大一高数期末复习重点.ppt

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《高数总复习》PPT课件

2021/4/24
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期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
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第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的线性运算
向量概念
向量的积
向量的表示法
数量积
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向量积
特征方程法
特征方程的根及其对应项
f (x)的形式及其特解形式
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1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
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9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
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2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微

高数期末知识点大一上学期

高数期末知识点大一上学期高等数学是大一上学期的一门重要课程，主要涵盖了微积分的基础知识。

在期末考试前，理解和掌握好以下几个重要的知识点对于取得好成绩至关重要。

1. 函数与极限函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的依赖关系。

函数的概念和性质是微积分的基础，包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。

在函数的研究中，极限是一个关键的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

学习中需要关注极限的定义、性质和计算方法，包括数列的极限和函数的极限。

2. 导数与微分导数是函数变化率的一种度量，可以理解为函数在某一点的瞬时变化速率。

导数的计算方法主要有基本的导数公式、求导法则和高阶导数的计算方法。

微分是导数的一种应用，通常可以用来求函数的增减性、极值点和函数的曲线图。

3. 不定积分与定积分不定积分是求原函数的反向运算，也称为不定积分或者积分常数。

学习不定积分时，需要掌握基本的积分公式和求积分的方法，如分部积分法和换元积分法。

定积分是求函数曲线下的面积，具有几何和物理上的应用，需要学习积分的定义、性质和计算方法。

4. 微分方程微分方程是描述变化过程的数学方程，它是应用数学中的重要工具之一。

学习微分方程时，需要了解一阶和二阶微分方程的基本形式、求解方法和初值问题的求解步骤。

掌握微分方程的解法，可以应用于许多实际问题的求解，如生物学、物理学和工程学等领域。

5.级数与数项级数级数是无穷个数的和，数项级数是级数的一种常见形式。

学习数项级数时，需要了解级数的定义、性质和收敛判别法。

特别是数项级数的常用收敛判别法，如比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

以上是高等数学高数期末考试中的重要知识点，希望同学们能够认真复习，理解掌握这些知识点，并通过大量的习题练习加深对知识的理解和记忆。

只有牢固掌握了基础知识，才能更好地应对考试，取得优异的成绩。

祝同学们顺利通过高数期末考试！。

《高数复习》课件

3 掌握解题技巧
学习一些常用的解题技巧，如应用合适的代数运算、化简复杂表达式等，以解决更具挑战的数学问题。
典型例题讲解
极限
通过解析典型的极限题目，了解极限的计算方法和性质，增加对极限概念的理解和应用能力。
积分
通过讲解经典的积分题目，提供不同的积分计算方法和技巧，帮助学生掌握积分的运算。
微分方程
总结和答疑
课程总结
对本次复习课程进行总结，强调重点内容和易错题，以及给出备考建议和考试注意事项。
答疑时间
为学生提供答疑时间，回答学生在课程中遇到的问题，并提供进一步的辅导和指导。
《高数复习》PPT课件
高数复习的目的是帮助学生系统地回顾高等数学知识，并为即将到来的考试做准备。这份PPT将覆盖复习的重点、解题技巧和例题讲解等内容。
适用于谁？
大学生及相关专业学生
此PPT适用于正在学习高等数学以及相关专业的大学生，可以帮助他们等数学考试的人士
若你正在准备高等数学考试，这份PPT可以帮助你复习重点内容，提供解题技巧，以增加你的考试得分。
对高等数学感兴趣的人
即使你不是学习高等数学的学生，但对于数学有兴趣，这个PPT也可帮助你理解高等数学中的概念与公式。
复习重点：概念和公式
1
重要概念
回顾高等数学中的重要概念，如导数、积分、微分方程等，深入理解它们的含义和应用。
通过解决各类型微分方程问题，加深对微分方程理论和解题方法的理解和掌握。
习题讲解和练习
1
习题讲解
解析习题中可能遇到的难点，探讨解题
自我练习
2
思路和方法，并解答学生在习题中遇到的疑问。
为学生提供一些练习题，供学生在课后

大一高数复习知识点

大一高数复习知识点一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入与输出之间的关系。

一般来说，我们把输入称为自变量，输出称为因变量。

2. 极限的概念极限是函数中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的趋近性。

简单来说，一个函数的极限可以看作是函数在该点附近的稳定值。

3. 基本的极限运算法则- 常数乘以函数的极限等于函数的极限乘以该常数。

- 两个函数的和的极限等于两个函数的极限之和。

- 函数的极限与自变量无关。

二、导数与微分1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。

在数学上，导数可以通过极限来定义，即函数在某一点上的极限值。

2. 常见函数的导数公式- 常数函数的导数为0。

- 幂函数的导数可以通过幂函数的指数减1再乘以导数来计算。

- 指数函数和对数函数的导数可以通过指数函数或对数函数自身来计算。

3. 微分的概念微分描述了函数在某一点上的局部线性逼近。

它是导数的一种应用。

三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在该区间的两个端点处取得相同的函数值，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于零。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是导数中值定理的一种情况，它表示在一个开区间上，函数存在至少一点处的导数等于该区间上函数的平均斜率。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义不定积分是函数逆运算的一种形式，使用一个表示无穷小的符号 "dx" 来表示。

不定积分可以求出一个函数的原函数。

2. 常见函数的不定积分公式- 幂函数的不定积分可以通过幂函数的幂次加1再除以幂次来计算。

- 指数函数和对数函数的不定积分可以通过指数函数或对数函数自身来计算。

3. 定积分的定义定积分用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。

定积分可以看作是不定积分的一种应用。

五、常微分方程1. 常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数的导数的方程，其中未知函数是变量的函数。

高数知识点总结PPT课件

时,为右导数时,为左导数
可微
第9页/共33页
第
二
章
导数与微分
• 应用:
(1) 利用导数定义解决的问题求分段函数在分界点处的导数由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第10页/共33页
第
二
章
导数与微分
二、导数和微分的求法
第
一
章
函数与极限
一、函数
1. 特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
第1页/共33页
第
一
章
函数与极限
二、极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
" "
(即 f ( x) A为无穷小)
有
第2页/共33页
第
一
章
函数与极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的Байду номын сангаас质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
arcsin x ~ x,
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x.
第3页/共33页
第
一
章
函数与极限
4. 两个重要极限
或注: 代表相同的表达式
第4页/共33页
3. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维，设辅助函数. 一
般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数，可考虑用柯西中值定理 .

高数大一期末复习知识点

高数大一期末复习知识点大学的第一个学期即将进入尾声，而大一阶段的数学课程也即将迎来期末考试。

高等数学作为复杂的学科，对于大多数学生来说可能会感到有些困难。

为了帮助同学们更好地复习和掌握高数知识点，本文将围绕重点内容展开讨论。

一、极限与连续在高等数学中，极限与连续是基础而重要的概念。

极限是数列或函数在某一点趋于无穷大或无穷小的过程。

通过对极限的理解和熟练应用，能够掌握数列的收敛性和函数的连续性。

在复习过程中，我们可以重点关注常见函数的极限计算方法，并应用到例题中去理解其运用。

二、微分学微分学是高等数学中的重要部分，它研究了函数的变化率及其相关性质。

微分的概念与应用都在高数课程中占据很大比重。

对于微分公式的掌握和运用往往是解题的关键。

在复习过程中，我们可以着重复习基本函数的导数计算和常见求导法则，并结合例题进行训练。

三、积分学积分学是微分学的重要补充，它研究了函数的面积、曲线长度以及其相关性质。

积分的计算方法和应用都是复习的重点。

我们需要重点复习不定积分和定积分的计算方法，例如换元法、分部积分法、曲线下面积计算等。

掌握这些方法对于解决积分题目将大有帮助。

四、级数级数是由无穷个数相加（或相减）而成的一种数列。

级数在高等数学中有广泛的应用，如级数的条件收敛性判别法、函数展开为级数等。

复习时，我们需要熟悉并巩固级数求和常用方法，以及研究级数的收敛性质和敛散判别法。

五、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的拓展内容，它主要研究多元函数的导数和极值问题。

在复习中，我们需要熟悉多元函数的偏导数的计算方法和极值判定法则。

此外，掌握多元函数微分学的基本概念和性质，对于理解三维几何图形和解决相关问题有非常大的帮助。

六、方程与不等式方程与不等式既是高等数学的基础又是复习和考试重点。

回顾前面学过的内容，我们需要熟练掌握常用的一元方程和一元二次方程的解法，以及一元不等式的解法。

同时，我们还需了解二元方程、二元一次方程组和二元一次不等式组的解法，以及线性规划问题的求解思路。

《高数期末复习》PPT课件

2、掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求法，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟悉 1 、e x、sin x、cos x的麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其中为平面 x
y
z
3
1在第一卦限部分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。

高等数学期末总复习PPT课件

函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等，这些性质反映了函数图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，每种函数都有其独特的图像和性质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于某个确定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等于零的点），然后利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导数矩阵正定，则该点为极小值点；若负定，则为极大值点；若不定，则需要进一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。

大一高数复习全

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦。

当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦ （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim 9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()2333331lim lim lim 9333x x x x x x x x x →→→--====-+-+其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim23--→x x x【求解示例】x →=== 第六节极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim0=→xxx ∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→xx x （特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 【求解示例】第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +- 2．U U cos 1~212- （乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()x x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】第八节函数的连续性○函数连续的定义（★） ○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1，>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'第二节函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节高阶导数○()()()()1n n fx f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n nn d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x -'==++，()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈，∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,αβ⑵∞-∞【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 【求解示例】()()()()000002sin 1cos 1cos limlimlim22L x x L x x x x xx x x ''→→→''---===''⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()00ln 00002,ln ln ln ln 0lim ln lim 11lim lim 0lim lim 1x x x x L x y x x x x y x y x x x xx y x x x y e x∞∞'→→→→→→→====→====-===-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()1lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】本思路（★★） ⑴通分获得分式换）⑵取倒数获得分式形式）⑶取对数获得乘积式提前）)}续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）【题型示例】求221dx a x+⎰ 【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a -=，则原式可化为t ⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：a令sin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a=，则原式可化为cos a t ； b令sec x a t =（02t π<<），于是arccosat x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求⎰（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰ ⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰ 【求解示例】【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰ 【求解示例】∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m=-则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★） ⑴()()bbaaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0aaf x dx =⎰⑶()()b ba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b aaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则 ○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）【题型示例】求2121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】⑶（分部积分法） ○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aa af x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a af x dx -=⎰ 第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。

大一高数期末复习重点-PPT

)
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理有界性
介值定理
零点定理
,
6
例求 f ( x) 1 x 的间断点, 并指出其类型. 1 e1 x
解当x 0, x 1时,函数无定义, 是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x) lim
1 x ,
x0
1 e x0
1 x
所以 x 0是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在, 但不相等，所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
x( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a. (b) 垂直渐近线若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f
(
x
)
1
2 x
2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
x)
a 2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
11
例
讨论
f (x)
x2 sin
1, x
x0
0,
x0
在x 0处的连续性与可导性 .

《高数期末复习》课件

《高数期末复习》PPT课件
在这份《高数期末复习》PPT课件中，我们将深入探讨数学中的重要概念和技巧，通过生动的图片和实例帮助您更好地理解和记忆，让数学变得简单有趣。
数列与数学归纳法
1
数列的定义
了解数列的基本概念和性质，以及数列的分类和表示方法。
2
数学归纳法
掌握数学归纳法的原理和应用，能够证明各类数学命题。
重积分及其应用
二重积分的定义
重积分的应用
掌握二重积分的定义和计算方法，能够求解二维平面区域的面积。
应用重积分解决物理、工程和经济等实际问题，探索积分的深层次应用。
生物与科学研究
了解生物学、科学研究领域中重积分的应用，深入探索积分在研究中的重要地位。
3 微积分的应用
通过实际问题，应用积分解决运动问题、几何问题等多种应用题。
多元函数微分学基础
多元函数的极限
掌握多元函数的极限概念和性质，能够求多元函数在某点的极限。
多元函数的偏导数
学习多元函数的偏导数的定义和计算方法，能够求多元函数的偏导数。
多元函数的最值
了解多元函数的最值问题，能够应用极值性质求多元函数的最值。
3
数列的运算
学习数列的加法、减法、乘法和除法，掌握数列的运算规律。
函数的极限
函数极限的概念
理解函数极限的定义和性质，能够准确计算和判断函数在某点的极限。
极限的计算方法
掌握基本的极限计算方法，例如代入法、夹逼准则和洛必达法则。
无穷大与无穷小
学习无穷大与无穷小的概念，熟练运用无穷小的性质来求极限。
一元函数的导数与微分
结合实际问题，通过数学函数的运用，解决工程和经济方面的实际应用。
医学与科学研究

大一上册高数期末考知识点

大一上册高数期末考知识点大一上册的高等数学课程可谓是大学生涯中的一道坎。

高数的学习对于理工科和经济管理类专业的学生来说尤为重要，它不仅是一门基础课程，更是后续学习其他专业课程的基础。

为了帮助同学们复习期末考试，接下来将介绍一些大一上册高等数学期末考试的关键知识点。

一、极限和连续1.极限与函数- 函数极限定义及性质- 连续函数定义及性质- 无穷大与无穷小2.函数的连续性- 连续函数的运算法则- 间断点与可去间断点- 无界函数与无界间断点二、导数与微分1.导数的概念- 导数及其几何意义- 导数与函数图像的关系2.常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数的导数- 三角函数的导数- 基本初等函数的导数3.导数的四则运算与链式法则- 导数的四则运算法则- 复合函数的导数（链式法则）4.高阶导数与隐函数求导- 高阶导数的概念与性质- 隐函数的求导5.微分的概念- 微分与导数的关系- 微分的应用：局部线性化和近似计算三、定积分1.定积分的概念和性质- 定积分的定义及计算- 定积分的性质和几何意义2.定积分的计算- 定积分的基本性质- 常用的定积分计算方法3.定积分的应用- 利用定积分计算面积、弧长和体积- 牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理四、级数1.数项级数- 数项级数的概念与收敛性- 收敛级数的性质2.常见级数- 几何级数与调和级数- 收敛级数的运算与性质3.幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛域- 幂级数的运算与性质五、微分方程1.微分方程的概念与基本性质- 微分方程的基本形式与分类- 微分方程的解与初值问题2.常微分方程- 一阶常微分方程的解法及应用- 高阶常微分方程的解法及应用3.可分离变量的微分方程4.线性微分方程5.二阶齐次线性微分方程六、空间解析几何1.三维空间中的点、直线与平面2.曲线与曲面3.空间直角坐标系与方向角4.向量的内积、外积与混合积5.直线与平面的位置关系以上只是大一上学期高等数学涉及的一些重点知识点，同学们在复习备考时需结合自己的实际情况进行重点复习。

大一高数复习资料

大一高数复习资料(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高等数学第一章函数与极限第一节函数●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲）●邻域（去心邻域）（▲）第二节数列的极限●数列极限的证明（▲）〖题型〗已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=〖证明〗N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限●0x x →时函数极限的证明（▲）〖题型〗已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim〖证明〗δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim●∞→x 时函数极限的证明（▲）〖题型〗已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim〖证明〗X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大●无穷小与无穷大的本质（▲）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim●无穷小与无穷大的相关定理与推论（▲▲）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大〖题型〗计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则●极限的四则运算法则（▲▲）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）〖题型〗求值233lim 9x x x →--〖求解示例〗解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()00233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ●连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（▲▲）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦〖题型〗求值：93lim 23--→x x x〖求解示例〗36x →===第六节极限存在准则及两个重要极限 ●夹迫准则（P53）（▲▲▲）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-） ●单调有界收敛准则（P57）（▲▲▲）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）〖题型〗求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 〖求解示例〗第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ●等价无穷小（▲▲） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）〖题型〗求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→〖求解示例〗第八节函数的连续性 ●函数连续的定义（▲）●间断点的分类（P67）（▲）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）〖题型〗设函数()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？〖求解示例〗1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ●零点定理（▲）〖题型〗证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间〖证明〗1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ第二章导数与微分第一节导数概念●高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（▲▲）〖题型〗已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 〖求解示例〗1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==〖题型〗求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）〖求解示例〗1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--'第二节函数的和（差）、积与商的求导法则●函数和（差）、积与商的求导法则（▲▲▲）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则 ●反函数的求导法则（▲）〖题型〗求函数()x f 1-的导数〖求解示例〗由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ●复合函数的求导法则（▲▲▲）〖题型〗设(ln y e =，求y '〖求解示例〗第四节高阶导数●()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（▲）〖题型〗求函数()x y +=1ln 的n 阶导数〖求解示例〗()1111y x x -'==++，()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦，……第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ●隐函数的求导（等式两边对x 求导）（▲▲▲）〖题型〗试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程〖求解示例〗由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅ ∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111●参数方程型函数的求导〖题型〗设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd〖求解示例〗1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分●基本初等函数微分公式与微分运算法则（▲▲▲）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理●引理（费马引理）（▲） ●罗尔定理（▲▲▲）〖题型〗现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立〖证明〗1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立●拉格朗日中值定理（▲）〖题型〗证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅ 〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅ 〖题型〗证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<〖证明〗1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅ 第二节罗比达法则●运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（▲▲）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）〖题型〗求值：0lim ln x x x α→⋅〖求解示例〗（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）〖题型〗求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 〖求解示例〗()()()()00000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---=====''⑶00型（对数求极限法）〖题型〗求值：0lim x x x →〖求解示例〗()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）〖题型〗求值：()10lim cos sin xx x x →+〖求解示例〗⑸0∞型（对数求极限法）〖题型〗求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭〖求解示例〗●运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（▲▲）⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ●连续函数单调性（单调区间）（▲▲▲）〖题型〗试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间〖求解示例〗1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数的单调递增区间为(][),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2〖题型〗证明：当0x >时，1x e x >+ 〖证明〗1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+〖题型〗证明：当0x >时，()ln 1x x +< 〖证明〗1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<●连续函数凹凸性（▲▲▲）〖题型〗试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点〖证明〗1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）4．⑴函数单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值 ●函数的极值与最值的关系（▲▲▲）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；〖题型〗求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值〖求解示例〗1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= 3．（三行表）4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ●原函数与不定积分的概念（▲▲） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数 ⑵原函数存在定理：（▲▲）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（▲▲）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）●基本积分表（▲▲▲）●不定积分的线性性质（分项积分公式）（▲▲▲）第二节换元积分法●第一类换元法（凑微分）（▲▲▲）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）〖题型〗求221dx a x +⎰〖求解示例〗222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：〖题型〗求⎰〖求解示例〗●第二类换元法（去根式）（▲▲）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t bx a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctanxt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsinxt a=，则原式可化为cos a t ； b．sec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；〖题型〗求⎰（一次根式）〖求解示例〗2221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰〖题型〗求（三角换元）〖求解示例〗第三节分部积分法 ●分部积分法（▲▲）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”●运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=）⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰ ⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断 a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C〖题型〗求2x e x dx ⋅⎰ 〖求解示例〗〖题型〗求sin x e xdx ⋅⎰ 〖求解示例〗∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ●有理函数（▲）设：()()()()101101m m mn n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ●有理函数（真分式）不定积分的求解思路（▲）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m=-则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M MA A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解〖题型〗求21x dx x +⎰（构造法）〖求解示例〗第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ●定积分的定义（▲）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）●定积分的性质（▲▲▲） ⑴()()bbaaf x dx f u du =⎰⎰⑵()0aaf x dx =⎰⑶()()b ba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0ba f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰●积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式●牛顿-莱布尼兹公式（▲▲▲）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则●变限积分的导数公式（▲▲▲）（上上导―下下导）〖题型〗求21cos 2limt xx e dt x -→⎰〖求解示例〗第三节定积分的换元法及分部积分法 ●定积分的换元法（▲▲▲） ⑴（第一换元法）〖题型〗求20121dx x +⎰〖求解示例〗()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 〖题型〗求40⎰ 〖求解示例〗⑶（分部积分法） ●偶倍奇零（▲▲）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。

大一高数复习资料

第一章复习x.1 函数的极限及其连续性概念：省略注意事项1．无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，x x x f y sin )(==是无界变量，但不是无穷大量。

因为取22ππ+==n x x n 时，22)(ππ+=n x f n ，当n 充分大时，)(n x f 可以大于一预先给定的正数M ；取πn x x n 2==时，0)(=n x f 2．记住常用的等价形式当0→x 时，,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin x x x x x x x xx x x x x e x x x αα~1)1(,21~cos 1,~1,~)1ln(2-+--+例1 当0→x 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（1）2x 。

（2）x cos 1-。

（3）x x tan sin - （4）)1ln(2x +。

（）解：因为222~)1ln(,21~cos 1x x x x +-，所以选择C 练习 xxe x x cos ln cos lim 20-→解 )]1(cos 1ln[cos 11limcos ln cos lim2200-+-+-=-→→x xe x x e x x x x 31cos cos 1lim 1cos lim)]1(cos 1ln[cos 1lim)]1(cos 1ln[1lim020002-=--+-=-+-+-+-=→→→→x xx x x xx e x x x x x3．若函数的表达式中包含有b a +（或b a +），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式b a -（或b a -），反之亦然，然后再做有关分析运算例2 求)1sin(lim 2π+∞→n n 。

解 ])1sin[(lim )1sin(lim 22πππn n n n n n +-+=+∞→∞→nn n n n n n n ++-=-+-=∞→∞→1sin)1(lim )1sin()1(lim 22ππ当∞→n 时，)(,01~1sin22∞→→++++n nn nn ππ又 1|)1(|=-n，故0)1sin(lim 2=+∞→πn n练习求])1(2121[lim -+++-+++∞→n n n解原式＝22)1()1(221lim 2)1(2)1(lim =-++⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∞→∞→n n n n n n n n n n n 4． e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 该极限的特点：⎩⎨⎧∞与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中（型未定式121)1(解题方法（1）若极限呈∞1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立（2）凡是∞1型未定式，其结果：底必定是e ，幂可这样确定：设0)(lim =x u ，∞=)(lim x v ，则)()(lim )]()[(lim ))(1ln()(lim ))(1ln()()(lim ))(1lim (x u x v x u x v x u x v x u x v x v e e e e x u ±±±±====±这是因为 )(~))(1ln(x u x u ±±。

大学高数复习内容ppt课件

x0
x x0
lim f ( x)不存在或lim f ( x)不存在的间断点
x x0
x x0-
称为第二类间断点。
常见的有无穷间断点和振荡间断点.
1、导数的定义
y
y
x x0

lim
x0
x
lim x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
例
( P36)
1
f ( x
例求y=sinx在点( , 1)
处的切线
方程所. 求的切线方程6为2y 1 3 ( x 1).
22 2
(2)物理意义
s=s(t)在点t0的导数是作变速直线
在时刻t0的瞬时速度，即 v(t ) s(t ).
4、导数的应用问题 P49-50
例
从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起
dt
4
4
在该瞬间气球以速率140米/分上
5、导数的计算 (1)(u v) u v;
(2)(u
(4)设
v) uv
y f (u),
uv;
u
(3) u

(
v
x),

uv uv v2
,(v

0).
y'x y'u u'x
或
解 ( xy)x (e y2 )x ( x)x (e x y )x 0 y xy e y2 ( y2 ) 1 e x y ( x y) 0
y xy e y2 2 y y 1 e x y ( x y) 0
飞点500米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为π/4

大一上期期末高数知识点

大一上期期末高数知识点高等数学作为理工科学生的必修课程，是培养学生数学思维和分析解决问题的能力的重要基础。

在大一上学期的高等数学学习中，我们接触到了许多重要的知识点。

下面将对这些知识点进行总结与回顾。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念，函数的奇偶性、周期性等性质。

1.2 极限的概念与性质数列极限、函数极限的定义，极限的性质（唯一性、局部有界性、保号性等）、夹逼定理等。

2. 微分学2.1 导数与微分导数的定义与计算，导数的几何意义、物理意义以及导数与函数的关系。

2.2 微分中值定理极值与最值、费马定理、罗尔定理等微分中值定理的应用。

3. 积分学3.1 不定积分与定积分不定积分的定义、基本性质，定积分的定义与计算。

3.2 牛顿-莱布尼茨公式积分与微分的关系，牛顿-莱布尼茨公式的应用。

4. 微分方程4.1 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、阶数、通解与特解。

4.2 一阶常微分方程可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程等的求解方法。

4.3 高阶常微分方程二阶常系数齐次线性方程、非齐次线性方程等的求解方法。

5. 空间解析几何5.1 空间直线与平面直线的方程、相交与平行等性质，平面的方程、位置关系等性质。

5.2 空间曲线与曲面参数方程与一般方程的转化，球、圆锥曲线及其方程。

6. 多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、极限、连续性等性质。

6.2 偏导数与全微分偏导数的定义与计算，全微分的概念与计算。

6.3 隐函数与偏导数隐函数的存在定理，偏导数的求导法则。

7. 多元函数积分学7.1 二重积分二重积分的定义与计算，极坐标下的二重积分。

7.2 三重积分三重积分的定义与计算，柱面坐标、球面坐标下的三重积分。

8. 无穷级数与函数项级数8.1 收敛级数与发散级数收敛级数与发散级数的概念与判别法。

8.2 幂级数幂级数的收敛半径、收敛域的判定。

以上是大一上期期末高数的知识点总结。