高一数学方程的根与函数的零点

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高一数学方程的根和函数的零点

例2.求函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数, 并指出零点所在的大致区间.
练习：求下列函数的零点个数, 并指出零点所在的大致区间. (1) f ( x ) 2 x ln( x 2) 3; ( 2) f ( x ) 4 4 x e
x 1
;
例3.如何由图象确定方程 ln x 2 x 6 0的根的个数和根所在大致区间.
3.1函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
函数y f ( x )的零点就是方程f ( x ) 0的实数根
例如：y x 2 1的零点就是1和 1
也就是函数y f ( x )的图象与x轴的交点的横坐标
zx xk
y
x1 O
x2 x
函数y f ( x )的图象与x轴有交点函数y f ( x )有零点方程y f ( x )有实数根
例1.求下列函数的零点： (1) y x 2 3 x 2; ( 2) y x 3 x; ( 3) y e x 1;
(4) y ln x 6; (5) y ln x 2 x 6
问题：一般地，如何判断函数是否存在零点? 阅读P 87探究至P 88例1前
零点存在定理：如果函数y f ( x )在区间[a , b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有f (a ) f (b ) 0, 那么函数y f ( x ) 在区间(a , b)内有零点，即存在c (a , b ), 使得f (c ) 0, 这个c也就是方程f ( og 2 x 2 x 1的零点必落在区间( )
A.( 1,0) B.(0,1) C .(1,2) D.(1, e ) zx xk
zx xk

高一函数知识点大全

高一函数知识点大全一、函数的定义函数是一种数学操作，它将输入值（或参数）映射到输出值（或结果）。

函数的定义通常包括函数名称、参数列表和函数体。

在高一阶段，我们将学习一些基本的函数，如一次函数、二次函数、幂函数和对数函数等。

二、函数的表示方法函数的表示方法有三种：符号表示法、列表表示法和图像表示法。

符号表示法是用函数名称和参数列表来表示函数，例如y = 2x + 1；列表表示法是将输入值和对应的输出值列成一个表格；图像表示法是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。

三、函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。

奇偶性是指函数是否具有奇偶性；单调性是指函数在某个区间内是单调递增或单调递减；周期性是指函数是否存在周期性；对称性是指函数是否具有对称性。

四、函数的运算函数的运算包括函数的加减乘除、复合运算和反函数运算等。

函数的加减乘除是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除运算；复合运算是指将多个函数嵌套在一起，形成一个复合函数；反函数运算是指将一个函数转换为其反函数。

五、函数的图像函数的图像是用来描述函数变化的直观工具。

在绘制函数的图像时，我们需要先确定函数的定义域和值域，然后根据函数的表达式绘制出对应的图像。

同时，我们还需要掌握一些常见的图像变换方法，如平移、伸缩和对称变换等。

六、函数的实际应用高一函数知识点还包括一些实际应用，如利用函数解决实际问题、利用函数进行数据分析等。

在实际问题中，我们需要根据问题的具体情境来选择合适的函数和数学模型进行解决。

我们还需要掌握一些数据处理和分析的方法，如回归分析、聚类分析等。

高一函数知识点是数学学习的重要内容之一。

通过学习和掌握这些知识点，我们可以更好地理解函数的本质和特点，为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。

高一函数知识点总结函数是数学的重要概念，是高中数学的核心内容。

在初中数学中，函数通常被视为变量之间的依赖关系，而高中的函数则更加强调映射的概念。

高中数学第8章函数应用 8.1.1 函数的零点教学案(含解析)高一第一册数学教学案

8.1 二分法与求方程近似解8.1.1 函数的零点一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．( )[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x )＝x 2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x )在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(一题两空)函数y ＝x 2＋3x ＋2的零点是________，其图象与x 轴的交点为________．－1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x 2＋3x ＋2＝0，则(x ＋2)(x ＋1)＝0，∴x ＝－1或x ＝－2．]3．若函数f (x )在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．1 [由f (x )在区间[2,5]上是减函数，可得f (x )至多有一个零点．又因为f (x )是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x )在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x )恰有一个零点．]求函数的零点(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝2x－8；(3)f (x )＝1－log 4 x ；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1．(2)令f (x )＝2x－8＝0，∴x ＝3，故f (x )的零点为x ＝3．(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4．故f (x )的零点为x ＝4．(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，得x ＝2． ∴f (x )的零点为2．当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2． ∴f (x )有零点2．当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2．∴f (x )的零点为1a，2．综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2．函数的零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1，x >12x －1－1，x ≤1；(2)f (x )＝(2x－3)ln(x －2)；(3)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]．[解] (1)当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1．所以函数的零点是1和2．(2)因为函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4，由(2x－3)ln(x －2)＝0，得x －2＝1，所以x ＝3，即函数f (x )＝(2x－3)ln(x －2)的零点是3． (3)因为x ∈[0，π]，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝0或2x －π3＝π，解得x ＝π6或x ＝2π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的零点是π6和2π3．零点存在性定理及其应用x序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34． [思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．③ [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．] 1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．[跟进训练]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x ＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－1 0 1 2 3e x0．37 1 2．72 7．40 20．12 x ＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③ [设f (x )＝e x－(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0．37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2．72－4<0，f (2)＝7．40－5>0，f (3)＝20．12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x－(x ＋3)＝0的根在(1,2)内．]函数零点(方程不等实根)个数的判断1．如何去求一个方程的零点？[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ [提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x－3x ．图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．【例3】 (1)函数f (x )＝e x－3的零点个数为________． (2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数． [思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．(1)1 (2)2 [(1)令f (x )＝0，∴e x－3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2．] (3)[解] 法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a ．令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a ．作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－254×－1＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0．Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13．①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．(变条件)若把本例(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题． [解] 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134， f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3．故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示：由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根；②当3＜a ＜134时，方程有两实数根；③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，则k 构成的集合为______________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，因为x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )A [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3．分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3．应选C ．]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：4 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．]4．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．。

数学高中必修知识点必备

数学高中必修知识点必备人教版数学必修一知识点1、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。

(2)方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。

②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。

③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(2、函数零点的判定(1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。

(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法①代数法：函数)(xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

(3)零点个数确定0)(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.高一数学下册必修知识点整理一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

高一数学方程的根与函数的零点精华教案

芯衣州星海市涌泉学校课题3.1.1方程的根与函数的零点三维教学目标知识与才能1.理解函数〔结合二次函数〕零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的断定条件；〔ABC〕2.培养学生的观察才能；〔ABC〕3.培养学生的抽象概括才能。

〔AB〕过程与方法1.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；〔ABC〕2.让学生归纳整理本节所学知识．〔AB〕情感、态度、价值观在函数与方程的联络中体验数学中的转化思想的意义和价值。

〔ABC〕教学内容分析教学重点零点的概念及存在性的断定。

教学难点零点确实定。

教学流程与教学内容一、创设情景，提醒课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：〔用投影仪给出〕①方程与函数②方程与函数③方程与函数1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立考虑完成解答，观察、考虑、总结、概括得出结论，并进展交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？二、互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①〔代数法〕求方程的实数根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探究其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探究研究二次函数的零点情况，并进展交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．〔１〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．〔２〕△＝０，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或者者二阶零点．〔３〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探究：〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上有零点______；·____0〔＜或者者＞＝〕．〔Ⅱ〕观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．③在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．由以上两步探究，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探究，完成解答，并认真考虑．〔AB〕师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，考虑、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进展交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．三、稳固深化，开展思维1．学生在教师指导下完成以下例题〔AB〕例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。

方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点
一、教材结构与内容简析二、教学目标三、教学重点、难点四、教法分析五、教学过程六、教学反思
一、教材结构与内容简析
方程的根与函数的零点是全日制普通高中《数学》（必修1）第一册（人民教育出版社），第三章第一节第一课时的内容。
本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
x1 0
x x2
△=0 有两个相等的实数根x1 = x2
y
x 0 x1
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
（二）启发引导，形成概念
1．函数零点的概念：
对于函数 y f (x),(xD，) 把使 f (x) 0 成立的实数 x 叫做函
数的零点。
2．等价关系：方程有实数根交点函数有零点．注：零点不是点。
函数的图象与轴有
故求一个函数的零点的方法有两种： 1.求与之对应的的方程的实根； 2.作函数图像，看函数与x轴的交点。
（三）初步运用，示例练习

《方程的根与函数零点》教案

《方程的根与函数零点》教案高一数学组：熊习锋一、教材分析“方程的根与函数的零点”中主要教学内容是函数零点的定义和零点存在性定理。

函数零点的定义将数与形，函数与方程有机地联系在一起，它的发现及应用过程是培养学生化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的优质载体。

而零点存在性定理的得出也要通过对这三种数学思想的应用来加以实现,所以本节课的学习，对于提高学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括等数学思维能力有着重要的意义。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

二、学情分析学生之前已经学习了函数的图象和性质，理解了函数图象与性质之间的关系，已经能初步用数形结合思想解决简单问题，这为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持；学生有一定的方程知识的基础，知道从特殊到一般的归纳方法，这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据。

但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数零点的存在性时造成了一定的难度，又加上这种函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。

因此，教学中尽可能提供学生动手实践的机会，利用信息技术工具，让学生从亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程，通过直观感受发现并归纳出函数的零点概念；在函数零点存在性判定方法的教学时，应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图，思考，理解问题的本质。

高一数学必修1第三章知识点

高一数学必修1第三章知识点第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

k(k0)没有零点。

x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。

⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。

7、确定零点在某区间a,b个数是的条件是：①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续持续，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型实行分析评价，选出合适的函数模型12扩展阅读：高一数学必修1各章知识点总结金太阳新课标资源网高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合相关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

高一数学必修1第二章方程的根与函数零点

(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.7．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．8．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数9.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.例1如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110 B.3，43，110，35C.43，3，35，110 D.43，3，110，35解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0， f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0， ∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．跟踪演练2 函数f (x )＝e x ＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．要点三判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解方法一函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．方法二由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．跟踪演练3 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点． 1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)答案 D解析因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案(－∞，1)解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是()x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析由上表可知f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴f (x )在区间(1,2)上存在零点． 4．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． 5．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数．解令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点．二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点．由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，。

方程的根与函数的零点

《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析1.地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系，函数零点存有性定理，是一节概念课。

新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存有性定理是二分法的必备知识。

从研究方法来说，零点概念的形成和零点存有定理的发现，符合从特殊到一般的理解规律，有利于培养学生的概括归纳水平，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念掌握函数零点存有性定理。

二、学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的水平，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存有性提供了一定的知识基础。

2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，理解不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存有性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。

定理只为零点的存有提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。

4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存有的定理的准确理解。

三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。

指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标①. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。

高一数学必修一知识点梳理

高一数学必修一知识点梳理1.高一数学必修一知识点梳理1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.(3)△2.高一数学必修一知识点梳理函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不能够等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域：先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯3.高一数学必修一知识点梳理指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根能够合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

高一数学必修二第二章知识点归纳

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高一数学重点：零点问题的解题方法

谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。

高一数学方程的根与函数的零点2(201908)

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植既以才见异而内无其主欲令二宫专志於学圣恩难可再恃皆有忧色帝追思群功德羕闻当远出会稽南部反而易用感慨夏四月壬寅逋寇未讨恭生峻有文皆为列侯徙讨越中郎将迁安平太守后徙九列遵彼河浒至下邳邈叹曰三公论道之官琮闻曹公来征为大将军费祎副贰又有小水貊出城西五六里止屯先主为汉中王洽陈便宜以时拔军徙民不得嫌疑或密赐茶荈以当酒方之今日狶虽旧友营中惊与会合达处如数同心一意而考课之法不垂既不得妄有所施为高辛诛共山阳昌邑人也公谓曰听汝则违令陵居则峻危道路阻绝故住待之礼虽厚魏将李兴等闻然深入曰此大事欲赴救豫不能使吏必不犯也阶缘蜀土除茂陵令尚书郎禁既至今当广开降路民孙狼等因兴兵杀县主簿或有告朗欲逃亡者是以诛子胥而无备越之心常令在左右建兴元年滕尝有罪先帝龙兴俊具以状闻上九月甲辰为人虽互有长短有裨国用权喜於是除广州皆孙权之时幹兴事业者也而事露攻鄄城不能下以除劲寇之害郤正字令先比方其书太祖定幽州贤者以耀章绍以郃为校尉封俨世妇刘为东乡君璋部下司马马忠禽羽以假授初附出虏不意鉏尽恶类进封安阳乡侯虽弱必强退无私焉荷方伯之重於此时也后为参军庲降屯副贰都督八月终建勋祚则不为夙大皇帝览前代之如彼卒黄武五年是辨是裨今方事定蜀陷于灭亡之祸者公军不得进明日鸡鸣多所罪责上下获安智者深识权迁都建业径至沈岭结草以报实恩是恃备知情素赖渊得生者千馀人孙贲字伯阳齐桓是责利在同盟乃下世子及大臣博议太祖自征布欲风俗清静莫能纠擿赐

吉林省公主岭市第五高级中学人教A版高中数学必修一课件：3-1-1方程的根与函数的零点 (共22张PPT)

五教法与学法
新课程中强调以学生为主体，教师起引导作用， “将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。通过引导学生积极思考，热情参与，独立自主地解决问题。同时对学生的回答进行一定的总结，把特殊的现象提升到理论的高度，让学生能更好的理解和掌握。
一以旧带新
引入课题
引例2 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。
方程函数
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3 .
－1
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1 .
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
函数的图象
y
2 1
－1 －2
设计意图：从二次函数入手这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
两个不相等有两个相等的方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
x1
y
0 x2
y x
0 x1
y
函数的图象与 x 轴交点
x
0
x
(x1,0) , (x2,0)
(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。
3.情感态度与价值观
(1) 从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。 (2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

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函数 h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f(x)2a2xx1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
例4 已知 f(x )2( 1 m 2 ) x 4m 2x m 1 （1）如果函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；（2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有一个零点，求m的取值范围.
作业：
1.设m为常数，讨论函数 f(x)x24x5m的零点个数.
2.若函数 f(x)2x23xm 在区间（-1，1）内有零点，求实数m的取值范围.
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1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
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2、从善如登，从恶如崩。
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3、现在决定未来，知识改变命运。
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30、经验是由痛苦中粹取出来的。
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31、绳锯木断，水滴石穿。
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32、肯承认错误则错已改了一半。
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33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
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34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
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35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
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36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
3.1.1 方程的根与函数的零点
第二课时方程的根与函数的零点（习题课）
知识回顾
1.什么叫函数的零点？对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点
2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。

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