压杆稳定

解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
cr a b
3. 粗短杆 ( s ), 用强度条件
cr s
cr cr s s cr a b
p
cr
小柔度杆
E 2
2
O
中柔度杆 大柔度杆 a s s长杆—发生弹性 屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑 性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈 曲，而发生 屈服 (< s)
第九章
一.了解稳定性的基本概念。 二.掌握压杆的柔度计算。
压杆稳定
大纲要求
三.掌握不同柔度的压杆的临界应力的计算。 四.会进行压杆稳定校核的计算。
五.了解提高压杆稳定性的措施。
§9-1
压杆的稳定概念
拉压杆的强度条件为：
一；问题的提出
FN = —— [] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅 与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。
例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直 径为： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰 支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）
木杆: 80 时, 3000 2
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
记 a s s b
a s 即 b
则 s p
经验公式的适用范围
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b1
2
抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的 中柔度压杆。
式中 a1 、b1 也是与材料性质有关的系数，可 在有关的设计手册和规范中查到。 对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强 度问题
cr s
三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
1. 细长杆 ( p ), 用欧拉公式
cr
E 2
2
2. 中长杆 ( s p ), 用经验公式
2
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
欧拉公式
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
(a)
F jx =A b = 6 KN
(b)
Fcr
2 EImin
l2
= 0 . 1 KN
(a)
(b)
二、支承对细长压杆临界载荷的影响
EI Fcr 2 ( l ) 称为长度系数
已失稳；且此时的压力必等于或大于临界压力。
五.其它失稳问题 受外压的柱体、壳体，工字梁的腹板等受压构件。
9-2
一
临界载荷的欧拉公式
两端铰支细长压杆的临界载荷
y
y y y y y y
(高数下二阶常系数微分方程)
y
通解： y A sin kx B coskx 边界条件： x 0时：y 0 B 0 x l时：y 0 A sin kl 0
B x 解：折减系数法 1、最大柔度 x y 面内， z = 1.0 W
1 6 4 z 80 i 0.3
y
F1 F2 A y o z x
L
z y 面内， y = 2.0
2 6 4 y 160 max i 0.3
L
y
2、求折减系数
L
i

sin kl 0 kl n
(n 0,1,2,)
2 2
n k l
F EI
n EI F 2 l
屈曲挠曲线函数
nx : y ( x ) A sin l
临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故取 n = 1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
其最小非零解
Fcr
EI
2、折减系数法:
F cr ( ) . A
cr () .
材料有关。
[ ] －许用应力； ( ) 1 －折减系数，与压杆的柔度和
二、稳定计算
1、校核稳定性；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。
三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别
压杆的失稳 压杆丧失直线形的平衡状态而呈曲线形的平衡状态。 压杆失稳后易变形，丧失了承载能力。 三、临界压力的概念 临界压力（Fcr）: 中心受压直杆由稳定平衡转化为
不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。
四.关于Fcr 的两点说明
1. Fcr越大压杆越不易失稳，压杆的稳定性越好。
2.如果直杆仅受轴向压力且处于曲线平衡状态，则此杆必
2 9 E 206 10 p 100 6 p 200 10
2
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用 欧拉公式计算其临界压力。
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适 用。 在工程上，一般采用经验公式。 在我国的
设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线
公式。
2 Ed
3
4
64a
2
9-3 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
2 2
EI Fcr 2 ( l)
2
2 E ( i A ) Fcr E EI cr 2 2 2 ( l ) A A (l ) A l i l I 令 i A i 2 E 则 cr 2
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
细长压杆的破坏形式：突然产生 显著的弯曲变形而使结构丧失工件 能力，并非因强度不够，而是由于 压杆不能保持原有直线平衡状态所 致。这种现象称为失稳。
直线公式
cr a b
直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与 松木等中柔度压杆。 式中 a、b是与材料性质有关的系数。
表 11-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试 验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
二 研究方法：
在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后， 假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形， 然后撤去横向力。
2 6 4 160 max 0.3
查表：木杆 160时, 0.117
3、求许用压力
cr

cr 1.287
4
(MPa)
F BC ABC cr
3002
1.287 91(kN )
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？ 解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。
: : : :

＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 m m ，直径 d 20 mm ,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷
Fcr
B A
l
Fcr
2 EI
l
2

2E d 4
2
Fcr
EI
2
l
2
1
Fcr
EI
2
(2l )
2
2
Fcr
EI
2
(0.7l )
2
0.7
Fcr
EI
2
(0.5l )
2
0.5
临界载荷欧拉公式的一般形式:
EI Fcr 2 ( l )
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
2

l
i
I A
压杆的长细比 或压杆的柔度
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i
压杆的最小惯性半径
2 I z A iz , 2 I y A iy .
cr
E 2
2
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
压杆容易失稳
cr
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公 式求临界压力和安全系数（cr = 304 - 1.12 ）。 解：查表：一个角钢： A1 8.367cm2 , I y1 23.63cm4 两根角钢图示组合之后 I y I z 92.48