ) H ( j x )
5 e ss ( t ) r ( t ) c ss ( t )
2. 系统结构如图，当输入r(t)=sin2t, n(t) =0时，系统的稳态输出css(t)=sin(2t-450) (1)试求k,T的值； (2)求r(t)=0,n(t)=1(t)时系统的稳态误差 ess 8 2
第五章：频域分析 基本概念
• 频率特性、幅频特性、相频特性、最小 相位环节、非最小相位环节、谐振频率、 谐振峰值、延迟环节、穿越频率、幅值 裕度、截至频率、相位裕度、带宽 • 幅角原理 • Nyquist稳定性判据 • 对数频率稳定性判据
基本技能
1. 利用频率特性的物理意义计算谐波信 号作用下系统的稳态输出和稳态误差。 2. 开环系统的幅相曲线的绘制与分析， 应用Nyquist稳定性判据判别系统的稳 定性，若稳定，计算系统的幅值裕度。 3. 开环系统的对数频率渐近特性曲线绘 制与分析，并应用对数频率稳定性判 据判别系统的稳定性，计算相角裕度。 4. 一、二阶系统带宽的计算及带宽与系 统响应速度关系的分析。
线性定常系统： 输入： r ( t ) Ai sin( t ) 稳态输出： c s ( t ) A o sin( t )
幅频特性 M ( ) 相频特性
A o ( 稳态输出幅值） Ai （输入幅值）
( ) ( t )
稳态输出相角
t
输入相角
频率特性
1
起始斜率-40dB/dec，v=2 在交接频率1处斜率增大20dB/dec，说明为一阶微分环 节的交接频率 在交接频率2处斜率减小20dB/dec，说明为惯性环节的 交接频率 则系统传递函数为：
K( G (s) s (
2
s
1
s
1) 1)
2
1
4
2
8
rad / s
6
s ( 0 .1 s 1 ) c 6 rad / s
20 lg k 20v lg 0.2 12 k 0.8 0.8( 5 s 1) G( s) s(0.25 s 1) 0.8 5 c 1 c 16rad / s c 0.25 c
L ( )( d B )
[-2 0 ] 12
r 180 tg 5 * 16 90 tg 0.25 * 16 103.32
k 8 ,T
N (s) R (s)
e ss 0
E (s) k s ( T s 1) C (s)
4
频率特性曲线绘制与分析
3. 已知单位负反馈系统开环传递函数
G (s) 16 s ( 0 . 8 s 1)( s 4 )
试绘制其幅相曲线和对数频率渐近特性 曲线，并应用Nyquist判据和对数频率稳 定性判据判别系统的稳定性，若稳定计 算其幅值裕度和相角裕度。
20 lg G ( j x ) H ( j x ) ( dB )
频率特性物理意义的应用
1. 系统结构如图，当输入r(t)=2sin2t时， 试计算系统的稳态输出css(t)和稳态误 差ess(t) 2 C (s) E (s ) R(s)
s( s 2)
c ss ( t ) 2 sin( 2 t 180 arctg 2 )